2021年四川中考復習專題：特殊的平行四邊形

一、解答題

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF．

（1）求證△ADE≌△CBF；

（2）連接AF，CE，若AB＝AD，求證：四邊形AFCE是菱形．

2．如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求證：AE＝AF．

3．如圖，在菱形ABCD中，E、F是AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是菱形．

4．如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．

5．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E，F(xiàn)分別為邊DA，DC上的點，DE＝DF，連接BE，BF，求證：BE＝BF．

6．如圖，菱形ABCD中，DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N．求證：AM＝CN．

7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形對角線的長．

8．已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F．求證：AE＝BF．

9．如圖，在?ABCD中，BC＝2CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接EF．

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，則EF的長為

；菱形EFCD的面積為

．

10．如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O的直線交AD，BC分別于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．求證：AF＝CE．

11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．

12．如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，點M、N在對角線AC上，且AM＝CN．

（1）求證四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）若AB⊥AC，求證?EMFN是菱形．

13．如圖，在?ABCD中，點E、F在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求證：△ABF≌△DCE；

（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

14．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AE∥BC，DE∥AB，DE與AC交于點O，連接CE．

（1）求證：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．

15．如圖，在?ABCD中，對角線AC平分∠BAD，點E、F在AC上，且CE＝AF．連接BE、BF、DE、DF．求證：四邊形BEDF是菱形．

16．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，連接BD，過點C作CE∥BD，過B作BE∥AC，兩直線相交于點E．

（1）求證：四邊形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四邊形DBEC的面積．

17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O．

（1）如圖1，設E、F分別是AD、AB上的點，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關系．請你用等式直接寫出這個數(shù)量關系；

（2）如圖2，設E、F分別是AB上不同的兩個點，且∠EOF＝45°，請你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關系，并證明．

18．如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，點E射線BC上一動點，△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

（1）當點F在對角線AC上時，求FC的長；

（2）當△FCE是直角三角形時，求BE的長．

19．【閱讀】在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（x1+x22，y1+y22）．已知平行四邊形的對角線互相平分，如圖連接OE，F(xiàn)N相交于點M，則OE，F(xiàn)N是平行四邊形ONEP的對角線，且OE，PN互相平分，即點M是線段OE，F(xiàn)N的中點．

【運用】（1）如圖，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M是線段OE中點，則點M的坐標為

．

（2）在直角坐標系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．

20．如圖1，點E在正方形AOCD的邊AD上，點H在邊AO上，AH＝DE．

（1）求證：DH⊥CE；

（2）如圖2，EF⊥CE，F(xiàn)H⊥AO，垂足為點H．求證：FH＝AH．

21．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠OCF＝∠OBE．求證：∠AEB＝∠BFC．

22．如圖，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的長．

23．如圖①，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE＝PB．

（1）求證：PD＝PE；

（2）如圖②，當∠ABC＝90°時，連接DE，則DEBP是否為定值？如果是，請求其值；如果不是，請說明理由．

24．如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，DE交BC于點O，連接EC．

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若∠A＝40°，當∠BOD等于多少度時四邊形BECD是矩形，并說明理由．

25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M，N分別是BC，DE的中點．

（1）求證：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

26．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝4，求?ABCD的面積．

27．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求證：?ABCD是菱形；

（2）若點P是對角線BD上一動點（不與點B、D重合），PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PE+PF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

28．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求證：△EBF≌△ABC；

（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）△ABC滿足

時，四邊形AEFD是正方形．

29．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：PB＝PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．

30．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD的一點，點E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F．

（1）求證：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求證：BP＝BC．

2021年四川中考復習專題：特殊的平行四邊形

參考答案與試題解析

一、解答題

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF．

（1）求證△ADE≌△CBF；

（2）連接AF，CE，若AB＝AD，求證：四邊形AFCE是菱形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）連接AC，交BD于點O，∵AB＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形AECF是菱形．

2．如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求證：AE＝AF．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．

3．如圖，在菱形ABCD中，E、F是AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是菱形．

【解答】證明：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD為菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形BEDF為菱形．

4．如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．

【解答】證明：連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．

∴BE＝CE＝2，CF＝1，DF＝3，由勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5，AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，又∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF＝90°．

5．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E，F(xiàn)分別為邊DA，DC上的點，DE＝DF，連接BE，BF，求證：BE＝BF．

【解答】證明：如圖，連接BD，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，在△EDB和△FDB中，DE=DF∠EDB=∠FDBBD=BD，∴△EDB≌△FDB（SAS），∴BE＝BF．

6．如圖，菱形ABCD中，DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N．求證：AM＝CN．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°，在△DAM和△DCN中，∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD，∴△DAM≌△DCN（AAS），∴AM＝CN．

7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形對角線的長．

【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

8．已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F．求證：AE＝BF．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F

∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO與△BFO中，∠AEO=∠BFO=90°∠AOE=∠BOFOA=OB，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE＝BF．

9．如圖，在?ABCD中，BC＝2CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接EF．

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，則EF的長為　2??；菱形EFCD的面積為　23?。?/p>

【解答】證明：（1）在?ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，又∵CD＝DE，∴四邊形EFCD是菱形；

（2）如圖，過點F作FH⊥AD于H，∵四邊形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH=12EF，F(xiàn)H=3EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF=3，∴菱形EFCD的面積＝2×3=23，故答案為：2，23．

10．如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O的直線交AD，BC分別于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．求證：AF＝CE．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵點O是AC的中點，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE．

11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=102-62=8，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC=25．

