多人相遇和追及問題

教學(xué)目標(biāo)

1.能夠?qū)W(xué)過的簡(jiǎn)單相遇和追及問題進(jìn)行綜合運(yùn)用

2.根據(jù)題意能夠畫出多人相遇和追及的示意圖

3.能將復(fù)雜的多人相遇問題轉(zhuǎn)化多個(gè)簡(jiǎn)單相遇和追及環(huán)節(jié)進(jìn)行解題。

知識(shí)精講

二是多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個(gè)或3個(gè)以上的對(duì)象之間的相遇追及問題。

所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化．由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：；

；

多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解．

例題精講

板塊一、多人從兩端出發(fā)——相遇、追及

【例

1】

有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米．現(xiàn)在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時(shí)出發(fā)相向而行，在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇.那么，東、西兩村之間的距離是多少米?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、丙6分鐘相遇的路程：(米)；

甲、乙相遇的時(shí)間為：(分鐘)；

東、西兩村之間的距離為：(米).【答案】米

【鞏固】

一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，甲騎自行車每分鐘騎450米，乙跑步每分鐘250米，兩人同時(shí)從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(分鐘)．

【答案】分鐘

【例

2】

在公路上，汽車、、分別以，的速度勻速行駛，若汽車從甲站開往乙站的同時(shí)，汽車、從乙站開往甲站，并且在途中，汽車在與汽車相遇后的兩小時(shí)又與汽車相遇，求甲、乙兩站相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】四中，入學(xué)測(cè)試

【解析】

汽車在與汽車相遇時(shí)，汽車與汽車的距離為：千米，此時(shí)汽車與汽車的距離也是260千米，說明這三輛車已經(jīng)出發(fā)了小時(shí)，那么甲、乙兩站的距離為：千米．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙、丙三人每分分別行60米、50米和40米，甲從B地、乙和丙從A地同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B兩地的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲遇到乙后15分鐘，甲遇到了丙，所以遇到乙的時(shí)候，甲和丙之間的距離為：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之間拉開這么大的距離一共要1500÷（50-40）=150（分），即從出發(fā)到甲與乙相遇一共經(jīng)過了150分鐘，所以A、B之間的距離為：（60+50）×150＝16500（米）．

【答案】16500米

【鞏固】

小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米／時(shí)、48千米／時(shí)和42千米／時(shí)，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

270千米。提示：先求出面包車與小轎車相遇時(shí)，大客車與小轎車的距離（相遇問題），再求出從出發(fā)到面包車與小轎車相遇經(jīng)過的時(shí)間（追及問題），最后求甲、乙兩地的距離（相遇問題）。

【答案】270千米

【鞏固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.5米，丙每分鐘走75米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時(shí)出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+75）×2=270米，這距離是乙丙相遇時(shí)間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時(shí)間=270÷（67.5-60）=36分鐘，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。

【答案】5130米

【鞏固】

小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

畫一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離：（千米），這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）.這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要：130÷2=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時(shí)間是：130＋65=195（分鐘）＝3小時(shí)15分.小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.【答案】3小時(shí)15分

【鞏固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走65米，丙每分鐘走70米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時(shí)出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過1分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+70）×1=130米，這距離是乙丙相遇時(shí)間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時(shí)間=130÷（65-60）=26分鐘，所以路程=26×（65+70）=3510米。

【答案】3510米

【鞏固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時(shí)出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+70）×2=260米，這距離是乙丙相遇時(shí)間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時(shí)間=260÷（60-50）=26分鐘，所以路程=26×（60+70）=3380米。

【答案】3380米

【鞏固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走90米，丙每分鐘走100米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時(shí)出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過5分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

那5分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（90+100）×5=950米，這距離是乙丙相遇時(shí)間里甲乙的路程差。所以乙丙相遇時(shí)間=950÷（90-80）=95分鐘，所以路程=95×（90+100）=18050米。

【答案】18050米

【鞏固】

小王的步行速度是5千米/小時(shí)，小張的步行速度是6千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后30分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

