第一篇：高中數(shù)學(xué)余弦定理
高中數(shù)學(xué)余弦定理
[教學(xué)設(shè)計(jì)說明]
一、教案說明：
在進(jìn)入21世紀(jì)的當(dāng)前，教育正在由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，實(shí)施素質(zhì)教育就要求每位教師加強(qiáng)素質(zhì)教育課堂教學(xué)模式和教學(xué)策略的研究，這是歷史賦予我們這一代教育工作者的重任，也是一種機(jī)遇和挑戰(zhàn)。
《余弦定理》一課教學(xué)模式和策略設(shè)計(jì)就是想讓素質(zhì)教育如何落實(shí)在課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)上進(jìn)行一些探索和研究。旨在通過學(xué)生自己的思維活動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)能力)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力(培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)力(提高應(yīng)用能力)，最終達(dá)到素質(zhì)教育目的。為此，我在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，采用開放式課堂教學(xué)模式，以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥的課堂教學(xué)策略。
開放式教學(xué)模式是充分建立在學(xué)生學(xué)習(xí)過程認(rèn)識(shí)上的一種模式，其充分注重“人”的學(xué)習(xí)心理，通過設(shè)置開放性問題，問題的層次性推進(jìn)和教師啟發(fā)、點(diǎn)撥發(fā)展學(xué)生有效思維，提高數(shù)學(xué)能力，達(dá)到上述三種學(xué)力的提高、培養(yǎng)和誘發(fā)。以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥教學(xué)策略是體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育觀，在開放式討論過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)需要，使其獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能。
根據(jù)上述的體會(huì)、想法，我在余弦定理第一節(jié)教學(xué)課的設(shè)計(jì)上進(jìn)行一些探索，用圖解說明如下：
二、教學(xué)目標(biāo)：
1．掌握余弦定理及其多種推導(dǎo)過程。
2．通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高數(shù)學(xué)交流能力。3．綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決有關(guān)的實(shí)際問題。
三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用。難點(diǎn)是綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決有關(guān)解斜三角形的應(yīng)用題。[教學(xué)過程]
一、借助直觀，激發(fā)興趣，提出問題。
問題一：判別給出的四個(gè)三角形模型的形狀(不用測角工具)。
學(xué)生在回答過程中發(fā)現(xiàn)，有些三角形是很難憑自己經(jīng)驗(yàn)知識(shí)和直觀感覺就能做出判斷。顯然，我們可測出三角形的三邊長，這個(gè)問題就可歸納到這樣的問題：已知三角形三邊長，求三個(gè)角(只需求最大角)大小問題。
二、學(xué)生思考，小組交流，解決問題。
問題二：在ΔABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。
學(xué)生不同的解法簡錄：
方法一(方程思想)：如圖，BC2=CD2+BD2
即a2=：(b-ccosA)2十(csinA)2
方法二(解析法)：如圖建立直角坐標(biāo)系，B(ccosA，csinA)C(b，0)，由│BC│=a可得。
方法三(三角法)：如圖，設(shè)∠CAD=α,∠BAD=β AD=x, CD=y，則c2-(a-y)2=b2-y2，2ay：b2+a2-c2，X2+y2=b2
cosA：COS(a十β)：COSaCOSβ—sinasinβ
教師巡視，啟發(fā)點(diǎn)撥學(xué)生參與一題多解解法探求，組成四人小組交流發(fā)言，形成開放性求解研究的趣味，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生有三種不同的解法。有利于發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性，優(yōu)化學(xué)生思維的品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)交流能力。
三、讓學(xué)生在實(shí)踐中歸納整理得到余弦定理。歸納得：
并把這些數(shù)學(xué)表達(dá)式敘述成數(shù)學(xué)語言。
讓學(xué)生掌握由特殊到一般，類比、抽象和歸納等數(shù)學(xué)思想方法，并探求出一般結(jié)論——余弦定理。
四、使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，服務(wù)實(shí)踐。
問題三：如何用余弦定理判別△ABC形狀(已知三邊長a、b、c)。
解:不妨設(shè)a a2十b2>，c2<=> △ABC為銳角三角形，a2十b2=c2<=>ABC為直角三角形，a2十b2 問題四：請你設(shè)計(jì)一種方法，在河的一側(cè)測量出對岸某兩點(diǎn)間距離(工具有尺和測角器)。 學(xué)生方案實(shí)錄： 方案一：如圖一，在A、B所在對岸取點(diǎn)C，使A、B、C三點(diǎn)共線，再測出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tgα)方案二：如圖二，在A、B所在對岸取三點(diǎn)P、C、D，測出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，則AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB長。方案三：如圖三，在A、B所在對岸取C、D兩點(diǎn)，測出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再測出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)以四人小組展開討論、交流，教師巡視、啟發(fā)、點(diǎn)撥，最終出現(xiàn)三種解決問題的方法。通過開放性應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生思維得到升華，并在問題解決中感悟到探索價(jià)值，發(fā)展創(chuàng)造性思維。 五、小結(jié)。 增強(qiáng)學(xué)生記憶，加深理解，發(fā)展思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力。在教師啟發(fā)、點(diǎn)撥下，讓學(xué)生參與完成小結(jié)。1．掌握余弦定理表達(dá)式、各種變形表達(dá)式及語言敘述。2．余弦定理適用范圍，重視正、余弦定理的綜合應(yīng)用。 1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳 1.1.2余弦定理 蘄春三中劉芳 （一）教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 （二）教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用； 難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。 （三）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學(xué)用具：投影儀、計(jì)算器 （四）教學(xué)設(shè)想 [復(fù)習(xí)回顧] 1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知兩角和任一邊。 （2）已知兩邊和一邊的對角。 [提出問題] 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc ???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2???? 從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5) 同理可證a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角 7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？ （由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： b2?c2?a 2cosA?2bca2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC?[理解定理] 從而知余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ （由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 [例題分析] 題型一 已知兩邊及夾角解三角形 例1．在?ABC 中，已知a ?cB?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB =2?2?2?cos450 =12?2?1) =8 ∴b? 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2?c2?a22221⑵解法一：∵ cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵ sinA?sinB2.4?1.4? 3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。 題型二 已知三邊解三角形 例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 （見課本第8頁例4，可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解） 解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2 cosA? 87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2 cosB? 134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?； ? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053) ??90047.題型三 正、余弦定理的應(yīng)用比較 例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。 思考：求某角時(shí)，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？ [補(bǔ)充練習(xí)] 1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） 2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內(nèi)角。（答案：A=1200） [課堂小結(jié)] （1）利用余弦定理解三角形 ①．已知三邊求三角； ②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。 （2）余弦定理與三角形的形狀 （五）作業(yè)設(shè)計(jì) ①課后閱讀：課本第9頁[探究與發(fā)現(xiàn)] ②課時(shí)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第3，4題。 ③《名師一號》相關(guān)題目。 北師大版高中數(shù)學(xué)必修 52.1.2《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)目標(biāo) 認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理，掌握余弦定理的證明，會(huì)運(yùn)用余弦定解三角形中的兩類 基本問題。 能力目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)筑問題串，在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并探究余弦定理過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、聯(lián)想、遷移、歸納等能力；在證明定理過程中，體會(huì)向量的思想方法；在解決實(shí)際問題過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。 情感目標(biāo)：通過自主探究、合作交流，使學(xué)生體會(huì)到“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。 二、教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應(yīng)用。 難點(diǎn)：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。 三、學(xué)情分析和教法設(shè)計(jì)： 本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境—問題”教學(xué)法,從情境中提出數(shù)學(xué)問題,以“問題”為主線組織教學(xué),從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題串的過程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對余弦定理的證明，以分散難點(diǎn)；用向量證明余弦定理時(shí)，我首先引導(dǎo)學(xué)生利用向量證明勾股定，讓學(xué)生體會(huì)向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓勵(lì)學(xué)生證明余弦定理，最后通過二組例題加深學(xué)生對余弦定理的理解，體會(huì)余弦定理的實(shí)際應(yīng)用。 四、教學(xué)過程 環(huán)節(jié)一 【創(chuàng)設(shè)情境】 1、復(fù)習(xí)引入 讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個(gè)定理解決哪些類型的問題。 2、情景引入 浙江杭州淳安千島湖(圖片來自于http://image.baidu.com)，A、B、C三島位置如圖所示，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？ 啟發(fā)學(xué)生積極思考，嘗試轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用已學(xué)知識(shí)解決問題解決問題。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延長線于D，由∠ACB=120o，則∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6則CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得: AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km 答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km 探究2:若把上面這個(gè)問題變?yōu)椋?/p> 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎(chǔ)上，把具體數(shù)字用字母替換，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，不難得出 c2= a2+b2－2abcosC． 