第一篇：2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方案 第24講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算課時(shí)作業(yè) 新人教B版

課時(shí)作業(yè)(二十四)[第24講平面向量的概念及其線性運(yùn)算]

(時(shí)間：35分鐘 分值：80分)

基礎(chǔ)熱身

圖K24－1

1．如圖K24－1，e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a＋b＋c可表示為()

A．3e1－2e1

B．－3e1－3e2

C．3e1＋2e2

D． 2e1＋3e2

→→→→→→→→→2．給出下面四個(gè)命題：①AB＋BA＝0；②AB＋BC＝AC；③AB－AC＝BC；④0·AB＝0.其

中正確的個(gè)數(shù)為()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

3．[2012·東北師大附中二模] 已知a，b是兩個(gè)向量，則“a＝3b”是“|a|＝3|b|”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分不必要條件

→→→4．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若BC＝5e1，DC＝3e2，則OC＝()

11A.(5e1＋3e2)B.e1－3e2)22

11C.(3e2－5e1(5e2－3e1)22

能力提升

5．[2012·濟(jì)南二模] 已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP＝＋OB＋2OC，則點(diǎn)P一定為△ABC的()

A．AB邊中線的中點(diǎn)

B．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)

C．重心→11→321→2→

D．AB邊的中點(diǎn)

→→

6．[2012·銀川模擬] 已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()

A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1

→1→→

7．[2013·河北五校聯(lián)考] 已知點(diǎn)P為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且AP＝AB＋tAC，其

3中t為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部，則t的取值范圍是()

A．0

4312

C．0

8．[2012·北京海淀區(qū)期末] 如圖K24－2，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F→

是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．那么EF＝（）

圖K24－2

1→1→A.AB－231→1B.AB＋ 421→1→C.AB＋321→2→D.AB－ 23

→→→9．在三角形ABC中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上的點(diǎn)，且AB＝4AF.若AD＝

xAF＋yAE，則實(shí)數(shù)x＝________，實(shí)數(shù)y＝________．

→→→

10．化簡：AB＋BC－DC＝________．

→→

圖K24－3

→→→111．在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點(diǎn)D，使DBOB，DC與OA交于

E，設(shè)OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC＝________，DC＝________．

→→→

12．(13分)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA＋OB＋OC＝0，求證：O為△ABC的重心．難點(diǎn)突破

→3→1→

13．(12分)若M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AMAB＋AC，求△ABM與△ABC的面積之比．

→→→→

課時(shí)作業(yè)(二十四)

【基礎(chǔ)熱身】

1．C [解析] a＋b＋c＝e1＋2e2＋(e1－2e2)＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.→→→→

2．B [解析] ①對(duì)；②對(duì)；AB－AC＝CB，③錯(cuò)；④0·AB＝0，錯(cuò)．

3． A [解析] 由a＝3b可得|a|＝3|b|；反之，由|a|＝3|b|不一定得到a＝3b，方向不確定，故選A.→→→1→

4．A [解析] 因?yàn)榫匦蜛BCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若BC＝5e1，DC＝3e2，則OC＝BC

2→

＋DC)，故選A.【能力提升】

→→→→11→→1→

5．B [解析] ∵O是△ABC的重心，∴OA＋OB＋OC＝0，∴OP－＋2OC＝OC，∴

322點(diǎn)P是線段OC的中點(diǎn)，即是AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)．故選B.→→→→

6．D [解析] 由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三點(diǎn)共線得AB＝tAC(t∈R)，?λ＝t，?

所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，所以?即λμ＝1.?1＝tμ，?

