第一篇：《統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖(二)》教案2

《統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖

（二）》教案2 教學目標

1、認識復式統(tǒng)計表，了解復式統(tǒng)計表的結構特點，能調(diào)查收集、整理數(shù)據(jù)，用復式統(tǒng)計表表達數(shù)據(jù)；能簡單分析表中的數(shù)據(jù)，說明數(shù)據(jù)反映的簡單事實。

2、在經(jīng)歷統(tǒng)計過程、運用復式統(tǒng)計表表達數(shù)據(jù)的過程中，積累統(tǒng)計活動的經(jīng)驗，體會并了解復式統(tǒng)計表的優(yōu)點，提高用統(tǒng)計表處理簡單的數(shù)據(jù)的技能，增強數(shù)據(jù)分析觀念。

教學重點

認識和運用復式統(tǒng)計表。

教學難點

數(shù)據(jù)的調(diào)查與分析。

教學準備

多媒體課件

教學過程

一、學習例1：

1.周六，我們很多同學參加了各種興趣小組。請看青云小學五年級正在活動著的4個興趣小組情況。

出示例題圖。指名說一說各小組人數(shù)。

2.把這4個興趣小組的人數(shù)填在下面的統(tǒng)計表里。（學生獨立填寫）

3.4個小組的情況，每小組一張，這樣的統(tǒng)計表我們把它稱之為單式統(tǒng)計表。如果要把四個組 的情況放在一張表里，就需要用復式統(tǒng)計表。這節(jié)課我們就來研究復式統(tǒng)計表。

板書課題：復式統(tǒng)計表

二、學習新課

1.出示復式統(tǒng)計表

解讀復式統(tǒng)計表表頭。

指出：復式統(tǒng)計表的表頭一般都需要分成3塊，橫著的分別表示男生和女生，即“性別”；豎著的表示各個興趣小組的名稱，即“組別”；中間這塊即我們統(tǒng)計的各類數(shù)據(jù)，即“人數(shù)”，也可以寫成“數(shù)量/人”。

現(xiàn)在你能根據(jù)剛才四張表中的數(shù)據(jù)完成這張復式統(tǒng)計表嗎？

2.學生獨立填寫。

3．交流：你是怎樣計算合計數(shù)以及總計數(shù)的？

4．評價：觀察這張復式統(tǒng)計表，你可以知道哪些信息？

5.與剛才的單式統(tǒng)計表相比，你覺得它有哪些優(yōu)點？

三、鞏固練習：

1、練一練：

(1)調(diào)查、統(tǒng)計。閱讀問題，用什么方法可以解決？(2)分析數(shù)據(jù)：經(jīng)過統(tǒng)計，你了解了哪些數(shù)據(jù)？

(3)回顧反思。我們開始要了解哪些情況？這樣的問題怎樣解決？

2、練習十五第1題。

3、練習十五第2題。把分組調(diào)查到的數(shù)據(jù)進行交流，核對數(shù)據(jù)。

四、總結： 這節(jié)課我們學習了什么？復式統(tǒng)計表與單式統(tǒng)計表有什么練習和區(qū)別？

第二篇：六年級數(shù)學統(tǒng)計表教案2

教學建議

教材分析

學生在第八冊和第十冊已經(jīng)初步學習了數(shù)據(jù)的收集和整理、簡單統(tǒng)計表的制作和條形統(tǒng)計圖的初步認識，以及求平均數(shù)的方法．本小節(jié)是在學生已有知識的基礎上，進一步教學編制和分析含有百分數(shù)的統(tǒng)計表，通過教學使學生進一步認識統(tǒng)計的意義和作用，并受到國情的教育。

在學生掌握了一般的復式統(tǒng)計表的基礎上，這一節(jié)教學含有百分數(shù)的復式統(tǒng)計表．這里沒有重復教學統(tǒng)計表的形式和制法，而是讓學生根據(jù)已學知識思考，怎樣才能清楚地看出一個統(tǒng)計表中有關數(shù)量間的百分比關系．教材通過一個例題教學含有百分數(shù)的統(tǒng)計表，啟發(fā)學生想，只要在原來的統(tǒng)計表中再增加一欄，算出題中所需的百分數(shù)，依次填上就可以了．同時，在每一個統(tǒng)計表的后面，教材還通過填空讓學生看表回答問題，這不僅有助于培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的能力（如根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的數(shù)據(jù)分析問題，尋求解決的方法），也有助于培養(yǎng)學生用統(tǒng)計的思想分析思考問題的習慣．

