2.4　圓與圓的位置關(guān)系

1.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是()

A.相離

B.相交

C.外切

D.內(nèi)切

2.兩圓x2+y2-4x+2y+1=0與x2+y2+4x-4y-1=0的公切線有()

A.1條

B.2條

C.3條

D.4條

3.(2020山西師大附中高二期中)圓x2+y2-2x-5=0與圓x2+y2+2x-4y-4=0的交點為A,B,則線段AB的垂直平分線的方程是()

A.x+y-1=0

B.2x-y+1=0

C.x-2y+1=0

D.x-y+1=0

4.若圓C1與圓C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于()

A.4

B.42

C.8

D.82

5.已知兩圓相交于兩點A(a,3),B(-1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上,則a+b的值是.6.半徑長為6的圓與y軸相切,且與圓(x-3)2+y2=1內(nèi)切,則此圓的方程為.7.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4,則兩圓公共弦所在直線方程為　　　　,公共弦的長度為.8.已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且AB=22,求圓O2的方程.能力達(dá)標(biāo)

9.兩圓x2+y2=r2(r>0),(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,則正實數(shù)r的值是()

A.10

B.102

C.5

D.5

10.過點M(2,-2)以及圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是()

A.x2+y2-154x-12=0

B.x2+y2-154x+12=0

C.x2+y2+154x-12=0

D.x2+y2+154x+12=0

11.(2020安徽無為中學(xué)高二月考)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()

A.7

B.6

C.5

D.4

12.圓C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0與圓C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長的最大值是()

A.12

B.1

C.32

D.2

13.(多選題)(2020山東棗莊高二月考)已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),下列結(jié)論正確的有()

A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0

B.2ax1+2by1=a2+b2

C.x1+x2=a

D.y1+y2=2b

14.若點P在圓x2+y2=1上,點Q在圓(x+3)2+(y-4)2=4上,則|PQ|的最小值為.15.(2020浙江溫州高二期末)已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,則r的值為　　　　,若點A(x0,y0)在圓C1上,則x02+y02-4x0的最大值為.16.(2020山東泰安一中高二月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=4與圓C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q兩點.(1)求線段PQ的長;

(2)記圓O與x軸正半軸交于點M,點N在圓C上滑動,求△MNC面積最大時的直線NM的方程.17.已知圓C的圓心在直線l:2x-y=0上,且與直線l1:x-y+1=0相切.(1)若圓C與圓x2+y2-2x-4y-76=0外切,試求圓C的半徑;

(2)滿足已知條件的圓顯然不止一個,但它們都與直線l1相切,我們稱l1是這些圓的公切線.這些圓是否還有其他公切線?若有,求出公切線的方程;若沒有,說明理由.1.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是()

A.相離

B.相交

C.外切

D.內(nèi)切

答案B

解析由題意可知圓O1的圓心O1(1,0),半徑r1=1,圓O2的圓心O2(0,2),半徑r1=2,又r2-r1

A.1條

B.2條

C.3條

D.4條

答案C

解析由題意,得兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-2)2+(y+1)2=4和(x+2)2+(y-2)2=9,則兩圓的圓心距d=(2+2)2+(-1-2)2=5=2+3,即兩圓外切,所以兩圓有3條公切線.故選C.3.(2020山西師大附中高二期中)圓x2+y2-2x-5=0與圓x2+y2+2x-4y-4=0的交點為A,B,則線段AB的垂直平分線的方程是()

A.x+y-1=0

B.2x-y+1=0

C.x-2y+1=0

D.x-y+1=0

答案A

解析圓x2+y2-2x-5=0的圓心為M(1,0),圓x2+y2+2x-4y-4=0的圓心為N(-1,2),兩圓的公共弦AB的垂直平分線即為直線MN,其方程為y-02-0=x-1-1-1,即x+y-1=0,故選A.4.若圓C1與圓C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于()

A.4

B.42

C.8

D.82

答案C

解析∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=32×2=8.5.已知兩圓相交于兩點A(a,3),B(-1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上,則a+b的值是.答案-1

解析由A(a,3),B(-1,1),設(shè)AB的中點為Ma-12,2,根據(jù)題意,可得a-12+2+b=0,且kAB=3-1a+1=1,解得a=1,b=-2,故a+b=-1.6.半徑長為6的圓與y軸相切,且與圓(x-3)2+y2=1內(nèi)切,則此圓的方程為.答案(x-6)2+(y±4)2=36

解析設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=36,因為該圓與y軸相切,且與圓(x-3)2+y2=1內(nèi)切,所以|a|=6,(a-3)2+b2=5,解得a=6,b=±4,即該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y±4)2=36.7.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4,則兩圓公共弦所在直線方程為　　　　,公共弦的長度為.答案x=1　23

解析

由圓C1:x2+y2-4=0,圓C2:x2+y2-4x=0,兩個方程作差,可得x=1.將x=1代入x2+y2=4,可解得y=±3,則公共弦的長度為|y1-y2|=23.8.已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且AB=22,求圓O2的方程.解設(shè)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2,因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在的直線方程為4x+4y+r2-8=0,作O1H⊥AB,H為垂足,則AH=12AB=2,所以O(shè)1H=22-AH2=4-2=2.由圓心O1(0,-1)到直線4x+4y+r2-8=0的距離為|r2-12|42=2,得r2=4或r2=20,故圓O2的方程為

