第一篇：全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文

曲靖師范學(xué)院

本科生畢業(yè)論文

論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

作者、學(xué)號(hào)：李發(fā)蝌 2011111233 學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級(jí) 學(xué)科、專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指 導(dǎo) 教 師：羅紅英

完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖師范學(xué)院教務(wù)處 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要

“全等三角形的證明”是在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強(qiáng)，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大．論文整理和歸納了全等三角形證明的步驟及其注意事項(xiàng)，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實(shí)踐性．旨在使學(xué)生對(duì)全等三角形證明及其應(yīng)用問(wèn)題有一個(gè)較為深入的了解，進(jìn)而在解決相關(guān)全等三角形問(wèn)題時(shí)能融會(huì)貫通、舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果，同時(shí)為從事教育的工作者提供參考．

關(guān)鍵詞：全等三角形；初中數(shù)學(xué)；方法；應(yīng)用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

目 錄

1引言 ??????????????????????????????????1 2文獻(xiàn)綜述 ????????????????????????????????1 2.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 ?????????????????????????????1 2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) ???????????????????????????2 2.3提出問(wèn)題 ???????????????????????????????2 3證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng) ???????????????????2 3.1全等三角形的知識(shí)梳理 ????????????????????????2 3.2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)????????????????????4 4證明全等三角形的構(gòu)造法?????????????????????????4 4.1構(gòu)造全等三角形的常用方法?????????????????????5 4.1.1截長(zhǎng)補(bǔ)短法?????????????????????????????5 4.1.2平行線法??????????????????????????????6 4.1.3旋轉(zhuǎn)法?????????????????????????????6 4.1.4倍長(zhǎng)中線法?????????????????????????????7 4.1.5翻折法?????????????????????????????8 4.2由角平分線構(gòu)造全等三角形???????????????????????8 4.3添加輔助線構(gòu)造全等三角形???????????????????????9 4.3.1直接證明線段（角）相等????????????????????????9 4.3.2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等?????????????????10 4.3.3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系???????????????13 5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用???????????????????14 6總結(jié)??????????????????????????????????18 6.1主要發(fā)現(xiàn)???????????????????????????????19 6.2啟示?????????????????????????????????19 6.3局限性????????????????????????????????19 6.4努力方向???????????????????????????????19 參考文獻(xiàn) ????????????????????????????????20

1引言

“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)階段的“圖形與幾何”中的重要內(nèi)容之一，它不僅是研究平面幾何相關(guān)問(wèn)題的重要工具,而且還是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).然而，全等三角形的性質(zhì)是推理線段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考題中都會(huì)有“全等三角形”的內(nèi)容,考試題目常以直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、特殊四邊形為背景,主要考查線段相等、角相等的證明、線段長(zhǎng)度的計(jì)算、面積的計(jì)算等.常考的題型有填空題、選擇題和解答題.這部分試題的難度通常不大,多以中低檔題為主，約占總分值的4%至11%.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)全等三角形的要求是讓學(xué)生掌握基本的推理技能，從圖形變換中建立空間觀念，嘗試用不同角度的方法來(lái)解決問(wèn)題，發(fā)展幾何直覺(jué)，通過(guò)觀察、實(shí)踐、歸納、類(lèi)比、推斷、驗(yàn)證獲得數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)于全等三角形的研究，實(shí)際是平面幾何中對(duì)封閉的兩個(gè)圖形之間聯(lián)系研究的第一步，它是兩三角形間最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的關(guān)系.“全等三角形的證明”條件是學(xué)生在認(rèn)識(shí)三角形的基礎(chǔ)上，在了解全等圖形和全等三角形以后進(jìn)行學(xué)習(xí)的.它既是前面所學(xué)知識(shí)的延伸與拓展，又是后繼學(xué)習(xí)探索相似三角形的條件的基礎(chǔ)，并且是用以說(shuō)明線段相等、兩角相等的重要依據(jù).因此，它具有承上啟下的作用,同時(shí)，人教版教材里敘述了證明全等三角形的四種方法，分別是“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”，還有一種特殊的方法是在直角三角形中“斜邊和一條直角邊”，它們用特定的字母表示為“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要將“邊角邊”這一識(shí)別方法作為五個(gè)基本判定之一，對(duì)全等三角形證明的學(xué)習(xí)有基礎(chǔ)作用.2 文獻(xiàn)綜述

2．1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

國(guó)內(nèi)許多專(zhuān)家、學(xué)者研究過(guò)全等三角形的證明方法.全等三角形的證明一直在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要位置，然而，近幾年它獲得了廣大人民群眾的關(guān)注.劉建東在文[1]中編著了以構(gòu)造全等三角形來(lái)探究不等式的證明，形象的寫(xiě)出了全等三角形的作用及其應(yīng)用.同年，好未來(lái)研發(fā)中心在文[2]研發(fā)了添加了輔助線的添加方法，全等三角形的用處多，并配合人教社教材八年級(jí)數(shù)學(xué)敘述了不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“邊角邊”這一全等三角形的識(shí)別方法，更主要地是要讓學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法，初步領(lǐng)悟分類(lèi)討論的數(shù)

學(xué)思想.同時(shí)，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的基本事實(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.楊曉軍在文[3]中精選了有關(guān)全等三角形的中考題進(jìn)行解析，讓同學(xué)們找到中考復(fù)習(xí)方向，引領(lǐng)學(xué)生成功中考.林偉杰在文[4]全析了全等三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.劉申強(qiáng)在文[5]中編著了全等三角形在生活中的應(yīng)用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的美.黎強(qiáng)在文[6]提出了《全等三角形》的教學(xué)構(gòu)想，指出了如何確定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn).喻俊鵬在文[7]中，編著了全等三角形的易錯(cuò)題，并結(jié)合實(shí)例列舉了初中數(shù)學(xué)中全等三角形的若干案例，分析出了學(xué)生在有關(guān)全等三角形的證明解題過(guò)程中存在的各種問(wèn)題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文[8]、[9]、[10]中探討了構(gòu)造全等三角形的方法與技巧.張文國(guó)在文[11]中總結(jié)了全等三角形的創(chuàng)新題，讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文[12]中討論了全等三角形中考探索題，讓學(xué)生感受證明全等三角形的探索性和創(chuàng)新性，并且輔導(dǎo)學(xué)生掌握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文[13]中指出如何對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)來(lái)找全等三角形，從基本的圖形認(rèn)識(shí)開(kāi)始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文[14]中進(jìn)行了全等三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)，生動(dòng)形象的設(shè)計(jì)了全等三角形證明的教學(xué)過(guò)程.姜彰全,吳穎二人在文[15]中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫(xiě)出了全等三角形的證明技巧.2．2國(guó)內(nèi)研究評(píng)價(jià)

從查到的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)來(lái)看，國(guó)內(nèi)研究者對(duì)全等三角形的證明方法介紹了很多，文獻(xiàn)[1-15]分別全等三角形的性質(zhì)、不同證明方法及應(yīng)用作了論述，文獻(xiàn)中闡述一種或幾種全等三角形的證明方法，一些文獻(xiàn)寫(xiě)理論較多，一些文獻(xiàn)寫(xiě)例子較多，理論很少，而且許多方法有名稱(chēng)不一而本質(zhì)一樣的情形，如構(gòu)造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分解求解的，但不同的圖形有不同的構(gòu)造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實(shí)踐性.2．3提出問(wèn)題

全等三角形的證明問(wèn)題，就其方法而言，沒(méi)有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來(lái)是中學(xué)特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎(chǔ)上，試圖完整地整理出常用的幾類(lèi)方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上探尋新的證明方法.證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng)

3．1全等三角形知識(shí)梳理

定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形（注：相似三角形的特殊情況是全等三角形）.當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.所以，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.(1)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角； 三角形全等的判定公理及推論

