《19.1多邊形內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能:

①了解并掌握多邊形的相關(guān)概念。

②探索并了解多邊形的內(nèi)角和公式。

③能對多邊形的內(nèi)角和公式進行應(yīng)用,解決實際問題。

2、過程與方法:

①經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和定理的過程,進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識和主動探究習(xí)慣,進一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

②通過學(xué)生自己動手操作,積極參加合作探究的過程,讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),增強動手能力。

③在對多邊形的內(nèi)角和公式進行應(yīng)用,解決實際問題過程中,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀:

①通過師生共同活動,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神,增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲。

②向?qū)W生滲透類比、轉(zhuǎn)化、分類的數(shù)學(xué)思想,并使學(xué)生學(xué)會與他人合作。

學(xué)情分析

1、學(xué)生早在小學(xué)就學(xué)習(xí)了部分四邊形的相關(guān)知識,初中又學(xué)習(xí)了平行線和三角形等知識,證明得出了三角形的內(nèi)角和為180°。這一切為四邊形的學(xué)習(xí)不僅做了知識上的良好鋪墊,而且奠定了思想方法、邏輯推理等方面的知識。

2、在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中,就是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決,所以熟練掌握三角形的相關(guān)知識是學(xué)生學(xué)好本課時知識的前提和保障。

3、如何去探究多邊形的內(nèi)角和定理是學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，所以本節(jié)課以研究對角線的基礎(chǔ)上，研究“過一個頂點的對角線把這個n邊形分成了幾個三角形”，再以三角形內(nèi)角和知識為基礎(chǔ),通過組織學(xué)生觀察、類比、推理等數(shù)學(xué)活動,引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形的內(nèi)角和公式.通過多種轉(zhuǎn)化方法的探究讓學(xué)生深刻體驗化歸思想,從特殊到一般的認(rèn)識問題的方法,發(fā)展學(xué)生合情推理能力和語言表達能力。

重點難點

重點:多邊形內(nèi)角和定理的探索，應(yīng)用其解決相關(guān)問題

難點:推導(dǎo)和應(yīng)用多邊形內(nèi)角和定理，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

活動一：探索多邊形定義和相關(guān)元素及其分類

問題1：從這些圖形你能抽象出什么平面圖形?

問題2：由三角形的定義，你能試著說出四邊形，多邊形的定義嗎？

問題3：外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角

你知道五邊形過一點能有幾條對角線？五邊形有多少條對角線？你能告訴我十邊形過一點能有幾條對角線？十邊形有多少條對角線？十二邊形呢？n邊形呢？探究n邊形共有多少對角線。

問題4：將一個多邊形一邊雙向延長，觀察其他各邊有什么特點？是不是都在這條直線的同一旁？今后如果不作說明，我們說的多邊形都是凸多邊形.【設(shè)計意圖】

通過現(xiàn)實情境的展示,調(diào)動學(xué)生的情緒,激發(fā)進一步學(xué)習(xí)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生的動手能力。對于邊角這些能在圖形中識別而又不要求學(xué)生掌握的描述性定義,采取學(xué)生類比三角形的表示方法來歸納,滲透類比的數(shù)學(xué)思想。借助于自制的直觀教具來說明多邊形定義中“在平面內(nèi)”這一條件,“首位順次連接”等這些概念中的關(guān)鍵詞,易于學(xué)生理解,也達到了化解難點的目的。同時,也利用兩張圖片,自然引出凹凸多邊形的概念及如何區(qū)分的方法,也進一步規(guī)范認(rèn)識:今后如教材中沒有特殊說明的話,所指多邊形都是凸多邊形。把學(xué)生的注意力自然引入本課研究方向,為探索多邊形的內(nèi)角和作鋪墊。

二、動手操作，探索新知

活動二：探索四邊形內(nèi)角和

問題1:對于在我們生活中經(jīng)常所能夠看到的最常見的多邊形又是幾邊形呢?

問題2:有哪位同學(xué)能夠舉出一些我們周圍的例子,哪些物體給我們以四邊形的形象呢?

問題3:你有什么辦法可以驗證任意四邊形內(nèi)角和嗎?測量有限個四邊形還不足以說明所有的四邊形都有同樣的結(jié)論(一般性),測量存在誤差,還需要進行嚴(yán)格的論證。

【設(shè)計意圖】四邊形是多邊形(邊數(shù)大于三)中的簡單圖形,因此,從四邊形入手,有利于學(xué)生探索它與三角形的關(guān)系,從而有利于發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法,同時滲透“特殊”不代表“一般”的數(shù)學(xué)思想。鼓勵學(xué)生尋找多種分割形式,深入領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的本質(zhì)——將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決。

問題4:將一個任意四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題還有其它方法嗎?你能用算式表示出來嗎?

