第一篇：初中數(shù)學(xué)——黃金分割

《黃金分割》教學(xué)設(shè)計(jì)方案

廣東省佛山市汾江中學(xué) 黃偉峰

一、概述

《黃金分割》是北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)的一節(jié)內(nèi)容。在以往的教學(xué)中，大都將“黃金分割”作為比例線段的應(yīng)用來(lái)處理，學(xué)生學(xué)過(guò)以后，絲毫感受不到“黃金分割”的實(shí)用價(jià)值，體會(huì)不到“黃金分割”所帶來(lái)的美的享受。因此，本節(jié)課除了講授黃金分割的定義及其作圖方法之外，讓學(xué)生閱讀有關(guān)資料，從日常生活中找出一些黃金分割的例子，使學(xué)生親身感到數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，從而更促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，體會(huì)黃金分割的文化價(jià)值以及在人類歷史上的作用和影響。

本課為1課時(shí)，時(shí)間45分鐘。

二、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

（1）了解黃金分割的有關(guān)概念。

（2）在應(yīng)用中進(jìn)一步理解線段的比、成比例線段等相關(guān)內(nèi)容。2．過(guò)程與方法

（1）通過(guò)自主探究學(xué)習(xí)，體驗(yàn)黃金分割的尺規(guī)作圖的方法。（2）通過(guò)本課知識(shí)的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)問(wèn)題解決的過(guò)程與方法。3．情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）通過(guò)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，樹(shù)立學(xué)習(xí)的自信心。

（2）通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)黃金分割的文化價(jià)值以及在人類歷史上的作用和影響。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

1．教學(xué)重點(diǎn)：黃金分割的定義以及應(yīng)用。

2．教學(xué)難點(diǎn)：黃金分割的引入以及學(xué)生對(duì)黃金分割的價(jià)值的理解。

四、學(xué)習(xí)者特征分析

學(xué)習(xí)者是佛山市汾江中學(xué)跨越式發(fā)展試驗(yàn)初二（1）班學(xué)生，學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)比較感興趣，具備一定的電腦知識(shí)，掌握“幾何畫(huà)板”的基本操作，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，具備一定的表達(dá)能力；但個(gè)別學(xué)生的自控能力不強(qiáng)，教師要注意做好調(diào)控。

五、教學(xué)策略選擇

主要采用自主學(xué)習(xí)、自我探究的學(xué)習(xí)策略。

六、教學(xué)環(huán)境及資源

教學(xué)環(huán)境：多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，北京師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)研究所提供的V-class教學(xué)平臺(tái)系統(tǒng)、“幾何畫(huà)板”等工具軟件。

教學(xué)資源：課本、《黃金分割》課件（如圖1）。

圖1

七、教學(xué)過(guò)程

1．問(wèn)題引入，引發(fā)思考

教師：利用Flash將有關(guān)圖片以滾動(dòng)的形式出現(xiàn)，教師根據(jù)圖片的內(nèi)容提出問(wèn)題：

（1）五星紅旗為什么做成這種形狀，不是正方形或其他形狀？

（2）為什么翩翩起舞的芭蕾舞演員要踮起腳尖?（3）為什么世界上許多人都對(duì)維納斯著迷？

（4）兩幅相片中你覺(jué)得那幅構(gòu)圖美觀？

學(xué)生：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考、猜想并進(jìn)行回答。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}的提出，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣，為本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了鋪墊。

2．投票選舉，激發(fā)興趣

教師：讓學(xué)生進(jìn)行投票——在給出的一組矩形選出一個(gè)自己心目中覺(jué)得漂亮的矩形（如圖2）。

（工具：教學(xué)平臺(tái)中的投票系統(tǒng)。）學(xué)生：進(jìn)行投票（如圖3）。

設(shè)計(jì)意圖：從投票中引入黃金矩形的一個(gè)典故，從中引入新課。

3．動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)新知

教師：布置任務(wù)——測(cè)量黃金矩形的長(zhǎng)與寬，五角星中的對(duì)角線所分成的線段的比（工具：“幾何畫(huà)板”，如圖

2、圖4）。

（1）學(xué)生從操作中歸納概念。（2）介紹黃金分割的有關(guān)概念。

學(xué)生：動(dòng)手操作，并互相交流，發(fā)現(xiàn)黃金比，并用自己的語(yǔ)言說(shuō)出黃金分割的概念。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)黃金比，讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)知識(shí)的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。

