第一篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：

掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

2、過程與方法：

通過對(duì)共線向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：

學(xué)會(huì)用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確.三、教學(xué)設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí),直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？

思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,過定點(diǎn)O作向量OA=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可通過其坐標(biāo)來反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來表示,這樣我就可以通過坐標(biāo)來研究向量問題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？

（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 活動(dòng):教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為: 兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),并鼓勵(lì)學(xué)生,只要善于開動(dòng)腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問題

①如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價(jià)的,但這與

y1y?2是不等價(jià)的.因x1x2為當(dāng)x1=x2=0時(shí),x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡(jiǎn)捷、實(shí)用,讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時(shí),向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a=λb, 那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？

活動(dòng):教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟: 1°消去λ時(shí)不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個(gè)不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應(yīng)用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用,讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國(guó)高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)評(píng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練

圖3 如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),仿例二得:D1=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),仿例二得:D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來判斷這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),觀察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A, ∴A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線,則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過來的.變式訓(xùn)練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動(dòng):教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)

P1P=λPP2時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點(diǎn)公式,教師要給予充分肯定,鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話,可以探索λ的取值符號(hào)對(duì)P點(diǎn)位置的影響,也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是133PP2點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練

在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上, 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點(diǎn)A(1,2),B(4,5),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP=OA+tAB.若點(diǎn)P在第二象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.教師以提問的方式來了解學(xué)生組織步驟的能力,或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過程,并對(duì)思路清晰過程正確的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵(lì).教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點(diǎn)P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點(diǎn)評(píng):此題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組,這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí):平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開拓的精神,為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).（五）作業(yè)

第二篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案

“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”教學(xué)方案

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：

理解平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算。2.過程與方法：

在對(duì)平面向量坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中使學(xué)生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發(fā)展，利用圖形解決問題，也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力的重要性。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際生產(chǎn)、生活的密切聯(lián)系，體會(huì)客觀世界中事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)：

平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：

平面向量坐標(biāo)表示的意義。教學(xué)方法：

結(jié)合本節(jié)課的目標(biāo)要求、重難點(diǎn)的確定以及學(xué)生實(shí)際思維水平，教學(xué)設(shè)計(jì)中采取啟發(fā)引導(dǎo)、類比歸納、合作探究、實(shí)踐操作等教學(xué)方法。教學(xué)手段：

投影儀、多媒體軟件 教學(xué)過程 1.情境創(chuàng)設(shè)

教師借助多媒體動(dòng)畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節(jié)課的問題情境引入課題，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結(jié)合同學(xué)們的生活常識(shí)及物理學(xué)知識(shí)，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？

學(xué)生回答：速度可按豎直和水平兩個(gè)方向進(jìn)行分解

設(shè)計(jì)目的：情境與生活聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為下面展開的知識(shí)做

好鋪墊。

2.展開探究

問題一：平面向量的基本定理內(nèi)容是什么？ 教師請(qǐng)一學(xué)生回答，同時(shí)投影出示其內(nèi)容。問題二：向量能不能象平面坐標(biāo)系中點(diǎn)一樣給出坐標(biāo)表示呢？我們?nèi)绾伪硎靖?/p>

合理呢？

組織學(xué)生談?wù)?，給出各種想法，教師做點(diǎn)評(píng)歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標(biāo)系中，給出向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，并 提出問題 問題三：既然向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的，那么向量也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示嗎？

設(shè)計(jì)目的：此問題引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，對(duì)平面向量坐標(biāo)表示方法具有指導(dǎo)性作用。教師講授：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得a=xi+yj ,我們把 叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，(x,y)式叫做向量的坐標(biāo)表示。

3.深化理解

一.平面向量坐標(biāo)表示的的理解 提出問題：

(1)、如果以原點(diǎn)O作為起點(diǎn)作一向量OA=a（投影動(dòng)畫同步演示），那么點(diǎn)A的位置是否可以唯一確定呢？

(2)、點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量OA的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？(3)、兩個(gè)向量相等的充要條件利用坐標(biāo)如何進(jìn)行表示呢？

(4)、如果我們將一個(gè)平面向量在直角坐標(biāo)系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標(biāo)會(huì)改變嗎？

組織學(xué)生以小組為單位展開探究交流活動(dòng)，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:

(1)、點(diǎn)A的位置受向量OA決定，唯一確定。

(2)、以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量OA的坐標(biāo)和終點(diǎn)A的坐標(biāo)事完全相同的。(3)、兩個(gè)平面向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同。

(4)、在直角坐標(biāo)系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動(dòng)，它們的坐標(biāo)就是相同的。

