2.2　圓的一般方程

1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.R

B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)

2.已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標(biāo)軸上,則這個圓的方程是()

A.x2+y2+4x-2y-5=0

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0

D.x2+y2-4x+2y=0

3.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直線x-y=1的距離為()

A.2

B.22

C.1

D.2

4.已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,-3),且點(-1,-1)在圓上,則圓C的方程為()

A.x2+y2-4x+6y+8=0

B.x2+y2-4x+6y-8=0

C.x2+y2-4x-6y=0

D.x2+y2-4x+6y=0

5.圓C:x2+y2+4x-2y+3=0的圓心是.半徑是.6.點P(x0,y0)是圓x2+y2=16上的動點,點M是OP(O為原點)的中點,則動點M的軌跡方程為.7.當(dāng)方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=.8.已知三角形的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求這個三角形外接圓的一般方程.能力達標(biāo)

9.若a∈-2,0,1,23,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數(shù)為()

A.0

B.1

C.2

D.3

10.已知圓C與圓x2+y2-2y=0關(guān)于直線x-y-2=0對稱,則圓C的方程是()

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-3)2+(y+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1

D.(x+2)2+(y-3)2=1

11.(多選題)圓x2+y2-4x-1=0()

A.關(guān)于點(2,0)對稱

B.關(guān)于直線y=0對稱

C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱

D.關(guān)于直線x-y+2=0對稱

12.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為22,則實數(shù)a的值為()

A.0或2

B.0或-2

C.0或12

D.-2或2

13.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為()

A.5

B.5

C.25

D.10

14.已知A(-2,0),B(2,0),動點M滿足|MA|=2|MB|,則點M的軌跡方程是.15.已知圓x2+y2+4x-6y+a=0關(guān)于直線y=x+b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是.16.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為2,求圓的一般方程.17.設(shè)△ABC的頂點坐標(biāo)A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圓M為△ABC的外接圓.(1)求圓M的方程.(2)當(dāng)a變化時,圓M是否過某一定點?請說明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.R

B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)

答案B

解析當(dāng)a≠0時,方程為x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴當(dāng)a≠0時,方程表示圓.當(dāng)a=0時,易知方程為x+y=0,表示直線.綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標(biāo)軸上,則這個圓的方程是()

A.x2+y2+4x-2y-5=0

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0

D.x2+y2-4x+2y=0

答案C

解析設(shè)直徑的兩個端點分別為A(a,0),B(0,b),圓心為點(-2,1),由線段中點坐標(biāo)公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半徑r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圓的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直線x-y=1的距離為()

A.2

B.22

C.1

D.2

答案D

解析因為圓心坐標(biāo)為(1,-2),所以圓心到直線x-y=1的距離為d=|1+2-1|2=2.4.已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,-3),且點(-1,-1)在圓上,則圓C的方程為()

A.x2+y2-4x+6y+8=0

B.x2+y2-4x+6y-8=0

C.x2+y2-4x-6y=0

D.x2+y2-4x+6y=0

答案D

解析易知圓C的半徑為13,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+3)2=13,展開得一般方程為x2+y2-4x+6y=0.5.圓C:x2+y2+4x-2y+3=0的圓心是.半徑是.答案(-2,1)2

解析由圓C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,1),半徑為2.6.點P(x0,y0)是圓x2+y2=16上的動點,點M是OP(O為原點)的中點,則動點M的軌跡方程為.答案x2+y2=4

解析設(shè)M(x,y),則x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又點(x0,y0)在圓上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.當(dāng)方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=.答案3π4

解析圓的半徑r=12k2+4-4k2=124-3k2,當(dāng)k=0時,rmax=1,直線y=(k-1)x+2的斜率為-1,傾斜角為3π4.8.已知三角形的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求這個三角形外接圓的一般方程.解設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三點都在圓上,∴A,B,C三點的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐標(biāo)依次代入所設(shè)方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圓的方程為x2+y2+x-9y-12=0.能力達標(biāo)

9.若a∈-2,0,1,23,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數(shù)為()

A.0

B.1

C.2

D.3

答案B

解析根據(jù)題意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-3)2+(y+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1

D.(x+2)2+(y-3)2=1

答案B

解析將圓x2+y2-2y=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圓的圓心為(0,1),半徑r=1.∵圓C與圓x2+y2-2y=0關(guān)于直線x-y-2=0對稱,∴圓C的圓心C與點(0,1)關(guān)于直線x-y-2=0對稱,半徑也為1.設(shè)C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圓C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多選題)圓x2+y2-4x-1=0()

A.關(guān)于點(2,0)對稱

B.關(guān)于直線y=0對稱

C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱

D.關(guān)于直線x-y+2=0對稱

答案ABC

解析圓x2+y2-4x-1=0,即圓(x-2)2+y2=5,它的圓心為(2,0),半徑等于5,故圓關(guān)于點(2,0)對稱,且關(guān)于經(jīng)過(2,0)的直線對稱,故選ABC.12.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為22,則實數(shù)a的值為()

A.0或2

B.0或-2

C.0或12

D.-2或2

答案A

解析圓x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圓心(1,2)到直線x-y+a=0的距離為|1-2+a|2=22,則實數(shù)a=0或a=2,故選A.13.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為()

A.5

B.5

C.25

D.10

答案B

解析由題意得直線l過圓心M(-2,-1),則-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5.14.已知A(-2,0),B(2,0),動點M滿足|MA|=2|MB|,則點M的軌跡方程是.答案x2+y2-203x+4=0

解析設(shè)M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圓x2+y2+4x-6y+a=0關(guān)于直線y=x+b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是.答案(-∞,8)

解析由題意知,直線y=x+b過圓心,而圓心坐標(biāo)為(-2,3),代入直線方程,得b=5,所以圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為2,求圓的一般方程.解圓心C的坐標(biāo)為-D2,-E2,因為圓心在直線x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①

又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②

由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圓心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.17.設(shè)△ABC的頂點坐標(biāo)A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圓M為△ABC的外接圓.(1)求圓M的方程.(2)當(dāng)a變化時,圓M是否過某一定點?請說明理由.解(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圓M過點A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圓M的方程為x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圓M的方程可化為(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圓M過定點(0,-3).