4．運(yùn)用新知，練習(xí)訓(xùn)練

教師：要求學(xué)生在V-class教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行隨堂練習(xí)，并適當(dāng)進(jìn)行評(píng)講（如圖5）。學(xué)生：利用V-class教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行練習(xí)并查看自己的答案、得分。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)鞏固練習(xí)加深學(xué)生對(duì)黃金分割的理解（進(jìn)行巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）。5．介紹作圖，驗(yàn)證作圖

教師：介紹黃金分割尺規(guī)作圖方法，并在黑板上畫(huà)出圖形。

學(xué)生：根據(jù)教師的示范或課件中Flash的作圖（如圖6）顯示進(jìn)行作圖，并說(shuō)明作法的道理。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)黃金分割的作圖方法的介紹，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)黃金分割的有關(guān)認(rèn)識(shí)。

6．瀏覽資料，感受價(jià)值

教師：

（1）提出要求：閱讀有關(guān)黃金分割的有關(guān)應(yīng)用方面資料（進(jìn)行巡視，解決學(xué)生提出的問(wèn)題）；

（2）要求學(xué)生閱讀資料后說(shuō)出自己的感受，進(jìn)行班內(nèi)交流。

學(xué)生：根據(jù)自己的喜好，閱讀有關(guān)資料（如圖7），并在班內(nèi)交流心得。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例體會(huì)黃金分割的文化價(jià)值以及在人類歷史上的作用和影響。

7．運(yùn)用新知，設(shè)計(jì)方案

教師：要求學(xué)生運(yùn)用黃金分割的有關(guān)知識(shí)，利用黃金比和畫(huà)圖工具設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的圖案。

學(xué)生：利用畫(huà)圖工具進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)方案設(shè)計(jì)，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

8．課后拓展，知識(shí)提升

教師：

（1）請(qǐng)閱讀課本或其他資料，找出黃金分割點(diǎn)的其他作圖方法；

（2）以本節(jié)課所學(xué)的黃金分割的原理，根據(jù)自己對(duì)生活的觀察，發(fā)揮自己的想象，設(shè)計(jì)一物體或圖案：

說(shuō)明：①例如生活用品、建筑物、藝術(shù)品或圖騰等；②可借助信息技術(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

（3）以黃金分割為主題，制作一個(gè)資源包。包括收集有關(guān)黃金分割的資料、你的作品，以及學(xué)習(xí)之后的感想。

學(xué)生：以小組為單位，進(jìn)行課件制作、課題研究。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在嘗試知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程中，體會(huì)到了知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)存在于身邊，來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，從而知識(shí)得到升華。

第二篇：初中數(shù)學(xué)教案王蘭 黃金分割

初中數(shù)學(xué)

黃金分割

萬(wàn)源市第三中學(xué)校 王蘭

一教材分析

《黃金分割》是8年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第四章《相似圖形》第2節(jié)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)相似圖形離不開(kāi)線段的比和比例線段，《黃金分割》將從一個(gè)嶄新的角度加深學(xué)生對(duì)線段的比和比例線段地認(rèn)識(shí)，是第一節(jié)內(nèi)容的延續(xù)和拓展。同時(shí)通過(guò)黃金分割在建筑，藝術(shù)等方面的實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由黃金分割這一數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生的一種美得感覺(jué)，人們?cè)谧匀唤缰械拇_感受到了很多美得東西，其中物體形狀的比例提供了在勻稱與協(xié)調(diào)上的一種美感。所以通過(guò)本章的學(xué)習(xí)不但可以提高學(xué)生的觀察、分析、歸納能力，還可以提高學(xué)生的審美能力。

知識(shí)技能目標(biāo)

（1）掌握黃金分割的定義，能用尺規(guī)作黃金分割點(diǎn)（2）掌握與黃金分割有關(guān)的簡(jiǎn)單運(yùn)算。情感態(tài)度目標(biāo)