1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)“邊邊邊”或“SSS”)，這一條說(shuō)明了三角形具有穩(wěn)定性.2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“邊角邊” 或“SAS”).3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角邊角” 或“ASA”).4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角角邊” 或“AAS”).5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(“斜邊，直角邊” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀.【A是英文角的縮寫(xiě)(angle)，S是英文邊的縮寫(xiě)(side)】

全等三角形的性質(zhì)

1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等.4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長(zhǎng)相等 [1].3．2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)

如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由實(shí)（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫(huà)圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨(dú)立推理的升華.具體可分為三步走： 第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡(jiǎn)單問(wèn)題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語(yǔ)言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)程簡(jiǎn)練.證明兩個(gè)三角形全等，一定要寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形，這既為以后在復(fù)雜圖形中有意識(shí)去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更方便批閱者；同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)；證全等所需的三個(gè)條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號(hào)括起來(lái)；每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.通過(guò)訓(xùn)練一段時(shí)間，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立思考證明，切實(shí)邁出堅(jiān)實(shí)的第一步.第二步，能在一個(gè)題目中用兩次全等證明過(guò)渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會(huì)分析.在學(xué)習(xí)等腰三角形全等、直角三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中證兩次全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，能有效解決較復(fù)雜的題目.同時(shí)，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律.第三步，學(xué)會(huì)命題的證明，掌握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括圖形語(yǔ)言）的運(yùn)用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時(shí)要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線＋垂直＝全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的情況.應(yīng)用起來(lái)自然會(huì)得心應(yīng)手.4 證明全等三角形的構(gòu)造法

所謂構(gòu)造法，就是指通過(guò)分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問(wèn)題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決的數(shù)學(xué)思考方法.構(gòu)造法本質(zhì)上是化歸思想的運(yùn)用，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡(jiǎn)捷、明快、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.4．1構(gòu)造全等三角形的常用方法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長(zhǎng)中線法、翻折法.4．1．1 截長(zhǎng)補(bǔ)短法（通常用來(lái)證明線段和差相等）

“截長(zhǎng)法”即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補(bǔ)短法”為把兩條線段中的一條接長(zhǎng)成為一條長(zhǎng)線段，然后證明接成的線段與較長(zhǎng)的線段相等，或是把一條較短的線段加長(zhǎng)，使它等于較長(zhǎng)的一段，然后證明加長(zhǎng)的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分線交BC于E，求證：

AB?BE?AC.簡(jiǎn)析：圖中沒(méi)有直接給出與問(wèn)題有關(guān)的全等三角形，所以要延長(zhǎng)一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想BE?BF，就可以證明出結(jié)果.證明:延長(zhǎng)AB至F使AF?AC ∵AE是?CAB的平分線 ∴?FAE??CAE 在?FAE和?CAE中 ∵AF?AC ∵?FAE??CAE ∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS)

∴?EFA??ECA?45? ∴?BFE是等腰直角三角形 ∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE ∴AB?BE?AC

小結(jié)：線段的和差問(wèn)題常常借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩 5

條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上．證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見(jiàn)的方法是：延長(zhǎng)其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長(zhǎng)線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”．在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長(zhǎng)法”．證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩種．

4．1．2平行線法（或平移法）

若題目中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對(duì)直角三角形,有時(shí)可作出斜邊的中線．

例2 如圖，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于點(diǎn)P，BQ平分?ABC交AC于Q，求證:AB?BP?BQ?AQ

圖（3）

說(shuō)明:(1)本題可以在AB截取AD?AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法"．

(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下：

① 如圖（2），過(guò)O作OD//BC交AC于D，則證明?ADO??ABO解決． ② 如圖（3），過(guò)O作DE//BC交AB于D，交AC于E，則證明?ADO??AQO和?ABO??AEO解決．

③ 如圖（4），過(guò)P作PD//BQ交AB的延長(zhǎng)線于D，則需證明?APD??APC解決． ④ 如圖（5），過(guò)P作PD//BQ交AC于點(diǎn)D，則只需證明?ABP??ADP解決． 4．1．3旋轉(zhuǎn)法

對(duì)題目中出現(xiàn)相等的線段有一個(gè)公共端點(diǎn)時(shí)，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來(lái)構(gòu)造全等三角形 例3 如圖，設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段PA與PB?PC的大小．

圖（6）

簡(jiǎn)析：題目雖然短，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)很多．由于?ABC是等邊三角形，所以可以將?ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60?到?ACP?的位置（用到等量代換），連結(jié)PP?，則?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，則?APP?是等邊三角形，即PP??PA，在?CPP?中，因?yàn)镻P??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

說(shuō)明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒(méi)有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題． 4．1．4倍長(zhǎng)中線法

題目中若條件有中線，可將其延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)．

例4 如圖，在?ABC中，AD是它的中線，作BE交AD于點(diǎn)F，使AE?EF． 說(shuō)明線段AC與BF相等的理由．

圖（7）

簡(jiǎn)析： 由于AD是?ABC中線，于是可延長(zhǎng)中線AD到G，使DG?AD，連結(jié)BG，則 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)，則AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE，又因?yàn)?AFE??BFG，所以?BFG??G，BF?BG，即AC?BF．

說(shuō)明 ：要說(shuō)明線段或角相等，通常的思路是說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而 7

遇到中線時(shí)又通常通過(guò)延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形． 4．1．5翻折法

若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形．

例5 如圖，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3，求?ABC的面積．

圖（8）

解：以AB為軸將?ABD翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的?ABE，以AC為軸將?ADC翻轉(zhuǎn)180o，得到 與它全等的?AFC，EB、FC延長(zhǎng)線交于G，易證四邊形AEGF是正方

t?BGC形，設(shè)它的邊長(zhǎng)為?，則BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,解得??8，則AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2說(shuō)明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問(wèn)題時(shí)，我們可以從一般圖形通過(guò)翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡(jiǎn)便的方法求解，變換可以有一步或幾步．

4．2由角平分線構(gòu)造全等三角形

不管是兩個(gè)圖形軸對(duì)稱(chēng)還是軸對(duì)稱(chēng)圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點(diǎn)（此點(diǎn)作為頂點(diǎn)）與對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的角被軸平分，方便我們?cè)谧鲱}中如果遇到角平分線我們就會(huì)聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對(duì)稱(chēng)（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的．

例6 如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB、BC于點(diǎn)F、E．若AD?4，BC?10．求BE的長(zhǎng)．

圖（9）

圖（10）

解：由題意得

根據(jù)翻折重合，得?BFE??DFE，∴ DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴ ?EDB??EBD?45?

∴ ?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，過(guò)A作BC?AG，交BC于G，如圖（10），四邊形AGED是矩形∴ GE?AD?

