1.4　兩條直線的平行與垂直

1.下列說(shuō)法中,正確的有()

①斜率均不存在的兩條直線可能重合;

②若直線l1⊥l2,則這兩條直線的斜率的乘積為-1;

③若兩條直線的斜率的乘積為-1,則這兩條直線垂直;

④兩條直線l1,l2中,一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零,則l1⊥l2.A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

2.已知直線方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,則l1與l2的關(guān)系()

A.平行

B.重合C.相交

D.以上答案都不對(duì)

3.已知直線l1和l2互相垂直且都過(guò)點(diǎn)A(1,1),若l1過(guò)原點(diǎn)O(0,0),則l2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

4.直線y=-12ax+52a與直線y=-a4x-12平行,則a的值為()

A.2

B.±2

C.2

D.±2

5.直線l1,l2的斜率k1,k2是關(guān)于k的方程2k2-3k-b=0的兩個(gè)根,若l1∥l2,則b=.6.已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,則a的值為.7.已知平行四邊形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.8.當(dāng)m為何值時(shí),過(guò)兩點(diǎn)A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直線:

(1)傾斜角為135°;

(2)與過(guò)兩點(diǎn)(3,2),(0,-7)的直線垂直;

(3)與過(guò)兩點(diǎn)(2,-3),(-4,9)的直線平行.能力達(dá)標(biāo)

9.已知直線l的傾斜角為135°,直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:y=-2bx+1與直線l1平行,則a+b等于()

A.-4

B.-2

C.0

D.2

10.已知直線l1:xsin

α+y-1=0,直線l2:x-3ycos

α+1=0.若l1⊥l2,則sin

2α=()

A.35

B.-35

C.23

D.-23

11.過(guò)點(diǎn)A0,73與B(7,0)的直線l1與過(guò)點(diǎn)(2,1),(3,k+1)的直線l2和兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k等于()

A.-3

B.3

C.-6

D.6

12.直線l1與l2滿足下列條件,其中l(wèi)1∥l2的是()

①l1的斜率為2,l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(4,8),且l1不經(jīng)過(guò)A點(diǎn);

②l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x軸,但不經(jīng)過(guò)P點(diǎn);

③l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,0),N(-5,-2),l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)R(-4,3),S(0,5).A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

13.直線x+a2y+6=0和直線(a-2)x+3ay+2a=0沒(méi)有公共點(diǎn),則a的值是()

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

14.(2020甘肅武威八中高二月考)已知點(diǎn)A(-2,-5),B(6,6),點(diǎn)P在y軸上,且∠APB=90°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.15.設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　　　　,過(guò)點(diǎn)Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程為.16.已知直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分別滿足下列條件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直線l1過(guò)點(diǎn)M(-4,-1).(2)直線l1∥l2,且l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù).17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0),點(diǎn)P(0,p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)),這里a,b,c,p均為非零實(shí)數(shù),設(shè)直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點(diǎn)E,F.若BE⊥AC,求證:CF⊥AB.解由點(diǎn)B(b,0)和點(diǎn)P(0,p),知直線BP的斜率為-pb,1.下列說(shuō)法中,正確的有()

①斜率均不存在的兩條直線可能重合;

②若直線l1⊥l2,則這兩條直線的斜率的乘積為-1;

③若兩條直線的斜率的乘積為-1,則這兩條直線垂直;

④兩條直線l1,l2中,一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零,則l1⊥l2.A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

答案C

解析斜率均不存在的兩條直線可能平行,也可能重合,故①正確,兩直線垂直,有兩種情況:當(dāng)兩條直線都有斜率時(shí),斜率乘積為-1;也可以一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零,故②錯(cuò)誤,③④正確.2.已知直線方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,則l1與l2的關(guān)系()

A.平行

B.重合C.相交

D.以上答案都不對(duì)

答案A

解析∵直線l1的斜率k1=12,直線l2的斜率k2=12,∴k1=k2.∵兩條直線在y軸上的截距分別為74和52,不相等,∴l(xiāng)1與l2互相平行.故選A.3.已知直線l1和l2互相垂直且都過(guò)點(diǎn)A(1,1),若l1過(guò)原點(diǎn)O(0,0),則l2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

答案B

解析設(shè)l2與y軸交點(diǎn)為B(0,b).∵直線l1過(guò)A(1,1),O(0,0),∴kOA=1.∵l1⊥l2,∴kOA·kAB=-1,即kAB=b-10-1=-1,解得b=2,即l2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2).4.直線y=-12ax+52a與直線y=-a4x-12平行,則a的值為()

A.2

B.±2

C.2

D.±2

答案D

解析∵直線y=-12ax+52a與直線y=-a4x-12平行,顯然a≠0,∴-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.解得a=±2,故選D.5.直線l1,l2的斜率k1,k2是關(guān)于k的方程2k2-3k-b=0的兩個(gè)根,若l1∥l2,則b=.答案-98

解析由根與系數(shù)的關(guān)系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2,∵l1∥l2,∴k1=k2=34,解得b=-2k1·k2=-98.6.已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,則a的值為.答案0或5