（1）通過(guò)建筑，藝術(shù)上的實(shí)例，了解黃金分割，體會(huì)其中的文化價(jià)值（2）在實(shí)際操作、思考、交流等過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí)和自信心。教學(xué)重點(diǎn)：理解黃金分割的意義及應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立黃金分割的概念。教學(xué)難點(diǎn)：做一條線段的黃金分割點(diǎn)

二 學(xué)情分析

初二的學(xué)生對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)豐富，處于從直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯思維的過(guò)渡階段。本節(jié)課讓學(xué)生在豐富的實(shí)際情景中認(rèn)識(shí)黃金分割并應(yīng)用黃金分割的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)生從形象思維向抽象思維的發(fā)展。

初二的學(xué)生已具備了一定的學(xué)習(xí)能力，所以本節(jié)課為學(xué)生創(chuàng)造了自己讀書(shū)，自己計(jì)算，自己探索，合作交流的機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生在自主合作的探索過(guò)程中學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)。

三 教法、學(xué)法分析

? 教法：演示法、實(shí)驗(yàn)法、討論法、練習(xí)法。

? 學(xué)法：采取小組合作交流的探究方式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)習(xí)。

四 評(píng)價(jià)方法分析

? 1 注重對(duì)學(xué)生觀察能力，動(dòng)手能力，合作能力的評(píng)價(jià)。? 2 評(píng)價(jià)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的能力。? 3 注重對(duì)學(xué)生雙基的評(píng)價(jià)。

? 4 評(píng)價(jià)時(shí)堅(jiān)持積極評(píng)價(jià)的原則，采用鼓勵(lì)的方式，增強(qiáng)學(xué)生的自信心。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

展示圖片（的目的：通過(guò)展示圖片讓學(xué)生直觀感知黃金分割在建筑，藝術(shù)生活領(lǐng)域的美學(xué)價(jià)值，促使學(xué)生關(guān)注美，探究美，創(chuàng)造美。

感受新知 做一做

練習(xí)一：已知線段AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC,則AC=﹙

﹚.（設(shè)計(jì)目的：會(huì)利用黃金比求線段的長(zhǎng)。)? 若將?°AC＞BC?±這一條件去掉，結(jié)果如何？ 練習(xí)二：已知a=4,b=9,求a,b的比例中項(xiàng)c。? 變式：已知a=4㎝，b=9㎝,求a,b的比例中項(xiàng)c。

?(兩題設(shè)計(jì)目的：比例中項(xiàng)既可以是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，也可以是線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，但兩題的結(jié)果是有區(qū)別的。）

練習(xí)三：報(bào)幕員在舞臺(tái)上報(bào)幕時(shí)，若站在舞臺(tái)上的黃金分割點(diǎn)處，報(bào)幕的效果會(huì)更好。已知舞臺(tái)長(zhǎng)18米，那么報(bào)幕員至少走多遠(yuǎn)報(bào)幕。（設(shè)計(jì)目的：利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。）

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生思維，有利于突破教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)。讓學(xué)生掌握知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，學(xué)會(huì)獲取知識(shí)的方法。）

動(dòng)手實(shí)踐

? 作圖法來(lái)確定一條線段的黃金分割點(diǎn)。? 已知線段AB,如何做出線段AB的黃金分割點(diǎn)？

做一做

? 已知線段AB，按照如下方法作圖： ? 1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=?

AB.? 連接AD，在AD上截取DE=BD.? 在AB上截取AC=AE.?（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，操作能力。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖再次驗(yàn)證一條線段不僅存在黃金分割點(diǎn)，并且有兩個(gè)。）

想一想

? 三角形里面有黃金三角形嗎？

? 頂角為36度的等腰三角形為黃金三角形嗎？

? 已知等腰三角ABO,頂角

? ＜AOB=36度，三角形ABO為黃金三角形嗎？

? 提示證

=AC.AO

你身邊的物體那些具有黃金分割的特征？ 拓展深化

?（設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}是為了激發(fā)學(xué)生的興趣，引入是為了提起學(xué)生探索知識(shí)的欲望，同時(shí)進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)黃金分割的認(rèn)識(shí)。）