4在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG

∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴ BG?CG∴CE?∴BE?6．

說(shuō)明：由角平分線構(gòu)造全等三角形，這類(lèi)題是很簡(jiǎn)單的，可以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，就構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而對(duì)稱(chēng)軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.1?BC?AD??4 24．3添加輔助線構(gòu)造全等三角形

在證明幾何圖形題目的過(guò)程中，通常需要先通過(guò)證明全等三角形來(lái)研究轉(zhuǎn)移線段或角，或者兩條線段或角的相等關(guān)系。但有些時(shí)候，這樣要證明的全等三角形在題設(shè)中，并不是十分明顯。針對(duì)這樣的題型我們需要通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而就可以證明所需的結(jié)論.在這里，我嘗試通過(guò)幾個(gè)典型例題讓大家了解添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法.當(dāng)然這些例題體現(xiàn)了添加輔助線的方法是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，研究線段的長(zhǎng)短關(guān)系是體現(xiàn)了從不相等到相等的遞進(jìn)關(guān)系[2].注意：添加的輔助線都是用虛線表示.4．3．1直接證明線段（角）相等

例7 如圖，已知AB?AD，CB?CD，(1)求證：?B??D；(2)若AE?AF，試猜想CE與CF的大小關(guān)系.如圖（11）

簡(jiǎn)析：第（1）小問(wèn)考慮到在沒(méi)有學(xué)習(xí)等腰三角形的時(shí)候，要證明兩個(gè)角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。本題要證明?B??D．在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結(jié)AC后，以AC作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出?ABC??ADC，進(jìn)而就證明?B??D.如果在學(xué)習(xí)等腰三角形的知識(shí)后還可以連結(jié)BD，通過(guò)說(shuō)明等邊對(duì)等角，再用角的等量代換關(guān)系得到?B??D更加簡(jiǎn)單.第（2）小問(wèn)猜想CF?CE，在連結(jié)AC證明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再證明?CAE??CAF，進(jìn)而證明EC?FC.如何添加輔助線：方法1添加輔助線，連結(jié)AC，證明?ABC??ADC，進(jìn)而?B??D.BD??CDB方法2添加輔助線連接BD，因?yàn)锳B?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又因?yàn)锽E?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，進(jìn)而CE?CF.小結(jié)：通過(guò)例7我們初步體會(huì)添加輔助線的必要性，例7的兩個(gè)小問(wèn)的簡(jiǎn)析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺(jué)到問(wèn)題層次的遞進(jìn).特別是例7(1)中如果B、C、D共線的時(shí)候可以得到等邊對(duì)等角的結(jié)論，為第（2）問(wèn)做鋪墊.4．3．2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等

例8 如圖，已知AD是?ABC的中線，且BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且EA?EF.求證：AC?BF.圖（12）

簡(jiǎn)析：要證AC?BF，我們可以把線段AC、BF轉(zhuǎn)移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有直觀的給出含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，這時(shí)我們就要重新思考一條出路，想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，這時(shí)能夠把兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，我們只要說(shuō)明轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形后的這兩條線段

所對(duì)的角相等就可以了.BF，簡(jiǎn)析：思路1 以?ACD為基礎(chǔ)三角形，來(lái)轉(zhuǎn)移線段AC、使這兩條線段在?BFH中.法一：延長(zhǎng)AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH，再證明?ACD和?HBD全等，可得AC?BH.通過(guò)證明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.圖（13）

證明：添加輔助線延長(zhǎng)AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH

∵ D是BC中點(diǎn)

∴ BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???B DH

??ADC?BD?CD?

∴ ?ACD??BDH(SAS)

∴ AC?BH，?DHB??HFB

∵ AE?EF

∴ ?EAH??EFA

又∵?BFH??AFE

∴ BH?BF

∴ AC?BF

法二：可以過(guò)點(diǎn)B作BH平行AC與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明?ACD和?BDH全等.小結(jié)：對(duì)于含有中線的全等三角形問(wèn)題，可以通過(guò)“倍長(zhǎng)中線”法得到兩個(gè)全等三 11

角形.但是過(guò)一點(diǎn)作己知直線的平行線，可起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到構(gòu)造全等三角形的作用.思路2 以?BFD為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在兩個(gè)全等三角形中.法三：添加輔助線延長(zhǎng)FD至H，使HD?FD，然后連結(jié)HC，證明?HDC和?FDB全等.圖（14）

證明：延長(zhǎng)FD至H，使HD?FD，連結(jié)HC

∵D是BC中點(diǎn)

∴ BD?CD

在?HDC和?FDB中

?FD?HD???ADB??HDC ?BD?CD?

∴ ?HDC??CHD(SAS)

∴ ?H??CAH

∵ AE?FE

∴ ?HAC??AFE

又∵?AFE??BFH

∴ ?H??HAC

∴ CH?CA

∴ AC?BF

法四：過(guò)點(diǎn)C作CH平行FB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明△?HDC和△FDB全等.小結(jié)：通過(guò)添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會(huì)到添加輔助線目的在于構(gòu)造 12

全等三角形.而從不同途徑來(lái)可以有不同的添加方法，實(shí)際是實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會(huì)構(gòu)造全等三角形在線段轉(zhuǎn)移中的地位.從變換的觀念可以看到，不論是作平行線法還是倍長(zhǎng)中線法，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的三角形旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等.熟悉法

一、法三“倍長(zhǎng)中線”法的輔助線所用到的基本圖形“八字型”和“倍長(zhǎng)中線”兩種基本添加輔助線方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過(guò)中點(diǎn)線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.圖（15）

4．3．3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系

例9如圖，已知AD是?ABC的中線，求證：AB?AC?2AD.簡(jiǎn)析：用例8的輔助線的添加方法，學(xué)會(huì)識(shí)別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關(guān)系的問(wèn)題.AB、AC、2AD不在同一個(gè)三角形中，如果能將中線倍長(zhǎng)，轉(zhuǎn)移AC就可在同一個(gè)三角形找出與AB、AC、2AD相關(guān)的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡(jiǎn)單的解決。

圖（16）

證明：添加輔助線延長(zhǎng)AD至E，使ED?AD，連接BE．

∵ AD是?ABC的中線，在?ACD和?EBD中，?AD?ED?

∵??ADC??EDB

?CD?BD? 13

∴ ?ACD??EBD（SAS）

∴ AC?BE

在?ABE中，AB?BE?AE，∴ AB?AC?2AD.5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例10（2014年云南省中考題）如圖，在?ABC和?ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD?BC，?BAD??ABC，求證：AC?BD．

圖（17）

簡(jiǎn)析:可以根據(jù)“SAS”證明三角形ABD和三角形BCA全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)可證明AC?BD． 證明：在?ABD和?BCA中，?AD?BC???BAD??ABC ?AB?BA?∴?ADB??BAC（SAS）∴AC?BD

說(shuō)明：本題考查了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

例 11（2014年曲靖市中考題)如圖，?ACD?90?，AC?BC，AD?CE于點(diǎn)D，BE?CE于點(diǎn)E.（1）求證：?ACD??CBE；（2）已知AD?6，DE?2，求EF的長(zhǎng).圖（18）

簡(jiǎn)析：第（1）問(wèn)在?ACD和?CBE中，已知有AC?BC，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對(duì)應(yīng)邊用“SAS”證明全等三角形或者是找一個(gè)對(duì)應(yīng)角用“AAS”證明，這時(shí)就要根據(jù)已知條件去找，哪個(gè)方便就用哪個(gè)，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來(lái)證明.證明：如圖，∵AD?CE

∴?2??3?90?

又∵?1??2?90?

∴?1??3

又∵AD?CE，BE?CE

∴?E??ADC?90?

在?ACD和?CBE中

??E??ADC? ??1??3

?AC?BC? ∴?ACD??CBE（AAS）

簡(jiǎn)析：第（2）問(wèn)本題求的長(zhǎng)，從直觀上看不能用簡(jiǎn)便的方法求，可以把放到兩個(gè)相似的三角形中，可以通過(guò)證兩個(gè)相似三角形來(lái)求.解：∵?ACD??CBE

∴CE?AD?6

∴CD?CE?ED?6?2?

4∵?E??ADF，?BFE??AFD

∴?BEF~?ADF

∴BEEF? ADDF 設(shè)EF??，則DF?2??

∴4?? 62??4 515 ∴??