探究3:若把上面這個(gè)問題變?yōu)椋?/p> 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為銳角）求 c.如右圖，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成兩個(gè)直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2； 在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC． 容易求得：c2=a2+b2－2abcosC． 探究4: :若把上面這個(gè)問題變?yōu)椋?C B 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為直角）求 c.結(jié)合前面的探究，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？ 222此時(shí)，△ABC為直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以寫成c2=a2+b2－2abcos900 環(huán)節(jié)三【總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新知】 探究1：總結(jié)規(guī)律。 結(jié)合前面的探究，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，在△ABC中，無論∠C是銳角、直角還是鈍角，都有 c2=a2+b2－2abcosC 同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB． 這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余 弦的積的兩倍。 探究2：余弦定理的證明： 余弦定理是三角學(xué)中一個(gè)重要的定理，上一環(huán)節(jié)中的探究2—探究4是該定理的一種傳統(tǒng)的方法——幾何證法，歷史上有很多人對余弦定理的證明方法進(jìn)行研究，建議同學(xué)們登陸，在百度文庫中查閱有關(guān)三角學(xué)的歷史，了解余弦定理證明的一些經(jīng)典方法，如愛因斯坦的證法、坐標(biāo)法、用物理的方法以及張景中的《繞來繞去的向量法》和《仁者無敵面積法》等等。其中向量法是最簡潔、最明了的方法之一。 問題①:用向量的方法能證明勾股定理嗎? 222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求證：a=b+c B ????????????????證明：如右圖，在△ABC中，設(shè)AC?b,AB?c,CB?a.???????????????由向量的減法運(yùn)算法則可得，AB?AC?CB,即c?b?a ???????????A 222 等式兩邊平方得，c?b?2c?b?a，??????2202222由向量的運(yùn)算性質(zhì)得c?b?2c?b?Cos90?a即c?b?a 所以a2=b2+c 2問題②:如何用向量的方法證明余弦定理？ 0把問題①的證明中Cos90換為CosA即可。 教師點(diǎn)評：利用向量來證明勾股定理,讓學(xué)生體會(huì)向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發(fā)學(xué)生興趣，在此基礎(chǔ)上，可以很簡單的證明余弦定理，讓學(xué)生切身體會(huì)到向量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問題中的作用。 探究3：余弦定理的分析 問題①：在△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，有c2=a2+b2．若a，b邊的長度不變，變換∠C的大小時(shí)，c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請同學(xué)們思考。 首先，可借助于多媒體動(dòng)畫演示，讓學(xué)生直觀感受，a，b邊的長度不變時(shí)，∠C越小，AB的長度越短，∠C越大，AB的長度越長 222其后，引導(dǎo)學(xué)生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。 當(dāng)∠C=90°時(shí)，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當(dāng)∠C為銳角時(shí)，cosC>0，則有c2 2當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，cosC<0，則有c2＞a2+b2 問題②余弦定理作用？ 從以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,則可以得到余弦定理的另外一種形式： b2?c2?a2 cosA?2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2cosC?2ab 即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊； 知三求一已知三角形的三條邊，求角。 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可求另一邊；（方程的思想）環(huán)節(jié)四【及時(shí)練習(xí)，鞏固提高】 下面，請同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來解決以下例題。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個(gè)內(nèi)角的大小及其 面積。Q 環(huán)節(jié)五【應(yīng)用拓展，提高能力】 例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點(diǎn)是O，甲、乙兩人同是從點(diǎn)O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h、4.5km/h，B O P 3小時(shí)后兩個(gè)相距多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到0.1km）? 分析：經(jīng)過3時(shí)，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP=4?3=12（12km）乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ=4.5?3=13.5(km).問題轉(zhuǎn)化為在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的長。 例3 下圖是公元前約400 ┅的圖形（可登陸http://math.100xuexi.com 查閱詳細(xì)資料），試計(jì)算圖中線 段BD的長度及∠DAB的大小.1B A 環(huán)節(jié)六 【課堂反思總結(jié)】 通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對此 有何體會(huì)？（先由學(xué)生回答總結(jié)，教師適時(shí)的補(bǔ)充完善） 1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，運(yùn)用了分類討 論的數(shù)學(xué)思想； D C2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù) 學(xué)思想的應(yīng)用； 3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個(gè)定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題。環(huán)節(jié)七 【布置課后作業(yè)】 1、若三角形ABC的三條邊長分別為a?2，b?3，c?4，則2bccosA?2cacosB?2abcosC?。 2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC?13,則最大內(nèi)角的余弦值為 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。 4、p52教材習(xí)題2-1第6,7題。 