解析當(dāng)直線l1的斜率不存在時(shí),3=a-2,即a=5,此時(shí)直線l2的斜率k2=0,則l1⊥l2,滿足題意.當(dāng)直線l1的斜率k1存在時(shí),a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.由l1⊥l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.綜上所述,a的值為0或5.7.已知平行四邊形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.答案(3,-6)

解析設(shè)D(x,y),由題意可知,AB∥CD且AD∥BC,∴kAB=kCD且kAD=kBC,∴3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.8.當(dāng)m為何值時(shí),過(guò)兩點(diǎn)A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直線:

(1)傾斜角為135°;

(2)與過(guò)兩點(diǎn)(3,2),(0,-7)的直線垂直;

(3)與過(guò)兩點(diǎn)(2,-3),(-4,9)的直線平行.解(1)由kAB=m-32m2=tan

135°=-1,解得m=-32或m=1.(2)由題意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3,則m-32m2=-13,解得m=32或m=-3.(3)令m-32m2=9+3-4-2=-2,解得m=34或m=-1.能力達(dá)標(biāo)

9.已知直線l的傾斜角為135°,直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:y=-2bx+1與直線l1平行,則a+b等于()

A.-4

B.-2

C.0

D.2

答案B

解析∵直線l的斜率為-1,則直線l1的斜率為1,∴kAB=2-(-1)3-a=1,∴a=0.由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2.故選B.10.已知直線l1:xsin

α+y-1=0,直線l2:x-3ycos

α+1=0.若l1⊥l2,則sin

2α=()

A.35

B.-35

C.23

D.-23

答案A

解析∵l1⊥l2,∴sin

α-3cos

α=0,即tan

α=3.∴sin

2α=2sin

αcos

α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.11.過(guò)點(diǎn)A0,73與B(7,0)的直線l1與過(guò)點(diǎn)(2,1),(3,k+1)的直線l2和兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k等于()

A.-3

B.3

C.-6

D.6

答案B

解析由題意知l1⊥l2,∴kl1·kl2=-1,即-13k=-1,解得k=3.12.直線l1與l2滿足下列條件,其中l(wèi)1∥l2的是()

①l1的斜率為2,l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(4,8),且l1不經(jīng)過(guò)A點(diǎn);

②l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x軸,但不經(jīng)過(guò)P點(diǎn);

③l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,0),N(-5,-2),l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)R(-4,3),S(0,5).A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

答案D

解析由斜率公式,①中,直線l2的斜率也為2,故l1∥l2;②中,直線l1的斜率也為0,故l1∥l2;③兩條直線的斜率均為12,且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn),故l1∥l2.故選D.13.直線x+a2y+6=0和直線(a-2)x+3ay+2a=0沒(méi)有公共點(diǎn),則a的值是()

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

答案D

解析∵兩直線沒(méi)有公共點(diǎn),∴1×3a-a2(a-2)=0,∴a=0或-1或3,經(jīng)檢驗(yàn)知a=3時(shí)兩直線重合,a=0或a=-1時(shí),兩直線平行.14.(2020甘肅武威八中高二月考)已知點(diǎn)A(-2,-5),B(6,6),點(diǎn)P在y軸上,且∠APB=90°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案(0,-6)或(0,7)

解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y).因?yàn)椤螦PB=90°,所以AP⊥BP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-6)或(0,7).15.設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　　　　,過(guò)點(diǎn)Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程為.答案(-4,-1)x-y+3=0

解析設(shè)Q(a,b),則b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1.即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,-1),設(shè)與直線x+y-3=0垂直的直線方程為x-y+c=0,將Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直線方程為x-y+3=0.16.已知直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分別滿足下列條件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直線l1過(guò)點(diǎn)M(-4,-1).(2)直線l1∥l2,且l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù).解(1)∵l1過(guò)點(diǎn)M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0.∴a=1,b=0或a=4,b=12.(2)由題意可得兩條直線不可能都經(jīng)過(guò)原點(diǎn),當(dāng)b=0時(shí),兩條直線分別化為ax+4=0,(a-1)x+y=0,可知兩條直線不平行.b≠0時(shí)兩條直線分別化為

y=abx+4b,y=(1-a)x-b,∴ab=1-a,4b=b,解得b=2,a=23或b=-2,a=2.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0),點(diǎn)P(0,p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)),這里a,b,c,p均為非零實(shí)數(shù),設(shè)直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點(diǎn)E,F.若BE⊥AC,求證:CF⊥AB.解由點(diǎn)B(b,0)和點(diǎn)P(0,p),知直線BP的斜率為-pb,由點(diǎn)A(0,a)和點(diǎn)C(c,0),知直線AC的斜率為-ac,因?yàn)锽E⊥AC,所以-pb-ac=-1,即pa=-bc;

由點(diǎn)C(c,0)和點(diǎn)P(0,p),知直線CP的斜率為-pc,由點(diǎn)A(0,a)和點(diǎn)B(b,0),知直線AB的斜率為-ab,則直線CF與AB的斜率之積為-pc-ab=pabc=-bcbc=-1,所以CF⊥AB.