即EF?4 5說(shuō)明：這個(gè)題把全等三角形和相似三角形有機(jī)的結(jié)合在一起考學(xué)生，對(duì)學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行選拔，也對(duì)學(xué)生高要求，它著重強(qiáng)調(diào)全等三角形和相似三角形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生能區(qū)分開(kāi)，這類(lèi)題型在中考中也算是中難度的題了.例 12（2013年上海市中考題）如圖，在△ABC中，?ACD?90?，?B??A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：

ADE?EF.B

DEFC圖（19）

簡(jiǎn)析：要證DE?EF，從題目中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉(zhuǎn)化證明平行四邊形再證全等三角形，通過(guò)兩對(duì)邊分別平行的性質(zhì)證明四邊形BCFD是平行四邊形BCFD，然后把邊DE和EF放在?CED和?CEF中，證明這兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而就可以證明DE?EF.證明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四邊形BCFD是平行四邊形BCFD ∴BD?CF,DF?AC ∴?CED和?CEF是直角三角形

又∵?ABC是直角三角形，且D為AB的中點(diǎn) ∴CD?BD ∴CD?CF

在Rt?CED和Rt?CEF中

?CE?CE ??CF?CD 16

∴Rt?CED?Rt?CEF(HL)∴DE?EF

說(shuō)明：幾何圖形之間線段與角的關(guān)系是有聯(lián)系的，但是要對(duì)每個(gè)圖形的性質(zhì)掌握，才能搭起橋梁，建立關(guān)系.例13(2012年云南省中考題)如圖，在?ABC中，?C?90?，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM?AB，且DM?AC，過(guò)點(diǎn)M作ME//BC交AB于點(diǎn)E.求證?ABC??MED.圖（20）

簡(jiǎn)析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒(méi)有明確給出斜邊AB?ME，所以我們要另謀出路，根據(jù)ME//BC，?MED??ABC，用“AAS”來(lái)證明?ABC??MED.證明：∵DM?AB

∴?MDE??C?90? 又∵M(jìn)E//BC ∴?CBA??DEM 在?ABC和?MED中

??C??MDE???ABC??MED ?MD?AC?∴?ABC??MED(AAS)說(shuō)明：證明全等三角形的方法有多種，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件去找邊與邊、角與角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例 14（2011福建福州中考題）如圖，AB?BD于點(diǎn)B,ED?BD于點(diǎn)D,AE交BD

于點(diǎn)C,且BC?DC.求證AB?ED.ABCD

E

圖（21）

簡(jiǎn)析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒(méi)有明確給出斜邊AC?EC，題目中還有一個(gè)隱含的條件對(duì)頂角?ACB??ECD,所以我們可以選擇用“ASA”來(lái)證明?ABC和?EDC全等.證明:∵AD?BD，ED?BD

∴?ABC??D?90 在?ABC和?EDC中

??ABC??D? ?BC?DC??ACB??ECD?∴?ABC??EDB(ASA)∴AB?ED

說(shuō)明：在做幾何圖形的題目時(shí)，即要抓住它給的每個(gè)已知條件，又要從題目或圖形中挖掘出隱含的條件，這鍛煉我們的發(fā)現(xiàn)思維和綜合應(yīng)用能力.6 結(jié)論

6．1主要發(fā)現(xiàn)

全等三角形的證明問(wèn)題，就其方法而言，沒(méi)有定法可套，有較大的靈活性和技巧性．而且全等三角形證明歷來(lái)是中學(xué)、特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)．本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類(lèi)全等三角形的證明方法．如若學(xué)生在掌握全等三角形的基礎(chǔ)知識(shí)以后，能夠靈活應(yīng)用文中幾類(lèi)方法和思想，以其為指導(dǎo)，全等三角形問(wèn)題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問(wèn)題時(shí)思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)便．尤其是應(yīng)用構(gòu)造法，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，在解決一些全等三角形問(wèn)題時(shí)作用很大．

6．2 啟示

從文中可以看出在處理全等三角形問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用這些思想與方法，則會(huì)取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時(shí)，應(yīng)該高度重視全等三角形方法的挖掘和滲透，重視理論和實(shí)踐的結(jié)合，讓學(xué)生切實(shí)領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用的意識(shí)．同時(shí)學(xué)生在解題和學(xué)習(xí)的過(guò)程中也應(yīng)認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納證明全等三角形的數(shù)學(xué)思想方法．

6．3局限性

本文把理論和實(shí)踐相結(jié)合，歸納了幾類(lèi)全等三角形證明的方法在解題中的應(yīng)用，其中主要工作屬歸結(jié)概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知識(shí)體系間尋求“交匯”跨度大、難度高，不易發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)聯(lián)系；二是由于本文整理歸納了較多全等三角形的證明方法和數(shù)學(xué)思想，多則不精，廣而不深．

6．4努力方向

全等三角形的證明方法種類(lèi)繁多，不同知識(shí)體系間的跨度大、難度高．在教學(xué)實(shí)踐中，并不是短時(shí)間可以全部學(xué)習(xí)掌握的，需要長(zhǎng)期學(xué)習(xí)并積累，而對(duì)于全等三角形的證明方法新的研究與發(fā)展，則要在大量的實(shí)踐中不斷摸索．

參考文獻(xiàn)

[1] 劉建東.構(gòu)造全等三角形 探究不等式證明[J].數(shù)理化解題研究(初中版), 2014,(6):35.[2] 好未來(lái)研發(fā)中心.幾何輔助線秘籍[J].中學(xué)課程輔導(dǎo),2012,（4）89—112.[3] 楊曉軍.“三角形”、“全等三角形”中考題選粹[J].中學(xué)生數(shù)理化(八年級(jí)數(shù)學(xué)), 2014,(Z2):47.[4] 林偉杰.全析全等三角形[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版), 2006,(3):85.[5] 劉申強(qiáng).全等三角形在生活中的應(yīng)用[J].時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(七年級(jí)), 2005,(5)：17.[6] 黎強(qiáng).華東師大版《全等三角形》的教學(xué)構(gòu)想[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2005,(1):58.[7] 喻俊鵬.“全等三角形”易錯(cuò)題[J].中學(xué)生數(shù)理化(八年級(jí)數(shù)學(xué)), 2014,(Z2):19—23.[8] 劉玉東.構(gòu)造全等三角形解題[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(初二版), 2004,(8):74．

[9] 董云霞.構(gòu)造全等三角形的方法與技巧[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版),2005,(10):52—58.[10] 查貴賓.構(gòu)造全等三角形的幾種常用方法[J].中學(xué)生數(shù)理化(八年級(jí)數(shù)學(xué))(配合人教社教材), 2014,(Z2):39.[11] 張文國(guó).“全等三角形”中的創(chuàng)新題[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(初二版), 2004,(9):21.[12] 保明華.全等三角形中考探索題[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版),2005,(10)：53.[13] 李懷奎.怎樣找全等三角形[J].初中生輔導(dǎo), 2005,（18）：39—43.[15] 姜彰全,吳穎.巧證三角形全等[J].初中生輔導(dǎo), 2004,(17):24.20

致

謝

路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索，是我的勵(lì)志名言.轉(zhuǎn)言眼間，我的大學(xué)生涯就結(jié)束了，我已經(jīng)在美麗的師院度嘗到各種酸甜苦辣，有喜有悲，但我從不后悔選擇來(lái)這里上學(xué).四年里，這是我人生中非常重要的時(shí)光，我有幸能夠接觸到這些不僅傳授我知識(shí)、學(xué)問(wèn)，而且使我堅(jiān)定人生的方向，獲得了追求的動(dòng)力，留下了大學(xué)生活的美好回憶.在此，我真誠(chéng)地向我尊敬的老師們和母校表達(dá)我深深的謝意.本篇論文是在我的導(dǎo)師羅紅英老師的多次指導(dǎo)下完成的.從論文的選題到結(jié)構(gòu)安排，都凝聚了她大量的心血.在這篇論文的寫(xiě)作過(guò)程中，羅紅英老師不辭辛勞，多次與我就論文中許多核心問(wèn)題作深入細(xì)致地探討，給我提出切實(shí)可行的指導(dǎo)性建議，并細(xì)心全面地修改了我的論文.羅老師這種一絲不茍的負(fù)責(zé)精神，使我深受感動(dòng).更重要的是羅老師扎實(shí)的學(xué)術(shù)功底和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度對(duì)我將來(lái)的人生道路產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.21

