第一篇：勾股定理教案

勾股定理

教學(xué)目標(biāo)

1、了解勾股定理的推理過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理；

2、從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理解決，滲透建模思想和數(shù)形結(jié)合思想；

3、通過研究一系列富有探究性的問題，培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力．

知識(shí)梳理

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于_____的平方．

222如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a+b=c．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在___三角形中．

222222222222（3）勾股定理公式a+b=c 的變形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．

2222（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．

2.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）． 性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角___．

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的___等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．

性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的___；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于___． 3．勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：

①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．

4．平面展開-最短路徑問題

（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，_________．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．

典型例題

1.勾股定理．

【例1】（2014?臨沂蒙陰中學(xué)期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（）

A．21 B．15C．6 D．以上答案都不對．

練1.（2014秋?綏化六中質(zhì)檢）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）

A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 練2.（2014春?江西贛州中學(xué)期末）如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）

A．1 B． C． D．2 2.等腰直角三角形．

【例2】（2014?鷹潭中學(xué)校級(jí)模擬）已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的面積是（）

A．2 B．2 C．2 D．2

練3.將一等腰直角三角形紙片對折后再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余n﹣2n﹣1n

n+1部分展開后的平面圖形是（）A． B．

C．

D．

3.等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理．

【例3】（2014?福建泉州中學(xué)一模）以邊長為2厘米的正三角形的高為邊長作第二個(gè)正三角形，以第二個(gè)正三角形的高為邊長作第三個(gè)正三角形，以此類推，則第十個(gè)正三角形的邊長是（）A．2×（）厘米 B．2×（）厘米 109

C．2×（）厘米 D．2×（10）厘米

9練4.等邊三角形ABC的邊長是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

． 4．勾股定理的應(yīng)用． 【例4】（2014?福建晉江中學(xué)月考）工人師傅從一根長90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長分別為60cm、100cm的鋼條一起焊接成一個(gè)直角三角形鋼架，則截取下來的鋼條長應(yīng)為（）A．80cm B．C．80cm或 D．60cm 練5.現(xiàn)有兩根鐵棒，它們的長分別為2米和3米，如果想焊一個(gè)直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長為（）A．米 B．米 C．米或米 D．米 5．平面展開-最短路徑問題． 【例5】（2014?貴陽八中期中）如圖A，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為4cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 練6．（2014春?普寧市校級(jí)期中）如圖是一個(gè)長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）m．

A．4.8 B． C．5

D．

隨堂檢測

1．已知兩邊的長分別為8，15，若要組成一個(gè)直角三角形，則第三邊應(yīng)該為（）A．不能確定 B． C．17 D．17或

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．則a：b：c =（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3 3．直角三角形的兩邊長分別為3厘米，4厘米，則這個(gè)直角三角形的周長為（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米 4．有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹

米之外才是安全的．

5．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為

m．

6．在一個(gè)長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是 米．（精確到0.01米）

課堂小結(jié)

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 課后作業(yè)

1．若一個(gè)直角三角形的三邊長分別為3，4，x，則滿足此三角形的x值為（）A．5 B． C．5或 D．沒有

2．已知直角三角形有兩條邊的長分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm

23．已知Rt△ABC中的三邊長為a、b、c，若a=8，b=15，那么c等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或289 4．一個(gè)等腰三角形的腰長為5，底邊上的高為4，這個(gè)等腰三角形的周長是（）A．12 B．13 C．16 D．18 5．長方體的長、寬、高分別為8cm，4cm，5cm．一只螞蟻沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B．則螞蟻爬行的最短路徑的長是 cm．

6．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用

秒鐘． 7．如圖，一個(gè)長方體盒子，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子的表面上爬到點(diǎn)C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，則這只螞蟻爬行的最短路程是

cm．

8．如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是

米．

9．如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10（單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長為hcm，則h的最小值大約為

cm．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．

10．如圖是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為

mm．

第二篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占華

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教育點(diǎn)