30分鐘是小王和小李相遇，所以距離是千米，這距離是小王和小李相遇時(shí)間里小張和小王的路程差。所以小李和小張相遇時(shí)間=7.5÷（6-5）=7.5小時(shí)，所以路程=7.5×（6+10）=120千米。120÷10=12（小時(shí)）

【答案】12小時(shí)

【鞏固】

甲、乙、丙三人，他們的步行速度分別為每分鐘480、540、720米，甲、乙、丙3人同時(shí)動(dòng)身，甲、乙二人從A地出發(fā)，向B地行時(shí)，丙從B地出發(fā)向A地行進(jìn)，丙首先在途中與乙相遇，3分鐘后又與甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多長(zhǎng)時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：乙與丙相遇時(shí)，乙比甲多行的距離可供丙、甲相向而行行3分鐘的時(shí)間，這段距離為（米），（分），A、B之間的距離為（米），行完全程甲、乙、丙需要的時(shí)間分別如下：

甲

乙

丙

方法二：丙與乙相遇時(shí)，各行了（分），速度與時(shí)間成反比，所以，丙行完全程需要（分）；乙行完全程需要（分）.方法三：丙與乙相遇時(shí)，乙比甲多行了（米）；丙比甲多行了（米），所以A地與B地之間的距離為（米）.行完全程甲、乙、丙需要的時(shí)間分別如下：

甲

乙

丙

【答案】甲

分；乙

分；丙

分

【鞏固】

甲乙丙三人沿環(huán)形林蔭道行走，同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲、乙按順時(shí)針方向行走，丙按逆時(shí)針方向行走。已知甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，1小時(shí)后甲、丙二人相遇，又過了10分鐘，丙與乙相遇，問甲、丙相遇時(shí)丙行了多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：出發(fā)1小時(shí)后甲、丙相遇，這時(shí)甲領(lǐng)先乙千米；10分鐘后丙、乙相遇，相向而行共行了2千米，其中乙行了千米，丙行了千米，丙每小時(shí)行千米，所以甲、丙相遇時(shí)，丙行了千米。

方法二：丙1小時(shí)10分鐘（與乙相遇）行的距離與1小時(shí)（與甲相遇）行的距離之差恰好等于甲1小時(shí)行的距離之差，所以丙的速度等于千米/小時(shí)，丙與甲相遇時(shí)，丙行了千米。

【答案】千米

【例

3】

甲、乙兩車的速度分別為

千米／時(shí)和

千米／時(shí)，它們同時(shí)從

A

地出發(fā)到

B

地去，出發(fā)后

時(shí)，甲車遇到一輛迎面開來的卡車，1

時(shí)后乙車也遇到了這輛卡車。求這輛卡車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲乙兩車最初的過程類似追及，速度差×追及時(shí)間＝路程差；路程差為

千米；72

千米就是1

小時(shí)的甲車和卡車的路程和，速度和×相遇時(shí)間＝路程和，得到速度和為

千米／時(shí)，所以卡車速度為

72-40=32

千米／時(shí)。

【答案】卡車速度為

千米／時(shí)

【鞏固】

甲、乙、丙三人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米．甲從東村，乙、丙從西村同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲、乙相遇后3分鐘又與丙相遇．求東西兩村的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

先畫示意圖如下：

甲、乙相遇后3分鐘，甲、丙相遇．甲、丙在3分鐘內(nèi)共走路程是(米)．顯然，這就是甲、乙相遇時(shí)，乙比丙多走的路程，乙比丙每分鐘多走(米)．所以，甲、乙相遇時(shí)離出發(fā)的時(shí)間是(分鐘)．兩村間的距離是：(米)

【答案】米

【鞏固】

甲、乙、丙三輛車同時(shí)從

A

地出發(fā)到

B

地去，甲、乙兩車的速度分別為

千米／時(shí)和

48千米／時(shí)。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后5時(shí)、6時(shí)、8

時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲車每小時(shí)比乙車快(千米)．則5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為(千米)．也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車的速度為(千米/小時(shí))，卡車在與甲相遇后，再走(小時(shí))才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程．由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：(千米/小時(shí))．