“合計”和“總計”是小學階段學習簡單的統(tǒng)計知識中常用的兩個數(shù)學術語，這兩個術語常常在同一張表中同時出現(xiàn)，兩者雖一字之差，但含義不同，容易混淆．“總計”與“合計”是根據(jù)表的性質和需要來確定的．一般來說，單式的統(tǒng)計表只有合計．在復式的統(tǒng)計表中，一般既含有合計，又要有總計．“合計”是各個分類事物的統(tǒng)計數(shù)據(jù)之和，“總計”是反映各類事物的總數(shù)量．

教法建議

學生在第八冊和第十冊已經(jīng)初步學習了數(shù)據(jù)的收集和整理、簡單統(tǒng)計表的制作和條形統(tǒng)計圖的初步認識，以及求平均數(shù)的方法．本小節(jié)是在學生已有知識的基礎上，進一步教學編制和分析含有百分數(shù)的統(tǒng)計表，通過教學使學生進一步認識統(tǒng)計的意義和作用，并受到國情的教育．

含有百分數(shù)的統(tǒng)計表，可以采用遷移法進行教學．通過“

1、復習舊知：教師出示表格，學生分別說出每個數(shù)據(jù)表示什么和計算方法．

2、質疑引新：現(xiàn)在的表格能反映出有關數(shù)據(jù)之間的關系嗎？應該怎么辦？

3、小組討論：只要在表格的右側增加一欄，把有關百分數(shù)的數(shù)據(jù)填入表中即可．

4、對比深化：合計與總計有什么不同？

5、分析表格：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以得出什么結論？”這五個步驟進行教學．教學中要注意發(fā)揮學生的主體作用，由學生自主探究得出新知．

教學目標

1．使學生初步學會制作一些含有百分數(shù)的簡單的統(tǒng)計表．

2．通過看表，會回答一些簡單的問題．

教學重點

在已學過統(tǒng)計表的形式和制法的基礎上，會制作含有百分數(shù)的統(tǒng)計表．

教學難點

掌握統(tǒng)計表中數(shù)量之間的百分比關系，會分析含有百分比的統(tǒng)計表。

教學步驟

一、鋪墊孕伏

1．復習舊知．

我們已經(jīng)學過，把調(diào)查收集到的數(shù)據(jù)，加以分類整理，請看下面表格（下表），你能說出每個數(shù)據(jù)分別表示什么嗎？

2．計算．

教師提問：表格中“合計”的數(shù)據(jù)怎樣算？

3．引新．

統(tǒng)計表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關數(shù)據(jù)之間的關系，如表中合計的數(shù)據(jù)表示了三年同類項目收入的總和，現(xiàn)在的表格，還能反映出村辦企業(yè)收入占全村的總收入的百分比嗎？（不能）

下面我們就繼續(xù)學習百分數(shù)在統(tǒng)計中的應用．

二、探求新知

（一）教學例題．

1．出示例題．

下面是1998～2000年東山村每年的總收入與村辦企業(yè)收入的統(tǒng)計表．如果要使這個統(tǒng)計表表示出這三個中村辦企業(yè)收入占全村總收入的白分之幾，應該怎樣做？

教師提問：例題向我們提出了什么問題？

2．增加欄目，擴展統(tǒng)計表含量．

教師提問：

（1）計算每個村辦企業(yè)收入占全村總收入的百分比比較容易，計算出的三個百分數(shù)寫在表格的什么位置？

（表格右側旁邊）

（2）能不能把表格向右側擴充一下，把有關百分數(shù)的數(shù)據(jù)也納入表中？

（學生擴充表格，并計算百分數(shù)，填入表內(nèi)．）

（3）我們再縱向觀察，這組百分數(shù)表示什么？

（村辦企業(yè)收入占總收入的百分比）

（4）你們能概括地講一講我們是怎么做的？

（把原來的統(tǒng)計表右邊增加一欄，再把每一年村辦企業(yè)收入占全村總收入的百分數(shù)填寫過去，這樣就成了含有百分數(shù)的統(tǒng)計表．）

3．強調(diào)“合計”中“百分數(shù)”的計算方法．

教師提問：我們以后在計算統(tǒng)計表中百分數(shù)時，如果沒有特殊要求，一般百分號前的數(shù)只需取一位小數(shù)．“合計”項目中的百分數(shù)如何計算？

學生回答：用村辦企業(yè)三年收入總和去除三年全村總收入的總和，三年“合計”項目的百分數(shù)不是三年中每年的百分數(shù)的和，也不是三年中每年的百分數(shù)的平均數(shù)．

