第一篇：高數(shù)定理定義總結(jié)

高數(shù)定理定義總結(jié)

第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時(shí)f(x)有沒(méi)有極限與f(x)在點(diǎn)x0有沒(méi)有定義無(wú)關(guān)。

定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點(diǎn)那么x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮??；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：

1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；

2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；

3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。

2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)≠>在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。

3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=>函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F'(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f'(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f'(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f'(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f'(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f'(x)恒為正；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f'(x)恒為負(fù)；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f'(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。

定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)=0，f''(x0)≠0那么：(1)當(dāng)f''(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當(dāng)f''(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。

7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f'’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f'’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟(1)求出f'’(x)；(2)令f'’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實(shí)根；(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查f'’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，如果f'’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))不是拐點(diǎn)。

在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。

第四章 不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有F'(x)=f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u.2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章 定積分

1、定積分解決的典型問(wèn)題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。

定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。

3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點(diǎn)c(a

第六章 定積分的應(yīng)用

求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

極坐標(biāo)系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)

功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時(shí)，即使函數(shù)無(wú)限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)。

性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值；(2)AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值；(3)AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。

7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。

第八章 二重積分

1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(diǎn)(x，y)處的密度。

平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M，m分別是f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ

4、二重積分中標(biāo)量在直角與極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標(biāo)系換為極坐標(biāo)系，只要把被積函數(shù)中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxd

第二篇：高數(shù)總結(jié)

高數(shù)總結(jié)

公式總結(jié)：

1.函數(shù)

定義域

值域

Y=arcsinx

[-1,1]

[-π/2, π/2] Y=arccosx

[-1,1]

[0, π] Y=arctanx

(-∞，+∞)

（-π/2, π/2）Y=arccotx

(-∞，+∞)

(0, π)Y=shx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數(shù)，遞增

Y=chx

(-∞，+∞)

[1, +∞)偶函數(shù)，(-∞，0)遞減 Y=thx

(-∞，+∞)

(-1,1)奇函數(shù)，遞增

Y=arshx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數(shù)，遞增 Y=archx

[1，+∞)

[0，+∞)遞增

Y=arthx

(-1,1)

奇函數(shù)，遞增 2.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)：

shx = [(e^x-e^(-x))/2，sh(x+y)=shxchy+chxshy(shx)' =chx

sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = [(e^x + e^(-x)]/2

ch(x+y)=chxchy+shxshy ,(chx)' =shx

ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx，(chx)^2-(shx)^2=1(thx)' = 1/(chx)^2

sh2x=2shxchx arsh x = ln[ x+(x^2+1)^(1/2)]

ch2x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)' = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^2-1)^(1/2)] ,(arch x)' = 1/(x^2-1)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1-x)],(arth x)' = 1/(1-x^2)我只記得考了幾個(gè)這里的公式，不過(guò)不記得是哪次考試了，所以就給你們寫上咯

3.對(duì)于x趨近于∞，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項(xiàng)式時(shí)，分子分母同時(shí)除以其中x的最高次項(xiàng)，利用x趨近于∞時(shí)，由1/(x^k)的極限為0（k>0）,可以求得結(jié)果。4.極限存在準(zhǔn)則：

夾逼準(zhǔn)則:證明極限存在并求得極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則：僅用于證明極限存在，對(duì)于有遞推式的數(shù)列比較常用。一般都是先根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在 P54例3 P55例5 5.兩個(gè)重要極限：

（1）當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx/x的極限等于1（2）當(dāng)x趨近于∞時(shí)，（1+1/x）^x的極限為e,也可以說(shuō)當(dāng)x趨近于0時(shí)，(1+x)^(1/x)的極限為e,但是不能說(shuō)當(dāng)x趨近于0時(shí)，（1+1/x）^x的極限為e.要求（1+在x趨近于∞或0時(shí)，該部分極限為0），指數(shù)部分為∞ 6.無(wú)窮小的比較：

b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無(wú)窮小，b=o(a)b/a的極限為∞，則稱b是比a低階的無(wú)窮小 b/a的極限為常數(shù)，則為同階無(wú)窮小，常數(shù)為1，為等價(jià)無(wú)窮小，記作a~b b/a^k的極限為常數(shù)（k>0）,則稱b是a的k階無(wú)窮小 7.等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

Sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)x^2

ln(1+x)~x

e^x-1~x

a^x-1~xlna

(1+x)^a-1~ax

(1+ax)^b-1~abx

tanx-x~(1/3)x^3

x-sinx~(1/6)x^3

loga(x+1)~x/lna

加減運(yùn)算時(shí)不能用等價(jià)無(wú)窮小，乘除的時(shí)候可以。如P61例5 8.函數(shù)的連續(xù)與間斷：

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為f(x)在該點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。函數(shù)的各種間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的條件要記住。我們上一年有考這種題。P64-P68 9.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等。