【答案】千米/小時(shí)

【鞏固】

甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米／時(shí)和48千米／時(shí)。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后

6時(shí)、7時(shí)、8時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

39千米／時(shí)。提示：先利用甲、乙兩車的速度及與迎面開來的卡車相遇的時(shí)間，求出卡車速度為24千米／時(shí)。

【答案】卡車速度為24千米／時(shí)

【例

4】

李華步行以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米處的冬令營(yíng)報(bào)到。半小時(shí)后，營(yíng)地老師聞?dòng)嵡巴?，每小時(shí)比李華多走1.2千米。又過了1.5小時(shí)，張明從學(xué)校騎車去營(yíng)地報(bào)到。結(jié)果三人同時(shí)在途中某地相遇。問騎車人每小時(shí)行駛多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

老師出發(fā)時(shí)，李華已經(jīng)走了（千米）。接下來相遇所需要的時(shí)間為（小時(shí)）。相遇地點(diǎn)與學(xué)校的距離用李華的速度和時(shí)間進(jìn)行計(jì)算：（千米）。所以張明要用小時(shí)感到距離學(xué)校10千米處，張明的速度為（千米/時(shí)）

【答案】千米/時(shí)

【例

5】

甲、乙、丙三人，甲每分鐘走40米，丙每分鐘走60米，甲、乙兩人從A、B地同時(shí)出發(fā)相向而行，他們出發(fā)15分鐘后，丙從B地出發(fā)追趕乙。此后甲、乙在途中相遇，過了7分鐘甲又和丙相遇，又過了63分鐘丙才追上乙，那么A、B兩地相距多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意可知，（40+60）×7=700（米），700÷（63+7）=10（米/分），乙的速度為50米/分，（15×50-700）÷10=5（分），（40+50）×（15+5）=1800（米）

【答案】1800米

【鞏固】

甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)駛向B地，依次在出發(fā)后5小時(shí)、5小時(shí)、6小時(shí)與迎面駛來的一輛卡車相遇。已知甲、乙兩車的速度分別是80千米/時(shí)和70千米/時(shí)，求丙車和卡車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

丙車和卡車的速度均是50千米/時(shí)。

【答案】50千米/時(shí)

【例

6】

一列長(zhǎng)110米的火車以每小時(shí)30千米的速度向北緩緩駛?cè)?，鐵路旁一條小路上，一位工人也正向北步行。14時(shí)10分時(shí)火車追上這位工人，15秒后離開。14時(shí)16分迎面遇到一個(gè)向南走的學(xué)生，12秒后離開這個(gè)學(xué)生。問：工人與學(xué)生將在何時(shí)相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

工人速度是每小時(shí)30-0.11/（15/3600）=3.6千米，學(xué)生速度是每小時(shí)（0.11/12/3600）-30=3千米，14時(shí)16分到兩人相遇需要時(shí)間（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小時(shí)）=24分鐘14時(shí)16分+24分=14時(shí)40分

【答案】14時(shí)40分

【鞏固】

鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，騎車人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長(zhǎng)是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒?；疖嚨能嚿黹L(zhǎng)度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長(zhǎng)度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。

法一：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。

解得x=14。所以火車的車身長(zhǎng)為：（14-1）×22=286（米）。

法二：直接設(shè)火車的車長(zhǎng)是x,那么等量關(guān)系就在于火車的速度上?？傻茫簒/26＋3＝x/22＋1

這樣直接也可以x=286米

法三：既然是路程相同我們同樣可以利用速度和時(shí)間成反比來解決。

兩次的追及時(shí)間比是：22：26＝11：13，所以可得：（V車－1）：（V車－3）＝13：11，可得V車＝14米/秒，所以火車的車長(zhǎng)是（14-1）×22=286（米）

答：這列火車的車身總長(zhǎng)為286米。

【答案】286米

【例

7】

甲、乙兩人從相距490米的、兩地同時(shí)步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時(shí)從出發(fā)，在甲、乙二人之間來回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分鐘跑240米，甲每分鐘走40米，當(dāng)丙第一次折返回來并與甲相遇時(shí)，甲、乙二人相距210米，那么乙每分鐘走_(dá)_______米；甲下一次遇到丙時(shí)，甲、乙相距________米．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