?（設(shè)計(jì)意圖：黃金分割在建筑，藝術(shù)，生活中的廣泛應(yīng)用。并解說(shuō)賞圖激趣中的部分圖片那些地方應(yīng)用了黃金分割這一知識(shí)。）中考鏈接

? 黃金分割是成比例線段中既特殊又重要的內(nèi)容，在建筑設(shè)計(jì)、服裝設(shè)計(jì)等很多方面都有它的應(yīng)用。

? 隨著中考命題向生活實(shí)際的貼近，這一節(jié)也將成 ? 為中考的一個(gè)重點(diǎn)?？嫉闹攸c(diǎn)應(yīng)是黃金分割的應(yīng)用。

課后小結(jié)

? 這節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？

? 研究這些問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

? 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們有怎樣的感受和體會(huì)呢？

作業(yè)的布置

? 1 必做題：P113，習(xí)題1題，3題。? 2 選做題：P113,2題，4題。

六、回顧反思

? 學(xué)生能主動(dòng)參與，積極思考，提高了對(duì)自己學(xué)習(xí)過(guò)程的認(rèn)知。

? 因?yàn)辄S金分割具有嚴(yán)格的比例性，藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。所以整節(jié)課學(xué)生在美的世界中自由馳騁，感受到了數(shù)學(xué)是一種美得科學(xué)，美就在我們身邊。

? 對(duì)于本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的講解，我遵循情境引入，激發(fā)興趣，學(xué)習(xí)過(guò)程體現(xiàn)自主，知識(shí)講解遵循循序漸進(jìn)的原則。

第三篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì)

§4.2 黃金分割

徐國(guó)軍

知識(shí)與技能目標(biāo)：

(1)結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，知道什么叫黃金分割，會(huì)求作一條線段的黃金分割點(diǎn)。(2)在應(yīng)用中進(jìn)一步理解線段的比，成比例線段等相關(guān)內(nèi)容。過(guò)程與方法目標(biāo)：

(1)在實(shí)際操作、思考、交流等過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí)和自信心，發(fā)展學(xué)生探究和綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。

(2)通過(guò)展現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、表達(dá)能力和邏輯思維能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

(1)通過(guò)黃金分割的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系以及對(duì)人類歷史發(fā)展的作用。

(2)通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割的一些應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)其文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)知識(shí)愛(ài)科學(xué)的熱情。

教學(xué)重點(diǎn)

了解黃金分割的意義，并能運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)

找黃金分割點(diǎn)和畫(huà)黃金矩形.教學(xué)方法：目標(biāo)教學(xué)法

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件，圖片等

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

生活中我們見(jiàn)到過(guò)許許多多的圖形，形態(tài)各異，美觀大方.那么這些漂亮的圖形你能畫(huà)出來(lái)嗎？比如，右圖是一個(gè)五角星圖案，如何找點(diǎn)C把AB分成兩段AC和BC，使得畫(huà)出的圖形勻稱美觀呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題.二、講授新課

在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長(zhǎng)度，然后計(jì)算它們的值相等嗎？

1.黃金分割的定義

ACBC、,ABAC

ACBC,那么稱線段AB?ABACAC被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈

AB在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果0.618.黃金分割在幾何作圖上有很多應(yīng)用，如五角星形的各邊是按黃金分割劃分的，其中點(diǎn)C就是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn).作圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割.黃金分割也被廣泛用在建筑設(shè)計(jì)、美術(shù)、音樂(lè)、藝術(shù)等方面.如在設(shè)計(jì)工藝品或日用品的寬和長(zhǎng)時(shí)，常設(shè)計(jì)成寬與長(zhǎng)的比近似為0.618,這樣易引起美感；在拍照時(shí)，常把主要景物攝在接近于畫(huà)面的黃金分割點(diǎn)處，會(huì)顯得更加協(xié)調(diào)、悅目；舞臺(tái)上報(bào)幕員報(bào)幕時(shí)總是站在近于舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處，這樣音響效果就比較好，而且顯得自然大方，等等.黃金分割在工廠里也有著普遍的應(yīng)用.如“優(yōu)選法”中常用的“0.618法”就是黃金分割的一種應(yīng)用.下面我們來(lái)學(xué)習(xí)如何找一條線段的黃金分割點(diǎn).2.作一條線段的黃金分割點(diǎn).如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=

