第一篇：向量的線性運(yùn)算競(jìng)教心得體會(huì)

課題：向量的線性運(yùn)算

教學(xué)反思

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。平面向量理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，解題方法獨(dú)特，對(duì)于學(xué)生來說比較困難。

向量是高中重要內(nèi)容之一，是解決幾何問題、函數(shù)問題等重要工具。本節(jié)內(nèi)容是平面向量的基礎(chǔ)，向量的概念，向量的加法和減法，實(shí)數(shù)與向量的積，兩個(gè)向量共線的充要條件是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。根據(jù)近幾年向量高考試題分析發(fā)現(xiàn)，考查主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn),側(cè)重于對(duì)向量的基本概念、向量運(yùn)算的關(guān)系的考查;與函數(shù)、解析幾何交匯命題則以解答題為主，所以復(fù)習(xí)時(shí)以基礎(chǔ)內(nèi)容為主，進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣咕毩?xí)。2014?考綱點(diǎn)擊：

1.了解向量的實(shí)際背景；

2.理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示；

4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；

5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.根據(jù)高考考綱要求，“平面向量的線性運(yùn)算”的學(xué)習(xí)要求是:掌握向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算，了解向量的線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，理解平面向量的基本概念和幾何表示，掌握向量的線性運(yùn)算是解決這些問題的最重要的工具之一，同時(shí)也將為后續(xù)的空間向量的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。向量的三類運(yùn)算：

（一）幾何運(yùn)算：數(shù)形結(jié)合是求解向量問題的基本方法。向量加法重點(diǎn)講解了三角形法則、平行四邊形法則，減法講解了三角形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

（二）代數(shù)運(yùn)算：

1、加法、減法的運(yùn)算法則；

2、實(shí)數(shù)與向量乘法法則；

3、向量數(shù)量積運(yùn)算法則。

（三）坐標(biāo)運(yùn)算：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是聯(lián)結(jié)幾何運(yùn)算與數(shù)量運(yùn)算的橋梁，在直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)運(yùn)算有加、減、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算。通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算有機(jī)結(jié)合起來，充分體現(xiàn)了解析幾何的思想，讓學(xué)生初步利用“解析法”來解決實(shí)際問題，也為以后學(xué)習(xí)解析幾何及立體幾何相關(guān)知識(shí)打下了基礎(chǔ)，作好了鋪墊。

本節(jié)的特點(diǎn)：

1、運(yùn)用類比、數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

2、利用“向量法”解決實(shí)際問題。向量與幾何之間存在著密切聯(lián)系；向量又有加、減、數(shù)乘積及數(shù)量積等運(yùn)算，也有平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，因而向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性，能聯(lián)系幾何與代數(shù)，從而給了我們一種新的數(shù)學(xué)方法--向量法。向量法能將技巧性解題化成算法性解題，為以后學(xué)習(xí)解析幾何與立體幾何打下了基礎(chǔ)。

3、強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力。指導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，能理解對(duì)問題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表述和說明，即實(shí)踐能力。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，我確定一下重、難點(diǎn)，重點(diǎn)：掌握向量的加法、減法及數(shù)乘向量的運(yùn)算；難點(diǎn)：理解向量加法、減法及數(shù)乘向量的幾何意義；基于本堂課的 教學(xué)重、難點(diǎn)和我班學(xué)生認(rèn)知水平，本堂課我采用講練結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流。新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，因此本節(jié)課以學(xué)生動(dòng)手練習(xí)為主題展開教學(xué)工作，在教師的引導(dǎo)和組織下，通過自主實(shí)踐來抓住本節(jié)課的重點(diǎn)，進(jìn)而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

教學(xué)體會(huì)

1、認(rèn)真研究《考試大綱》及教學(xué)要求和目標(biāo)，分析本章節(jié)特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)習(xí)本章可能會(huì)產(chǎn)生的正負(fù)遷移作用，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)劃，組織教學(xué)過程，做好學(xué)法指導(dǎo)。

2、在教學(xué)中重基礎(chǔ)知識(shí)，重基本方法，重基本技能，重教材，重應(yīng)用，重工具作用，不拔高，不選偏題和難題，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和按大綱要求進(jìn)行。