如圖所示：

假設(shè)乙、丙在處相遇，然后丙返回，并在處與甲相遇，此時(shí)乙則從走處到處．根據(jù)題意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同時(shí)間內(nèi)丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是從到再到的長(zhǎng)度是的6倍，那么，可見．那么丙從到所用的時(shí)間是從到所用時(shí)間的，那么這段時(shí)間內(nèi)乙、丙所走的路程之和(加)是前一段時(shí)間內(nèi)乙、丙所走的路程之和(加，即全程)的，所以，而，可得，．

相同時(shí)間內(nèi)丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度為(米/分)，即乙每分鐘走60米．

當(dāng)這一次丙與甲相遇后，三人的位置關(guān)系和運(yùn)動(dòng)方向都與最開始時(shí)相同，只是甲、乙之間的距離改變了，變?yōu)樵瓉淼?，但三人的速度不變，可知運(yùn)動(dòng)過程中的比例關(guān)系都不改變，那么當(dāng)下一次甲、丙相遇時(shí)，甲、乙之間的距離也是此時(shí)距離的，為米．

【答案】米

【例

8】

甲、乙、丙三人沿湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)，甲按順時(shí)針方向走，乙與丙按逆時(shí)針方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再過3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖的周長(zhǎng)是600米，求丙的速度．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】三帆中學(xué)

【解析】

甲第一次遇見乙后分鐘遇到丙，再過分第二次遇到乙，所以甲、乙經(jīng)過分鐘的時(shí)間合走了一圈，甲、乙的速度和為米/分，甲的速度為米/分．甲、乙合走一圈需要5分鐘，而甲第一次遇見乙后分鐘遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要分鐘，甲、丙的速度和為米/分，從而丙的速度為米/分．

【答案】米/分

【鞏固】

甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時(shí)5.4千米，乙速度是每小時(shí)4.2千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個(gè)小時(shí)后甲和丙相遇，在過5分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

30分鐘乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有題意之乙和丙走這0.6千米用了5分鐘，因?yàn)橐液捅麖某霭l(fā)到相遇共用35分鐘，所以繞湖一周的行程為：35÷5×0.6＝4.2（千米）。

【答案】4.2千米

【鞏固】

池塘周圍有一條道路．、、三人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．和往逆時(shí)針方向走，往順時(shí)針方向走．以每分鐘80米、以每分鐘65米的速度行走．在出發(fā)后的20分鐘遇到，再過2分鐘，遇到．請(qǐng)問，池塘的周長(zhǎng)是幾米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

換個(gè)角度去思考這個(gè)問題，假設(shè)用一把剪刀將道路剪開，并將弧形的道路拉成直的，這樣此題就轉(zhuǎn)化成了相遇問題．如圖，行了20分鐘后，與相遇，此時(shí)、、都行了20分鐘，而落后(米)，也就是此時(shí)，與相距300米．題目又告訴我們過2分鐘與相遇，這說明這2分鐘與一共行了300米，所以的速度為(米/分)．池塘周長(zhǎng)為：

(米)．

【答案】米

【鞏固】

甲從A地出發(fā)前往B地，1小時(shí)后，乙、丙兩人同時(shí)從B地出發(fā)前往A地，結(jié)果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B兩地之間的距離是220千米，C、D兩地之間的距離是20千米．求丙的速度．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

假設(shè)乙走了單位“1”，得

丙走了1.5，即丙與乙的路程差為1.5-1=0.5,因?yàn)閷?shí)際的路程差為20×2=40(千米)

所以乙走了80千米，即

甲后來走了80千米，丙走了120千米，220-80-120=20(千米)

所以甲的速度是20(千米/小時(shí))

丙的速度=20×1.5=30(千米/小時(shí))

【答案】30千米/小時(shí)