4．看統(tǒng)計表回答問題．

（1）2000年全村總收入比1999年增加_________萬元；

（2）2000年村辦企業(yè)收入比1999年增加_________萬元；

（3）2000年該村其他收入（包括糧食、副業(yè)等）比1999年增加_________萬元；

（4）2000年村辦企業(yè)收入占全村總收入的_________％．

教師提問：

（1）通過看表回答問題，你發(fā)現(xiàn)全村總收入和村辦企業(yè)總收入是怎樣逐年變化的？

（逐年增長）

（2）其中村辦企業(yè)收入增長幅度怎樣？

（很大）

教師講述：僅通過1998－2000年三年的收入，我們不難看出，堅持改革開放，農(nóng)村的發(fā)展非常迅速，特別是村辦企業(yè)收入增長幅度之大，說明要加快農(nóng)村現(xiàn)代化建設步伐，不僅要抓好農(nóng)業(yè)，還要大力發(fā)展村辦企業(yè)．

（二）反饋練習

某洗衣機廠第一季度生產(chǎn)洗衣機情況如下．分別算出每個月完成計劃的百分數(shù)，并制成統(tǒng)計表．

三、全課小結

這節(jié)課我們在原來有關統(tǒng)計表知識的基礎上，又進一步學習了百分數(shù)在統(tǒng)計中的應用，這就使統(tǒng)計表中反映數(shù)據(jù)之間關系的內(nèi)容更充分，更豐富．

四、課堂練習

1．陳莊三戶農(nóng)民1999年和2000年平均每人純收入的情況如下：

陳志剛1999年2186元，2000年2274元；

李衛(wèi)民1999年2140元，2000年2261元；

陳世昌1999年2205元，2000年2313元；

完成下面的統(tǒng)計表．（百分號前面的數(shù)保留一位小數(shù)．）

五、布置作業(yè)

1．完成下面的統(tǒng)計表．（百分號前面的數(shù)保留一位小數(shù)．）

六、板書設計

第三篇：《統(tǒng)計表》教案

教學內(nèi)容：

教科書第5859頁的例題、完成做一做的題目和練習十四的第12題。

教學目的：

使學生初步學會填寫含有百分數(shù)的復式統(tǒng)計表的方法和步驟，進一步認識編制統(tǒng)計表的意義。

教具準備：

小黑板或投影片若干。

教學過程：

一、復習

教師：我們已經(jīng)初步學會如何填寫一個統(tǒng)計表?，F(xiàn)在我們一起復習一下填寫統(tǒng)計表的方法和步驟。

請幾名學生說一說，同學之間互相補充，教師隨之在黑板上做簡單的板書。

二、新課

教師用小黑板或投影片出示例題的統(tǒng)計表。

教師：這里有一張統(tǒng)計表，這是1995年一1997年東山村每年的總收人與村辦企業(yè)收入的統(tǒng)計表。同學們注意觀察一下，這張統(tǒng)計表與以前我們學習過的統(tǒng)計表有什么不同？ 學生：橫著的項目增加了一欄。

學生：增加了含有百分數(shù)的數(shù)據(jù)。

教師：對I在這張統(tǒng)計表中，增加了一欄，這一欄里都是含有百分數(shù)的數(shù)據(jù)。所以，我們今天學習的統(tǒng)計表叫做含有百分數(shù)的統(tǒng)計表。

教師板書課題。

教師：現(xiàn)在我們先計算出有關的數(shù)據(jù)，把這張統(tǒng)計表填寫完整

先讓學生自己計算百分數(shù)、合計數(shù)，把統(tǒng)計表填寫完整。教師行間巡視，注意個別輔導?？商嵝褜W生：計算百分數(shù)時，百分號前的數(shù)只需取一位小數(shù)。填寫合計這一行的含百分數(shù)的數(shù)據(jù)時，教師可提問

這個數(shù)據(jù)應該怎樣計算呢？ 是不是把3年的百分數(shù)加起來就得到了呢？ 要使學生明確：合計這一行的百分數(shù)要算3年村辦企業(yè)收入的合計數(shù)占3年總收入的合計數(shù)的百分比：等學生填完表．教師提問。

教師：從這張統(tǒng)計表中我們可以獲得關于東山村的什么情況？ 請幾名學生發(fā)言，說一說自己獲得的情況。然后教師總結。

教師：在這張統(tǒng)計表中，不僅可以看出在199；年至1997年中每一年的全村總收入是多少，其中村辦企業(yè)收入是多少，而且還可以看出每年中村辦企業(yè)收入占全村收入的百分之幾。

然后教師再指名提問

1996年全村總收入比1995年增加多少萬元？ 1997年全村總收入比1996年增加多少萬元？ 1996年村辦企業(yè)收人比1995年增加多少萬元？ 1997年村辦企業(yè)收入比1996年增加多少萬元？ 1997年這個村其他收入（即糧食、副業(yè)等收入）比1996年增加多少萬元？ 1996年村辦企業(yè)收入占全村總收入的百分數(shù)比1995年的百分數(shù)增加多少？