1、用驗(yàn)證法發(fā)現(xiàn)直角三角形中存在的邊的關(guān)系。

2、掌握定理證明的基本方法。

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對第三邊的影響，總結(jié)出直角三角形各邊的基本關(guān)系。

（三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體，應(yīng)用到實(shí)踐中去。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

1、重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理。

2、難點(diǎn)：圖形面積的轉(zhuǎn)化。

3、突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)的辦法：《幾何畫板》輔助教學(xué)。

三、教學(xué)手段 ：

利用計(jì)算機(jī)輔助面積轉(zhuǎn)化的探求。

四、課時(shí)安排：

本課題安排1課時(shí)

五、教學(xué)設(shè)想：

想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，為學(xué)生提供一個(gè)豐富的思維空間，使學(xué)生能夠根據(jù)“式，數(shù)、形”等不同的結(jié)構(gòu)從不同的角度去分析問解決問題

六、教學(xué)過程（略）

第三篇：勾股定理教案

一，課題：勾股定理（八年級(jí)下冊第十八章——勾股定理）

二，教學(xué)類型：新知課

三，教學(xué)目的：讓學(xué)生了解勾股定理的產(chǎn)生及其內(nèi)容。

四，教學(xué)方法：講解法

五，教學(xué)重難點(diǎn)：如何引入勾股定理，如何讓學(xué)生理解勾股定理的內(nèi)容。六，教具：粉筆，直角三角板，畫好網(wǎng)格的A4紙，正方形彩紙。

七，教學(xué)過程：1，引入新課：相傳2500年前，大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)發(fā)現(xiàn)家里的地板放映了直角三角邊的某種數(shù)量，請同學(xué)們仔細(xì)觀察書P72的圖，看是否能發(fā)現(xiàn)途中隱藏的玄機(jī)？

2，講解新課：我們能發(fā)現(xiàn)，圖中，以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，因此我們大膽提出猜想，等腰直角三角形的三邊之間有特殊關(guān)系：斜邊的平方和等于兩直角邊的平方和。見書P73圖。這即是我們的命題一：如果是角三角形的兩直角邊長分變?yōu)閍，b，斜邊長為c,那么a^2+b^2=c^2.那么我們?nèi)绾悟?yàn)證命題的正確性呢？請拿出我們的兩張正方形彩紙，按照書上給出的步驟進(jìn)行折疊，并把中間的小正方形描畫出來。我們所折出的四個(gè)全等三角形中短邊長為a，長直角邊長為b，斜邊長為c，且斜邊長即為新折出的正方形的邊長。原來沒有折疊前，兩張彩紙的面積一共為a^2+b^2,折疊后的面積為c^2,但是折疊前后并沒有改變其面積的大小，因此有a^2+b^2=c^2.這樣命題就等到了驗(yàn)證。（這種方法是我國古代的數(shù)學(xué)家趙爽想出來的，同學(xué)們是否有其他方法來驗(yàn)證命題的正確性？）命題一就是我們所說的勾股定理。

3，小結(jié)：勾股定理的內(nèi)容是什么？驗(yàn)證勾股定理的方法是什么？

4，鞏固：我們來研究勾股定理在實(shí)際中是如何被利用的。有一個(gè)門框，寬3米，高4米，請問有個(gè)人拿了五米高的薄木板，請問他能否通過此門？若能應(yīng)如何通過？若不能請給出理由。（能。運(yùn)用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照門的對角線放置就能經(jīng)過此門）

5，作業(yè)：書P781，2，5，8題

八，思考：我們知道直角三角形一定滿足勾股定理，那么滿足勾股定理的三角形一定是直角三角形嗎？你是否能找到滿足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？請同學(xué)們回家思考，明天給我答案。

第四篇：勾股定理教案

勾股定理專題 第 1 講

一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求

1．在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。2．在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。