【例

9】

如圖，C,D為AB的三等分點(diǎn)；

8點(diǎn)整時(shí)甲從A出發(fā)勻速向B行走，8點(diǎn)12分乙從B出發(fā)勻速向A行走，再過幾分鐘后丙也從B出發(fā)勻速向A行走；甲,乙在C點(diǎn)相遇時(shí)丙恰好走到D點(diǎn)，甲,丙8:30相遇時(shí)乙恰好到A．那么，丙出發(fā)時(shí)是8點(diǎn)________分．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初試

【解析】

方法一：根據(jù)題意，乙從8點(diǎn)12分到8點(diǎn)30分共18分鐘走到了點(diǎn)，說明乙走個(gè)全程用時(shí)6分鐘，則當(dāng)乙走到點(diǎn)時(shí)為8時(shí)24分，此時(shí)甲從點(diǎn)走到點(diǎn)，用了24分鐘。即甲從個(gè)全程用時(shí)24分鐘，而丙在8點(diǎn)24分在點(diǎn)，從8點(diǎn)24分到8點(diǎn)30分這6分鐘內(nèi)甲丙相遇，甲走了，丙走了，則丙走DB需要時(shí)間：6÷=8分鐘，所以丙出發(fā)是在8點(diǎn)16分。

方法二：（1）如圖可以看出，乙從B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇時(shí)刻為8:24，那么甲從A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分鐘，此時(shí)乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6?3′4=8分，從B出發(fā)的時(shí)刻為8:16。對(duì)于復(fù)雜的同一線段的問題，可以把相同的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成相同的線分析，使得問題更加清晰。

方法二：（1）如圖可以看出，乙從B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇時(shí)刻為8:24，那么甲從A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分鐘，此時(shí)乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6?3′4=8分，從B出發(fā)的時(shí)刻為8:16。對(duì)于復(fù)雜的同一線段的問題，可以把相同的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成相同的線分析，使得問題更加清晰。

【答案】8點(diǎn)16分

【例

10】

一條路上有東、西兩鎮(zhèn)．一天，甲、乙、丙三人同時(shí)出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西鎮(zhèn)向東而行，當(dāng)甲與丙相遇時(shí)，乙距他們20千米，當(dāng)乙與丙相遇時(shí)，甲距他們30千米．當(dāng)甲到達(dá)西鎮(zhèn)時(shí)，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時(shí)，乙距西鎮(zhèn)

千米．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，復(fù)賽，高年級(jí)組

【解析】

如圖，甲、乙兩人從地出發(fā)，丙從地出發(fā)，甲、丙相遇在處，此時(shí)乙到達(dá)處，、相距20千米；三人繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)丙和乙在處相遇時(shí)，甲到達(dá)處，、相距30千米．

當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，甲、丙兩人合走了一個(gè)全程，且此時(shí)甲比乙多走了20千米；

當(dāng)丙和乙分別從、出發(fā)走到處相遇時(shí)，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．

由于，可見丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程為60千米．

當(dāng)甲到達(dá)西鎮(zhèn)時(shí)，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，所以甲、丙的速度之比為，那么兩人相遇時(shí)丙走了千米，甲走了千米，乙走了千米，丙和乙的速度比為，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時(shí)，乙距西鎮(zhèn)千米．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙、丙、丁4人在河中先后從同一個(gè)地方同速同向游泳，現(xiàn)在甲距起點(diǎn)78米，乙距起點(diǎn)27米，丙距起點(diǎn)23米，丁距起點(diǎn)16米．那么當(dāng)甲、乙、丙、丁各自繼續(xù)游泳

米時(shí)，甲距起點(diǎn)的距離剛好為乙、丙、丁3人距起點(diǎn)的距離之和．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校，期末考試，四年級(jí)

【解析】

現(xiàn)在乙、丙、丁3人距起點(diǎn)的距離總和是（米），甲目前比它們的距離之和要多(米)．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同時(shí)向前游了1米，那么甲距起點(diǎn)的距離與那3人的距離總和之差就要減少2米．要使這個(gè)差為0，甲應(yīng)向前游了

(米)．

【答案】米

【例

11】

A、B兩地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙從A地，丙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，已知甲每小時(shí)行36千米，乙每小時(shí)行30千米，丙每小時(shí)行24千米，問幾個(gè)小時(shí)后，丙正好處于甲、乙之間的中點(diǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

