獵狗追兔問題

教學(xué)目標(biāo)

1．通過本講學(xué)習(xí)要學(xué)生學(xué)會對行程問題中單位進(jìn)行統(tǒng)一；

2．追及問題在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的理解與應(yīng)用；

3．能夠理解比例及相關(guān)知識的初步引入；

4．解題中追及問題公式、比例(或份數(shù))等知識點(diǎn)的結(jié)合；

5．統(tǒng)一及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

知識精講

一、獵狗追兔的出題背景

獵狗追兔是奧數(shù)中行程問題的一種，它與一般的行程問題有著某種相通性。

解題關(guān)鍵：行程單位要統(tǒng)一是獵狗追兔的解題關(guān)鍵。

通常我們遇到的題給的都是通用單位，如米、公里等等，這類題中會涉及狗步與兔步兩個不同的單位，關(guān)鍵就在于將這兩者統(tǒng)一，作行程問題最好能夠脫離題海，要多注意總結(jié)，體會思想方法！很多看似無關(guān)的題目，實(shí)質(zhì)思想是相通的！

二、獵狗追兔問題

問題敘述：兔子動作快、步子??；獵狗動作慢、步子大。通常我們遇到的行程問題給的路程都是通用單位：米或千米等，但這類題中狗步與兔步是不一樣的單位，解題關(guān)鍵在于統(tǒng)一單位，然后利用追及問題公式“路程差÷速度差=追及時間”求解。

單位的統(tǒng)一：在獵狗追兔的問題中，狗步與兔步之間在距離上有一定關(guān)系。

例如：相同路程內(nèi)，獵狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，據(jù)此可以求出狗步與兔步的比，相同時間內(nèi)(可以認(rèn)為單位時間內(nèi))兔子跑3步(兔步)，獵狗跑2步(狗步)

進(jìn)而可以求出兔子與獵狗的速度，即單位時間內(nèi)分別跑多少兔步(或狗步)

關(guān)鍵：具體是統(tǒng)一為狗步或兔步，要視路程差的單位而定，若路程差的單位為狗步則速度要統(tǒng)一為狗步，反之統(tǒng)一為兔步。若路程差為米或千米，則統(tǒng)一成狗步或兔步都行。

例題精講

【例

1】

獵狗前面26步遠(yuǎn)有一只野兔，獵狗追之.兔跑8步的時間狗跑5步，兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離.問：兔跑多少步后被獵狗抓獲?此時獵狗跑了多少步?

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：“獵狗前面26步……”顯然指的是獵狗的26步。因?yàn)轭}目中出現(xiàn)“兔跑8步的時間……”和“兔跑9步的距離……”，8與9的最小公倍數(shù)是72，所以可以統(tǒng)一在“兔跑72步”這個情況下考慮.兔跑72步的時間狗跑45步，兔跑72步的距離等于狗跑32步距離，所以在兔跑72步的時間里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，這個13步是獵狗的13步.由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此時獵狗跑了5×(144÷8)=90(步).方法二：設(shè)狗跑一步為個長度單位，則兔跑一步為個長度單位；在相同時間內(nèi)，狗的速度為，兔的速度為，根據(jù)題意有(個單位時間)．獵狗追上兔時跑了(個單位長度)，所以狗跑了(步)，此時兔跑了(個單位長度)，故兔跑了(步)．

方法三：統(tǒng)一為“兔跑步”的情況：兔跑步的時間里狗比兔多跑了(步)的路程，這里的步是狗步．由此推知，要追上狗步，兔跑了(步)，此時獵狗跑了(步)．

【答案】步

【鞏固】

獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9步遠(yuǎn)的前方有一只奔跑的兔子,立刻追趕,獵犬步子大.它跑5步的路程,兔子跑9步,但兔子動作快,獵犬跑2步的時間,兔子跑3步,獵犬至少跑多少步才能追上兔子?

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

狗5步＝兔子9步，步幅之比＝9：5；狗2步時間＝兔子3步時間，步頻之比＝2：3；則速度之比是

9×2：5×3＝6：5；這個9步是指狗的9步距離。6×9/(6－5)＝54步。

【答案】54步

【例

2】

野兔逃出80步后獵狗才開始追，野兔跑7步的路程獵狗只需跑3步，野兔跑9步的時間獵狗只能跑5步.問：獵狗至少跑多少步才能追上野兔?

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

“野兔跑7步的路程獵狗只需跑3步，野兔跑9步的時間獵狗只能跑5步.”講條件轉(zhuǎn)化為：“野兔跑35步的路程獵狗只需跑15步，野兔跑27步的時間獵狗只能跑15步.”在獵狗跑15步的時間內(nèi)，獵狗比野兔多跑35-27=8（兔步）.獵狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.【答案】150步

【鞏固】

森林里有一對兔子兄弟賽跑，弟弟先跑10步，然后哥哥開始追趕，若弟弟跑4步的時間等于哥哥跑3步的時間，哥哥跑5步的距離等于弟弟跑7步的距離，那么兔子哥哥跑__________步才能追上弟弟。

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

設(shè)哥哥一步跑7，那么弟弟一步跑5，那么哥哥跑21的距離，弟弟跑20，兩人路程差是50，所以哥哥要跑50個21才能追上。就是150步。

【答案】150步

【鞏固】

一只野兔逃出100步后獵狗才開始追它，野兔跑8步的路程獵狗只需跑3步，獵狗跑4步的時間兔子能跑9步，獵狗至少要跑

步才能追上野兔。

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

240步

【答案】240步

【鞏固】

獵狗追野兔。在相等的時間里，獵狗跳6次，野兔跳7次；而獵狗跳4次的距離等于野兔跳5次的距離。當(dāng)獵狗發(fā)現(xiàn)野兔時，野兔已跳出離獵狗10步遠(yuǎn)的距離。問獵狗跳出多少次以后才能追上野兔？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