第二篇：初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角

初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角、邊相等的方法

【摘要】“全等三角形的證明”是初中平面幾何的重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中時(shí)有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。證明三角形全等找角、邊相等是最關(guān)鍵的步驟。如何找對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，做如下總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】全等三角形相等角相等邊

我們?cè)诔踔姓n本上學(xué)過(guò)的三角形全等的證明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，對(duì)于直角三角形還有“HL”。在做題的過(guò)程中我們時(shí)常發(fā)現(xiàn)，全等的條件往往隱藏在復(fù)雜的圖形中，要找的條件就是相等的角、相等的邊，初中階段找相等的角、相等的邊有以下幾種情況。

一、相等的角

1、利用平行直線性質(zhì)

兩直線平行的性質(zhì)定理：1.兩直線平行，同位角相等

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

例、如圖一所示，直線AD、BE相交于點(diǎn)C，AB∥DE，AB=DE

求證：△ABC≌△DBC

此題知道AB∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

由ASA可證全等。圖一

2、巧用公共角

要點(diǎn)：在證兩三角形全等時(shí)首先看兩個(gè)三角形是不是有公共交點(diǎn)，如果有公共交點(diǎn)，在看他們是否存在公共角。

例、如圖二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求證：△ABE≌△ADC

此題∠A是公共角，利用ASA可證全等。

3、利用等邊對(duì)等角圖二 要點(diǎn)：注意相等的兩條邊一定要在同一個(gè)三角形內(nèi)才能利

用等邊對(duì)等角

例.、如圖三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線

求證：△ABD≌△ACD

此題已知AB=AC，由等邊對(duì)等角可得

∠B=∠C.4、利用對(duì)頂角相等圖三 例、已知：如圖四，四邊形ABCD中, AC、BD交于O點(diǎn),AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分別為A , C．

求證：AB=CD圖四 此題利用對(duì)頂角相當(dāng)可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到

AB=CD5、利用等量代換關(guān)系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如圖五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB．

由圖形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC圖五

利用SAS可證△EAD≌△CAB

例

2、已知:如圖六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE

由圖形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可證△BAD≌△CAE圖六

(2)同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如圖,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直線BF上．

求證:∠A=∠D

由圖形可知：圖七 B

由等角的補(bǔ)角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如圖八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過(guò)C作

B圖八 ECF⊥AE, 垂足為F,過(guò)B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于

D.求證:AE=CD;

由圖形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、結(jié)合旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)。

例1．如圖九，把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD?交于點(diǎn)F．圖九

求證：△ABF≌△EDF；

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)我們可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以證明△ABF≌△EDF。

二、相等的邊

1、利用等角對(duì)等邊 ADAC

3CB

（注意：必須在同一個(gè)三角形中才能考慮）

例、如圖十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD

已知∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得OB=OC

利用AAS證明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共邊相等圖十 A

（若果要證明的兩個(gè)全等三角形有兩個(gè)相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么可么馬上得出它們具有公共邊）

D例、如圖十一，已知AB=AC，DB=DC，求證：∠BAD=∠CAD CB由圖形可知AD是△ABD和△ACD的公共邊，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代換

圖十一 F

AB+公共邊=DE+公共邊

例，如圖十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：∠B=∠C

E圖中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可證△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用線段中點(diǎn)或三角形中線定理，或者等邊三角形的性質(zhì)

例、如圖十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

圖十二

分別為E、F，M是BC的中點(diǎn)。求證：ME=MF

M是BC的中點(diǎn)，則可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例題、如圖十四，△ABE和△ACF是等邊三角形，求證：CE=BF圖十三 F △ABE和△ACF是等邊三角形，則AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.則∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,則可得CE=BF

C

圖十四

5、利用三角形角平分線定理

（三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）

注意、必須是角平分線上的點(diǎn)

例題、如圖十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E、F。求證：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,則根據(jù)角平分線

性質(zhì)可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

則可得到AE=AF

圖十五 例題、已知：如圖十六，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD

于M，?PN⊥CD于N，判斷PM與PN的關(guān)系．

A由題意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分線，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分線的性質(zhì)

可得PM=PN

全等三角形的證明是初中數(shù)學(xué)幾何證明中最重要的一部分，是證明線段相等和角相等最常用的方法。結(jié)合全等三角形的判定，全等的條件一般隱藏在已知當(dāng)中，以上是證明全等隱藏條件的方法總結(jié)。

第三篇：初二數(shù)學(xué)全等三角形證明

初二數(shù)學(xué)全等三角形證明

班別_______姓名_______學(xué)號(hào)_______2007-5-1

51.如圖,AB=CD,AD、BC相交于點(diǎn)O，(1)要使△ABO≌△DCO,應(yīng)添加的條件為.(添加一個(gè)條件即可)

(2)添加條件后,證明△

ABO≌△DCO

2.已知：如圖，AB//DE，且AB=DE.(l）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DEF,你添加的條件是.(2）添加條件后，證明△ABC≌△DEF.3、如圖，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。

所添?xiàng)l件為，你得到的一對(duì)全等三角形是???

證明：ABOCD(第12題)

4、如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)分別作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F.（1）證明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 題圖)

5．如圖9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求證：BD = CDBDA

圖 9

6．如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：AC＝BD．

A

B7、如圖，在ABCD中，BE?AC于點(diǎn)E，DF?AC于點(diǎn)Ｆ．

求證：AE?CF；AD

BC8、如圖,已知點(diǎn)M、N分別是平行四邊形ABCD的邊AB、、DC的中點(diǎn),求證: ∠DAN=∠BCM.9．如圖，AC和BD相交于點(diǎn)E，AB∥CD，BE=DE。求證：AB=CD

A

B E

第9題圖

10、已知：如圖10，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，且BD=CE．

求證：AD=AE．

_B

_C

_ M

_N

_A

_D

D

C

圖10

C12、如圖（4），在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)等式：○

1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題（要求寫(xiě)出已知，求證及證明過(guò)程）

第四篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形證明題

中考網(wǎng)

第十三章全等三角形測(cè)試卷

（測(cè)試時(shí)間：90分鐘總分：100分）

班級(jí)姓名得分

一、選擇題（本大題共10題；每小題2分，共20分）

1． 對(duì)于△ABC與△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，則下列條件①AB=DE；②AC=DF；

③BC=DF；④AB=EF中，能判定它們?nèi)鹊挠校ǎ?/p>

A．①②B．①③C．②③D．③④

2． 下列說(shuō)法正確的是()

A．面積相等的兩個(gè)三角形全等

B．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等

C．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

D．能夠完全重合的兩個(gè)三角形全等

3． 下列數(shù)據(jù)能確定形狀和大小的是（）

A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°

C．AB=4，BC=5，CA=10D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°

4． 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB = DE，添加下列哪一個(gè)條件，依然不能證明△

ABC≌△DEF()

A．AC = DFB．BC = EFC．∠B=∠ED．∠C=∠F

5． OP是∠AOB的平分線，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．射線OP上的點(diǎn)與OA，OB上任意一點(diǎn)的距離相等

B．射線OP上的點(diǎn)與邊OA，OB的距離相等

C．射線OP上的點(diǎn)與OA上各點(diǎn)的距離相等

D．射線OP上的點(diǎn)與OB上各點(diǎn)的距離相等 D 6． 如圖，∠1=∠2，∠E=∠A，EC=DA，則△ABD≌△EBC

時(shí)，運(yùn)用的判定定理是（）A．SSS

C B．ASA B C．AAS

（第6題）D．SAS

7． 如圖，若線段AB，CD交于點(diǎn)O，且AB、CD互相平分，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）D A．AD=BC

B．∠C=∠D

C．AD∥BC

D．OB=OC

8． 如圖，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB = CD，AE = CF，則圖中全等三角形共有()

A．1對(duì)

B．2對(duì)

C．3對(duì)