(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.能力達(dá)標(biāo)

9.兩圓x2+y2=r2(r>0),(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,則正實數(shù)r的值是()

A.10

B.102

C.5

D.5

答案B

解析兩圓外切,則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和,即(3-0)2+(-1-0)2=2r,解得r=102,故選B.10.過點M(2,-2)以及圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是()

A.x2+y2-154x-12=0

B.x2+y2-154x+12=0

C.x2+y2+154x-12=0

D.x2+y2+154x+12=0

答案A

解析設(shè)經(jīng)過圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,再把點M(2,-2)代入,可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,解得λ=13,故要求的圓的方程為x2+y2-154x-12=0.11.(2020安徽無為中學(xué)高二月考)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()

A.7

B.6

C.5

D.4

答案B

解析由題意知,點P在以原點(0,0)為圓心,以m為半徑的圓上,又因為點P在已知圓上,所以只要兩圓有交點即可,所以|m-1|≤5≤m+1,即4≤m≤6,所以m的最大值是6,故選B.12.圓C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0與圓C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長的最大值是()

A.12

B.1

C.32

D.2

答案D

解析由x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0,得(x+a)2+(y+a)2=1,圓心C1(-a,-a),半徑r1=1;

由x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0,得(x+b)2+(y+b)2=2,圓心C2(-b,-b),半徑r2=2,即兩圓圓心在直線y=x上,半徑分別為1和2,∴兩圓公共弦長的最大值為小圓的直徑,即最大值為2.13.(多選題)(2020山東棗莊高二月考)已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),下列結(jié)論正確的有()

A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0

B.2ax1+2by1=a2+b2

C.x1+x2=a

D.y1+y2=2b

答案ABC

解析由題意,由圓C2的方程可化為x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,兩圓的方程相減可得直線AB的方程為2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A(x1,y1),B(x2,y2)兩點代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,兩式相減可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以選項AB正確;由圓的性質(zhì)可得,線段AB與線段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以選項C正確,選項D不正確.故選ABC.14.若點P在圓x2+y2=1上,點Q在圓(x+3)2+(y-4)2=4上,則|PQ|的最小值為.答案2

解析由題意可知,圓x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為A(0,0),半徑r=1,圓(x+3)2+(y-4)2=4的圓心坐標(biāo)為B(-3,4),半徑R=2.∵d=|AB|=32+42=5>1+2=R+r,∴兩圓的位置關(guān)系是外離.又點P在圓A上,點Q在圓B上,則|PQ|的最小值為d-(R+r)=5-(1+2)=2.15.(2020浙江溫州高二期末)已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,則r的值為　　　　,若點A(x0,y0)在圓C1上,則x02+y02-4x0的最大值為.答案4　5

解析(1)由于兩圓外切,所以(4-0)2+(3-0)2=r+1,∴r=4.(2)點A(x0,y0)在圓C1上,所以x02+y02=1,且-1≤x0≤1,所以x02+y02-4x0=1-4x0.因為-1≤x0≤1,所以x02+y02-4x0的最大值為5.此時x0=-1.16.(2020山東泰安一中高二月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=4與圓C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q兩點.(1)求線段PQ的長;

(2)記圓O與x軸正半軸交于點M,點N在圓C上滑動,求△MNC面積最大時的直線NM的方程.解(1)圓C的一般方程為x2+y2-6x-2y+2=0,由圓O與圓C方程相減可知,相交弦PQ的方程為3x+y-3=0.點(0,0)到直線PQ的距離d=310=31010,PQ=24-(31010)2=3105.(2)∵M(jìn)C=2,|NC|=22,∴S△MNC=12|MC||NC|sin∠MCN=2sin∠MCN.當(dāng)∠MCN=90°時,S△MNC取得最大值.此時MC⊥NC,又kCM=1,則直線NC的方程為y=-x+4.由y=-x+4,(x-3)2+(y-1)2=8,得N(1,3)或N(5,-1).當(dāng)點N為(1,3)時,kMN=-3,此時MN的方程為3x+y-6=0.當(dāng)點N為(5,-1)時,kMN=-13,此時MN的方程為x+3y-2=0.∴MN的方程為3x+y-6=0或x+3y-2=0.17.已知圓C的圓心在直線l:2x-y=0上,且與直線l1:x-y+1=0相切.(1)若圓C與圓x2+y2-2x-4y-76=0外切,試求圓C的半徑;

(2)滿足已知條件的圓顯然不止一個,但它們都與直線l1相切,我們稱l1是這些圓的公切線.這些圓是否還有其他公切線?若有,求出公切線的方程;若沒有,說明理由.解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,2a),則半徑r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,兩圓的圓心距為(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r,因為兩圓外切,所以10r=r+9,∴r=10+1.(2)如果存在另一條切線,則它必過l與l1的交點(1,2),①若斜率不存在,則直線方程為:x=1,圓心C到它的距離|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要對任意的a都成立,因此無解,所以它不是公切線,②若斜率存在,設(shè)公切線方程為y-2=k(x-1),則d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2對任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12,兩邊平方并化簡得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,當(dāng)k=1時,直線與l1重合,當(dāng)k=7時,直線方程為7x-y-5=0,故還存在一條公切線,其方程為7x-y-5=0.