甲、丙相遇時(shí)，丙行的時(shí)間為（小時(shí)），甲乙之間距離為

（千米），當(dāng)丙處在甲、乙之間的中點(diǎn)時(shí)，甲、丙相遇后，甲、丙又行的距離之和一定等于33.6

千米減去乙、丙又行的距離之和，丙又行的時(shí)間為（小時(shí)），因

此，當(dāng)丙處在甲、乙之間的中點(diǎn)時(shí)，丙共行了（小時(shí)）

【答案】小時(shí)

【鞏固】

兩地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙從地，丙從地同時(shí)出發(fā)相向而行，已知甲每小時(shí)行36千米，乙每小時(shí)行30千米，丙每小時(shí)行24千米，問幾個(gè)小時(shí)之后，乙正好在甲、丙兩人的中點(diǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

方法一：丙、乙相遇時(shí)，甲、乙、丙均行走了（小時(shí)），這時(shí)甲在乙前（千米），若乙要正好處在甲、丙之間的中點(diǎn)，乙、丙必須共同增加這個(gè)距離乙、丙速度之和為48（千米），甲、丙速度之和為（千米/小時(shí)），因?yàn)榧妆纫颐啃r(shí)多行（千米），乙、丙每小時(shí)只能凈增（千米），所以從乙、丙相遇，到乙正好在甲、丙之間的中點(diǎn)，還需經(jīng)過（小時(shí)），因此乙處在甲、丙之間的中點(diǎn)時(shí)，共經(jīng)過（小時(shí)）.方法二：因?yàn)榧?、乙、?人的行走速度為等差數(shù)列36、30、24，所以，在任何時(shí)刻3人所行的距離也為等差數(shù)列，即甲行的距離與乙行的距離之差等于乙行的距離與丙行的距離之差，所以，當(dāng)題中所說的乙正好處在甲、丙之間的中點(diǎn)時(shí)，甲比乙多行的距離等于乙比丙多行的距離，因此，若有兩個(gè)丙分別從A、B兩地與甲、乙同時(shí)出發(fā)相向而行，這兩個(gè)丙相遇時(shí)，乙一定處于甲、丙之間的中點(diǎn)，經(jīng)過了（小時(shí)）.【答案】小時(shí)

【例

12】、兩地相距米，甲、乙、丙的速度分別是米/分、米/分、米/分。如果甲、乙從，丙從地同時(shí)出發(fā)相向而行，那么，在__________分鐘或________分鐘后，丙與乙的距離是丙與甲的距離的倍。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，第一試

【解析】

由于乙的速度比甲的速度快，本題有兩種情況：

⑴丙在甲、乙之間，此時(shí)甲、丙的距離為甲、乙距離的，而乙每分鐘比甲多走米，如果甲每分鐘比原速度多走米，那么此時(shí)丙與甲將恰好相遇，所以經(jīng)過的時(shí)間為：（分）。

⑵丙在甲的左側(cè)，此時(shí)甲、丙的距離與甲、乙的距離相等，由于乙每分鐘比甲多走米，如果甲每分鐘比原速度少走米，那么此時(shí)丙與甲將恰好相遇，所以經(jīng)過的時(shí)間為：（分）。

【答案】分；分

板塊二、多人從同一段出發(fā)——追及問題

【例

13】

張、李、趙3人都從甲地到乙地．上午6時(shí)，張、李兩人一起從甲地出發(fā)，張每小時(shí)走5千米，李每小時(shí)走4千米．趙上午8時(shí)從甲地出發(fā)．傍晚6時(shí)，趙、張同時(shí)達(dá)到乙地．那么趙追上李的時(shí)間是幾時(shí)?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲、乙之間的距離：張?jiān)缟?時(shí)出發(fā)，晚上6時(shí)到，用了12小時(shí)，每小時(shí)5千米，所以甲、乙兩地距離千米。趙的速度：早上8時(shí)出發(fā)，晚上6時(shí)到，用了10小時(shí)，走了60千米，每小時(shí)走千米。所以，趙追上李時(shí)用了：小時(shí)，即中午12時(shí)。

