第一篇：高數(shù)中需要掌握證明過程的定理

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習，不才憑借自己對考研數(shù)學的一點了解，總結(jié)了高數(shù)上冊中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，從長遠來看都是應(yīng)當熟練掌握的。

由于水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

?x)?e與過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1x?01xsinx?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技x?0x巧。證明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數(shù)即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，則x?et?1。由于極限lim?1：在等式limx?0x?0xx過程是x?0，此時也有t?0，因此有l(wèi)imt?0t?1。極限的值與取極限的符號et?1ex?1?1。是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用對數(shù)恒等式得lim，再利用第二個極限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有l(wèi)im?lna。得limx?0x?0xlnax?0xx(1?x)a?1lim?a：利用對數(shù)恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同時用到了第一個和第二個極限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）導數(shù)與微分的四則運算法則

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數(shù)的定義。而導數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應(yīng)的u??(x)處可導，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))??【點評】：同上。4）反函數(shù)求導法則

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對應(yīng)的y的值為y0，則有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【點評】：同上。g'(y0)?5）常見函數(shù)的導數(shù)

?x???x?'??1，'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，?lnx?x''?11'，?logax??，xxlnax?e??e，?ax??exlna '【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數(shù)的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：

f(x??x)?f(x)?'，代入該公式得 ?x???x??1：導數(shù)的定義是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。步用到了極限limx?0xx?0的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化積公式得?sinx??cosx：利用導數(shù)定義?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的證明類lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用導數(shù)定義?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的證明類似（利用換底公式logax?）。?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用導數(shù)定義?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x證明類似（利用對數(shù)恒等式ax?exlna）。

6）定積分比較定理

如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0

ab推論：ⅰ如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【點評】：定積分比較定理在解題時應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可導，并且它的導數(shù)是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a設(shè)函數(shù)F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函數(shù)。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。10）費馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點，一定要多加注意。具體證明過程見教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?【點評】：同上。13）柯西中值定理： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)【點評】：同上。14）單調(diào)性定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減。

【點評】：這個定理利用導數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴密的證明過程。證明：

僅證明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形類似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

則利用拉個朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。

14）(極值第一充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域U(x0,?)內(nèi)可導。

?。┤魓?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)時，f'(x)符號保持不變，則f(x)在x0處沒有極值； 【點評】：單調(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。??15）(極值第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處存在二階導數(shù)且f'(x0)?0，那么 ?。┤鬴''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極小值； ⅱ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極大值。

【點評】：這個定理是判斷極值點最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：

僅證明f''(x0)?0,的情形，f''(x0)?0,的情形類似。

由于f(x)在x0處存在二階導數(shù)，由帶皮亞諾余項的泰勒公式得。在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0??f'?x0??x?x0??f''?x0?由于f'(x0)?0，因此

?x?x0?222?o??x?x0?? ??f(x)?f?x0??f''?x0??x?x0?222?o??x?x0????2?''???ox?x??02?f?x0?????f?x0???x?x0????22?x?x0?????

2''o??x?x0??fx0????由高階無窮小的定義可知，當x?x0時，有又由于?0，?0，22?x?x0?2??ox?x??0f?x0????0。因此在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立?22?x?x0?''2?''???ox?x??02?f?x0????fx。進一步，我們有f?x0???x?x0?????0??22?x?x0?????也即，在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0?。由極值點的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達法則

f'(x)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x?a的空心鄰域內(nèi)可導，g(x)?0，且lim'?A

x?ag(x)'則有l(wèi)imx?af(x)?A，其中A可以是有限數(shù)，也可以是??,??。g(x)【點評】：洛必達法則是計算極限時最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡單，也是一個潛在的考點，需要引起注意。具體證明過程見教材。

第二篇：MM定理證明過程-MM定理證明過程

無稅收條件下的MM定理 1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無摩擦市場假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費用，投資者不必為買賣證券支付任何費用； ? 無關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個人均無破產(chǎn)風險；

? 產(chǎn)品市場是有效的：市場參與者是絕對理性和自私的；市場機制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對稱、公共物品等市場失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場強有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風險套利機會； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對其進行完全理性的前瞻性分析，因此大家對證券價格預(yù)期都是相同的，且投資者對組合的預(yù)期收益率和風險都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值和無財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場價值（即債權(quán)的市場價值+股權(quán)的市場價值，不含政府的稅收價值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場價值相同，但由于其負債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒有負債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準更能說明問題）；B公司的負債額度是D，假設(shè)該負債具有永久性質(zhì)，因為可持續(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟學中的龐茲計劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對稱下導致的終生借債消費計劃無效）。細節(jié)假設(shè)：