D．4對(duì) B（第7題）（第8題）D中考網(wǎng)

9． 如圖，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF與BE交于點(diǎn)D．有下列結(jié)論：①△

ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．以上結(jié)論正確的()

A．只有①

B．只有②

C．只有③

D．有①和②和③

B 10．如圖，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，（第9題）則△ABD的周長(zhǎng)為（）

A．

21B．18C．1

3C E D．9

（第10題）

二、填空題（本大題共6小題；每小題2分，共12分）

11．如圖，除公共邊AB外，根據(jù)下列括號(hào)內(nèi)三角形全等的條件，在橫線上添加適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC與△ABD全等：

（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如圖，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE，則有

△ACD≌△。

13．如圖，△ABC≌△ADE，此時(shí)∠．

A CBC B ED A（第11題）

（第13題）（第12題）

14．如圖，AB⊥AC，垂足為A，CD⊥AC，垂足為C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5cm，則DE的長(zhǎng)為cm． 15．如圖，AD=BD，AD⊥BC，垂足為D，BF⊥AC，垂足為F，BC=6cm，DC=2cm，則AE=cm．B

C C A C E（第15題）（第14題）（第16題）

16．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列論斷：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④

BD=CE．請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題：。

三、解答題（本大題5小題；共68分）17．如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50°，∠OPC＝30°．

求∠PCA的度數(shù)．

A

B

18．已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分

線，請(qǐng)你先作△ODB的角平分線DF（保留痕跡）再證明CE=DF．

19．如圖，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求證BM＝CN．

MB

D

N

20．已知：如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥GF，并交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG．（1）求證BG=CF；

（2）試猜想BE+CF與EF的大小關(guān)系，并加以證明．

21．如圖，圖（1）中等腰△ABC與等腰△DEC共點(diǎn)于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE，AD，若BC＝AC，EC＝DC．求證BE＝AD；若將等腰△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖（2）（3）（4）情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么?

A

DB

A

A

E

E

B

（1）

D

DC

B

D

（2）（3）

（4）

八年級(jí)（上）《全等三角形》試卷講評(píng)課教案

九華初級(jí)中學(xué)李海燕

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)講評(píng)，進(jìn)一步鞏固全等三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

2.通過(guò)對(duì)典型錯(cuò)誤的剖析、矯正、幫助學(xué)生掌握正確的思考方法和解題策略。教學(xué)重點(diǎn)：

第16，19，20題的錯(cuò)因剖析與矯正。教學(xué)過(guò)程：

一、考試情況分析：

班級(jí)均分：82.1 分最高分：100 分 100分的同學(xué)，全班公示，鼓掌祝賀。分發(fā)試卷。

二、學(xué)生小組總結(jié)試卷填空和選擇兩塊解題中錯(cuò)誤原因和解題感受，看看哪些小組總結(jié)得比較好。

學(xué)生用投影展示自己的所思所想。

三、重點(diǎn)評(píng)講解答題的19、20題

1、學(xué)生小組交流

2、學(xué)生據(jù)黑板圖形講解

3、教師點(diǎn)評(píng)

四、學(xué)生自我完善考卷

五、總結(jié)課堂，教師質(zhì)疑

六、學(xué)生課堂訓(xùn)練

教案說(shuō)明：

本張?jiān)嚲韺W(xué)生考試情況較好，典型錯(cuò)誤不多，且書(shū)寫(xiě)態(tài)度端正，思維過(guò)程表達(dá)清晰，可以看出學(xué)生對(duì)全等三角形的性質(zhì)、判定掌握到位，如17、19有的學(xué)生能靈活運(yùn)用角平分線性質(zhì)及垂直平分線性質(zhì)進(jìn)行解答，方法比較簡(jiǎn)便。針對(duì)考試情況，我在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在解題中的失誤或錯(cuò)誤，重點(diǎn)評(píng)講了試題中的3、19、20等題。本課主要采用由學(xué)生說(shuō)題的方法進(jìn)行評(píng)講，心理學(xué)研究表明，人在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，聽(tīng)懂不一定做的出，語(yǔ)

言表述則是思維活動(dòng)的最高境界，語(yǔ)言更能訓(xùn)練思維的邏輯性和嚴(yán)密性。學(xué)生對(duì)解題過(guò)程或者思維過(guò)程口頭能表達(dá)清楚才是真的理解這道題?？傊皩W(xué)生說(shuō)題”能轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，建設(shè)開(kāi)放而有活力的課堂，符合有效課堂的特征，是高參與的課堂、高認(rèn)知的課堂、高情意的課堂。課堂練習(xí)是針對(duì)學(xué)生在考卷中表現(xiàn)出的薄弱之處設(shè)計(jì)的，在學(xué)生對(duì)考卷進(jìn)行評(píng)講后進(jìn)行練習(xí)，能有效幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握解題方法。

課堂針對(duì)性練習(xí)

班級(jí)姓名組別

1、如圖，在△AEB和△AFC中，有下列論斷：①∠EAC=∠FAB；②AB=AC；③BE=CF；④AE=AF.請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題.2、（1）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線AF交BC于F，BD⊥AF于

D，CE⊥AF于E.求證：DE=BD-EC

（2）對(duì)于（1）中的條件改為：直線AF在△ABC形外，與BC的延長(zhǎng)線相交于F，其他條件不變，上述結(jié)論仍成立嗎？(請(qǐng)畫(huà)出圖形)若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的等式，并證明.

第五篇：論文《淺談多媒體在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》

淺談多媒體在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：為了讓學(xué)生更直觀、更全面地獲取知識(shí)，充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體地位，多媒體輔助教學(xué)是初中數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必然結(jié)果。將多媒體信息技術(shù)融于課堂教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生興趣，提高課堂教學(xué)效果；有助于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；還可以增大課堂教學(xué)密度，貫徹因材施教的原則，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。利用多媒體信息技術(shù)圖文并茂、聲像并舉、形象直觀的特點(diǎn)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)各種情境，可激起學(xué)生的各種感官的參與，調(diào)動(dòng)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，從而達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的目的。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué) 初中初中數(shù)學(xué)

多媒體

在現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往會(huì)遇到一些抽象比較難以理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這時(shí)，我們可以利用多媒體來(lái)幫助學(xué)生解決問(wèn)題。隨著多媒體教學(xué)深入教育教學(xué)領(lǐng)域，投影儀、錄像機(jī)、錄音機(jī)、大屏幕、計(jì)算機(jī)等教學(xué)設(shè)備參與教學(xué)，使課堂教學(xué)更加直觀性、多樣性、演示性，并賦予課堂教學(xué)一股時(shí)代氣息，不僅能更好地吸引學(xué)生的注意力，而且能激活學(xué)生思維，化解學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，使學(xué)生思路更清晰，不至于產(chǎn)生對(duì)新知認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。本文旨在就多媒體技術(shù)在初中初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行一些簡(jiǎn)要的闡述和分析。

一、傳統(tǒng)教學(xué)的弊端與局限性。

傳統(tǒng)的教法比較單一，教師講得多，學(xué)生參與少，既缺乏充分的圖形支持，又缺乏供學(xué)生發(fā)現(xiàn)探索的良好環(huán)境，學(xué)生處于被動(dòng)聽(tīng)講的態(tài)勢(shì)中。比如教師在講解比較抽象的知識(shí)時(shí)對(duì)教師和學(xué)生的能力都提出了較高的要求，這樣對(duì)一部分的學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)起來(lái)比較的吃力，往往達(dá)不到老師預(yù)期的效果。比如學(xué)生由平面到空間的轉(zhuǎn)變，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的轉(zhuǎn)變等。教師靠“一張嘴，一支筆”，學(xué)生“兩只耳朵一支筆”，整個(gè)的教學(xué)過(guò)程顯得枯燥乏味沉悶。教師講得“苦”，學(xué)生學(xué)得“累”。不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收和能力素質(zhì)的培養(yǎng)。在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，迫切需要探索出能真正培養(yǎng)學(xué)生初中數(shù)學(xué)能力的教法。而多媒體技術(shù)的飛速發(fā)展并迅速應(yīng)用到教學(xué)，恰好很好的解決了這些的問(wèn)題。