五、教學(xué)反思 1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。 2、當(dāng)已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個(gè)問題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。 3、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境—問題”教學(xué)模式,沿著“設(shè)置情境—提出問題—解決問題—總結(jié)規(guī)律---應(yīng)用規(guī)律”這條主線,從情境中提出數(shù)學(xué)問題,以“問題”為主線組織教學(xué),形成以提出問題與解決問題攜手并進(jìn)的“情境—問題”學(xué)習(xí)鏈,目的使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí),發(fā)展能力,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程.5、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點(diǎn)睛。 6、在實(shí)際的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于所學(xué)的知識(shí)（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強(qiáng)。 1.2余弦定理 第1課時(shí) 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 三角形中的向量關(guān)系→余弦定理 學(xué)習(xí)要求 1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會(huì)向量的工具性； 3． 能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動(dòng)】 自學(xué)評價(jià) 1．余弦定理： (1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA? b 2?c 2?a 2，2bc ___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題： （１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】 【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】 點(diǎn)評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個(gè) 用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角． 【例2】A,B兩地之間隔著一個(gè)水塘，聽課隨筆 擇另一點(diǎn)C，測CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）． 【解】 【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)Ca2?b2?c2 ． 【證】 點(diǎn)評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓(xùn)練一 １．在△ＡＢＣ中，求a； （２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長為５，６，７，則用這 三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形 專心 Ｄ．不能組成三角形 ３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大?。?/p> ４．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經(jīng)過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠(yuǎn)？ 【選修延伸】 【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2 ?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。 （1）求角C的度數(shù)； （2）求AB的長；（3）求△ABC的面積?！窘狻?/p> 用心愛心 【例5】在△ABC中，角A、B、C聽課隨筆 分別為a，b，c，證明： a 2?b2 ?A?B?。 c 2? sinsinC 追蹤訓(xùn)練二 1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B 6?2C 6?2 6?22 D2 2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（） A?2??? B 3C6D 43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=? 6則此三角形有解。 4、△ABC中，若a2 ?c2 ?bc?b2，則A=_______.專心 【師生互動(dòng)】 用心愛心 專心3 第2課時(shí)余弦定理 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 余弦定理?航運(yùn)問題中的應(yīng)用 ? ?判斷三角形的形狀 學(xué)習(xí)要求 1．能把一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； 2．余弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟公式”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo)； 3．初步利用定理判斷三角形的形狀?！菊n堂互動(dòng)】 自學(xué)評價(jià) 1．余弦定理： (1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)變形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】 【例1】在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)江北岸B碼頭，???? 設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東150，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少（角度 精確到0.10，速度精確到0.1km/h）？ 【解】 用心愛心 聽課隨筆 【例2】在?ABC中，已知 sinA?2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀． 【解】 【例3】如圖，AM是?ABC中BC 中線，求證： AM? ． 【證明】 追蹤訓(xùn)練一 1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．?2 Ｃ．?1 Ｄ．?13 2.如圖，長７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯腳與壁基相距１．５ｍ，梯頂在沿著壁向上 專心 ６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精確到０.１°）． 3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形． 【選修延伸】 3【例4】在△ABC中，設(shè) a?b3?c3 a?b?c ?c2，且sinAsinB?34，請判斷三角形的形狀。 【解】 用心愛心聽課隨筆 專心第二篇：高中數(shù)學(xué)必修五1.1.2余弦定理
第三篇：北師大版高中數(shù)學(xué)必修5余弦定理
第四篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案1 蘇教版必修5
第五篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案2 蘇教版必修5
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