1AB.2（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).若點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則點(diǎn)C分線段AB所成的線AC、BC間須滿足下面請(qǐng)大家進(jìn)行驗(yàn)證.自己有困難時(shí)可以互相交流.為了計(jì)算方便，可設(shè)AB=1.證明：∵AB=1,AC=x,BD=∴AD=x+

ACBC.?ABAC11AB= 221 2在Rt△ABD中，由勾股定理，得（x+12212）=1+（）22

∴x+x+2211=1+ 442∴x=1－x ∴x=1·（1－x）∴AC=AB·BC即：2ACBC ?ABAC即點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，在x=1－x中 整理，得x+x－1=0 ∴x=22?1?1?4?1?5? 22∵AC為線段長(zhǎng)，只能取正 ∴AC=5?1AC≈0.618 ∴≈0.618 2AB∴黃金比約為0.618.3.想一想

古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟（Parthenom Temple）.把它的正面放在一個(gè)矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？

在上面這個(gè)矩形中，寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形.你會(huì)作了嗎？

三、課堂練習(xí)P100

四、課時(shí)小結(jié)

1.黃金分割點(diǎn)的定義及黃金比.2.如何找一條線段的黃金分割點(diǎn)，以及會(huì)畫(huà)黃金矩形.3.能根據(jù)定義判斷某一點(diǎn)是否為一條線段的黃金分割點(diǎn).五.課后作業(yè)習(xí)題4.3 六.活動(dòng)與探究

要配制一種新農(nóng)藥，需要兌水稀釋，兌多少才好呢？太濃太稀都不行.什么比例最合適，要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定.如果知道稀釋的倍數(shù)在1000和2000之間，那么，可以把1000和2000看作線段的兩個(gè)端點(diǎn)，選擇AB的黃金分割點(diǎn)C作為第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，C點(diǎn)的數(shù)值可以算是1000+

BCAB,點(diǎn)E是AB?BEBC

（2000－1000）×0.618=1618.試驗(yàn)的結(jié)果，如果按1618倍，水兌得過(guò)多，稀釋效果不理想，可以進(jìn)行第二次試驗(yàn).這次的試驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)該選AC的黃金分割點(diǎn)D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，約等于1382，如果D點(diǎn)還不理想，可以按黃金分割的方法繼續(xù)試驗(yàn)下去.如果太濃，可以選DC之間的黃金分割點(diǎn)；如果太稀，可以選AD之間的黃金分割點(diǎn)，用這樣的方法，可以較快地找到合適的濃度數(shù)據(jù).這種方法叫做“黃金分割法”.用這樣的方法進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)，可以用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到最佳的數(shù)據(jù)，既節(jié)省了時(shí)間，也節(jié)約了原材料.

第四篇：關(guān)于黃金分割數(shù)學(xué)論文

關(guān)于黃金分割數(shù)學(xué)論文

學(xué)生姓名：柳靜漪

班級(jí)：

初一四班

一．簡(jiǎn)述黃金分割

1.黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長(zhǎng)段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。

2.關(guān)于黃金分割比例的起源大多認(rèn)為來(lái)自畢達(dá)哥拉斯，據(jù)說(shuō)在古希臘，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，在經(jīng)過(guò)鐵匠鋪前他聽(tīng)到鐵匠打鐵的聲音非常好聽(tīng)，于是駐足傾聽(tīng)。他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個(gè)聲音的比例被畢達(dá)哥拉斯用數(shù)理的方式表達(dá)出來(lái),被應(yīng)用在很多領(lǐng)域，后來(lái)很多人專門(mén)研究過(guò)，開(kāi)普勒稱其為“神圣分割”,也有人稱其為“金法”。在金字塔建成1000年后才出現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯定律，可見(jiàn)這很早就存在,只是不知道這個(gè)謎底。