? B公司當前債務(wù)利率為r（固定值）；

? A、B兩公司當前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因為僅指當前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機變量，每年的數(shù)值都是它的一個數(shù)據(jù)點）； ? A、B兩公司當前的市場價值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當前股票的市場價格與其真實價值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因為靜態(tài)考察公司當前價值。

考慮一個套利策略：賣出A公司1%的股票；同時買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時現(xiàn)金流

未來每年現(xiàn)金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負債加權(quán)益，A公司無負債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場不應(yīng)該存在無風險套利機會，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會隨財務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場有效性保證了股票的價格反映股票價值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

?MPA??j?1?EBIT/SA(1?rA)j?EBITSA*rA

MPB??j?1(EBIT?R*D)/SB(1?rB)j?EBIT?R*DSB*rB

同時EBIT>r*PVB，因為這表示即使公司全部舉債經(jīng)營，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風險和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導致這個不等式必然成立。故可推導出：

rB?EBIT?r*DSEB?EBIT?r*DPVB?D?EBITPVB?EBITPVA?EBITSA*MPA?rA，證畢。

MM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBITSA;EB?(EBIT?R*D)SB⑤

將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)SB?(1?k)(EBIT?R*D)SA?EA?k*EBIT?(1?k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(k1?kEBIT?R*D)?(1?k)*D(EBITPVB?r)?0⑦

由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學基礎(chǔ)非常少的人有可能會覺得上述三個推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA

WACCB?rBSEBPVB?rDPVB?EBITPVB?EBITPVA?rA①，證畢。MM定理第二命題及其推論

MM定理第二命題推論：

有負債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風險等級的無負債公司的權(quán)益資本成本加上風險補償，風險補償?shù)谋壤蜃邮秦搨鶛?quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價和單證券定價模型有點像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號）得：

rB?PVBSEBrA?r*DSEB?rA?DSEB(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。有稅收條件下的MM定理 2.1 假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個定理，有四個推論。

2.2

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財務(wù)杠桿的企業(yè)的市場價值等于無財務(wù)杠桿的企業(yè)的市場價值加上“稅盾”的市場價值。MM定理第一命題及其推論

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財務(wù)杠桿起作用了：公司價值是股權(quán)市價加債權(quán)市價，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價值計入到公司的債權(quán)價值中。或者也可以理解為沒有負債的公司舉債時，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機會成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機會成本的角度講的，就如經(jīng)濟利潤和會計利潤的差別一樣，而證券定價的基準正是從金融的角度給出才能準確。

顯然A、B兩公司的稅前價值仍然一樣，相當于不考慮稅收。我們用帶撇號的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場價值分別為：

PVA?PVA(1?T)

/EBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場價值。其中D(1?EBITPVB?PVB(1?T)(1?/r*D)?D?PVA?D(1?/(1?T)r*PVBEBIT)?PVA①

/

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

rA?/EBIT(1?T)SA*MPA/?EBIT(1?T)PVA/?EBIT(1?T)(1?T)PVA?rA②

由不考慮稅收推論二證明的最后一個公式和①（重新編號）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

(EBIT?rD)(1?T)?rDSB*MP/BrB?/?(EBIT?rD)(1?T)?rDPV?D/B?(EBIT?rD)(1?T)?rDPVA?/EBIT?rD??rD(1?T)*rD*PVBEBIT1?TrDPVA(1?)EBIT再由②得：rB?rA?//rDPVA(1?T)(1?rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?/(1?T)EBITSA;EB?/(1?T)(EBIT?rD)?rDSB④

將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

EB?/(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA?/TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA/

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為???(1?(1?T)/DSE)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計算出WACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。

MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風險等級的無負債公司的權(quán)益資本成本，風險補償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts)1?Td)D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅率，Td表示利息收入的稅率，個人可試著證明一下子。MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導致的缺陷

? 假設(shè)沒有破產(chǎn)風險不符合實際?？紤]稅收的話，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價值最大化，但考慮到實際的破產(chǎn)風險，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風險，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達到價值最大化。? MM定理忽略了交易成本和信息不對稱性等，顯然不符合事實。? 以上僅是兩個例子，其他的大家可以想想。

撰寫人：小秋

第三篇：MM定理證明過程-MM定理證明過程

無稅收條件下的MM定理

1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無摩擦市場假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費用，投資者不必為買賣證券支付任何費用； ? 無關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個人均無破產(chǎn)風險；

? 產(chǎn)品市場是有效的：市場參與者是絕對理性和自私的；市場機制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對稱、公共物品等市場失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場強有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風險套利機會； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對其進行完全理性的前瞻性分析，因此大家對證券價格預(yù)期都是相同的，且投資者對組合的預(yù)期收益率和風險都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值和無財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場價值（即債權(quán)的市場價值+股權(quán)的市場價值，不含政府的稅收價值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場價值相同，但由于其負債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒有負債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準更能說明問題）；B公司的負債額度是D，假設(shè)該負債具有永久性質(zhì)，因為可持續(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟學中的龐茲計劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對稱下導致的終生借債消費計劃無效）。