3．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用他們解決一些簡單的實(shí)際問題。

二、教學(xué)目標(biāo)：

（一）、知識(shí)與技能：

經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡單應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力。

（二）、過程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容；

2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；

3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．

（三）、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。

三、教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學(xué)問題中的靈活應(yīng)用

四、教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學(xué)過程

一、引入新課

據(jù)傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢？讓我們一起來探索！

勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動(dòng)手畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長

你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎？看不出來的話我們先來看一下下面的活動(dòng)。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個(gè)單位長度和2.4個(gè)單位長度，上面的猜想關(guān)系還成立嗎？

二、新知傳授

通過上面的活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因?yàn)槲覈糯阎苯侨切屋^短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個(gè)結(jié)論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個(gè)方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。)

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:

方法三：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個(gè)方法是以前一個(gè)叫趙爽的人對這個(gè)圖做出的描述，所以這個(gè)圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．

類型

一、勾股定理的直接應(yīng)用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長．

解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習(xí)1

△ABC，AC=6，BC=8,當(dāng)AB=________時(shí)，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設(shè)a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關(guān)的證明

例

2、（2015?豐臺(tái)區(qū)一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習(xí)2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關(guān)的線段長

例

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算

例

4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習(xí)4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請?jiān)趫D中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實(shí)際問題

例

5、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習(xí)5

如圖，某儲(chǔ)藏室入口的截面是一個(gè)半徑為1.2m的半圓形，一個(gè)長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進(jìn)儲(chǔ)藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．

第五篇：《勾股定理》教案

學(xué)英語報(bào)社http://全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 ·勾股定理

·教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo): 掌握勾股定理的幾種證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由直角

三角形的任意兩邊求得 圖

1緊接著再問學(xué)生：我們是通過測量的方式發(fā)現(xiàn)了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方或者說兩小正方形的面積和大正方形的面積.這種做法往往并不可靠，我們能否證出兩直角邊為3、4的直角三角形斜邊是5.（目的：數(shù)學(xué)需要合情推理，但也要邏輯證明.通過此問題證明過程，關(guān)鍵是這里滲透了面積法的證明思想.）

三、自主探索、發(fā)現(xiàn)新知

為了解決好這個(gè)問題我們不妨把圖19.2置于方格圖中，計(jì)算大正方形的面積等于25.于是讓學(xué)生計(jì)算大正方形的面積，但大正方形R的面積不易求出，可引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)格對大正方形嘗試割或補(bǔ)兩種方法解決.1(3?4)2?4??3?4?25.方法一：將圖2補(bǔ)成圖3，則要求正方形的面積為：

2因此直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.1方法二：將圖2補(bǔ)成圖4，則要求正方形的面積為：4??3?4?1?25.2因此直角邊分別為3、4直角三角形斜邊是5即32?42?52.（目的：在方格圖中利用割補(bǔ)的思想通過計(jì)算面積的方法證明了直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.為探索一般的直角三角形也有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方以及證明它的成立做好鋪墊.）

此時(shí)老師提出問題：對于這個(gè)直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么對于任何一個(gè)直角三角形都有這種關(guān)系嗎？

通過以上探索，相信有學(xué)生能用文字語言概括猜想出一般的結(jié)論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號(hào)表示為a2?b2?c2（a、b是直角邊，c是斜邊.）.教師要鼓勵(lì)這位同學(xué)講的好，敢于猜想是一種難能可貴的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這位同學(xué)用精確的語言敘述了直角三角形三邊的關(guān)系，那么這一結(jié)論是否正確，怎樣論證？

（目的：在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，既要學(xué)會(huì)證明又要學(xué)會(huì)猜想；既要學(xué)會(huì)演繹推理又要學(xué)會(huì)合情推理.鼓勵(lì)學(xué)生在討論的基礎(chǔ)上大膽猜想，能培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神.）