設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生在合作探究中去主動(dòng)學(xué)習(xí)，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養(yǎng)了探究協(xié)作的能力。

出示練習(xí)：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo)（圖略）。教師讓學(xué)生獨(dú)立完成，之后借助投影讓 個(gè)別學(xué)生展示完成情況，教師點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)目的：增進(jìn)了所學(xué)新知的內(nèi)化。

二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標(biāo)表示，向量是可以進(jìn)行運(yùn)

算的，如何運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)表示及實(shí)數(shù) 與向量積的坐標(biāo)表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐標(biāo)

學(xué)生展開討論，可能給出多種推導(dǎo)方法，教師要耐心給與點(diǎn)評(píng)，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標(biāo)等于向量坐標(biāo)的加減法。

（2）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于是屬于向量坐標(biāo)的積。

（3）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) 教師提問：設(shè)AB是表示向量a的有向線段，點(diǎn)A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標(biāo)如何表示？

學(xué)生結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強(qiáng)調(diào)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)計(jì)目的 ：此環(huán)節(jié)教師充當(dāng)引導(dǎo)者，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生在討論思考中享受成功的快樂。

4.例題剖析

例

1、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)成為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。

教師給學(xué)生充足時(shí)間獨(dú)立思考，適當(dāng)時(shí)可提示作圖理解，而變式對(duì)學(xué)生來說

難度增大，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，獨(dú)立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設(shè)計(jì)目的：通過例題和變式綜合考查學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，也促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。

5.課堂小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容作歸納，不足之處師生補(bǔ)充完善，最后教師作總結(jié)式說明。1.向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數(shù)表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐標(biāo)表示為我們進(jìn)行向量的運(yùn)算提供了方便。

3.向量的坐標(biāo)表示使得我們借助數(shù)的運(yùn)算對(duì)圖形的幾何性質(zhì)展開研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。

前面我們還學(xué)習(xí)了這留待我們下一 節(jié)再來研究。

6.布置作業(yè)（1）.課后習(xí)題

（2）如何運(yùn)用向量坐標(biāo)來表示和判定共線向量呢？讓學(xué)生預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容。

7.板書設(shè)計(jì)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量的坐標(biāo)

例1

變式 定義

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

第三篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案1[定稿]

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案1

教學(xué)目標(biāo)

1．理解平面向量的坐標(biāo)表示方法，包括起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法，起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法、相等向量的坐標(biāo)表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示法．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示法，特別是起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法．平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算．

難點(diǎn)：起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任

＝λ

1，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ

1、λ2，使、λ

2．這里、表示這一平面內(nèi)的一組基底．平面向量的基本定理說明：同一平面內(nèi)任一向量都可沿兩個(gè)不共線的基底進(jìn)行分解．

(二)導(dǎo)入新課

1．平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，由平面向量基本定理，對(duì)平面內(nèi)任一向量對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我們把(x，y)叫向量

在y軸上的坐標(biāo)．的(直角)坐標(biāo)．其中x叫在x軸上的坐標(biāo)．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐標(biāo)表示．

(1)目前我們已掌握了向量的三種表示方法：

表示法是向量的代數(shù)表示法，它有利于向量的運(yùn)算．

(2)根據(jù)向量可以平移的觀點(diǎn)，平面內(nèi)與向量相等的向量的坐標(biāo)也為(x，y)．

(3)顯然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)設(shè)＝x＋y，向量的坐標(biāo)為(x，y)，這就是點(diǎn)A的坐標(biāo)，反過來點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)就是向量的坐標(biāo)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示．

(5)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2)

2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的減法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和實(shí)數(shù)λ．

(Ⅲ)實(shí)數(shù)與向量的積：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．

(2)根據(jù)向量差的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以得到起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示．

設(shè)A點(diǎn)(x1，y1)，B點(diǎn)(x2，y2)．

求向量的坐標(biāo)．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．

(三)學(xué)生課堂練習(xí)(黑板板演，加課堂練習(xí))

1．課本練習(xí)3．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求、的坐標(biāo)．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．課本練習(xí)1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．課本練習(xí)2 －

24．課本練習(xí)4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教師講解例題，鞏固提高

例1 已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

分析：平行四邊形ABCD中，＝

．由此來確定D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以為一組基底來表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐標(biāo)可求出，、的坐標(biāo)可求出．設(shè)

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小結(jié)：教師總結(jié)重點(diǎn)內(nèi)容

1．向量的坐標(biāo)表示

＝(x，y)．

2．起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．

3．向量的坐標(biāo)運(yùn)算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作業(yè)習(xí)題5．4 1、2、3、4、5．