3、抓住向量的數(shù)形結(jié)合和具有幾何與代數(shù)的雙重屬性的特點(diǎn)，提高“向量法”的運(yùn)用能力，充分發(fā)揮工具作用。

4、強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，分類與討論的思想，方程的思想等；加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，提高引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及解決問題的能力。

第二篇：《向量的線性運(yùn)算》的教學(xué)設(shè)計(jì)

《向量的線性運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

1、本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍

本單元包括向量的概念、向量的加法、向量的減法、數(shù)乘向量和向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算，共5小節(jié)內(nèi)容。

2．本單元的教學(xué)內(nèi)容在模塊內(nèi)容體系中的地位和作用

站在數(shù)學(xué)學(xué)科角度來看平面向量，向量的運(yùn)算（包括中學(xué)階段的平面向量與空間向量）是在數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)上對(duì)運(yùn)算的發(fā)展；向量的兩重性使得向量成為幾何問題代數(shù)化的一個(gè)重要組成部分，這對(duì)數(shù)字化時(shí)代研究幾何問題提供了一個(gè)良好的手段；平面向量為研究三角函數(shù)、解析幾何等提供了工具作用；平面向量是空間向量的基礎(chǔ)。

《向量的線性運(yùn)算》作為平面向量的第一個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容，既是《平面向量》這一模塊的重要知識(shí)，也是學(xué)習(xí)本模塊其他知識(shí)的基礎(chǔ)。3．本單元的教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo)

（1）通過實(shí)例，了解平面向量的實(shí)際背景。

（2）理解平面向量和相等向量的含義，理解向量的幾何表示。

（3）通過實(shí)例，掌握向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運(yùn)算及其幾何意義；理解兩個(gè)向量共線的含義。

（4）了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。

（5）通過學(xué)習(xí)使學(xué)生初步體會(huì)向量所具有的代數(shù)和幾何的兩重性。4．本單元的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)和難點(diǎn)分析

本單元的教學(xué)重點(diǎn)包括向量的概念、向量的線性運(yùn)算和平行向量基本定理；難點(diǎn)是向量的概念。

通過學(xué)習(xí)使學(xué)生建立起向量的概念是學(xué)習(xí)向量知識(shí)的一個(gè)重要目標(biāo)，因而向量的概念是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容；向量的線性運(yùn)算不僅是本單元的教學(xué)重點(diǎn)也是本模塊的教學(xué)重點(diǎn)；通過學(xué)習(xí)習(xí)近平行向量基本定理不僅能加深對(duì)向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知識(shí)體系和數(shù)學(xué)的其他分支中都有廣泛的應(yīng)用，因此平行向量基本定理應(yīng)是本單元的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。

向量作為一個(gè)新的概念，學(xué)生開始接觸時(shí)自然會(huì)感到困難，加之2.1.1小節(jié)中不僅概念多，而且還有自由向量和位置向量的干擾，更使得向量的概念難上加難，因此向量的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。當(dāng)然，學(xué)生對(duì)向量的加法、減法運(yùn)算及平行向量基本定理的理解會(huì)產(chǎn)生一定的困難，但學(xué)生如果很好的理解了向量的概念，則著幾個(gè)難點(diǎn)的難度會(huì)隨之降下來。5．本單元教材的編寫特色

（1）用點(diǎn)的相對(duì)位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2）用放大、縮小理解數(shù)乘向量。用相似三角形的性質(zhì)理解數(shù)乘向量的分配率。

二、本單元所需教學(xué)資源的概述

教學(xué)中可采用幾何畫板及實(shí)物投影等輔助教學(xué)

三、本單元學(xué)時(shí)建議

本單元教學(xué)可用5課時(shí)來完成，具體分配如下： 2.1.1向量的概念1課時(shí)； 2.1.2向量的加法1課時(shí)； 2.1.3向量的減法1課時(shí)； 2.1.4數(shù)乘向量1課時(shí)；

2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1課時(shí)。

四、本單元的教學(xué)內(nèi)容處理的幾點(diǎn)想法 1．關(guān)于向量概念的教學(xué)（1）先由學(xué)生已有的位移的概念出發(fā)，引入向量的概念：

質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，在從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，這時(shí)點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的位置如何表示？

在由位移的概念引出向量的概念之后，再讓學(xué)生聯(lián)想已經(jīng)學(xué)習(xí)過的力、速度、加速度等知識(shí)來加深學(xué)生對(duì)向量概念的理解。