→1→→1→

7．D [解析] 在AB上取一點(diǎn)D，使得AD＝AB，在AC上取一點(diǎn)E，使得AE，則由

33→1→→

向量的加法的平行四邊形法則，APAB＋tAC，結(jié)合圖形可知若點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部，則

0

8．D [解析] 在△CEF中，有EF＝EC＋CF，因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，故EC＝DC，因?yàn)辄c(diǎn)F

2→2→121→2→12→

為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，故CF＝，∴EF＝＋CB＝AB＋DA＝－AD，故選D.3232323

1→→→→

9．2 1 [解析] →AD＝2(AC＋AB)＝AE＋2AF，∴x＝2，y＝1.→→→→→→→→→＋BC10.AD [解析] AB－DC＝AC－DC＝AC＋CD＝AD.5→1→→→→→11．2a－b 2a－ [解析] 因?yàn)锳是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝(OB＋OC)，即OC＝2OA－OB

＝2a－b；

→

25→→→2→

DC＝OC－OD＝OC＝2a－b－＝2a－.333

→→→→→→→→→

12．證明：因?yàn)镺A＋OB＋OC＝0，所以O(shè)A＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是與OA方向相反且長度相等的向量，如圖所示，以O(shè)B，OC為相鄰兩邊作平行四邊形OBDC.則→OD＝→OB＋→OC，所以→OD＝－→OA.在平行四邊形OBDC中，設(shè)BC與OD相交于E，則→BE＝→EC，→OE＝→ED，所以AE是△ABC的BC邊的中線，且|→OA|＝2|→

OE|，根據(jù)平面幾何知識(shí)知O是△ABC的重心． 【難點(diǎn)突破】

13．解：∵→AM＝34＋1→

4AC，∴→AM＝34→MB－→

MA)＋14→MC－→MA)，∴3→4MB＋1→

4＝0，∴→MC＝3→BM，∴

S△ABMS1

.△ABC4

第二篇：數(shù)學(xué)高考平面向量的概念及線性運(yùn)算專題復(fù)習(xí)題附答案

長度等于0的向量叫做零向量，下面的是數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)近平面向量的概念及線性運(yùn)算專題測試，請(qǐng)考生及時(shí)練習(xí)。

一、填空題

1.若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2++=0，那么=________.[解析] 因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，+=2，又2++=0，2+2=0，即=.因此=2，故=.[答案]

2.(2014鎮(zhèn)江質(zhì)檢)若a+c與b都是非零向量，則a+b+c=0是b(a+c)的________條件.[解析] 若a+b+c=0，則b=-(a+c)，b∥(a+c);

若b(a+c)，則b=(a+c)，當(dāng)-1時(shí)，a+b+c0.因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要條件.[答案] 充分不必要

3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則k=________.[解析] =e1+e2，=2e1-3e2，=+=3e1-2e2.A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∥，從而存在實(shí)數(shù)，使得=.3e1-2e2=3e1-ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k=2.[答案]

24.(2014南京調(diào)研)在ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，=+(，R)，則的最大值為________.[解析] D在邊BC上，且=+，0，0，且+=1，2=，當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)，取=號(hào).[答案]

5.(2014泰州市期末考試)在ABC中，=2，若=1+2，則12的值為________.[解析] =+=+，而=-，所以=+，所以1=，2=，則12=.[答案]

6.(2014南京市調(diào)研)如圖43所示，在ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的點(diǎn)，且=3，若=x+y，x，yR，則x+y的值為________.圖

43[解析] D為BC的中點(diǎn)，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.[答案]

7.(2014宿遷質(zhì)檢)若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5=+3，則ABM與ABC的面積比為________.[解析] 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖所示，由5=+3得

3-3=2-2，即3=2.故C，M，D三點(diǎn)共線，且=.所以===.[答案]

8.(2014揚(yáng)州質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，||=4，|+|=|-|，則||=________.[解析] 延長AM至點(diǎn)D，連結(jié)BD、CD，則ABDC為平行四邊形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，||=||=2.[答案]

2二、解答題

9.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線;

(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka+b和a+kb共線.[解](1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線.(2)假設(shè)ka+b與a+kb共線，則存在實(shí)數(shù)，使ka+b=(a+kb)，即(k-)a=(k-1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，k-=k-1=0.k2-1=0，k=1.10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.圖44

[解] ==b.=-=b-a.由ADE∽△ABC，得==(b-a).又AM是ABC的中線，DEBC，得==(b-a).又=(+)=(a+b).==(a+b).