【答案】中午12時(shí)

【鞏固】

甲、乙、丙三輛車先后從A地開往B地，乙比丙晚出發(fā)5分，出發(fā)后45分追上丙；甲比乙晚出發(fā)15分，出發(fā)后1時(shí)追上乙。甲和丙的速度比是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意可知，乙和丙的時(shí)間比為45：50

=9：10，即速度比為10：9。甲和乙的時(shí)間比為60：75

=4：5，即速度比為5：4，甲、乙和丙的速度比為

25：20：18。甲和丙的速度比為25：18

【答案】25：18

【鞏固】

甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)后6分甲車超過了一名長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員，2分后乙車也超過去了，又過了2分丙車也超了過去。已知甲車每分走1000米，乙車每分走800米，丙車每分鐘走多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意可知，甲車走了1000×6=6000米

乙車走了800×8=6400米

長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員的速度（6400-6000）÷2=200米/分

丙車速度（200×2+6400）÷10=680米/分

【答案】680米/分

【例

14】

鐵路貨運(yùn)調(diào)度站有A、B兩個(gè)信號(hào)燈，在燈旁?？恐住⒁?、丙三列火車。它們的車長(zhǎng)正好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中乙車的的車長(zhǎng)居中，最開始的時(shí)候，甲、丙兩車車尾對(duì)齊，且車尾正好位于A信號(hào)燈處，而車頭則沖著B信號(hào)燈的方向。乙車的車尾則位于B信號(hào)燈處，車頭則沖著A的方向?，F(xiàn)在，三列火車同時(shí)出發(fā)向前行駛，10秒之后三列火車的車頭恰好相遇。再過15秒，甲車恰好超過丙車，而丙車也正好完全和乙車錯(cuò)開，請(qǐng)問：甲乙兩車從車頭相遇直至完全錯(cuò)開一共用了幾秒鐘？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

略

【答案】8.75秒

【例

15】

甲、乙、丙三人同時(shí)從A向B跑，當(dāng)甲跑到B時(shí)，乙離B還有20米，丙離B還有40米；當(dāng)乙跑到B時(shí)，丙離B還有24米。問：（1）

A，B相距多少米？（2）如果丙從A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

1)

乙跑最后20米時(shí)，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度是乙的。

因?yàn)橐业紹時(shí)比丙多跑24米，所以A、B相距米

2)

甲跑120米，丙跑120-40=80米，丙的速度是甲的甲的速度是（米/秒）

【答案】（1）米；（2）米/秒

【鞏固】

甲乙丙三人同時(shí)從東村去西村，甲騎自行車每小時(shí)比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小時(shí)到達(dá)西村后立刻返回.在距西村30公里處和乙相聚，問：丙行了多長(zhǎng)時(shí)間和甲相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

在距西村30公里處和乙相聚，則甲比乙多走60公里，而甲騎自行車每小時(shí)比乙快12公里，所以，甲乙相聚時(shí)所用時(shí)間是（小時(shí)），所以甲從西村到和乙相聚用了（小時(shí)），所以，甲速是（公里/小時(shí)），所以，丙速是（公里/小時(shí)），東村到西村的距離是：（公里），所以，甲丙相遇時(shí)間是：(小時(shí)).【答案】小時(shí)

【例

16】

甲、乙、丙三車同時(shí)從A地沿同一公路開往B地，途中有個(gè)騎摩托車的人也在同方向行進(jìn)，這三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎摩托車人。已知甲車每分鐘行1000米，丙車每分鐘行800米，求乙速車的速度是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲與丙行駛7分鐘的距離差為：（1000－800）×7＝1400（米），也就是說當(dāng)甲追上騎摩托車人的時(shí)候，丙離騎摩托車人還有1400米，丙用了14-7=7（分）鐘追上了這1400米，所以丙車和騎摩托車人的速度差為：1400÷（14－7）＝200（米／分），騎摩托車人的速度為：800－200＝600（米／分），三輛車與騎摩托車人的初始距離為：（1000－600）×7＝2800（米），乙車追上這2800米一共用了8分鐘，所以乙車的速度為：2800÷8＋600＝950（米／分）。