注意這里不是先介紹物理中的力、速度或加速度，而是重點(diǎn)由位移出發(fā)，它的好處在于：

① 在說明某點(diǎn)相對(duì)于另一個(gè)點(diǎn)的位置時(shí)，更容易讓學(xué)生具體的想到“大小”和“方向”； ② 從點(diǎn)的位移的角度更便于使學(xué)生理解自由向量；

③ 從位移的角度理解向量的概念的過程也為學(xué)生理解向量的加法打下伏筆。（2）在學(xué)生建立起自由向量的概念之后，對(duì)比自由向量認(rèn)識(shí)位置向量的概念。

????這里一方面要強(qiáng)調(diào)向量OA叫做點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置向量，另一方面要指出在研究向量時(shí)，常常要把多個(gè)向量通過平移，使他們有共同的起點(diǎn)，這時(shí)每個(gè)向量就有其終點(diǎn)唯一確定。

（3）教材中P78第22行“由以上分析，一個(gè)平面向量的直觀形象是平面上‘同向且等長(zhǎng)的有向線段的集合’”這一說法值得商榷。2．關(guān)于向量加法的教學(xué)

（1）結(jié)合位移的概念（右圖為向量第一節(jié)課圖形）理解向量的加法的三角形法則和多邊形法則。這樣可使學(xué)生理解起來更加自然，從而達(dá)到降低難度的目的。

（2）把向量加法的平行四邊形法則放在三角形法則之后，一方面可深化學(xué)生對(duì)向量加法的理解，也為學(xué)生日后學(xué)習(xí)向量的分解作知識(shí)準(zhǔn)備。

????（3）關(guān)于加法交換率a?b?b?a的證明，采用下面的方法學(xué)生接受起來可能會(huì)比課本上的方法更自然（以兩個(gè)向量不共線的情形為例）：

??????????????????已知向量a,b。如圖，作AB?a,BC?b，則AC?a?b。?????作CD?a，則四邊形ABDC為平行四邊形，???????????????BD?AC?a?b，?a?b?b?a。

教學(xué)過程中，可考慮采取小組探究的方式，讓學(xué)生尋找證明的方法。3．關(guān)于向量減法的教學(xué)

（1）類比數(shù)的運(yùn)算理解向量減法的兩種定義方式

方法1：實(shí)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算?向量減法是向量加法的逆運(yùn)算；

方法2：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)?減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向 量。

（2）從三角形法則和平行四邊形法則兩個(gè)角度理解兩個(gè)定義

方法1：向量的減法作為加法的逆運(yùn)算。從三角形法則角度看，兩個(gè)向量的減法是把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，他們的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量（下面圖形中的左圖）；

方法2：在相反向量的基礎(chǔ)上通過加法定義向量的減法，用平行四邊形法則理解更自然（下面圖形中的右圖）。

（3）可選配如下類型的例題、習(xí)題加深學(xué)生對(duì)向量加法和減法運(yùn)算的例解: 化簡(jiǎn)：

????????????????????????①CD?ED；②AB?DE?DB?EB。

4．關(guān)于數(shù)乘向量的教學(xué)

（1）類比數(shù)的乘法導(dǎo)入，并從圖形的“放大”“縮小”來直觀的理解數(shù)乘向量。

（2）對(duì)于數(shù)乘向量的三個(gè)運(yùn)算率，一般不要求學(xué)生證明。對(duì)于分配律可指導(dǎo)學(xué)生課后閱讀，對(duì)于前兩個(gè)運(yùn)算率，學(xué)生程度好的學(xué)?？蛇x取其中之一給出證明，而另外一個(gè)讓有興趣的學(xué)生嘗試課后給出證明方法。因?yàn)檫@個(gè)問題的證明有兩個(gè)重要作用： ①?gòu)?qiáng)化從“大小”和“方向”兩個(gè)角度把握向量概念的意識(shí)； ②培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想。（3）對(duì)于例3也可采取下面的解法：

???????????????????///?OA?3OA,AB?3AB，???????????????????///?OA?3OA,AB?3AB，?OA/B/??OAB，??????OAB??OAB，?OB?3OB。/,/??????????????????//?OB與OB方向相同，?OB?3OB。