如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)處連續(xù)。逆命題不成立。10.熟記函數(shù)的求導(dǎo)法則： P96-97初等函數(shù)的求導(dǎo)法則。

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。11.n階導(dǎo)：

X ln(1+x)的n階導(dǎo)=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx

=(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx

=(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x

=[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a

=a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x

=a^x(lna)^n

e^x

=e^x

lnx

=[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b)

=[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b)

=a^n(ax+b)u(n)

u(n)為u的n階導(dǎo)

cu(x)

=cu(x)(n)

u(x)(n)為u(x)的n階導(dǎo)

u(x)+-v(x)

=u(x)(n)+-v(x)(n)

v(x)(n)為v(x)的n階導(dǎo)

x^n

=n!

x^n的（n+1）階導(dǎo)為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是背會(huì)吧，同情你們。

12.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)。（1）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：注意x=e^(lnx)的化簡(jiǎn)

（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的公式都要記住。（3）極坐標(biāo)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：同參數(shù)都需把公式記住或者自己會(huì)推導(dǎo)。（4）相關(guān)變化率：以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，看一下書上的例題P111-112。13.函數(shù)的微分：重要

熟記基本初等函數(shù)的微分公式，考試會(huì)考，而且同求導(dǎo)法則一樣，在下學(xué)期的高數(shù)中可能會(huì)有用。P117

應(yīng)用題中，可用微分 dA近似代替△A。復(fù)合函數(shù)的微分：dy=f’(u)du 14.函數(shù)的線性化：

L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的線性化。近似式f(x)≈L(x)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似，點(diǎn)x0稱為該近似的中心。

常用函數(shù)在x=0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似公式：

（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x為弧度)tanx~x(x為弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估計(jì)某式的近似值。15,誤差計(jì)算： P123表格

16.費(fèi)馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結(jié)論均需記住，會(huì)考。17.洛必達(dá)法則：

0/0型：當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0

在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于a時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o(wú)窮大

則有x趨近于a時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 ∞/∞型：當(dāng)x趨近于∞時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0

對(duì)于充分大的|x|，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于∞時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o(wú)窮大

則有x趨近于∞時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 0*∞型：化為0/0或者∞/∞型來(lái)計(jì)算 ∞-∞型：通分化為0/0型來(lái)計(jì)算

0^0,1^∞, ∞^0型：可先化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再求極限 X趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限為A可化為

X趨近于a時(shí)，f(x)的極限等于e^(lnf(x))的極限等于e^(x趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限)等于A。P141 18.泰勒公式：

e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過(guò)一題，不過(guò)不記得是啥題了。

19.補(bǔ)充一些關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)，可能會(huì)用到：

tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化積公式：

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 積化和差公式：

sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]

cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)] 補(bǔ)充兩個(gè)公式：

（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]

第三篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來(lái)源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過(guò)，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語(yǔ)言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬(wàn)事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會(huì)運(yùn)用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗(yàn)大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第四篇：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)

篇一：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)

高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)

解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 在求

?z?x 量，對(duì)x求導(dǎo)，在求

?z?y 量，對(duì)y求導(dǎo)，所運(yùn)

求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.2數(shù)的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

一、偏導(dǎo)數(shù)的求法 時(shí)，應(yīng)將y看作常時(shí)，應(yīng)將x看作常用的是一元函數(shù)的、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)設(shè)z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2）z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法 1）一個(gè)方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設(shè)z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出

2）方程組的情況 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程組?兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出du即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設(shè)空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當(dāng)t?t0時(shí)，在曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn) ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無(wú)條件極值的求法

在點(diǎn)p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0點(diǎn)? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當(dāng)a?0時(shí)有極大值，當(dāng)a?0 2則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處無(wú)極值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.設(shè)函數(shù)z?f?x,y?，解出駐，記，）若a?0，則f 在點(diǎn)?x0,y0?處時(shí)有極小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在點(diǎn)?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無(wú)條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組

篇二：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)(同濟(jì)第六版)高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)

解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一、偏導(dǎo)數(shù)的求法

1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 在求

?z?z時(shí)，應(yīng)將y看作常量，對(duì)x求導(dǎo)，在求時(shí)，應(yīng)將x看作常量，對(duì)y求導(dǎo)，所運(yùn)?x?y 用的是一元函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法

設(shè)z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法 1）一個(gè)方程的情況

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出 2由方程組? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求導(dǎo)解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?設(shè)z?z?x,y?是由，??）方程組的情況 或).?x?y 兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出du即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設(shè)空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當(dāng)t?t0時(shí)，在曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無(wú)條件極值的求法