1997年村辦企業(yè)收入占全村總收入的百分數(shù)比1996年的百分數(shù)增加多少？ 通過上面的比較，我們可以獲得什么情況？ 教師總結：通過上面的比較我們可以看出：3年來，在全村的收入中，村辦企業(yè)的收入增長幅度比較大。村辦企業(yè)的收人在全村總收入中所占的百分比逐年增加，才引起總收入的較快增長。

讓學生翻開教科書第59頁，自己完成統(tǒng)計表中的計算和填空。

三、鞏固練習

1．做做一做的題目。

請一位同學讀題后，教師帶領學生共同編制統(tǒng)計表。指名讓學生一步步說編制統(tǒng)計表的步驟，隨之教師在黑板上畫出統(tǒng)計表頭，填上數(shù)據(jù)，形成下面的未填寫完的統(tǒng)計表

某洗衣機廠第一季度生產(chǎn)洗衣機情況統(tǒng)計表

年 月制

先讓學生自己計算出合計和各月完成計劃的百分數(shù)，再指名讓學生在黑板上把數(shù)據(jù)填寫進統(tǒng)計表中，集體訂正。

2．做練習十四的第1題。

讓學生獨立做題，教師行間巡視，個別輔導。仍要注意學生在填寫合計這一行的百分數(shù)時是怎樣計算百分數(shù)的。對于不明確的學生，教師仍要提醒：合計這一行的百分數(shù)要算三戶農(nóng)民1997年收入的合計數(shù)比1996年收入的合計數(shù)增長了多少，這個增長數(shù)占1996年收入的合計數(shù)的百分之幾。做完以后集體訂正。

四、作業(yè)

練習十四的第2題。

第四篇：概率統(tǒng)計教案2

第三章 多維隨機變量及其分布

一、教材說明

本章內(nèi)容包括：多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機變量函數(shù)的分布、多維隨機變量的特征數(shù)，隨機變量的獨立性概念，條件分布與條件期望。本章仿照一維隨機變量的研究思路和方法。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握多維隨機變量的概念及其聯(lián)合分布，理解并掌握邊際分布和隨機變量 的獨立性概念；

（2）使學生掌握多維隨機變量函數(shù)的分布，理解并掌握多維隨機變量的特征數(shù)；（3）使學生理解和掌握條件分布與條件期望。本章的教學要求是：（1）深刻理解多維隨機變量及其聯(lián)合分布的概念，會熟練地求多維離散隨機變量的聯(lián)合分布列和多維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)，并熟練掌握幾種常見的多維分布；

（2）深刻理解并掌握邊際分布的概念，能熟練求解邊際分布列和邊際密度函數(shù)；理解隨機變量的獨立性定義，掌握隨機變量的獨立性的判定方法；（3）熟練掌握多維隨機變量的幾種函數(shù)的分布的求法，會用變量變換法求解、證明題目；（4）理解并掌握多維隨機變量的數(shù)學期望和方差的概念及性質，掌握隨機變量不相關與獨立性的關系；（5）深刻理解條件分布與條件期望，能熟練求解條件分布與條件期望并會用條件分布與條件期望的性質求解、證明題目。

2、本章的重點與難點

本章的重點是多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機變量的特征數(shù)，難點是多維隨機變量函數(shù)的分布及條件分布的求法。

二、教學內(nèi)容

本章共分多維隨機變量及其聯(lián)合分布、邊際分布與隨機變量的獨立性、多維隨機變量函數(shù)的分布、多維隨機變量的特征數(shù)、條件分布與條件期望等5節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

3.1 多維隨機變量及其聯(lián)合分布

一、多維隨機變量

定義3.1.1 如果X1(?),X2(?),???,Xn(?)是定義在同一個樣本空間??{?}上的n個隨機變量，則稱X(?)?(X1(?),...,Xn(?))為n維隨機變量或隨機向量。

二、聯(lián)合分布函數(shù)

1、定義3.1.2 對任意n個實數(shù)x1,x2,???,xn，則n個事件{X1?x1},{X2?x2},???,{Xn?xn}同時發(fā)生的概率 F(x1,x2,???,xn)?P{X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn}

稱為n維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。

n!n2p1n1p2???prnr，n1!n2!???nr!這個聯(lián)合分布列稱為r項分布，又稱為多項分布，記為M(n,p1,p2,???,pr).例3.1.4 一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多維超幾何分布

多維超幾何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i?1,2,???,r。記N?N1?N2?????Nr，從中任意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號球的個數(shù)，i?1,2,???,r，則

?N1??N2??Nr??????????nnnP(X1?n1,X2?n2,???Xr?nr)??1??2??r?.?N????n?其中n1?n2?????nr?n。

例3.1.5 將例3.1.4改成不放回抽樣，即從這批產(chǎn)品中不放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