本例從向量的形式表現(xiàn)了“兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”。5．關(guān)于向量共線的條件與軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算的教學(xué)

（1）平行向量基本定理的證明要求學(xué)生理解其中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系

????當(dāng)a??b時(shí)，由數(shù)乘向量的定義知a//b；

????????當(dāng)a//b時(shí)，若a?0，由于b?0，顯然存在唯一的實(shí)數(shù)??0使得a??b成立；

??bb????????若a?0且a,b方向相同，取???，則a??b，即存在???使得a??b成立。

aa????????現(xiàn)假設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)?1,?2使得a??1b和a??2b成立，于是?1b??1b，???1??2?b?0。

???b?0，??1??2?0,??1??2。???????a?0且a,b方向相同時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)?，使得a??b成立；

??????類似地可證明當(dāng)a?0且a,b方向相反時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)?，使得a??b成立?。

（2）通過例1的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)以下兩點(diǎn)

①由向量相等的一個(gè)條件可為我們帶來“長(zhǎng)度上的相等”和“方向上的平行”兩個(gè)方面的結(jié)果；

②研究?jī)蓚€(gè)向量的關(guān)系（相等）時(shí)，常常要把兩個(gè)向量用平面上不共線的兩個(gè)向量來表示。（3）通過例2的教學(xué)要讓學(xué)生掌握平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量平行。（4）軸上向量的坐標(biāo)的教學(xué)要圍繞平形向量基本定理的應(yīng)用展開。

??（5）教材中P91第11行“反過來，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們總能作一個(gè)向量a?xe，使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值，方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)一致”，這里的“方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)一致”是不是改成“方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)所確定的方向一致”更合適些。

第三篇：《平面向量的線性運(yùn)算》教學(xué)反思

復(fù)習(xí)本節(jié)課，應(yīng)該說是輕松的，復(fù)習(xí)目標(biāo)無非是1，向量概念的梳理，2向量的線性運(yùn)算，3，共線向量定理的應(yīng)用，《平面向量的線性運(yùn)算》教學(xué)反思。但實(shí)際上課過程中，我感覺很累，主要問題自己想了一下，主要是以下幾點(diǎn)：1，自身對(duì)向量的概念還沒有真正理解透，像有向線段只是向量的一種表現(xiàn)形式，但并不是向量，我不知道對(duì)于學(xué)生，我有沒有讓學(xué)生真正理解；2，板書不是強(qiáng)項(xiàng)，看到別的老師拿著三角板進(jìn)行作圖，本身自己作圖就不太好，還隨手畫，對(duì)于學(xué)生不是一個(gè)好現(xiàn)象；3，時(shí)間的把握上，7班明明只有35分，我還是發(fā)現(xiàn)自己有些廢話太多，導(dǎo)致沒有像在8班完整上完，教學(xué)反思《《平面向量的線性運(yùn)算》教學(xué)反思》。

第四篇：高二數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)：圓的方程+高等數(shù)學(xué)教案：向量及其線性運(yùn)算

高二數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)：圓的方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑.（2）掌握?qǐng)A的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化.（3）了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進(jìn)行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.（4）掌握直線和圓的位置關(guān)系，會(huì)求圓的切線.（5）進(jìn)一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.教學(xué)建議

教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的推導(dǎo)，根據(jù)條件求圓的方程，用圓的方程解決相關(guān)問題.②本節(jié)的難點(diǎn)是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用.教法建議

（1）圓是最簡(jiǎn)單的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時(shí)，有關(guān)圓的問題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識(shí)和方法.（2）在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié).（3）解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識(shí)和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識(shí)，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的意識(shí).（4）有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價(jià)值的問題.建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究.例如由過圓上一點(diǎn)的切線方程引申到切點(diǎn)弦方程就是一個(gè)很有價(jià)值的問題.類似的還有圓系方程等問題.二、教學(xué)設(shè)計(jì)示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).（2）能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑.（3）能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程.（4）通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法.教學(xué)重點(diǎn)：（1）用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑.（2）用待定系數(shù)法求圓的方程.教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程特點(diǎn)的研究.教學(xué)用具：計(jì)算機(jī).教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法.教學(xué)過程：

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開得

任何圓的方程都可以通過展開化成形如

①的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓?