老師用多媒體將圖2的方格線隱去得圖5，設(shè)Rt?ACB直角邊為a,b

及斜邊

c，試證明a2?b2?c2.通過與學(xué)生的合作交流，只要證明出斜邊上的正方形的面積，等于兩直角邊上的正方形的面積和即可.有前面的證明過程，學(xué)生可以想到通過割補(bǔ)利用面積法進(jìn)行證明.這個(gè)地方要留夠充足的時(shí)間讓學(xué)生討論交流，證好的同學(xué)請上臺(tái)來解釋他是如何證明的.方案一：，用三個(gè)與Rt?ACB一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形補(bǔ)

1成圖6，則S?c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.2方案二：用三個(gè)與Rt?ACB一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形割成1圖7，則S=c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.Aa-b BC圖7 圖6

教師介紹：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦.圖7稱為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.圖19.2.8是在北京召開的2002

年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM－2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.此時(shí)，教師極力夸贊學(xué)生已成功探索出5000多年前人類歷史

上的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)，真是太偉大了！a2?b2?c2，這就是赫赫有名的勾股定理（板書課題）.接著用多媒體展

示勾股定理的歷史.圖19.2.8

勾股定理史話

勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史.遠(yuǎn)在公元

前三千年的巴比倫人就知道和應(yīng)用它了.我國古代也發(fā)現(xiàn)了

這個(gè)定理.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，商高（公元前1120年）關(guān)

于勾股定理已有明確的認(rèn)識(shí)，《周髀算經(jīng)》中有商高答周公的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位學(xué)者陳子（公元前六七世紀(jì)）與榮方（公元前六世紀(jì)）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”（如圖所示），即

邪至日＝2＋股2.這里陳子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推廣到一般情況了.人們對勾股定理的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷過一個(gè)從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻(xiàn)中都有記載，很難區(qū)分這個(gè)定理是誰最先發(fā)明的.國外一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（Pythagoras，公元前580~前500）首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱為畢達(dá)哥拉斯定理.勾股定理曾引起很多人的興趣，世界上對這個(gè)定理的證明方法很多.1940年盧米斯（E.S.Loomis）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個(gè)著名定理的370種證明，其中包括大畫家達(dá)?芬奇和美國總統(tǒng)詹姆士????阿?加菲爾德（James Abram

Garfield,1831~1881）的證法.美國總統(tǒng)詹姆士??阿?加菲爾德的證法如下：

1112S梯形＝a+b）＝a2?ab?b2,222如圖：因?yàn)?111S梯形?2?ab?c2?ab?c2.222a

b所以a2?b2?c2.勾股定理是一條古老而又應(yīng)用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據(jù)說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差.勾股定理以其簡單、優(yōu)美的形式，豐富、深刻的內(nèi)容，充分反映了自然界的和諧關(guān)系.人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達(dá)四百多種，甚至著名的大物理學(xué)家愛因斯坦也給出了一個(gè)證明.中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在談?wù)摰揭坏┤祟愑龅搅恕巴庑侨恕?，該怎樣與他們交談時(shí)，曾建議用一幅反映勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來作為與“外星人”交談的語言.這充分說明了勾股定理是自然界最本質(zhì)、最基本的規(guī)律之一，而在對這樣一個(gè)重要規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用上，中國人走在了前面.方案三（教師介紹歐幾里得證法）證明：證明：在Rt△ABC的三邊上向外各作一個(gè)正方

形（如圖8），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成兩個(gè)矩形．連結(jié)CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC

又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK

在△ADC和△ABK中

∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB

∴△ADC≌△ABK

由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK 同理可證

圖8

Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF

∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF

即a2?b2?c2.（目的：在勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程中，充分鼓勵(lì)學(xué)生不同的拼圖方法得出不同的驗(yàn)證方法，幫助學(xué)生自主建構(gòu)新知識(shí).另外要介紹學(xué)生所拼的圖7就是古代的弦圖，也是在北京召開的2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的成就感.讓學(xué)生充分體驗(yàn)到探索創(chuàng)新所帶來的成功的喜悅.）