解

略。

3、多維均勻分布

設D為R中的一個有界區(qū)域，其度量為SD，如果多維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 n?1?,(x1,x2,???,xn)?D, p(x1,x2,???,xn)??SD?0,其他?則稱(X1,X2,???,Xn)服從D上的多維均勻分布，記為(X1,X2,???,Xn)~U（D).例3.1.6 設D為平面上以原點為圓心以r為半徑的圓，(X,Y)服從D上的二維均勻分布，其密度函數(shù)為

?1222?2,x?y?r, p(x,y)???r222??0,x?y?r.試求概率P(X?).解 略。

4、二元正態(tài)分布

如果二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五個參數(shù)的取值范圍分別是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.以后將指出：?1,?2分別是X與Y的均值，?12,?22分別是X與Y的方差，?是X與Y的相關系數(shù)。

2例3.1.7 設二維隨機變量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在區(qū)域D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}內(nèi)的概率。

解 略。

注 凡是與正態(tài)分布有關的計算一般需要作變換簡化計算。

3.2 邊際分布與隨機變量的獨立性

一、邊際分布函數(shù)

1、二維隨機變量(X,Y)中

X的邊際分布

FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的邊際分布

FY(y)?F(??,y)x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?

2、在三維隨機變量(X,Y,Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y,z)中，用類似的方法可得到更多的邊際分布函數(shù)。

例3.2.1設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?這個分布被稱為二維指數(shù)分布，求其邊際分布。

解 略。

注 X與Y的邊際分布都是一維指數(shù)分布，且與參數(shù)??0無關。不同的??0對應不

p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n則稱X1,X2,???,Xn相互獨立。

例3.2.7設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?問X與Y是否相互獨立？

分析 為判斷X與Y是否相互獨立，只需看邊際密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù)。解 略。

3.3 多維隨機變量函數(shù)的分布

一、多維離散隨機變量函數(shù)的分布

以二維為例討論，設二維隨機變量(X,Y)的取值為(xi,yj),Z?f(X,Y), 隨機變量

Z的取值為zk.令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，則

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.例3.3.2（泊松分布的可加性）設X~P(?1),Y~P(?2), 且X與Y相互獨立。證明

Z?X?Y~P(?1??2).證明：略。

注 證明過程用到離散場合下的卷積公式，這里卷積指“尋求兩個獨立隨機變量和的分布運算”，對有限個獨立泊松變量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).例3.3.3（二項分布的可加性）設X~b(n,p),Y~b(m,p),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~b(m?n,p).證明 略。

注（1）該性質可以推廣到有限個場合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特別當n1?n2?????nk?1時，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p)這表明，服從二項分布b(n,p)的隨機變量可以分解成n個相互獨立的0-1分布的隨機

變量之和。

二、最大值與最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).設在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道題的解法體現(xiàn)了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量；若Y?min(X1,X2,???Xn)，試在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道例題的解法體現(xiàn)了求最小值分布的一般思路。

三、連續(xù)場合的卷積公式

定理3.3.1設X與Y是兩個相互獨立的連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z?X?Y的密度函數(shù)為

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.證明 略。

本定理的結果就是連續(xù)場合下的卷積公式。

例3.3.6（正態(tài)分布的可加性）設X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2).證明 略

2222

注 任意n個相互獨立的正態(tài)變量的非零線性組合仍是正態(tài)變量。

四、變量變換法

1、變量變換法

設(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，函數(shù)??u?g1(x,y),有連續(xù)偏導數(shù)，且存在唯一

v?g(x,y).?2?x?x(u,v),的反函數(shù)?，其變換的雅可比行列式

y?y(u,v)??x?(x,y)?uJ???(u,v)?x?v若??y?u?y?v??1???(u,v)?????????(x,y)????u?x?v?x?u?y?v?y????0.????1?U?g1(X,Y)則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?V?g2(X,Y),p(u,v)?p(x(u,v),y(u,v))J.這個方法實際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數(shù)學分析教科書。例3.3.9設X與Y獨立同分布，都服從正態(tài)分布N(?,?2)，記?試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。U與V是否相互獨立？

解 略。

2、增補變量法

增補變量法實質上是變換法的一種應用：為了求出二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的函數(shù)

?U?X?Y，?V?X?Y.U?g(X,Y)的密度函數(shù)，增補一個新的隨機變量V?h(X,Y)，一般令V?X或V?Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v)，再對p(u,v)關于v積分，從而得出關于U的邊際密度函數(shù)。

例3.3.10（積的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為 pX(x)和pY(y).則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??證 略。

????pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??

????pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5設(X,Y)服從G?{(x,y):x2?y2?1}上的均勻分布，試求給定Y?y條件下X的條件密度函數(shù)p(x|y)。

解 略。

3、連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數(shù)形式

pY(y)??????pX(x)p(y|x)dx,pX(x)??????pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式

p(x|y)?pX(x)p(y|x)?????pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)??????pY(y)p(x|y)dy.注 由邊際分布和條件分布就可以得到聯(lián)合分布。

二、條件數(shù)學期望

1、定義3.5.4 條件分布的數(shù)學期望（若存在）稱為條件數(shù)學期望，其定義如下：

??xiP(X?xi|Y?y),(X,Y)為二維離散隨機變量；?E(X|Y?y)??i??

?(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量。???xp(x|y)dx，???yjP(Y?yj|X?x),(X,Y)為二維離散隨機變量；?jE(Y|X?x)??

???(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量。???yp(y|x)dy，?注(1)條件數(shù)學期望具有數(shù)學期望的一切性質。

(2)條件數(shù)學期望E(X|Y)可以看成是隨機變量Y的函數(shù)，其本身也是一個隨機變量。

2、定理3.5.1（重期望公式）設(X,Y)是二維隨機變量，且E(X)存在，則

E(X)?E(E(X|Y))。

證明 略。

注 重期望公式的具體使用如下

（1）如果Y是一個離散隨機變量，E(X)?（2）如果Y是一個連續(xù)隨機變量，E(X)??E(X|y?y)P(Y?y);

jjj?????E(X|Y?y)pY(y)dy.例3.5.10（隨機個隨機變量和的數(shù)學期望）設X1,X2,???,Xn是一列獨立同分布的隨機變量，隨機變量N只取正整數(shù)值，且與{Xn}獨立。證明

E(?Xi)?E(X1)E(N).i?1N

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、教材說明

本章內(nèi)容包括特征函數(shù)及其性質，常用的幾個大數(shù)定律，隨機變量序列的兩種收斂性的定義及其有關性質，中心極限定理。大數(shù)定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數(shù)理統(tǒng)計中有廣泛的應用。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握特征函數(shù)的定義和常用分布的特征函數(shù)；

（2）使學生深刻理解和掌握大數(shù)定律及與之相關的兩種收斂性概念，會熟練運用幾個大數(shù)定律證明題目；

（3）使學生理解并熟練掌握獨立同分布下的中心極限定理。本章的教學要求是：

（1）理解并會求常用分布的特征函數(shù)；

（2）深刻理解并掌握大數(shù)定律，能熟練應用大數(shù)定律證明題目；

（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會用其性質證明相應的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對之熟練應用。

2、重點與難點

本章的重點是大數(shù)定律與中心極限定理，難點是用特征函數(shù)的性質證明題目，大數(shù)定律和中心極限定理的應用。

二、教學內(nèi)容

本章共分特征函數(shù)、大數(shù)定律、隨機變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

4.1特征函數(shù)

一、特征函數(shù)的定義

1.定義4.1.1 設X是一個隨機變量，稱?(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，為X的特征函數(shù)。

itXitX注 因為e?1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機變量的特征函數(shù)總是存在的。

itX

2.特征函數(shù)的求法

（1）當離散隨機變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?ek?1??itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）當連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?????eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)

(1)單點分布：P(X= a)= 1，其特征函數(shù)為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

證明 略。

定理4.1.1（一致連續(xù)性）隨機變量X的特征函數(shù)φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致連續(xù)。定理4.1.2（非負定性）隨機變量X的特征函數(shù)φ(t)是非負定的。定理4.1.4（唯一性定理）隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定。例4.1.3 試利用特征函數(shù)的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數(shù)學期望和方差。解 因為Ga(α，λ)的特征函數(shù)φ(t)= φ(t)= ‘

‘?i?i?i(1?)???1；φ(0)= ???(1?it??)?，?’‘’1)i2it；φ(t)= ?(??(1?)???2；φ(0)= 2?(??1)?2??，所以由性質4.1.5得

E(X)??'(0)i???;Var(X)???''(0)?(?'(0))2?2.??4.2大數(shù)定律

一、何謂大數(shù)定律（大數(shù)定律的一般提法）

定義4.2.1設{Xn}為隨機變量序列，若對任意的??0,有

?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1.(4.2.5)n???ni?1?ni?1?則稱{Xn}服從大數(shù)定律。

二、切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2（切比雪夫大數(shù)定律）設{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)?c,i?1,2,???,則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。

推論（定理4.2.1：伯努利大數(shù)定律）設?n為n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗中A出現(xiàn)的概率，則對任意的??0，有

???limP?n?p????1.n????n?分析 ?n服從二項分布，因此可以把?n表示成n個相互獨立同分布、都服從0–1分布的隨機變量的和。

三、馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3（馬爾可夫大數(shù)定律）對隨機變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(?Xi)?0成立，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。n2i?1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。

例4.2.3 設{Xn}為一同分布、方差存在的隨機變量序列，且Xn僅與Xn?1和Xn?1相關，而與其他的Xi不相關，試問該隨機變量序列{Xn}是否服從大數(shù)定律？