第三篇：數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案：第76課時(shí)：第九章 直線、平面、簡單幾何體-空間向量及其運(yùn)算

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案

第76課時(shí)：第九章 直線、平面、簡單幾何體——空間向量及其運(yùn)算

課題：空間向量及其運(yùn)算

一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：理解空間向量的概念、掌握空間向量的有關(guān)運(yùn)算及其性質(zhì)． 二．主要知識(shí)：

??1．a(chǎn),b向量共線的充要條件： ；

2．三點(diǎn)共線： ； 3．三向量共面： ； 4．四點(diǎn)共面： ； 5．兩向量夾角的范圍 ； 三．課前預(yù)習(xí)：

?????1．如圖：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)。若AB?a??????????AD?b，AA1?c，則下列向量中與BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB1?1??(A)?a?b?c221?1??(C)?a?b?c221?1??(B)a?b?c22

A(D)12a?12b?c

2．有以下命題：

①如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么a,b的關(guān)系是不共線；

????????????②O,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量OA,OB,OC????不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O,A,B,C一定共面；

???③已知向量a,b,c?????是空間的一個(gè)基底，則向量a?b,a?b,c，也是空間的一個(gè)基底。

其中正確的命題是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命題正確的是（）

??(A)若a與b?共線，b??與c共線，則a????與c共線；(B)向量a,b,c共面就是它們所在的直線共面；

??(D)若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)?(C)零向量沒有確定的方向；??使得a??b；

4．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）

(A)OM?OA?OB?OC(C)OM?OA?12OB?(B)OM13OC?2OA?OB?OC?13OA?13

13OC(D)OMOB?

四．例題分析： 例1．已知在正三棱錐P?PG?BCABC中，M,N分別為PA,BC中點(diǎn)，G為MN中點(diǎn)，求證：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，（1）用向量法證明E,F,G,H四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；

（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有

?????1????????????????OM?(OA?OB?OC?OD)4

E A

例3．在平行六面體ABCDB H M O D

F G C

?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1C1

D1 2）直線BD1與AC所成角長為b，且 ?AA1B1??AA1D1?120?，求（1）AC1的長；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．課后作業(yè)：

????????????????1．對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A,B,C，點(diǎn)P滿足OP?xOA?yOB?zOC是點(diǎn)P,A,B,C共面的（）

充分不必要條件(B)必要不充分條件(A)

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

????????????????2．棱長為a的正四面體中，AB?BC?AC?BD????3．向量a,b,c?。

??????兩兩夾角都是60，|a|?1,|b|?2,|c|?3，則|a?b?c|?4．已知正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)E,F分別是上底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

??????????????????（1）AC1?x(AB?BC?CC1)，則x? ； ????????????????AE?AA?xAB?yAD（2）1????????????????（3）AF?AD?xAB?yAA1，則x? ；y? ；，則x? ；y? ；

5．已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1，化簡下列向量表達(dá)式，并填上化簡后的結(jié)果向量：

???????????????（1）AB?C1B1?CD1? ； ????????????（2）AB?AD?AA1?。

6．設(shè)ABCD?A1B1C1D1是平行六面體，M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)

?????????????????角線BC1上的點(diǎn)，且BN?3NC1，設(shè)MN?aAB?bAD?cAA1，試求a,b,c的值。

??7．空間四邊形OABC中，求OA與BCOA?8,AB?6,AC?4,BC?5,?OAC?45,?OAB?60，夾角的余弦值。

8．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分別為平行六面體棱的中點(diǎn)，??????????????求證：（1）LE?FG?HK?0