師生共同討論分析：

如果①表示圓，那么它一定是某個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎?運(yùn)用配方法，得

②

顯然②是不是圓方程與

是什么樣的數(shù)密切相關(guān)，具體如下：

（1）當(dāng)

時(shí)，②表示以

為圓心、以

為半徑的圓；

（2）當(dāng)

時(shí)，②表示一個(gè)點(diǎn)；

（3）當(dāng)

時(shí)，②不表示任何曲線.總結(jié)：任意形如①的方程可能表示一個(gè)圓，也可能表示一個(gè)點(diǎn)，還有可能什么也不表示.圓的一般方程的定義：

當(dāng)

時(shí)，①表示以

為圓心、以

為半徑的圓，此時(shí)①稱作圓的一般方程.即稱形如的方程為圓的一般方程.【問題2】圓的一般方程的特點(diǎn)，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同.（1）

和的系數(shù)相同，都不為0.（2）沒有形如的二次項(xiàng).圓的一般方程與一般的二元二次方程

③

相比較，上述（1）、（2）兩個(gè)條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件.圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然.（2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用.【實(shí)例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形.（1）；

（2）；

（3）

.學(xué)生演算并回答

（1）表示點(diǎn)（0，0）；

（2）配方得，表示以

為圓心，3為半徑的圓；

（3）配方得，當(dāng)、同時(shí)為0時(shí)，表示原點(diǎn)（0，0）；當(dāng)、不同時(shí)為0時(shí)，表示以

為圓心，為半徑的圓.例2：求過三點(diǎn)，的圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)和半徑.分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解.解：設(shè)圓的方程為

因?yàn)?、、三點(diǎn)在圓上，則有

解得：，所求圓的方程為

可化為

圓心為，半徑為5.請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆脴?biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別.【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：

（1）求圓的方程多用待定系數(shù)法.其步驟為：由題意設(shè)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程）；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組求出系數(shù)，寫出方程.（2）如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程.一般地，易求圓心和半徑時(shí)，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點(diǎn)，可選用一般方程.下面再看一個(gè)問題：

例3：

經(jīng)過點(diǎn)

作圓的割線，交圓

于、兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.解：圓的方程可化為，其圓心為，半徑為2.設(shè)

是軌跡上任意一點(diǎn).∵

∴

即

化簡(jiǎn)得

點(diǎn)

在曲線上，并且曲線為圓

內(nèi)部的一段圓弧.【練習(xí)鞏固】

（1）方程

表示的曲線是以

為圓心，4為半徑的圓.求、、的值.（結(jié)果為4，-6，-3）

（2）求經(jīng)過三點(diǎn)、、的圓的方程.分析：用圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得圓的方程為

.（3）課本第79頁練習(xí)1，2.【小結(jié)】師生共同總結(jié)：

（1）圓的一般方程及其特點(diǎn).（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑.（3）用待定系數(shù)法求圓的方程.【作業(yè)】課本第82頁5，6，7，8.高等數(shù)學(xué)教案：向量及其線性運(yùn)算

一、向量概念

二、向量的線性運(yùn)算

本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：

理解向量的概念及其表示，會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運(yùn)算。

本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：

基本內(nèi)容：向量的定義，向量的線性運(yùn)算及其基本性質(zhì)

重點(diǎn)：向量的定義，向量的線性運(yùn)算及其基本性質(zhì)

難點(diǎn)：向量線性運(yùn)算基本性質(zhì)的證明和理解

對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)及重點(diǎn)難點(diǎn)的解決方法：

從中學(xué)平面解析幾何中代數(shù)與幾何的關(guān)系入手，指出可以用代數(shù)方法幫助研究幾何問題，從而提出建立空間坐標(biāo)系的重要性；引入向量的相關(guān)概念，定義向量的線性運(yùn)算并給出其幾何解釋。本節(jié)的難點(diǎn)為向量運(yùn)算基本性質(zhì)的證明與理解問題，首先應(yīng)該通過力學(xué)實(shí)例給出向量加法的物理學(xué)實(shí)例，從而引入向量加法的定義，完成從實(shí)例到抽象定義的轉(zhuǎn)化；然后在幾何上給出向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，說明其等價(jià)性，完成從抽象到具體幾何解釋的轉(zhuǎn)化，為后續(xù)證明打好基礎(chǔ)；接著定義向量與數(shù)的乘法，并給出幾何解釋；最后利用向量運(yùn)算的幾何解釋證明向量線性運(yùn)算的結(jié)合律與分配律。