解 可證對{Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數(shù)定律可得{Xn}服從大數(shù)定律。

四、辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4（辛欽大數(shù)定律）設{Xn}為一獨立同分布的隨機變量序列，若Xn的數(shù)學期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

4.3隨機變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

1.定義4.3.1（依概率收斂）設{Xn}為一隨機變量序列，Y為一隨機變量。如果對于任意的??0，有

n???limP?Yn?Y????1.P則稱{Xn}依概率收斂于Y，記做Yn???Y。

1n1nP注 隨機變量序列{Xn}服從大數(shù)定律??Xi??E(Xi)???0。

ni?1ni?12.依概率收斂的四則運算

定理4.3.1 設{Xn}，{Yn}是兩個隨機變量序列，a，b是兩個常數(shù)。如果

PP{Xn}???a，{Yn}???b，則有(1)Xn?Yn???a?b;(3)Xn?Yn???a?b(b?0).?a?b;(2)Xn?Yn??

二、按分布收斂、弱收斂 PPP

1.定義4.3.2 設{Fn(x)}是隨機變量序列{Xn}的分布函數(shù)列，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)。若對F(x)的任一連續(xù)點x，都有l(wèi)imFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做

n????Fn(X)???F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn???lX。

2.依概率收斂與按分布收斂間的關系

P(1)定理4.3.2 Xn???X?Xn?l??X。

P(2)定理4.3.3 若c為常數(shù)，則Xn???c?Xn?l??c

兩個定理的證明均略。

三、判斷弱收斂的方法

定理4.3.4 分布函數(shù)序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數(shù)序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)φ(t)。

這個定理的證明只涉及數(shù)學分析的一些結果，參閱教材后文獻[1]。例4.3.3 若X?~P(?)，證明

1?X???limP???x??????2????解 用定理4.3.4。此處略。

?x??edt.?t224.4中心極限定理

一、中心極限定理概述

研究獨立隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題。

二、獨立同分布下的中心極限定理

定理4.4.1（林德貝格-勒維中心極限定理）設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)??,Var(Xi)???0.記

2Yn*?則對任意實數(shù)y，有

X1?X2?????Xn?n??n.1*? limP?Y?y??(y)??n?n???2?

?y??edt.?t22-2021-

第五篇：復式統(tǒng)計表教案

復式統(tǒng)計表

一、教學目標

1、在具體的統(tǒng)計活動中認識復式統(tǒng)計表，能根據(jù)收集、整理的數(shù)據(jù)填寫統(tǒng)計表，并能根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)進行簡單的分析。

2、在認識、填寫、分析復式統(tǒng)計表的過程中，進一步體會數(shù)據(jù)收集和整理的必要性和數(shù)據(jù)分析方法的多樣性，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

3、進一步體會統(tǒng)計與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受學習數(shù)學的樂趣，樹立學好數(shù)學的信心。

二、教學重難點

教學重點：認識復式統(tǒng)計表，能正確填寫數(shù)據(jù)，并進行簡單的數(shù)據(jù)分析。

教學難點：復式統(tǒng)計表的形成過程，進一步理解統(tǒng)計方法，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

三、教學準備

教具（男生最喜歡的活動統(tǒng)計表，女生最喜歡的活動統(tǒng)計表，不完整的復式統(tǒng)計表），學具（男生最喜歡的活動統(tǒng)計表，女生最喜歡的活動統(tǒng)計表，復式統(tǒng)計表），PPT課件等。

四、教學過程

（一）課前交流：

師：咱們學校開展了各種各樣的課外活動，你們都參加了哪些？

生：跳繩、踢足球等。

師：愛運動的孩子總是最健康，最陽光。

師：為了更加豐富我們的課余生活，學校準備調(diào)查一下我們班最喜歡的活動是什么？愿不愿意參與？真是積極的孩子，讓我們一起走進今天的數(shù)學課堂，準備好了嗎？

（二）創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

師：請看大屏幕，學校都準備調(diào)查哪些活動？

生：畫畫、看書、踢足球等

（三）自主探究，構建新知

1.收集數(shù)據(jù)

師：要想統(tǒng)計一下本班同學最喜歡的活動，你打算用什么方式進行調(diào)查呢？

生：預設（舉手表決，站立表決，數(shù)一數(shù)）

師：不錯的方法！

師：每人可以選幾項？

生：一項

師：是的，為了數(shù)據(jù)準確，每人只能選擇一項。

師：這些活動中，男生和女生最喜歡的活動一樣嗎？（不一樣）不一樣能一起統(tǒng)計嗎？（不能）是的，我們應該分開統(tǒng)計。

師：今天老師為大家準備了兩個單式統(tǒng)計表，我們先來統(tǒng)計男生，誰愿意幫幫老師（注意：兩位同學，一位同學主持并數(shù)數(shù)，向老師這樣，喜歡…的有幾人？另一位同學記錄數(shù)據(jù)，明白？）注意選擇的時候每人限選一種。

