鹽城市2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

第19講

正弦定理與解三角形

【課堂引入】

1、正弦定理的內(nèi)容分別是什么？公式的變形形式有哪些？

2、正弦定理在已知三角形的哪些元素時(shí)使用？

【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】

一、考綱導(dǎo)讀：掌握正弦定理，并能用正弦定理和三角公式解斜三角形.二、知識(shí)梳理

1.利用平面幾何知識(shí)及三角函數(shù)知識(shí)可以證明正弦定理.正弦定理:(其中R為△ABC的外接圓的半徑,下同).變形:(1)

a=2Rsin

A,b=　　　　,c=;(2)

sin

A=　　　　,sin

B=　　　　,sin

C=;

(3)

a∶b∶c=;(4)

asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC(等比性質(zhì)).2.利用正弦定理,可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題:

(1)

已知兩角與任一邊,求其他兩邊和一角;

(2)

已知兩邊與其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).對(duì)于“已知兩邊與其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)”的題型,可能出現(xiàn)多解或無(wú)解的情況.驗(yàn)證解的情況可用數(shù)形結(jié)合法.如:已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)解的情況如下:

①若A為銳角,則a

A　無(wú)解

a=bsin

A　一解

bsin

A

a≥b　一解

②若A為直角或鈍角,則a≤b,　　　　解;a>b,　　　　解.a≤b　無(wú)解　　　a>b　一解

3.由正弦定理,可得三角形面積公式:

S△ABC=12absin

C=　　　　　　　　=

=　　　　　　　　=.4.三角形內(nèi)角定理的變形:由A+B+C=π,知A=π-(B+C),可得出:sin

A=sin(B+C),cos

A=-cos(B+C).而A2=π2-B+C2,有sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2.三、回歸課本

1.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2bsin

A,則B=.2.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,那么AC=.3.在△ABC中,若a=2,b=3,C=π6,則△ABC的面積為.4.在△ABC中,若a=43,c=4,C=30°,則A=.5.在△ABC中,若A=60°,a=3,則a+bsinA+sinB=.四、考點(diǎn)研析

考點(diǎn)一　利用正弦定理判斷三角形的形狀

典例1

在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.變式

在△ABC中,若bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.考點(diǎn)二　利用正弦定理解三角形

典例2

在△ABC中,已知a+ba=sinBsinB-sinA,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1)

求角B的大小;(2)

求a+cb的取值范圍.變式1

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.(1)

求角B的大小;(2)

求sinA+sinC的取值范圍.變式2

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝，sin

B＝，C＝，則b＝________.考點(diǎn)三　利用正弦定理解三角形的面積問(wèn)題

典例3

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bc=233,A+3C=π.(1)

求cosC的值;(2)

若b=33,求△ABC的面積.變式

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2sinB=3cosB.(1)

若cosA=13,求sinC的值;(2)

若b=7,sinA=3sinC,求△ABC的面積.五、課堂練習(xí)

1.在△ABC中,已知a=23,b=2,A=60°,則B=.2.在銳角三角形ABC中,角A,B所對(duì)的邊分別為a,b.若2asinB=3b,則A=.3.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為.4.在銳角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面積為33,則BC的長(zhǎng)為.5.在斜三角形ABC中,已知tanA+tanB+tanAtanB=1.(1)

求角C的大小;(2)

若A=15°,AB=2,求△ABC的周長(zhǎng).