120次

【答案】120次

【鞏固】

一只野兔逃出80步后獵狗才追它，野兔跑

8步的路程獵狗只需跑3步，獵狗跑4步的時間兔子能跑9步。獵狗至少要跑多少步才能追上野兔？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

獵狗每步相當(dāng)于（兔步），獵狗的速度比兔子快（兔步），（步）

即獵狗至少要跑192步才能追上兔子。

【答案】192步

【例

3】

狼和狗是死對頭，見面就要相互撕咬．一天，它們同時發(fā)現(xiàn)了對方，它們之間的距離狼要跑

步．如果狼跑步的時間狗跑步，狼跑步的距離等于狗跑步的距離，那么從它們同時奔向?qū)Ψ降较嘤?，狗跑了多少步？狼跑了多少步?/p>

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

由題目條件知，狼跑步的時間狗跑步，狼跑步的距離等于狗跑步的距離，也就是說，在相同的時間里，狼跑狗的步，狗跑步，所以，狼與狗的速度比是．相遇時，狼跑了(步)，狗跑了(步)．

【答案】步

【鞏固】

小明家的貓和狗是死對頭，見面就要相互打架。一天，它們同時發(fā)現(xiàn)了對方，它們之間的距離貓要跑260步.如果貓跑9步的時間狗跑5步，貓跑5步的距離等于狗跑3步的距離，那么從它們同時奔向?qū)Ψ降较嘤?，貓跑了多少?

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

135步

【答案】135步

【例

4】

獵狗追趕前方15米處的野兔.獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步.獵狗至少跑出多少米才能追上野兔?

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

“獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步.”將條件轉(zhuǎn)化為：“獵狗跑12步的時間野兔跑20步，獵狗跑12步的距離野兔要跑21步.”我們也就可以這樣認(rèn)為：在一個單位時間內(nèi)（獵狗跑12步的時間），獵狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差為野兔的1步.追擊時間=15÷野兔的1步，所以獵狗追擊的距離=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.【答案】315米

【鞏固】

獵狗追趕前方30米處的野兔.獵狗步子大，它跑

4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步.獵狗至少跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

獵狗跑12步的路程兔子要跑21步，獵狗跑12步的時間兔子要跑16步，在獵狗跑12步這個單位時間內(nèi)，兩者的速度差為兔子的5步，所以獵狗追擊距離為：30÷5×21=126（米）.【答案】126米

【鞏固】

一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米，兔子一跳前進(jìn)2.1米，狗跳3次的時間兔子可以跳4次。問：兔子跑出多遠(yuǎn)將被獵狗追上？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

在一個單位時間里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×2.1＝8.4（米），所以兔子跑的距離為：[20÷（9-8.4）]×8.4=280（米）.【答案】280米

【鞏固】

獵狗發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的地方有一只奔跑著的兔子，馬上緊追上去，獵狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步。但是兔子動作快，獵狗跑2步的時間，兔子卻能跑3步。

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

兔子9步=狗5步，兔子3步所用時間=狗2步所用時間，所以兔子的速度：狗的速度=5：6。所以狗跑的距離=狗的速度x追擊時間=狗的速度x（相差距離：速度差）=6乘以10：（6-5）=60米。

【答案】60米

【鞏固】

獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。已知獵狗跑2步的時間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔子再跑多遠(yuǎn)，獵狗可以追上它？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

設(shè)狗跑2步的時間為1(分鐘)，兔跑3步的時間也為1(分鐘)；再設(shè)狗的步長為7(米)，則兔的步長為4(米)，推出狗的速度是2×7=14，兔的速度是3×4=12。用40÷（14－12）=20，20為追擊時間。再用兔的速度乘上追擊時間可得兔跑的路程，即

12×20=240（米）。

【答案】240米

【鞏固】

獵狗發(fā)現(xiàn)前方150米處有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒14米，獵狗追趕的速度是每秒18米。在兔子前方520米處是一片灌木叢，如果兔子能鉆進(jìn)灌木叢，獵狗就捉不到它了。獵狗究竟能不能抓住兔子呢？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

追不上。

【答案】追不上

【例

5】

已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同．而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā)．問當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程？

【考點(diǎn)】行程問題之獵狗追兔

【難度】5星

【題型】解答

【解析】

方法一：由題意，貓與狗的速度之比為，貓與兔的速度之比為．

設(shè)單位時間內(nèi)貓跑1米，則狗跑米，兔跑米．

狗追上貓一圈需單位時間，兔追上貓一圈需單位時間．

貓、狗、兔再次相遇的時間，應(yīng)既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍．

與的最小公倍數(shù)等于兩個分?jǐn)?shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù)，即．

上式表明，經(jīng)過個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇．

此時，貓跑了米，狗跑了米，兔跑了米．

方法二：根據(jù)題意，貓跑35步的路程與狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等；而貓跑15步的時間與狗跑25步、兔跑21步的時間相同．

所以貓、狗、兔的速度比為，它們的最大公約數(shù)為，即設(shè)貓的速度為，那么狗的速度為，則兔的速度為．

于是狗每跑單位時追上貓；

兔每跑單位時追上貓．

而，所以貓、狗、兔跑了單位時，三者相遇．

貓跑了米，狗跑了米，兔跑了米．

【答案】米