請同學(xué)們分小組交流與探究,進一步來論證自己的猜想。

學(xué)生親自動手在幾何圖紙上操作,小組內(nèi)交流,教師深入小組指導(dǎo),傾聽學(xué)生交流.引導(dǎo)學(xué)生利用添加輔助線的方法把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.請學(xué)生上臺用投影儀匯報小組探究成果,教師用幾何畫板現(xiàn)在演示同學(xué)的方法。小組交流討論后在投影儀上給全班同學(xué)講解自己組探究出來的方法。并用算式寫在黑板上。

【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生積極參與,合作交流,用語言表達解決問題的方法,發(fā)展學(xué)生的語言表達能力與推理能力。通過動手操作尋找結(jié)論,讓他們積極參加數(shù)學(xué)活動、主動思考、合作交流,體驗解決問題策略的多樣性.通過尋求多種方法解決問題,訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識。通過觀察輔助線交點的位置,在頂點、在邊上、在四邊形內(nèi)、在四邊形外,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的分類思想。

活動小結(jié)：思考幾種推導(dǎo)四邊形內(nèi)角和的方法有什么共性?把求四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為熟悉的三角形的內(nèi)角和,這種把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法,在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將經(jīng)常會遇到。

【設(shè)計意圖】把知識提升到思想方法,把未知轉(zhuǎn)化為已知思想方法。

活動三：用不同方法探索五邊形、六邊形內(nèi)角和

問題1:請每一組的同學(xué)用你們小組所用的方法,推導(dǎo)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和,可以嗎?在幾何圖紙上完成后請學(xué)生上黑板投影展示。

教師總結(jié)：共同點就是找一個點，將五邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為多個三角形的內(nèi)角和。

【設(shè)計意圖】通過增加圖形的復(fù)雜性,再一次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的過程,加深對轉(zhuǎn)化思想的理解。通過猜想、歸納、推導(dǎo)讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想,通過公式的歸納過程,體會數(shù)形之間的聯(lián)系。

問題2:幾種推導(dǎo)四邊形內(nèi)角和的方法中,你認(rèn)為哪種方法最好?為什么?

(從一個頂點出發(fā)做對角線分割成三角形最好，因為減少了減去一個角的這種計算過程。這就是最優(yōu)化的思想，選擇好最優(yōu)最適合自己的方法再行動。)

【設(shè)計意圖】最優(yōu)化思想,數(shù)學(xué)來源于生活,為生活服務(wù)。

活動四：探索n邊形內(nèi)角和

問題1:以從頂點出發(fā)作對角線這種方法來探究n邊形內(nèi)角和為多少？以小組為單位進行探討。

多邊形的內(nèi)角和定理:邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°(n≥3的整數(shù))?！驹O(shè)計意圖】通過增加圖形的復(fù)雜性,再一次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的過程,加深對轉(zhuǎn)化思想的理解。通過猜想、歸納、推導(dǎo)讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想,通過公式的歸納過程,體會數(shù)形之間的聯(lián)系。

三、初步應(yīng)用，感悟新知

例:已知一個多邊形的內(nèi)角和是180°,求它的邊數(shù)。

解:設(shè)邊數(shù)為n,有

180°(n-2)=1800°

解得:n=12

答:它的邊數(shù)為12。

四、鞏固練習(xí)

變式練習(xí)1：已知一個多邊形的內(nèi)角和是2160°，求它的邊數(shù)。

解

：

設(shè)這個多邊形有n條邊.由多邊形內(nèi)角和定理知：

(n-2)

×180°=2160°

得

n

=14，即這個多邊形有14條邊。

變式練習(xí)2：有一張長方形的桌面，現(xiàn)在鋸掉它的一個角，剩下的桌面是一個幾邊形？它的內(nèi)角和是多少？

五、課堂小結(jié)

問題1:你都學(xué)習(xí)到了哪些探究多邊形內(nèi)角和的方法?

請學(xué)生回答說一說。

問題2:體會到了數(shù)學(xué)當(dāng)中的什么數(shù)學(xué)思想方法？

教師總結(jié)：

1、我們認(rèn)識了多邊形及相關(guān)的元素.2、通過探索多邊形的內(nèi)角和定理，我們嘗試了從不同的角度尋求解決問題的方法，并且能有效地運用定理解決問題.3、我們學(xué)會了許多解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，如將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，以及類比法、歸納法、轉(zhuǎn)化、分類的思想方法等.【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生暢所欲言總結(jié)對本節(jié)課的收獲和體會,有利于培養(yǎng)歸納、總結(jié)的習(xí)慣和能力,讓學(xué)生自主建構(gòu)知識體系。

七、布置作業(yè)，鞏固提高

1、課本P74習(xí)題19.1

題1、5、72、思考題:把一個n邊形切掉一個角后的內(nèi)角和為1620°,n是多少呢？

【設(shè)計意圖】適當(dāng)?shù)膶ψ鳂I(yè)進行分層設(shè)計,讓學(xué)有余力的學(xué)生得到拓展。