A1D1ELC1B1K（2）E,F,G,H,K,L六點(diǎn)共面.FDCAGBH 5

第四篇：【高考A計(jì)劃】2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第2課時(shí) 集合的運(yùn)算學(xué)案 新人教A版

【高考A計(jì)劃】2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第2課時(shí) 集合的運(yùn)算學(xué)案 新

人教A版

一．課題：集合的運(yùn)算

二．教學(xué)目標(biāo)：理解交集、并集、全集、補(bǔ)集的概念，掌握集合的運(yùn)算性質(zhì)，能利用數(shù)軸或文氏圖

進(jìn)行集合的運(yùn)算，進(jìn)一步掌握集合問題的常規(guī)處理方法．

三．教學(xué)重點(diǎn)：交集、并集、補(bǔ)集的求法，集合語言、集合思想的運(yùn)用．

四．教學(xué)過程：

（一）主要知識(shí)：

1．交集、并集、全集、補(bǔ)集的概念；

2．AB?A?A?B，AB?A?A?B；

3．CUACUB?CU(AB)，CUACUB?CU(AB)．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、補(bǔ)集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或文氏圖的作用；

2．含參數(shù)的問題，要有討論的意識(shí)，分類討論時(shí)要防止在空集上出問題；

3．集合的化簡是實(shí)施運(yùn)算的前提，等價(jià)轉(zhuǎn)化常是順利解題的關(guān)鍵．

（三）例題分析：

?例1．設(shè)全集U?x|0?x?10,x?N，若A??B??3?，ACUB??1,5,7?，CUACUB??9?，則A??1,3,5,7?，B??2,3,4,6,8?．

解法要點(diǎn)：利用文氏圖．

322例2．已知集合A?x|x?3x?2x?0，B?x|x?ax?b?0，若AB??x|0?x?2?，????

AB??x|x??2?，求實(shí)數(shù)a、b的值．

32解：由x?3x?2x?0得x(x?1)(x?2)?0，∴?2?x??1或x?0，∴A?(?2,?1)(0,??)，又∵AB??x|0?x?2?，且AB??x|x??2?，2∴B?[?1,2]，∴?1和2是方程x?ax?b?0的根，由韋達(dá)定理得：??1?2??a，∴a??1． ?1?2?bb??2

y?1?0}，則AB??； x?2?說明：區(qū)間的交、并、補(bǔ)問題，要重視數(shù)軸的運(yùn)用．例3．已知集合A?{(x,y)|x?2y?0}，B?{(x,y)|

AB?{(x,y)|(x?2y)(y?1)?0}；（參見《高考A計(jì)劃》考點(diǎn)2“智能訓(xùn)練”第6題）． 解法要點(diǎn)：作圖．

注意：化簡B?{(x,y)|y?1,x?2}，(2,1)?A．

例4．（《高考A計(jì)劃》考點(diǎn)2“智能訓(xùn)練”第15題）已知集合A?{y|y?(a?a?1)y?a(a?1)?0}，222

B?{y|y?

125x?x?,0?x?3}，若AB??，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．221

解答見教師用書第9頁．

2例5．（《高考A計(jì)劃》考點(diǎn)2“智能訓(xùn)練”第16題）已知集合A?(x,y)|x?mx?y?2?0,x?R，??

B??(x,y)|x?y?1?0,0?x?2?，若AB??，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

分析：本題的幾何背景是：拋物線y?x2?mx?2與線段y?x?1(0?x?2)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

x2?mx?y?2?0解法一：由得x2?(m?1)x?1?0① x?y?1?0

∵AB??，∴方程①在區(qū)間[0,2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，首先，由??(m?1)2?4?0，解得：m?3或m??1．

設(shè)方程①的兩個(gè)根為x1、x2，（1）當(dāng)m?3時(shí)，由x1?x2??(m?1)?0及x1?x2?1知x1、x2都是負(fù)數(shù)，不合題意；

（2）當(dāng)m??1時(shí)，由x1?x2??(m?1)?0及x1?x2?1?0知x1、x2是互為倒數(shù)的兩個(gè)正數(shù)，故x1、x2必有一個(gè)在區(qū)間[0,1]內(nèi)，從而知方程①在區(qū)間[0,2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(??,?1]．

2y?x?mx?2在[0,2]上有解，解法二：問題等價(jià)于方程組y?x?1??