二、多媒體技術(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

1、以靜制動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

動(dòng)態(tài)的事物比靜態(tài)的事物更能刺激學(xué)生的視覺(jué)感官，吸引學(xué)生的眼球，傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生面對(duì)靜態(tài)呆板的板書(shū)和教材，難免覺(jué)得枯燥乏味，多媒體多媒體的應(yīng)用克服了這一缺陷，它為教學(xué)創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)有趣的教學(xué)情境，化無(wú)聲為有聲，化靜為動(dòng)，激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2、寓教于樂(lè)，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程

多媒體多媒體把學(xué)生帶入了寬松愉快的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生主動(dòng)探索，積極進(jìn)取，使學(xué)生會(huì)學(xué)，愿學(xué)和樂(lè)學(xué)，例如:在教授九年級(jí)上冊(cè)《圓》中有關(guān)車(chē)輪為什么做成圓形的有關(guān)內(nèi)容時(shí)，我利用FLASH創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“動(dòng)物趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)”的情景，畫(huà)面是小雞、大象和河馬分別騎著圓形車(chē)輪、方形車(chē)輪和三角形車(chē)輪的賽車(chē)進(jìn)行比賽，并配上運(yùn)動(dòng)會(huì)的背景音樂(lè)，這個(gè)場(chǎng)景一出現(xiàn)在課堂上，問(wèn)題就自然引出來(lái)，車(chē)輪為什么要做成圓形的呢?當(dāng)然效果就不言而喻了。面對(duì)情境教學(xué)，學(xué)生思維敏捷，精神集中，積極參與教學(xué)活動(dòng)，課堂氣氛變得輕松活躍，伴隨著悅耳的音 樂(lè)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)，使他們?cè)诳鞓?lè)中獲得了知識(shí)，提高了學(xué)習(xí)能力。

3、突破難點(diǎn)，提高課堂效率

傳統(tǒng)教學(xué)中由于條件所限，教師在課堂上要花費(fèi)很多時(shí)間和精力來(lái)完成畫(huà)圖、繪制圖表和處理數(shù)據(jù)等工作，不僅浪費(fèi)了大量的精力，也浪費(fèi)的大量的時(shí)間，且難以突破難點(diǎn)，若采用多媒體技術(shù)來(lái)完成這些工作，可節(jié)省教學(xué)時(shí)間，突破難點(diǎn)，增加課堂容量，提高課堂效率。例如：九年級(jí)上冊(cè)《概率的意義》中的擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，由于實(shí)驗(yàn)條件及次數(shù)的限制，最后正面向上的頻率可能跟我們所期待的結(jié)果有一定的出入，但若用多媒體課件演示這個(gè)游戲，不但節(jié)約了時(shí)間，效果會(huì)更直觀。像上述課件起到了縮短教學(xué)時(shí)間，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，直觀、形象、清晰地展示圖象變化的規(guī)律和性質(zhì)的功效，學(xué)生能在積極參與探索知識(shí)的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的再建構(gòu)，提高課堂效率。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地應(yīng)用多媒體。多媒體輔助教學(xué)主要是通過(guò)利用課件來(lái)實(shí)現(xiàn)的。利用課件的目的是為了更好地搞好教師的教和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)。下面具體談?wù)劧嗝襟w在初中初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

1、用多媒體進(jìn)行課堂演示 通過(guò)精心設(shè)計(jì)的動(dòng)畫(huà)、插圖和音頻等，可以使抽象深?yuàn)W的初中數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀的形式出現(xiàn)，更好地幫助學(xué)生思考知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。多媒體的動(dòng)態(tài)變化可以將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生由形象的認(rèn)識(shí)提高為抽象的概括，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣會(huì)起到很好的效果。課堂教學(xué)時(shí)，利用這種模式進(jìn)行課堂教學(xué)，在較短的時(shí)間內(nèi)，使學(xué)生多種感官并用，加深對(duì)知識(shí)的理解，因而可以做到更高密度的知識(shí)傳授，大大提高課堂利用率。

2、利用多媒體進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)

問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)教育更是強(qiáng)調(diào)要進(jìn)行“問(wèn)題解決”，在解決問(wèn)題過(guò)程中鍛煉思維、提高應(yīng)用能力。

在條件允許的前提下開(kāi)展初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，可考慮把學(xué)生分成2-3人一個(gè)小組，每組共用一臺(tái)多媒體。教師提供問(wèn)題，學(xué)生利用多媒體提供的環(huán)境，積極思考、討論，動(dòng)手演算，解答這個(gè)問(wèn)題。在這種小組合作學(xué)習(xí)的模式下，教師在教室里的角色更象學(xué)生的輔導(dǎo)者或幫助者，他們?cè)O(shè)置環(huán)境，幫助學(xué)生提出問(wèn)題并進(jìn)行探索，刺激學(xué)生解答問(wèn)題，并為學(xué)生提供他們需要使用的工具與資源，以便學(xué)生能夠建構(gòu)知識(shí)。

3、利用多媒體練習(xí)、復(fù)習(xí)

練習(xí)是課堂教學(xué)中必不可少的活動(dòng)，猶如工業(yè)生產(chǎn)的“產(chǎn)后服務(wù)”。利用計(jì)算機(jī)信息容量大的特點(diǎn)，做成一些智能題庫(kù)，課后鞏固和熟練某些已經(jīng)學(xué)會(huì)的知識(shí)和技能。這種智能題庫(kù)不僅提供文字、圖形、動(dòng)畫(huà)視頻圖象，還有語(yǔ)音解說(shuō)和效果音響，文、圖并茂，具有很好的視聽(tīng)效果。教學(xué)內(nèi)容的組織多按章節(jié)劃分知識(shí)點(diǎn)模塊，學(xué)習(xí)者可以根據(jù)需要自取進(jìn)度，個(gè)別系統(tǒng)逐步深入地學(xué)習(xí)，復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容，補(bǔ)充課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容和加強(qiáng)概念的學(xué)習(xí)。

在這種模式下，學(xué)生可以自主地選擇教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)，并能及時(shí)得到指導(dǎo)。教師在設(shè)計(jì)課堂練習(xí)時(shí)，可以充分發(fā)揮教學(xué)軟件圖文并茂的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)多層次的習(xí)題，讓每一個(gè)學(xué)生都能在輕松愉快的情境中練習(xí)。在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)，要照顧全體學(xué)生，就要把習(xí)題分成多層。教師也可以利用智能題庫(kù)隨意生成程度不同、內(nèi)容不同的電子試卷，對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位的考察。

四、多媒體技術(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)要注意的幾個(gè)問(wèn)題

1、充分發(fā)揮多媒體教學(xué)手段的輔助作用。

多媒體課件的選用是為教學(xué)服務(wù)的。那么課件選用多少，選用什么內(nèi)容，何時(shí)出示都必須先考慮它對(duì)教學(xué)的促進(jìn)作用。針對(duì)目前多媒體在使用時(shí)資料過(guò)多過(guò)濫過(guò)于亮麗導(dǎo)致影響學(xué)生思維，干擾教者思路這一現(xiàn)狀，我認(rèn)為這課件設(shè)計(jì)的資料以少而精為好。精心設(shè)計(jì)課件，不搞大而全，只求少而精。教者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，先應(yīng)拋開(kāi)課件使用這一想法，而先去挖掘教材內(nèi)容。而當(dāng)確實(shí)需要補(bǔ)充資料，以彌補(bǔ)課文留白或突破教學(xué)重難點(diǎn)時(shí)，才去考慮課件的設(shè)計(jì)和使用。