【答案】950米／分

【鞏固】

快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人．這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人．現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么，慢車每小時(shí)走多少千米?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

快車追上騎車人時(shí)，快車（騎車人）與中車的路程差為(千米)，中車追上這段路用了(分鐘)，所以騎車人與中車的速度差為(千米/小時(shí)).則騎車人的速度為(千米/小時(shí))，所以三車出發(fā)時(shí)與騎車人的路程差為(千米).慢車與騎車人的速度差為（千米/小時(shí)），所以慢車速度為（千米/小時(shí)）.【答案】千米/小時(shí)

【鞏固】

快、中、慢三輛車同時(shí)同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、9分、12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為60千米／時(shí)和40千米／時(shí)，求中速車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意可知，快車走了6千米慢車走了8千米騎車人的速度（8-6）÷（12-6）=

千米/小時(shí)，中速車速度（×3+6）÷=

千米/小時(shí)

【答案】千米/小時(shí)

【例

17】

甲從A地出發(fā)前往B地，1小時(shí)后，乙也從A地出發(fā)前往B地，又過1小時(shí)，丙從B地出發(fā)前往A地，結(jié)果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍,C、D兩地之間的距離是50千米．求乙出發(fā)1小時(shí)后距B地多少千米。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意可知：甲出發(fā)兩小時(shí)后，甲乙在同一地點(diǎn)，假設(shè)此時(shí)距B為“1”，C、D兩地之間的距離=，千米

【答案】千米

【例

18】

甲、乙、丙三人在學(xué)校到體育場(chǎng)的路上練習(xí)競(jìng)走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。上午9點(diǎn)三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，上午10點(diǎn)甲到達(dá)體育場(chǎng)后立即返回學(xué)校，在距體育場(chǎng)310米處遇到乙。問：

（1）從學(xué)校到體育場(chǎng)的距離是多少？

（2）甲與丙何時(shí)相遇（精確到秒）？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

（1）

9300米；（2）

10時(shí)6分40秒。提示：從出發(fā)到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以從出發(fā)到甲、乙相遇共用62分。甲從體育場(chǎng)返回到與乙相遇用了62－60=2（分），從而可求出甲每分走310÷2=155（米）。

【答案】155米

【例

19】

A，B兩地相距105千米，甲、乙兩人分別騎車從A，B兩地同時(shí)相向出發(fā),甲速度為每小時(shí)40千米，出發(fā)后1小時(shí)45分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎．在他們相遇3分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在C地追上乙．若甲以每小時(shí)20千米的速度，乙以每小時(shí)比原速度快2千米的車速，兩人同時(shí)分別從A，B出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在C點(diǎn)相遇，問丙的車速是多少?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

甲以40千米／小時(shí)的速度行駛l小時(shí)45分鐘，行駛了千米，那么剩下的105-70=35千米為乙在1小時(shí)45分鐘內(nèi)行駛的，所以乙的速度為千米／小時(shí)，如下圖所示．

又甲、乙再行駛3分鐘，那么甲又行駛了千米，乙又行駛了千米．即在甲、乙相遇3分鐘后，乙行駛至距B地35+1=36千米的地方，甲行駛至距A地70+2=72千米的地方，此地距B地105—72=33千米，如下圖所示．

而如果甲以20千米／小時(shí)的速度，乙的速度增加2千米／小時(shí)至22千米／小時(shí)，那么相遇點(diǎn)C距B地為：千米，如下圖所示．

那么，當(dāng)丙與甲相遇在距B地33千米的地方時(shí)，乙在距B地36千米的地方，而后丙行駛至C地(距B地55千米)時(shí)，乙也在C地，即相遇．

在這段時(shí)間內(nèi)，乙行駛了55-36=19千米，而丙行駛了55-33=22千米，所以丙的速度為千米／小時(shí)，如下圖所示．

【答案】千米／小時(shí)