第四篇：《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1．理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會(huì)寫出給定向量的坐標(biāo)，會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量；

2．掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；

3．會(huì)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；

4．通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)分析】

本節(jié)的重點(diǎn)理解平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示．向量的坐標(biāo)表示為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁，向量的坐標(biāo)表示實(shí)際是向量的代數(shù)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，為幾何問題的解決又提供了一種方法．

本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)平面向量坐標(biāo)表示的理解．向量的坐標(biāo)表示中，根據(jù)平面向量基本定理可選擇特殊的基底將向量坐標(biāo)化．學(xué)生理解向量與坐標(biāo)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解有些困難，由于這里是自由向量，可以規(guī)定起點(diǎn)，從而使向量與坐標(biāo)之間形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使向量的坐標(biāo)表示具有完備性．

【教學(xué)過程】

1、復(fù)習(xí)向量的加法和減法，然后把向量放入坐標(biāo)系中研究。

2、然后給出兩點(diǎn)坐標(biāo)，讓學(xué)生知道如何求向量的坐標(biāo)

向量本身的坐標(biāo)運(yùn)算B(6.5)A(2,1)AB=終點(diǎn)－起點(diǎn)AB=?

3、讓學(xué)生理解向量與坐標(biāo)間對(duì)應(yīng)關(guān)系，并分別指出：向量不同坐標(biāo)之間有什么區(qū)別，向量坐標(biāo)相同有有什么意義。

4、做對(duì)應(yīng)的練習(xí)，使學(xué)生掌握如何求向量的坐標(biāo)。

5、在知道如何求向量的坐標(biāo)及它的意義后，開始講解向量間坐標(biāo)的運(yùn)算

向量間的坐標(biāo)運(yùn)算已知：a?(x1,y1),b?(x2,y2),則a?b?(x1?x2,y1?y2).a?b?(x1?x2,y1?y2).?a?(?x1,?y1)

6、做對(duì)應(yīng)的練習(xí)，使學(xué)生掌握向量坐標(biāo)間的運(yùn)算。

7、能力提高題。

8、小結(jié)。

9、布置作業(yè)。

第五篇：高一數(shù)學(xué)-54平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

5．4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

知識(shí)要點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底．任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我們把（x，y）叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，②式叫做向量的坐標(biāo)表示，與a相等的向量的坐標(biāo)也為（x，y）．

解題方法、技巧培養(yǎng)

出題方向1 求向量的坐標(biāo)

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐標(biāo)；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A點(diǎn)坐標(biāo)．

點(diǎn)撥 只有起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量才能用終點(diǎn)坐標(biāo)表示，其它向量的坐標(biāo)都要用其終點(diǎn)坐標(biāo)減去其起點(diǎn)坐標(biāo)表示．

出題方向2 向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐標(biāo)．

［答案］ ∵ －2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），∴ －2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．

∵ 4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴ 4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．出題方向3 由向量相等則它們的坐標(biāo)相等來求某些點(diǎn)的坐標(biāo)

［答案］ 設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)撥平面向量相等的代數(shù)表示溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．

例4 已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋nb，求m，n．［解析］ 先求ma＋nb，再根據(jù)向量相等即向量坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，列出方程組求m，n．［答案］ ma＋nb＝m（3，－2）＋n（－2，1）＝（3m－2n，n－2m）．

∵ c＝ma＋nb，∴（7，－4）＝（3m－2n，n－2m）．

出題方向4 利用向量共線的坐標(biāo)表示的充要條件解決有關(guān)直線平行、三點(diǎn)共線問題例5 已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．

［解法二］ ∵ a∥b，∴ 2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．

點(diǎn)撥 兩種表達(dá)式不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的．

點(diǎn)撥 在證明必要性時(shí)，不需要像證明充分性一樣，將A、B、C三點(diǎn)所在直線與坐標(biāo)軸垂直的情況單獨(dú)證明，因?yàn)槟鞘秋@然成立的．

易錯(cuò)易混點(diǎn)警示

（1）混淆向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)是向量坐標(biāo)運(yùn)算中常見的錯(cuò)誤之一；

（3）向量平行的充要條件與后面向量垂直的充要條件混淆．

學(xué)法導(dǎo)引

1．理解向量的坐標(biāo)表示的含義：向量的坐標(biāo)表示是向量的一種表示形式

向量坐標(biāo)表示的背景是平面向量基本定理；每一個(gè)向量都可用唯一一個(gè)有序數(shù)對(duì)來表示：向量的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，只與起點(diǎn)終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)．

2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算與前面所學(xué)的坐標(biāo)運(yùn)算是一樣的，只要計(jì)算時(shí)細(xì)心．