3.把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小數(shù)點(diǎn)后三位的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗柔和，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個(gè)十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來(lái)近似，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以發(fā)現(xiàn)： 1÷0.618≈1.618

（1-0.618）÷0.618≈0.618 或根號(hào)5減1的差除以二。如圖所示，黃金分割圖形

二．黃金分割與生活 1.黃金分割與人體

人體肚臍的位置到腳底的長(zhǎng)度與人體身高的比值符合黃金比例

例如一個(gè)人身高為136cm，從肚臍到腳底有84cm，肚臍以上52cm，則52:84=0.619??，同時(shí)84:136=0.618??，符合黃金分割比例。2.黃金分割與建筑物

從4600年前修建的埃及金字塔，到2400年前修建的巴特農(nóng)神殿，到埃菲爾鐵塔、東方明珠、聯(lián)合國(guó)大廈，在許多著名的建筑中，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的巧合，那就是，它們都運(yùn)用了黃金分割。3.黃金分割與樂(lè)器

斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴時(shí)，運(yùn)用了黃金分割來(lái)確定f形洞的確切位置；二胡要獲得最佳音色，其千斤須放在琴弦長(zhǎng)度的0.618處。三．黃金分割與數(shù)學(xué) 1.黃金分割與圖形 ①黃金分割三角形

正五邊形對(duì)角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形有一個(gè)特殊性，所有的三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來(lái)生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形來(lái)生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°（即2*sin(π/10)）。

將一個(gè)正五邊形的所有對(duì)角線連接起來(lái)，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。

正五邊形內(nèi)的黃金分割三角形

②黃金矩形

若矩形的寬與長(zhǎng)的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形。

③尺規(guī)作圖

⒈ 設(shè)已知線段為AB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，且BD=AB/2； 2.連結(jié)AD；

⒊ 以D為圓心，DB為半徑作弧，交AD于E；

⒋ 以A為圓心，AE為半徑作弧，交AB于C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。

事實(shí)上，在一個(gè)黃金矩形中，以一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個(gè)四分之一圓，交較長(zhǎng)邊與一點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)，作一條直線垂直于較長(zhǎng)邊，這時(shí)，生成的新矩形（不是那個(gè)正方形）仍然是一個(gè)黃金矩形，這個(gè)操作可以無(wú)限重復(fù)，產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)黃金矩形。

2,。黃金分割與斐波那契數(shù)列

讓我們首先從一個(gè)數(shù)列開(kāi)始，它的前面兩個(gè)數(shù)是：

1、1，后面的每個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個(gè)數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”。

斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)菲波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個(gè)整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個(gè)無(wú)理數(shù)。但是當(dāng)我們繼續(xù)計(jì)算出后面更大的斐波那契數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實(shí)是非常接近黃金分割比的。

1/1=1 2/3=0.66?? 3/5=0.6 5/8=0.625 8/13=0.615 13/21=0.619?? 21/34=0.617?? 34/35=0.618?? 四．黃金分割與數(shù)學(xué)家

由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問(wèn)題，并建立起比例理論。他認(rèn)為所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比。而計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單的方法，是計(jì)算斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，...第二位起相鄰兩數(shù)之比，即2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。

黃金分割在文藝復(fù)興前后，經(jīng)過(guò)阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為“金法”，17世紀(jì)歐洲的一位數(shù)學(xué)家，甚至稱它為“各種算法中最可寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為“三率法”或“三數(shù)法則”，也就是我們現(xiàn)在常說(shuō)的比例方法。

公元前300年前后歐幾里得撰寫(xiě)《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。

中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)家帕喬利將中末比為神圣比例，并專門(mén)為此著書(shū)立說(shuō)。德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱黃金分割為神圣分割。

其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，中國(guó)也有記載。雖然沒(méi)有古希臘的早，但它是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的，后來(lái)傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于中國(guó)而經(jīng)過(guò)印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。

到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對(duì)它的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0.618法，是由美國(guó)數(shù)學(xué)家基 弗于1953年首先提出的，70年代由華羅庚提倡在中國(guó)推廣。五．優(yōu)選法