細節(jié)假設(shè)：

? B公司當前債務(wù)利率為r（固定值）； ? A、B兩公司當前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因為僅指當前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機變量，每年的數(shù)值都是它的一個數(shù)據(jù)點）； ? A、B兩公司當前的市場價值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當前股票的市場價格與其真實價值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因為靜態(tài)考察公司當前價值。

考慮一個套利策略：賣出A公司1%的股票；同時買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時現(xiàn)金流

未來每年現(xiàn)金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負債加權(quán)益，A公司無負債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場不應(yīng)該存在無風險套利機會，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會隨財務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場有效性保證了股票的價格反映股票價值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

MPA???EBIT/SAEBIT ?jSA*rAj?1(1?rA)(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D ?j(1?rB)SB*rBj?1?MPB??同時EBIT>r*PVB，因為這表示即使公司全部舉債經(jīng)營，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風險和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導致這個不等式必然成立。故可推導出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。

SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤ SASB將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D⑥ ??EA?SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(EBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦

1?kPVB由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學基礎(chǔ)非常少的人有可能會覺得上述三個推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA MM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：

有負債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風險等級的無負債公司的權(quán)益資本成本加上風險補償，風險補償?shù)谋壤蜃邮秦搨鶛?quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價和單證券定價模型有點像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號）得：

rB?2 PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理 2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個定理，有四個推論。

2.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財務(wù)杠桿的企業(yè)的市場價值等于無財務(wù)杠桿的企業(yè)的市場價值加上“稅盾”的市場價值。

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財務(wù)杠桿起作用了：公司價值是股權(quán)市價加債權(quán)市價，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價值計入到公司的債權(quán)價值中。或者也可以理解為沒有負債的公司舉債時，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機會成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機會成本的角度講的，就如經(jīng)濟利潤和會計利潤的差別一樣，而證券定價的基準正是從金融的角度給出才能準確。

顯然A、B兩公司的稅前價值仍然一樣，相當于不考慮稅收。我們用帶撇號的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場價值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/① EBITEBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場價值。其中D(1?EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA② //SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個公式和①（重新編號）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?//再由②得：rB?rA?rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB，證畢。?rA

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD④;EB?SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為?/??(1?(1?T)D)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計算出SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風險等級的無負債公司的權(quán)益資本成本，風險補償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅

1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個人可試著證明一下子。

公司稅MM定理命題二

在考慮所得稅情況下，負債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSL)等于同一風險等級中某一無負債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSU)加上一定的風險報酬率。風險報酬率根據(jù)無負債企業(yè)的權(quán)益資本成本率和負債企業(yè)的債務(wù)資本成本率(KD)之差和債務(wù)權(quán)益比所確定。其公式為：

KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D — 有負債企業(yè)的負債價值； SL —有負債企業(yè)的權(quán)益價值。T—公司稅率 在命題一的基礎(chǔ)上，風險報酬考慮了所得稅的影響。因為(1一T)總是小于l，在D/SL比例不變的情況下，這一風險報酬率總小于無稅條件下命題二中的風險報酬率。由于節(jié)稅利益，這時的股東權(quán)益資本成本率的上升幅度小，或者說，在賦稅條件下，當負債比率增加時，股東面臨財務(wù)風險所要求增加的風險報酬的程度小于無稅條件下風險報酬的增加程度，即在賦稅條件下公司允許更大的負債規(guī)模。

第四篇：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(二)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（二）考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

6）定積分比較定理

如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0 ab

推論：ⅰ如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；aabb

ⅱ設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab

【點評】：定積分比較定理在解題時應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。

7）定積分中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?b

af(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。

跨考魔鬼集訓營01

在這里，沒有考不上的研究生。

8）變上限積分求導定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(x)dx在[a,b]上ax

可導，并且它的導數(shù)是

dx'?(x)??f(x)dx?f(x),a?x?b dxa

設(shè)函數(shù)F(x)??u(x)

v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。

9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函數(shù)。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。

10）費馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。

11）羅爾定理：

如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點，一定要多加注意。具體證明過

在這里，沒有考不上的研究生。

程見教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?

【點評】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導

f'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)f(b)?f(a)。b?a

【點評】：同上。

第五篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點的導數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導數(shù)屬單側(cè)導數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導數(shù)。一點的導數(shù)仍用導數(shù)定義考慮。至于導數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學的高頻考點，考生們要認真學習其解題方法，并且學會運用。湯神《考研數(shù)學接力題典1800》可以檢驗大家的復(fù)習效果，總結(jié)做題經(jīng)驗，對我們現(xiàn)階段的復(fù)習幫助很大。