例題：

例1

化簡(jiǎn)

例2

試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.其他例題見PPT

本授課單元教學(xué)手段與方法：

講授教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)五版）P301

5.本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）

高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)五版）P289---P294

注：1.每單元頁面大小可自行添減；2.一個(gè)授課單元為一個(gè)教案；3.“重點(diǎn)”、“難點(diǎn)”、“教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實(shí)驗(yàn)或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課。

第五篇：淺議向量組線性無關(guān)的證法

淺議向量組線性無關(guān)的證法

【摘要】根據(jù)輔導(dǎo)自學(xué)考試的教學(xué)經(jīng)歷，考查近幾年經(jīng)管類《線性代數(shù)》試題中有關(guān)向量組線性無關(guān)的證明（第27題），歸納分析該類考題的特點(diǎn)，并給出了一般的證明方法。本文通過展示對(duì)歷年考題的證明過程，闡述了向量組線性無關(guān)概念的多種靈活變形，提取這類題目的本質(zhì)并提出大致解題想法，從而為提高學(xué)生例題解析能力和培養(yǎng)邏輯歸納思維提供思路。

【關(guān)鍵詞】向量組 線性無關(guān) 齊次線性方程組

【中圖分類號(hào)】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）04-0251-01

向量組的線性無關(guān)性是線性空間結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)，在線性代數(shù)中有著重要作用，在矩陣、向量組的秩求解、正交向量組、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、二次型、線性空間變換中均有應(yīng)用。向量組的線性無關(guān)性判別證明以其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C，巧妙的歸納綜合等特點(diǎn)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)愛好者的科學(xué)智能，但也往往使得初學(xué)者難以抓住要領(lǐng)。針對(duì)學(xué)生的這一問題，為打消其顧慮調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，筆者根據(jù)多年《線性代數(shù)》自學(xué)考試的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合教材考試大綱分析命題思路，梳理歸納了歷年考題并給出證明。

全國(guó)高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題（經(jīng)管類）共27題，滿分是100分，第27題作為6分的壓軸題難度較大，學(xué)生對(duì)此往往有畏難心理。該題大多考查向量組線性無關(guān)的證明，在歷次考試中出現(xiàn)的幾率很高。例如：

一、（2009年1月第27題）

本題證法與前面不同的是，根據(jù)已知條件，可以寫出對(duì)應(yīng)的三元齊次線性方程組，得到系數(shù)行列式，且不等于零，依據(jù)克萊姆法則判斷，齊次線性方程組只有零解，故向量組線性無關(guān)。

從以上五個(gè)題的證明可以看出，命題緊緊聯(lián)系向量組線性無關(guān)的定義，重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用、思維發(fā)散能力及推理運(yùn)算技巧。

向量組的線性無關(guān)理論是在向量空間一章中講述的，是重要的部分，在求矩陣的秩、向量組的秩、正交向量組等均有廣泛的應(yīng)用，尤其在線性方程組解的理論中，求基礎(chǔ)解系、通解，不可或缺。因此，證明向量組線性無關(guān)，在考試中作為重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，恰如其分。學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)學(xué)習(xí)訓(xùn)練，提高邏輯歸納能力，才能融會(huì)貫通順利通過考試。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛少彰，劉吉佑.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與例題分析[M].北京郵電大學(xué)出版社，2003.[2]劉吉佑，徐誠(chéng)浩.線性代數(shù)： 經(jīng)管類[M].武漢大學(xué)出版社，2006.[3]劉吉佑，徐誠(chéng)浩.線性代數(shù)（經(jīng)管類）習(xí)題詳解[M].清華大學(xué)出版社，2007.[4]任功全，封建湖，薛宏智.線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.[5]付立江.線性無關(guān)向量組的構(gòu)造[J].黑龍江科技信息，2010（031）： 25-25.[6]王建平，曹殿立，孫成金，等.線性空間中線性無關(guān)向量組擴(kuò)充為基的研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版，2003，12（4）： 8-9.作者簡(jiǎn)介：

臧新建，男，1965年12月生，理學(xué)學(xué)士。研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。