即x2?(m?1)x?1?0在[0,2]上有解，令f(x)?x2?(m?1)x?1，則由f(0)?1知拋物線y?f(x)過點(diǎn)(0,1)，∴拋物線y?f(x)在[0,2]上與x軸有交點(diǎn)等價(jià)于f(2)?22?2(m?1)?1?0①???(m?1)2?4?0?1?m?2或?0?② 22??f(2)?2?2(m?1)?1?0

33由①得m??，由②得??m?1，22

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(??,?1]．

（四）鞏固練習(xí)：

1．設(shè)全集為U，在下列條件中，是B?A的充要條件的有

①AB?A，②CUAB??，③CUA?CUB，④ACUB?U，（D）

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

2．集合A?{(x,y)|y?a|x|}，B?{(x,y)|y?x?a}，若AB為單元素集，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[?1,1] ．

五．課后作業(yè)：《高考A計(jì)劃》考點(diǎn)2，智能訓(xùn)練3，7，10，11，12，13．

第五篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

*第十三章 導(dǎo)數(shù)

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導(dǎo)數(shù)實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)函數(shù)基本導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極大(小)值求函數(shù)的最大(小)值導(dǎo)數(shù)幾何意義 ●考點(diǎn)目標(biāo)定位

1.理解導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義，會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率和物體運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)處的瞬時(shí)速度.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.理解函數(shù)極大（小）值的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式、函數(shù)的極值及在閉區(qū)間上的最值，會(huì)求一些簡單的實(shí)際問題的最大（?。┲?●復(fù)習(xí)方略指南

在本章的復(fù)習(xí)過程中應(yīng)始終把握對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)、計(jì)算及應(yīng)用這條主線.復(fù)習(xí)應(yīng)側(cè)重概念、公式、法則在各方面的應(yīng)用，應(yīng)淡化某些公式、法則的理論推導(dǎo).課本只給出了兩個(gè)簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們只要求記住這幾個(gè)公式，并會(huì)應(yīng)用它們求有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.從2000年高考開始，導(dǎo)數(shù)的知識(shí)已成為高考考查的對(duì)象，特別是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考的重要內(nèi)容之一，題型涉及選擇題、填空題與解答題，要給予充分的重視.但是，本章內(nèi)容是限定選修內(nèi)容，試題難度不大，要重視基本方法和基礎(chǔ)知識(shí)；做練習(xí)題時(shí)要控制好難度，注意與函數(shù)、數(shù)列、不等式相結(jié)合的問題.第1頁（共7頁）

13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

●知識(shí)梳理

1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.（1）求函數(shù)的改變量Δy；（2）求平均變化率

?y.?x?x?0（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f?（x0）=lim?y.?x2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義

幾何意義：曲線f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過點(diǎn)（x0，y0）的切線斜率.物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t），在點(diǎn)P（i0，s（t0））處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的瞬時(shí)速度.3.求導(dǎo)公式

－(c)?=0，(xn)?=n·xn1（n∈N*）.4.運(yùn)算法則 如果f（x）、g（x）有導(dǎo)數(shù)，那么［f（x）±g（x）]?=f?（x）±g′（x），［c·f（x）]?= cf?（x）.●點(diǎn)擊雙基

1.若函數(shù)f（x）=2x2－1的圖象上一點(diǎn)（1，1）及鄰近一點(diǎn)（1+Δx，1+Δy），則等于

A.4

B.4x

?y?x

C.4+2Δx

D.4+2Δx2 ?y=4+2Δx.?x解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，答案：C 2.對(duì)任意x，有f?（x）=4x3，f（1）=－1，則此函數(shù)為