2、讓多媒體技術(shù)時(shí)常陪伴在初中數(shù)學(xué)教學(xué)左右。

恰當(dāng)選用多媒體教學(xué)手段對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用是毋庸置疑的?？稍谖覀兤綍r(shí)教學(xué)中，我們雖然也有心采用多媒體課件，卻苦于不易找到合適的課件，合適的材料。廣大教師制作課件的水平也有限，在教學(xué)、備課、批閱作業(yè)的間隙也無(wú)暇去精心設(shè)計(jì)每一個(gè)課件，而教學(xué)卻是每天都在進(jìn)行的，合適的課件若能貫徹到每一節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)教者、學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑會(huì)創(chuàng)設(shè)更好的學(xué)習(xí)氛圍。

3、不要忽視與學(xué)生的互動(dòng)和情感交流

把傳統(tǒng)課堂上板書(shū)的內(nèi)容全部搬到了電腦屏幕上，再用投影儀設(shè)備投射到大屏幕上來(lái)代替黑板，老師眼不離顯示器，手不離鼠標(biāo)、鍵盤(pán)，成為無(wú)章法的機(jī)械式教學(xué)模式。教學(xué)本身就是一個(gè)雙向的活動(dòng)，是需要學(xué)生和老師融為一體的，是需要雙方感情投入的，一些課件的使用使這種雙向交流變得很少，有的學(xué)生只看屏幕，不看老師，使雙邊的活動(dòng)很少。有人撰文稱(chēng)信息技術(shù)與課程整合為“優(yōu)勢(shì)有目共睹，模式不再單調(diào)，案例不乏精彩，推廣卻不理想”。

4、避免完全電腦式灌輸 在多媒體課堂教學(xué)中，使用最多的是powerpoint制作的演示課件，它起到的作用成了替代板書(shū)。實(shí)踐證明，課堂教學(xué)不能“滿(mǎn)堂灌”，不能講得天衣無(wú)縫，要使學(xué)生有自學(xué)、思考的空間。而有些教師只管低頭盯著電腦屏幕“念”或者操控電腦演示多媒體課件或者引用大量信息，大屏幕成了信息海洋，不管學(xué)生能否來(lái)得及閱讀和消化。

5、忽視揭示問(wèn)題過(guò)程和能力的培養(yǎng)

在使用多媒體的同時(shí)，往往注重演示過(guò)程，而沒(méi)有指出初中數(shù)學(xué)方法、貫穿初中數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)模仿做題。初中數(shù)學(xué)是一門(mén)實(shí)踐性很強(qiáng)的學(xué)科，很多知識(shí)和問(wèn)題不是光靠看和聽(tīng)就能理解和掌握的，更多的是靠思考和練習(xí)，通過(guò)自己的實(shí)踐和探索掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈，這樣對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)才能更深入，理解才能更廣泛，應(yīng)用的才能更靈活。

6、要合理使用多媒體技術(shù)

雖然多媒體技術(shù)能給初中初中數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來(lái)優(yōu)勢(shì)，但不能過(guò)分夸大其作用，更不能過(guò)分依賴(lài)于多媒體技術(shù)，杜絕一堂課多媒體一用到底的現(xiàn)象。教學(xué)媒體各有各的優(yōu)勢(shì)，我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)和了解各媒體的特征，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和需要，選擇最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)媒體。

7、要加強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)

在信息化時(shí)代里，知識(shí)更新一日千里，特別是多媒體技術(shù)。任何一種教學(xué)手段都是服務(wù)于教學(xué)的，在多年實(shí)踐中，我們感到多媒體適當(dāng)、適度、適時(shí)的采用，對(duì)教學(xué)的促進(jìn)作用極其顯著。正沖擊著傳統(tǒng)的教學(xué)，如果墨守成規(guī)不思進(jìn)取，就將很快落后時(shí)代。

五、多媒體技術(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

1、初中數(shù)學(xué)中有許多較為抽象的概念，如角的教學(xué)，就可以利用了Flash制作出的運(yùn)動(dòng)效果（終邊運(yùn)動(dòng)），使銳角、直角、鈍角、平角、周角以直觀形式呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，符合初一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有利于知識(shí)的內(nèi)化。在多媒體動(dòng)畫(huà)的演示過(guò)程中，使學(xué)生的眼、口、手、腦等多種器官協(xié)調(diào)活動(dòng)，這樣，加深了對(duì)角的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也掌握了五種角之間的大小關(guān)系。

2、如行程問(wèn)題的教學(xué)，就把現(xiàn)實(shí)生活中的自行車(chē)、摩托車(chē)、汽車(chē)、人等“搬”進(jìn)了電腦，利用Flash使他們運(yùn)動(dòng)起來(lái)，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，公路、學(xué)校跑道刺激著學(xué)生的視覺(jué)神經(jīng)，使學(xué)生形成表象，進(jìn)而使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，從而挖掘事物運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)聯(lián)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為初中數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正意義上地提高了其初中數(shù)學(xué)修養(yǎng)。在此例中突出了初中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。

3、如分割等腰三角形問(wèn)題：已知△ABC是等腰三角形，過(guò)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線m，把△ABC分成兩個(gè)小三角形，如果這兩個(gè)小三角形也是等腰三角形，問(wèn)△ABC的各內(nèi)角度數(shù)可能是多少度？

就可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程：先由學(xué)生聯(lián)想特殊的等腰三角形（等邊三角形、等腰直角三角形），排除等邊三角形，以等腰直角三角形為切入口結(jié)合多媒體輔助教學(xué)：先出現(xiàn)一個(gè)等腰直角三角形，頂角平分線所在直線即m，接著此等腰直角三角形變形為等腰鈍角三角形，學(xué)生探討m的位置時(shí)電腦同步配合，使m運(yùn)動(dòng)到學(xué)生所述位置，這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程直觀呈現(xiàn)，這樣學(xué)生就在觀察、猜想、討論、計(jì)算等一系列活動(dòng)中獲得了知識(shí)，體會(huì)了初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)方法，并且印象深刻。（等腰銳角三角形的探討類(lèi)似）

4、例如，對(duì)于三角形“三線合一”的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過(guò)程，從而造成學(xué)生對(duì)其不好理解。利用多媒體，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線，之后用鼠標(biāo)在屏幕上隨意拖動(dòng)點(diǎn)A，利用軟件功能，此時(shí)三角形ABC和“三線”在保持依存關(guān)系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點(diǎn)A，使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合。再如，對(duì)于圓周率的概念的教學(xué)，利用CAI，可以對(duì)圓周進(jìn)行展開(kāi)，同時(shí)跟蹤測(cè)量圓周長(zhǎng)和圓半徑，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)與圓半徑的比是一個(gè)定值。由于實(shí)驗(yàn)中圓可以隨意變化，學(xué)生很容易接受π的存在。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，是現(xiàn)代化教學(xué)的需要，是素質(zhì)教育的需要，是培養(yǎng)二十一世紀(jì)合格人才的需要；同時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段能使初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)形象、具體、生動(dòng)、直觀，能激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，理清概念，化難為易，化靜為動(dòng)，化繁為簡(jiǎn)，使具體的畫(huà)面與抽象的初中數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系，突破傳統(tǒng)的教學(xué)方法，挖掘教材的內(nèi)在潛能，使學(xué)生正確形成完整的初中數(shù)學(xué)體系和空間觀念，讓學(xué)生充分感受、理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，開(kāi)拓學(xué)生視野，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)，就能提高課堂教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)

1、季正義：《淺談多媒體教學(xué)在初中初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》，《中小學(xué)電教》，2006年 10期

2、徐建漢：《多媒體與初中數(shù)學(xué)在情境創(chuàng)設(shè)中的整合運(yùn)用》，《寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)》，2006年 03期