設(shè)函數(shù)z?f?x,y?在點(diǎn)p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出駐點(diǎn)?x0,y0?，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 時(shí)有極小值.2）若ac?b2?0，則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處無(wú)極值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處是否取得極值.2 2 ?0，則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處取得極值，且當(dāng)a?0時(shí)有極大值，當(dāng)a?0 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無(wú)條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組 篇三：高數(shù)下冊(cè)公式總結(jié)

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數(shù)下冊(cè)積分方法總結(jié)

積分方法大盤點(diǎn)

現(xiàn)把我們學(xué)了的積分方法做個(gè)大總結(jié)。

1、二重積分

1.1 x型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后x先y積分，d往x軸上的投影得區(qū)間[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)（小y邊界y=y1(x)大y邊界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后y先x積分，d往y軸上的投影得區(qū)間[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)（小x邊界x=x1(y)大x邊界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 極坐標(biāo)二重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

（1）總是后q先r積分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)（小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q)）。用坐標(biāo)關(guān)系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一個(gè)因子r）。

當(dāng)積分區(qū)域d的邊界有圓弧，或被積函數(shù)有x2+y2 時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算二重

積分特別簡(jiǎn)單。

離 散

數(shù) 學(xué)

2、三重積分 2.1 二套一方法（必須的基本方法）（1）幾何準(zhǔn)備

(i)將積分區(qū)域w投影到xoy面，得投影區(qū)域dxy；

(ii)以dxy的邊界曲線為準(zhǔn)線，作一個(gè)母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區(qū)域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y（）大z邊界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z邊界）

（(x,y)dxy，過(guò)(x,y)點(diǎn)平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 還有兩種（w往xoz或yoz面投影）類似的二套一方法（舉一反三）。2.2 一套二方法（為簡(jiǎn)單的方法）（1）幾何準(zhǔn)備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d；(ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（與z有關(guān)）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 還有兩種（w往x或y軸投影）類似的一套二方法（舉一反三）。2.3 柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

（1）把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用極坐標(biāo)計(jì)算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（當(dāng)用極坐標(biāo)計(jì)算

外層二重積分簡(jiǎn)單時(shí)。）

還有兩種（w往xoz或yoz面投影的二套一）類似的極坐標(biāo)計(jì)算方法（舉

第1章

集 合

離 散

數(shù) 學(xué)

2.3 三重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個(gè)因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分（總是先r后j最后q積分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐標(biāo)計(jì)算（1）用坐標(biāo)關(guān)系和o體積元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)當(dāng)w是課堂講的三種情況或被積函數(shù)有x2+y2+z2時(shí)用球面坐標(biāo)計(jì)算簡(jiǎn)單。第1章

集 合

3曲線積分 3.1平面情形

（1）準(zhǔn)備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時(shí)用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當(dāng)??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,數(shù)l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對(duì)弧長(zhǎng)的ì

í，（2）代入b蝌。ì

當(dāng)參數(shù)；時(shí)用d]y作參。ì??x=x(t)

（1）準(zhǔn)備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數(shù)l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])時(shí)用y作參數(shù)

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作參數(shù)l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 間的特例。

篇五：高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

（2）代入b。ìì 當(dāng)l:???í時(shí)用x當(dāng)?? ìì??x=x(y)í í?? ；當(dāng) ìí 時(shí)用z平面是空高數(shù) 8空間解析幾乎與向量代數(shù)

1.給定向量的坐標(biāo)表達(dá)式，如何表示單位向量、方向數(shù)與方向余弦、投影。

2.向量的數(shù)量積、向量積的定義式與坐標(biāo)式，掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程?？臻g曲線在坐標(biāo)平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。

6.點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1.有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的求解方法，偏導(dǎo)要求求到二階。

2.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，隱函數(shù)求導(dǎo)公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數(shù)沿著一條直線的方向?qū)?shù)與梯度。4.利用充分條件判斷函數(shù)的極值問(wèn)題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實(shí)際問(wèn)題或給定函數(shù)的最值問(wèn)題。

重積分

1.二重積分直角坐標(biāo)交換積分次序；選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算二重積分。

2.選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。

3.利用二重積分計(jì)算曲面的面積；利用三重積分計(jì)算立體體積；

4.利用質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式求解問(wèn)題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計(jì)算與聯(lián)系；

2.兩類曲面積分的計(jì)算與聯(lián)系；

3.格林公式和高斯公式的應(yīng)用。

第五篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導(dǎo)，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設(shè)x??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設(shè)f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設(shè)x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設(shè)函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

????'??'????'

移項(xiàng)得

??'?(??)'??'?

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對(duì)冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設(shè)

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個(gè)小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個(gè)小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點(diǎn)?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對(duì)?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點(diǎn)?i怎么選取，只要當(dāng)??0時(shí)，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個(gè)極限I為函數(shù)(簡(jiǎn)稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設(shè)在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設(shè)a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設(shè)M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數(shù)微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法