A.f（x）=x4－2

B.f（x）=x4+2 C.f（x）=xD.f（x）=－x4 解析：篩選法.答案：A 3.如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 A.6

B.18

C.54

D.81 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.答案：C 4.若拋物線y=x2－x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是－2，拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為________.解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.6?c又P（－2，6+c），∴=－5.?2∴c=4.答案：4 5.設(shè)函數(shù)f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是兩兩不等的常數(shù)），則

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abc++=________.f?(a)f?(b)f?(c)解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴f?（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又f?（a）=（a－b）（a－c），同理f?（b）=（b－a）（b－c），（c－b）.f?（c）=（c－a）代入原式中得值為0.答案：0 ●典例剖析

【例1】（1）設(shè)a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為［0，A.［0，π］，則P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸距離的取值范圍為 411］

B.［0，］ a2a C.［0，|

b|］ 2a D.［0，|

b?1|］ 2a（2）（2004年全國，3）曲線y=x3－3x2+1在點(diǎn)（1，－1）處的切線方程為 A.y=3x－4

B.y=－3x+2

C.y=－4x+3

D.y=4x－5 41（3）（2004年重慶，15）已知曲線y=x3+，則過點(diǎn)P（2，4）的切線方程是______.33（4）（2004年湖南，13）過點(diǎn)P（－1，2）且與曲線y=3x2－4x+2在點(diǎn)M（1，1）處的切線平行的直線方程是______.剖析：本題的各小題都是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.解析：（1）∵過P（x0，f（x0））的切線的傾斜角的取值范圍是［0，∴P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸x=－

π］，4bbb的距離d=x0－（－）=x0+.2a2a2a又∵f?（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［?b1?bb1，］.∴d=x0+∈［0，］.2a2a2a2a（2）∵點(diǎn)（1，－1）在曲線上，y′=3x2－6x，∴切線斜率為3×12－6×1=－3.∴所求切線方程為y+1=－3（x－1）.41（3）∵P（2，4）在y=x3+上，33又y′=x2，∴斜率k=22=4.∴所求直線方程為y－4=4（x－2），4x－y－4=0.（4）y′=6x－4，∴切線斜率為6×1－4=2.∴所求直線方程為y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.答案：（1）B（2）B（3）4x－y－4=0（4）2x－y+4=0 評(píng)述：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)基本應(yīng)用.思考討論

導(dǎo)數(shù)除用來求切線的斜率外，還有哪些方面的應(yīng)用? 答：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較廣，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值、最值等.【例2】 曲線y=x3在點(diǎn)（3，27）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是多少?

第3頁（共7頁）

剖析：求出切線的方程后再求切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).解：曲線在點(diǎn)（3，27）處切線的方程為y=27x－54，此直線與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（2，0）和（0，－54），∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是S=

1×2×54=54.2評(píng)述：求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)基本應(yīng)用.【例3】 已知曲線C：y=x3－3x2+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠0），求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).剖析：切點(diǎn)（x0，y0）既在曲線上，又在切線上，由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.y解：∵直線過原點(diǎn)，則k=0（x0≠1）.x0由點(diǎn)（x0，y0）在曲線C上，則y0=x03－3x02+2x0，y∴0=x02－3x0+2.x0又y′=3x2－6x+2，∴在（x0，y0）處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=f?（x0）=3x02－6x0+2.∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2.整理得2x02－3x0=0.解得x0=3（∵x0≠0）.231這時(shí)，y0=－，k=－.84因此，直線l的方程為y=－

133x，切點(diǎn)坐標(biāo)是（，－）.428評(píng)述：對(duì)于高次函數(shù)凡涉及到切線或其單調(diào)性的問題時(shí)，要有求導(dǎo)意識(shí).【例4】 證明：過拋物線y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