數(shù)字0.618?更為數(shù)學(xué)家所關(guān)注，它的出現(xiàn)，不僅解決了許多數(shù)學(xué)難題（如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、余弦值等），而且還使優(yōu)選法成為可能。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問(wèn)題的方法。如在煉鋼時(shí)需要加入某種化學(xué)元素來(lái)增加鋼材的強(qiáng)度，假設(shè)已知在每噸鋼中需加某化學(xué)元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當(dāng)?shù)募尤肓浚枰?000克與2000克這個(gè)區(qū)間中進(jìn)行試驗(yàn)。通常是取區(qū)間的中點(diǎn)（即1500克）作試驗(yàn)。然后將試驗(yàn)結(jié)果分別與1000克和2000克時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較，從中選取強(qiáng)度較高的兩點(diǎn)作為新的區(qū)間，再取新區(qū)間的中點(diǎn)做試驗(yàn)，再比較端點(diǎn)，依次下去，直到取得最理想的結(jié)果。這種實(shí)驗(yàn)法稱為對(duì)分法。但這種方法并不是最快的實(shí)驗(yàn)方法，如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)取在區(qū)間的0.618處，那么實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將大大減少。這種取區(qū)間的0.618處作為試驗(yàn)點(diǎn)的方法就是一維的優(yōu)選法，也稱0.618 法。實(shí)踐證明，對(duì)于一個(gè)因素的問(wèn)題，用“0.618法”做16次試驗(yàn)就可以完成“對(duì)分法”做2500次試驗(yàn)所達(dá)到的效果。因此大畫(huà)家達(dá)·芬奇把0.618?稱為黃金數(shù)。優(yōu)選法是一種具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)方法，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及它作出重要貢獻(xiàn)。優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割法。例如，在一種試驗(yàn)中，溫度的變化范圍是0℃~10℃，我們要尋找在哪個(gè)溫度時(shí)實(shí)驗(yàn)效果最佳。為此，可以先找出溫度變化范圍的黃金分割點(diǎn)，考察10×0.618=6.18（℃）時(shí)的試驗(yàn)效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）時(shí)的試驗(yàn)效果，比較兩者，選優(yōu)去劣。然后在縮小的變化范圍內(nèi)繼續(xù)這樣尋找，直至選出最佳溫度。

參考資料：《數(shù)學(xué)真好玩》《數(shù)學(xué)維生素》黃金分割文庫(kù)

第五篇：黃金分割教案設(shè)計(jì)

黃金分割

知識(shí)目標(biāo)：

1、通過(guò)學(xué)生的上網(wǎng)搜集，從不同形式的藝術(shù)作品、攝影作品及優(yōu)秀建筑上認(rèn)識(shí)黃金分割的重要意義。體會(huì)到“黃金分割”及“勾股定理”是幾何中的兩大寶藏。

2、“宇宙萬(wàn)物，凡符合黃金分割總是最美的。”對(duì)學(xué)生進(jìn)行美育教育。能力目標(biāo)：

通過(guò)以學(xué)生搜集信息、發(fā)布信息、處理和整合信息、應(yīng)用信息為主線，培養(yǎng)學(xué)生獲取知識(shí)的能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。引言：

自然界有一奇妙的小數(shù)——“0．618”．?dāng)?shù)千年來(lái)，數(shù)學(xué)家在研究它，美學(xué)家在探索它，藝術(shù)家在應(yīng)用它……古住今來(lái)，人類一直在追逐它。這就是我們這節(jié)課要研究的“黃金分割”。導(dǎo)課：

1、“蒙娜麗莎的微笑”是達(dá)芬奇最著名的作品之一，這幅畫(huà)中達(dá)〃芬奇將人體結(jié)構(gòu)的黃金比例運(yùn)用于人物繪畫(huà)，取得了極佳的藝術(shù)效果．使它成為一幅傳世名作，下面我們來(lái)了解什么是黃金分割。

2、在線段AB上，若要找出黃金分割的位臵，可以設(shè)分割點(diǎn)為G，則點(diǎn)G的位臵符合以下特性：AB：AG＝AG：GB。

設(shè)AB＝l；AG＝x，則l:x=x:(l-x)，即x2= 1－X解后舍去負(fù)值，得x≈0.618l 求得黃金分割點(diǎn)的位臵為線長(zhǎng)的0.618。

