第一篇：平面向量教案

平面向量的綜合應(yīng)用 執(zhí)教人： 執(zhí)教人：易燕子
考綱要求： “從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題，使 考綱要求：
對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度”。向量以其獨特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運算，成為銜接代數(shù)與幾何的最佳紐帶，故以向量知識與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等多項內(nèi)容的交匯作為設(shè)計綜合性試題考查考生的綜合能力，是高考的一 個熱點，也是重點。教學(xué)目標(biāo)（1）進(jìn)一步理解平面向量的有關(guān)知識； 教學(xué)目標(biāo)：（2）了解在平面向量與其他知識交匯點設(shè)計試題的幾種形式；（3）能綜合運用平面向量和相關(guān)知識解決問題。教學(xué)重點： 教學(xué)重點：平面向量與其他知識的相互聯(lián)系。教學(xué)難點： 教學(xué)難點：平面向量與其他知識的相互轉(zhuǎn)化。

評述：通過平面向量的運算得出二次不等式，利用恒成立解決。

“ 訓(xùn)練：（2010 北京）a、b 為非零向量，a ⊥ b ”是“函數(shù) f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四．與三角知識的交匯 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)（1）求向量 b + c 的長度的最大值；（2）設(shè) a =

r

r

r

r

r

r

r r

r r

π

4

，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

r

r r

教學(xué)設(shè)計： 教學(xué)設(shè)計：
一．與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個向量集合，則 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

r r

r r

評述：以平面向量(三角函數(shù))為載體，與三角函數(shù)(平面向量)的交叉與綜合，是高考命題的一個 重要考點，其解法是利用向量的數(shù)量積和模的概念等脫去向量的“外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問 題，即可解決。訓(xùn)練：（2009 江蘇）設(shè)向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)（1）若 a 與 b ? 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

r

r

r

D.｛ 〔0，1〕 ｝

r

r

r

r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點 O，N，P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內(nèi)心 D.外心 重心 內(nèi)心

變式：若將 Q 集合中的 n 改為 m，結(jié)果又如何呢？ 評述：借助平面向量的坐標(biāo)運算，把集合的交集運算轉(zhuǎn)化為向量相等，考查了方程思想和等價 轉(zhuǎn)化的思想。二．與平面幾何的交匯 例 2.（2009 寧夏海南）已知 O，N，P 在 ?ABC 所在平面內(nèi)，且

r r

（3

第二篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第三篇：平面向量教案

平面向量教案

課

件004km.cn

二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積等的定義,運算律;

3、向量運算的運用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運算律

加法:=,=

實數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則,正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對一一對應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點在原點時,定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點不在原點時,向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0;當(dāng)與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點公式

如圖,設(shè)

則定比分點向量式:

定比分點坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時,就得到中點公式: ，實際上,對于起點相同,終點共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點平移公式,如果點P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個為零時,就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點

利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點P為靠近點A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運算計算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點沿向量平移到,則點沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標(biāo)原點o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

件004km.cn

A

第四篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點：平面向量基本定理.教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當(dāng)兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計：略

第五篇：平面向量的概念教案

平面向量基本概念

【教學(xué)目標(biāo)】

知識目標(biāo)：

（1）了解向量的概念；

（2）理解平面向量的含義、向量的幾何表示，向量的模.能力目標(biāo)：

（1）能將生活中的一些簡單問題抽象為向量問題；

（2）理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的含義，能在圖形中辨認(rèn)相等向量和共線向量.（3）從“平行向量→相等向量→共線向量”的逐步認(rèn)識，充分揭示向量的兩個要素及向量可以平移的特點.（4）通過相關(guān)問題的解決，培養(yǎng)計算技能和數(shù)學(xué)思維能力 情感目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷利用有向線段研究向量的過程，發(fā)展“數(shù)形結(jié)合”的思維習(xí)慣．（2）經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)的過程，樹立團(tuán)隊合作意識． 【教學(xué)重點】

向量、相等向量、共線向量的含義及向量的幾何表示.【教學(xué)難點】

向量的含義.【教學(xué)過程】

（一）情境創(chuàng)設(shè)

1.南轅北轍——戰(zhàn)國時，有個北方人要到南方的楚國去.他從太行山腳下出發(fā)，乘著馬車一直往北走去.有人提醒他：“到楚國應(yīng)該朝南走，你怎能往北呢?”他卻說：“不要緊，我有一匹好馬！”

結(jié)果 原因

2.如圖1，在同一時刻，老鼠由A向西北方向的C處逃竄，貓由B向正東方向的D處追去，貓能否抓到老鼠？

結(jié)果 原因 思考：上述情景中，描繪了物理學(xué)中的那些量？ 咱們還認(rèn)識類似于上面的量，你能舉出來嗎？ 這些量的共同特征是什么？

（二）概念形成

觀察：如圖2中的三個量有什么區(qū)別？

1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量.2.向量的表示方法

思考:物理學(xué)中如何畫物體所受的力?(1)幾何表示法：常用一條有向線段表示向量.符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段，記作AB.(注意起終點順序).(2)字母表示法：可表示AB為a.練習(xí).如圖4，小船由A地向西北方向航行15海里到達(dá) B地，小船的位移如何表示？（用1cm表示5海里）

（三）理性提升 3.向量的模

向量AB的大小——向量AB長度稱為向量的模.記作：|AB|.強調(diào)：數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小； 向量有大小，方向，不能比較大小，模是實數(shù)，可以比較大小的.4.兩個特殊的向量(1)零向量——長度為零的向量，記作0.(2)單位向量——長度等于1個單位長度的向量． 5.向量間的關(guān)系

觀察如圖5，你認(rèn)為向量之間有那些關(guān)系？

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，記作a∥b∥c.規(guī)定： 0與任一向量平行.(2)相等向量——長度相等且方向相同的向量，記作a?b.規(guī)定：0?0.注意： 1°零向量與零向量相等．

2°任意兩個相等的非零向量，都可以用一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．

思考：如果我們把一組平行向量的起點全部移到同一點O，這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？這時它們是不是平行向量？

(3)共線向量——平行向量又叫做共線向量．

（四）拓展應(yīng)用

例1.下列命題中，正確的是()A．|a|=|b|?a=b

B．|a|=|b|且a∥b?a=b C． a=b?a∥b

D．a(chǎn)∥0?|a|=0 例2.如圖6，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量OA、OB、OC相等的向量.思考：

(1)與向量OA長度相等的向量有多少個？(2)是否有與向量OA長度相等，方向相反的向量？(3)與向量OA共線的向量有哪些？

例3.如圖7，在4?5的方格圖中，有一個向量AB，分別以圖中的格點為起點和終點作向量.(1)與向量AB相等的向量有多少個？

(2)與向量AB長度相等的向量有多少個？ 練習(xí)鞏固：P77.1～4

（五）歸納小結(jié)

1.描述一個向量有兩個指標(biāo)——模、方向.2.平行向量不是平面幾何中平行線概念的簡單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對向量，與長度無關(guān).3.共線向量是指平行向量,與是否真的畫在同一條直線上無關(guān).4.向量的圖示，要標(biāo)上箭頭及起、終點，以體現(xiàn)它的直觀性.