2、整理數(shù)據(jù)

師：數(shù)據(jù)收集完了，仔細觀察：

①男生最喜歡哪項活動？女生呢？

②男生喜歡跳繩的和女生相比，誰多？

③咦？為什么回答第二個問題時，速度比第一個明顯變慢了？

生：第二個問題需要看兩個表。

師：是的，回答第一個問題我們只需要看其中一張統(tǒng)計表就可以，而第二個問題需要看兩張才能比較，麻煩嗎？你們有什么好辦法？（小組內(nèi)交流你的想法，開始吧）

3、合并表格。

（1）匯報交流。

①縱向合并（這樣比較起來就容易了，再仔細觀察這個表格，還需要再修整一下嗎？）

②原始的復式統(tǒng)計表，隱藏相同的活動（為什么可以這樣合并呢？）

（2）師總結：是的，這兩個表格都有相同的活動，所以可以省略一個。（真善于發(fā)現(xiàn)）再看這個表格，你還能看出哪一橫欄是女生，哪一橫欄是男生嗎？（如果一開始就給你這樣的一個表格，你能分辨出來嗎？）那怎么辦？

生：如果標清哪個是男生哪個是女生就好了。

師：標在哪里合適呢？（請人上臺試著指一指，這樣可以嗎？）剩下的這一欄就是？（女生）

（3）出示新的統(tǒng)計表，區(qū)分性別

師：通過我們的優(yōu)化，老師又做了一張合并后的新統(tǒng)計表，對照這張統(tǒng)計表觀察，第二橫欄表示什么？

生：男生人數(shù)

師：第三橫欄就是？（女生人數(shù)）

（4）認識“表頭”

師：左上角的空白格我們將它分成了幾部分？（三部分）其實，這是這個統(tǒng)計表的表頭，它就相當于對整個統(tǒng)計表的內(nèi)容進行了概括，分別代表橫欄內(nèi)容，豎欄內(nèi)容和表中數(shù)據(jù)，橫欄我們可以把它統(tǒng)稱為（“活動”）應該寫到哪里？（寫在最靠近橫欄的的位置）

我們新的統(tǒng)計表基本完成了，只剩下數(shù)據(jù)沒填寫，請快速的在作業(yè)紙上補充完整，一位同學板書。

真了不起，我們共同完成了一張完整的統(tǒng)計表，掌聲送給自己！

4、對比表格，揭示課題

（1）回顧一下剛剛我們的三個表格，前兩個表格和第三個表格各有哪些特點？（學生同桌間互相說一說，匯報交流。）

小結：前兩個統(tǒng)計表只統(tǒng)計出了一組數(shù)據(jù)，只能單純的表示出男生或女生喜歡的活動，這樣的統(tǒng)計表叫“單式統(tǒng)計表”，而最后一個統(tǒng)計表統(tǒng)計了兩組數(shù)據(jù)，不僅能表示男女生喜歡的活動各有幾人，還能方便的進行比較，這樣的統(tǒng)計表叫做“復式統(tǒng)計表”。

（2）觀察表格，回答問題

師：關于復式統(tǒng)計表，都學會了嗎？敢不敢接受挑戰(zhàn)？（課件出示）

這張表包含哪幾項內(nèi)容？根據(jù)上表回答下面的問題。

①男生最喜歡哪種活動的人最多？女生呢？

②參加調(diào)查的一共有多少人？

③你對調(diào)查的結果有什么看法和建議？

（四）鞏固運用，拓展提升

下面想不想和老師一起體驗一下復式統(tǒng)計表在現(xiàn)實生活中的應用？（請看）

課件出示教材第38頁練習八第1、2、4題。

1、

問題1：統(tǒng)計表包含哪幾項內(nèi)容？

問題2：觀察統(tǒng)計表中三屆奧運會情況，判斷下面說法是否正確。

（1）中國獲得的金牌一屆比一屆多。

（2）第28屆奧運會俄羅斯獲得的金牌最少。

（3）每屆都是美國獲得的金牌最多。

2.下面是育人小學三（1）班學生的體育成績記錄單。

請把這些數(shù)據(jù)整理在下表中。

3.調(diào)查本班同學爸爸、媽媽每天工作和做家務的時間。

（五）回顧總結，積累經(jīng)驗

1．回顧課堂，暢談收獲

這節(jié)課你們都學會了哪些知識？

（六）布置作業(yè)

教材37頁做一做

五、板書設計

復式統(tǒng)計表

六、教學反思