這一神奇的比例關(guān)系由古希臘數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”，簡(jiǎn)稱“黃金律”、“黃金比”．冠以“黃金”二字，足見(jiàn)人們對(duì)它的珍視。中世紀(jì)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒(Kepler)將黃金分割律和勾股定理并稱為“幾何學(xué)中的兩大寶藏”。19世紀(jì)威尼斯數(shù)學(xué)家帕喬里將黃金分割律譽(yù)為“神賜的比例”．

3、以黃金分割的長(zhǎng)段和短段作為矩形的長(zhǎng)和寬，構(gòu)成的黃金矩形在我們的生活中有廣泛的應(yīng)用。新課：

我們以黃金分割在人體、攝影、藝術(shù)、建筑、樂(lè)器、健康… …方面的應(yīng)用來(lái)了解黃金分割的魅力所在。（同學(xué)們以小組為單位，上網(wǎng)查找資料）。

（1）、人體：人體本身就是黃金分割律的杰出樣本。文藝復(fù)興時(shí)期，著名畫(huà)家、解剖學(xué)家達(dá)．芬奇通過(guò)人體解剖的測(cè)量和研究，發(fā)現(xiàn)人體結(jié)構(gòu)中許多比例關(guān)系接近o．618。如古希臘神話中的太陽(yáng)神阿波羅的形象、女神維納斯的塑像，分別代表男女形體美的典型，并完全符合黃金分割律，美妙絕倫。有人曾斷言：“宇宙萬(wàn)物，凡符合黃金分割律的總是最美的?！毕旅孀屛覀冇梦覀冋业降馁Y料來(lái)證明這些美的存在。（陳競(jìng)博）

（2）、攝影：在照片中要表現(xiàn)的主要部分應(yīng)安排在什么位臵才好看呢？攝影中最常用的辦法是黃金分割法，即在整個(gè)畫(huà)面的0.618位臵確定照片的趣味中心。（張玉婷）（3）、藝術(shù)：（4）、建筑：科學(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，黃金律是建筑藝術(shù)必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布臵腰線或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據(jù)黃金分割的原則來(lái)建造的。（石冰）

（5）、樂(lè)器：古希臘數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(PInthagoras)有一天路過(guò)一鐵匠鋪，被清脆悅耳的打鐵聲吸引住了，駐足細(xì)聽(tīng)，憑直覺(jué)認(rèn)定這聲音有“秘密”！他走進(jìn)鋪里，仔細(xì)測(cè)量了鐵砧和鐵錘的大小，發(fā)現(xiàn)它們之間的比例近乎于1：0.618．這一發(fā)現(xiàn)至今是各種樂(lè)器制造的科學(xué)依據(jù)。（范馨月）（6）、健康：（7）其它：（蘇琳）總結(jié)：

在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫(xiě)字臺(tái)面、書(shū)籍、衣服、門(mén)窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為０．６１８，你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例設(shè)計(jì)，都恪守０．６１８比值。在音樂(lè)會(huì)上，報(bào)幕員在舞臺(tái)上的最佳位臵，是舞臺(tái)寬度的０．６１８之處。

黃金分割冠以“黃金”二字，足見(jiàn)人們對(duì)它的珍視。藝術(shù)家們發(fā)現(xiàn)，遵循黃金分割來(lái)設(shè)計(jì)人體形象，人體就會(huì)呈現(xiàn)最優(yōu)美的身段，音樂(lè)家們發(fā)現(xiàn)，將手指放在琴弦的黃金分割點(diǎn)處，樂(lè)聲就益發(fā)宏亮，音色就更加和諧；建筑師們發(fā)現(xiàn)，遵循黃金分割去設(shè)計(jì)殿堂，殿堂就更加雄偉莊重，去設(shè)計(jì)別墅，別墅將更使人感到舒適；科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，將黃金分割運(yùn)用到生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，能夠取得顯著的經(jīng)濟(jì)效益……。黃金分割的應(yīng)用極其廣泛，不愧為幾何學(xué)的一大寶藏。