1.函數(shù)f（x）=（x+1）（x2－x+1）的導(dǎo)數(shù)是 A.x2－x+1

B.（x+1）（2x－1）

C.3x2 D.3x2+1 解析：∵f（x）=x3+1，∴f?（x）=3x2.第4頁（共7頁）

答案：C 2.曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程為3x+y+3=0，則 A.f?（x0）>0

B.f?（x0）<0 C.f?（x0）=0

D.f?（x0）不存在 解析：由題知f?（x0）=－3.答案：B 3.函數(shù)f（x）=ax3+3x2+2，若f?（－1）=4，則a的值等于________.解析： f?（x）=3ax2+6x，從而使3a－6=4，∴a=答案： 10 310.34.曲線y=2x2+1在P（－1，3）處的切線方程是________________.解析：點(diǎn)P（－1，3）在曲線上，k=f?（－1）=－4，y－3=－4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=0 5.已知曲線y=x2－1與y=3－x3在x=x0處的切線互相垂直，求x0.解：在x=x0處曲線y=x2－1的切線斜率為2x0，曲線y=3－x3的切線斜率為－3x02.1∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=3.61答案： 3

66.點(diǎn)P在曲線y=x3－x+

2上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為?，求?的范圍.3解：∵tan?=3x2－1，∴tan?∈［－1，+∞）.當(dāng)tan?∈［0，+∞）時(shí)，?∈［0，當(dāng)tan?∈［－1，0）時(shí)，?∈［∴?∈［0，π）； 23π，π）.4π3π）∪［，π）.24培養(yǎng)能力

7.曲線y=－x2+4x上有兩點(diǎn)A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程；

（2）在曲線AB上是否存在點(diǎn)C，使過C點(diǎn)的切線與AB所在直線平行?若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）kAB=4?0=－2，2?4∴y=－2（x－4）.∴所求割線AB所在直線方程為2x+y－8=0.（2）y?=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），所求切線方程為2x+y－9=0.8.有點(diǎn)難度喲！

若直線y=3x+1是曲線y=x3－a的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），對(duì)y=x3－a求導(dǎo)數(shù)是

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y?=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.（1）當(dāng)x=1時(shí)，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.（2）當(dāng)x=－1時(shí)，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為－3或1.9.確定拋物線方程y=x2+bx+c中的常數(shù)b和c，使得拋物線與直線y=2x在x=2處相切.解：y?=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，∴b=－2.又當(dāng)x=2時(shí)，y=22+（－2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究創(chuàng)新

10.有點(diǎn)難度喲！

曲線y=x3+3x2+6x－10的切線中，求斜率最小的切線方程.解：y?=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1時(shí)，切線最小斜率為3，此時(shí)，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切線方程為y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.●思悟小結(jié)

1.理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何和物理方面的意義是解題的關(guān)鍵.2.非多項(xiàng)式函數(shù)要化成多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo).3.要注意含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的寫法及研究在不定點(diǎn)處切線問題時(shí)切點(diǎn)的設(shè)法.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.f?（x0）=lim(x0??x)?f(x0)的幾種等價(jià)形式：

x?0?xf(x)?f(x0)f?（x0）=limx?x0x?x0h?0=lim=limf(x0?h)?f(x0)

hf(x0)?f(x0?h)

hh?02.曲線C：y=f（x）在其上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程為 y－f（x0）=f?（x0）（x－x0）.3.若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s（t），則質(zhì)點(diǎn)在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度為v=s?（t0）.這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.4.直線與曲線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，由解析幾何知，直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即切點(diǎn).第6頁（共7頁）

拓展題例

【例題】 曲線y=x2+1上過點(diǎn)P的切線與曲線y=－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P（x0，y0），由題意知曲線y=x2+1在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x0，切線方程為y=2x0x+1－x02，而此直線與曲線y=－2x2－1相切，∴切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判別式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±273，y0=.332723，）或（－

333∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，7）.3第7頁（共7頁）