第一篇：數(shù)列發(fā)散的定義

數(shù)列發(fā)散和數(shù)列收斂是相對(duì)的.收斂的意思是這樣的：當(dāng)數(shù)列an滿足n→無窮,an→一定值.嚴(yán)格定義用到了ε-N語言,如果一個(gè)數(shù)列不滿足這個(gè)條件,就是發(fā)散.用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)列發(fā)散就是這樣的：

注意與收斂定義的區(qū)別.

第二篇：數(shù)列極限的定義

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

?

1n

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任

意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時(shí)

n??

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當(dāng)n?N時(shí)，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第三篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學(xué)生首先從實(shí)例（感性）去認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的含義，體驗(yàn)什么叫無限地“趨

近”，然后初步學(xué)會(huì)用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無限”來一個(gè)飛躍。過程：

一、實(shí)例：1?當(dāng)n無限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當(dāng)x???時(shí)曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項(xiàng)”隨n的增大而減少②但都大于0

③當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項(xiàng)”隨n的增大而增大②但都小于1

③當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列，并且隨n的增大其絕對(duì)值減小

②當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導(dǎo)觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列?an?的項(xiàng)an無限地趨近于某

個(gè)數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動(dòng)數(shù)列；再看這個(gè)數(shù)列當(dāng)n無限

增大時(shí)是否可以“無限趨近于”某一個(gè)數(shù)。

練習(xí)：（共四個(gè)小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認(rèn)識(shí)，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習(xí)題1

補(bǔ)充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第四篇：數(shù)列極限的定義教案

第十七教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

n

1．以數(shù)列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點(diǎn)越來越接近

2只要n充分大，表示點(diǎn)a(?1)n即：n與原點(diǎn)的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進(jìn)而：就是可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù) n

2．具體分析：(1)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數(shù)列??(?1)n??n??的第10項(xiàng)之后的所有項(xiàng)都滿足

(2)同理：如果預(yù)先給定的正數(shù)是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無限增大時(shí)

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動(dòng)趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結(jié)論：常數(shù)數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身

例四 這是一個(gè)很重要的結(jié)論

四、用定義證明下列數(shù)列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對(duì)數(shù) n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數(shù) 2n?12n當(dāng)n?N時(shí)，2n?1??恒成立

∴l(xiāng)im?1n??2n?1

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當(dāng)n?N時(shí)，2n?1?2??恒成立

∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32

第五篇：關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義

關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義

定義1．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0N，對(duì)任意正整

數(shù)n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a。

定義2．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0，對(duì)任意正整數(shù)

n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a

定義1 是課本第46面的原文，定義2 是我講課時(shí)用的。這兩個(gè)定義的區(qū)別只在對(duì)N的要求：定義1 要求N是正整數(shù)，而定義2只要求N是實(shí)數(shù)，這是很低的要求，故定義2比定義1較便于應(yīng)用。

由于兩個(gè)定義對(duì)N的要求不同，易使人誤認(rèn)為兩個(gè)定義界定的對(duì)象不一樣，即：兩個(gè)定義不等價(jià)。實(shí)際上，這兩個(gè)定義完全是等價(jià)的！為說明這兩個(gè)定義的等價(jià)性，我們需要兩個(gè)顯然的命題：

命題1．對(duì)于任意實(shí)數(shù)r均存在正整數(shù)n，使得n?r。

命題2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)r，若正整數(shù)n，成立n?r，則對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價(jià)，我們只需證明這兩個(gè)定義界定的極限一樣即可。證明：設(shè)有數(shù)列?an?。

（1）若有限常數(shù)a是定義1 界定的極限，由于正整數(shù)N是實(shí)數(shù)，因此，常數(shù)a也

是定義2 界定的極限。

（2）若有限常數(shù)a是定義2 界定的極限，由定義2，對(duì)任意??0，存在實(shí)數(shù)N，對(duì)任意正整數(shù)n?N，有 an?a??；對(duì)于實(shí)數(shù)N，必有正整數(shù)M使得M?N（命題1）；當(dāng)n?M時(shí)，必有n?N；故對(duì)于正整數(shù)M，當(dāng)n?M時(shí)必有an?a??。因此，常數(shù)a也是定義1 界定的極限。

說明：（2）中的正整數(shù)M即是定義1 中的N。極限證明中關(guān)鍵是由 n?N 保證

an?a??，而不是N是否是正整數(shù)。

另，請(qǐng)大家注意課本p.55 的第1題，這個(gè)題對(duì)于幫助大家深入理解數(shù)列極限定義是有很大作用的。