四、應(yīng)用新知、解決問題

例1如圖19.2.4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）

解 在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2.16, CA=5.41,根據(jù)勾股定理得

AB?AC2?BC2?5.412?2.16

2≈4.96（米）

答：梯子上端A到墻的底端B的距離約為4.96米.圖

19.2.4例2（趣味剪紙）如圖兩個(gè)邊長分別為4個(gè)單位和

3個(gè)單位的正方形連在一起的“L”形紙片，請你剪兩刀，再將所得到的圖形拼成正方形.（目的：本段內(nèi)容主要通過教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生共同探究完成，一方面讓學(xué)生感受解決問題的愉悅與強(qiáng)烈的成就感，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和學(xué)習(xí)興趣以及加強(qiáng)對勾股定理的理解.另一方面讓學(xué)生知道：（1）勾股定理應(yīng)用的前提條件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的兩邊會(huì)用勾股定理求第三邊.）

五、自我評價(jià)、形成知識(shí)

⑴這節(jié)課我的收獲是.⑵我感興趣的地方是.⑶我想進(jìn)一步研究的問題是.（目的：通過這幾個(gè)問題，可以很好的揭示學(xué)生新建立的不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)了不同的人學(xué)數(shù)學(xué)有不同的收獲.把學(xué)習(xí)的權(quán)利交給學(xué)生，使學(xué)生體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂趣.同時(shí)，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘?qū)W生的潛能.）

六、作業(yè)

⑴課本P104習(xí)題19.2 1，2，3⑵通過上網(wǎng)，搜索有關(guān)勾股定理的知識(shí)：如（1）勾股定理的歷史；（2）勾股定

理的證明方法；（3）勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用等.然后寫一篇以勾股定理為

主題的小論文.（目的：鞏固勾股定理，進(jìn)一步體會(huì)定理與實(shí)際生活的聯(lián)系.促進(jìn)學(xué)生學(xué)知識(shí)，用知識(shí)的意識(shí).新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡課題學(xué)習(xí)（研究性學(xué)習(xí)），通過課題學(xué)習(xí)與研究更多地把數(shù)學(xué)與社會(huì)生活和其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系起來，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)與外界之間的聯(lián)系，初步學(xué)習(xí)研究問題的方法，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).）

· 關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)說明：

1、這節(jié)課是定理課，針對八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課我準(zhǔn)備以“問題情境-----實(shí)驗(yàn)、猜測-----驗(yàn)證、證明----實(shí)際應(yīng)用”的模式展開，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出問題與學(xué)生共同探索、討論.讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義.讓學(xué)生體會(huì)到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想；

2、由于學(xué)生的個(gè)體差異表現(xiàn)為認(rèn)知方式與思維策略的的不同，以及認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力的差異，所以在整個(gè)教學(xué)過程中，我都將尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平，盡可能讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中提高思維水平.在學(xué)生回答時(shí)，我通過語言、目光、動(dòng)作給予鼓勵(lì)與贊許，發(fā)揮評價(jià)的積極功能；

3、探索定理采用了面積法，通過用割補(bǔ)兩種方法對直角邊為3、4這一特殊直角三角形的斜邊上的正方形的面積的計(jì)算，得到此直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由此自然的過渡到對一般直角三角形三邊關(guān)系的研究，當(dāng)然也自然的用此方法證明了勾股定理.這種方法是認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法之一，通過教學(xué)讓學(xué)生初步掌握這種方法，對于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成有重要作用，對學(xué)生的終身發(fā)展也有一定的作用；

4、本課小結(jié)也很有新意，通過這短短的幾個(gè)問題，可以很好的揭示學(xué)生新建立的不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)了不同的人學(xué)數(shù)學(xué)有不同的收獲.把學(xué)習(xí)的權(quán)利交給學(xué)生，使學(xué)生體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂趣.同時(shí)，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘?qū)W生的潛能。