12．如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，點M、N在對角線AC上，且AM＝CN．

（1）求證四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）若AB⊥AC，求證?EMFN是菱形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分別為AD、BC的中點，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，AE=CF∠EAM=∠FCNAM=CN，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）連接EF交AC于O，如圖所示：

由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴?EMFN是菱形．

13．如圖，在?ABCD中，點E、F在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求證：△ABF≌△DCE；

（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE+EF＝FD+EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，AB=CDBF=CEAF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）；

（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴?ABCD為矩形．

14．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AE∥BC，DE∥AB，DE與AC交于點O，連接CE．

（1）求證：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．

【解答】證明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE＝BD，又∵AD是BC邊的中線，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AD＝EC；

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，∴AD＝BD＝CD，由（1）得：四邊形ADCE是平行四邊形，∴平行四邊形ADCE是菱形．

15．如圖，在?ABCD中，對角線AC平分∠BAD，點E、F在AC上，且CE＝AF．連接BE、BF、DE、DF．求證：四邊形BEDF是菱形．

【解答】證明：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵CE＝AF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD，∴AB＝AD，在△ABF和△ADF中，AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF＝DF，∴四邊形BEDF是菱形．

16．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，連接BD，過點C作CE∥BD，過B作BE∥AC，兩直線相交于點E．

（1）求證：四邊形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四邊形DBEC的面積．

【解答】證明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，D是AC中點，∴BD＝DC，∴四邊形DBEC是菱形；

（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB=3BC＝23，∴S△CDB=12S△ABC=12×12×2×23=3，∵四邊形BECD是菱形

∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．

17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O．

（1）如圖1，設E、F分別是AD、AB上的點，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關系．請你用等式直接寫出這個數(shù)量關系；

（2）如圖2，設E、F分別是AB上不同的兩個點，且∠EOF＝45°，請你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關系，并證明．

【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．

理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB中，∠EOA=∠FOBOA=OB∠OAE=∠OBF，∴△EOA≌△FOB（ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；

（2）在BC上取一點H，使得BH＝AE．

∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE和△OBH中，OA=OB∠OAE=∠OBHAE=BH

∴△OAE≌△OBH（SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中?，OF=OF∠FOE=∠FOHOE=OH，∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，18．如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，點E射線BC上一動點，△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

（1）當點F在對角線AC上時，求FC的長；

（2）當△FCE是直角三角形時，求BE的長．

【解答】解：（1）如圖所示：

∵AB＝23，BC＝3，∴AC=AB2+BC2=21，∵△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE，∴AF＝AB＝23，∴FC＝AC﹣AF=21-23．

（2）當△FCE是直角三角形時，①當∠CFE是直角時，如（1）圖所示：

由題意可知點F在對角線AC上，且EF⊥AC，設BE＝x，則EF＝x，∴S△ABC=12×3×23=33，S△ABE=12×23×x=3x，S△ACE=12×21×x，∴33=3x+212x，解得：x＝27-4．

∴BE＝27-4．

②當∠FCE是直角時，如圖所示：

∵△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

∴AB＝AF，BE＝EF，在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23，∴DF=AF2-AD2=12-9=3，CF＝DC﹣CE＝23-3=3，設BE＝x，則EF＝x，CE＝3﹣x，∴在Rt△ADF中，EF2＝CE2+CF2，x2＝（3﹣x）2+(3)2，解得：x＝2，∴BE＝EF＝2；

③當E在BC延長線上時，此時∠CEF是直角，如圖所示：

由題意得：BE＝AB＝EF＝23．

19．【閱讀】在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（x1+x22，y1+y22）．已知平行四邊形的對角線互相平分，如圖連接OE，F(xiàn)N相交于點M，則OE，F(xiàn)N是平行四邊形ONEP的對角線，且OE，PN互相平分，即點M是線段OE，F(xiàn)N的中點．

【運用】（1）如圖，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M是線段OE中點，則點M的坐標為（2，32）．

（2）在直角坐標系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．

【解答】解：（1）∵四邊形ONEF是矩形，∴M是OE的中點，∵O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），∴M（42，32），即M（2，32）；

故答案為：（2，32）；

（2）如圖，有三種情況：

①當AC和BC為平行四邊形的邊時，連接對角線AB、CD1交于E，∴AE＝EB，CE＝ED1，∵A（﹣1，2），B（3，1），∴E（1，32），∵C（1，4），∴D1（1，﹣1）；

②當BC和CD2為平行四邊形的邊時，連接對角線BD2和AC交于G，同理可得D2（﹣3，5）；

③當AC和AB為平行四邊形的邊時，連接

AD3和BC交于F，同理可得D3（5，3）；

綜上所述，點D的坐標為（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．

20．如圖1，點E在正方形AOCD的邊AD上，點H在邊AO上，AH＝DE．

（1）求證：DH⊥CE；

（2）如圖2，EF⊥CE，F(xiàn)H⊥AO，垂足為點H．求證：FH＝AH．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH＝∠CDE＝90°，在△HAD與△EDC中，AD=CD∠DAH=∠CDEAH=DE，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；

（2）如圖2，過F作FG⊥AD，交DA的延長線于G，∵FH⊥AO，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，∠GEF=∠DCE∠G=∠DGF=DE，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH＝AH．

21．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠OCF＝∠OBE．求證：∠AEB＝∠BFC．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°，∴OB＝OC，在△OCF和△OBE中，∠OCF=∠OBEOC=OB∠COF=∠BOE，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴∠OFC＝∠OEB，∴∠BFC＝∠AEB．

22．如圖，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的長．

【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝DO=12BD＝3，AO＝CO，AC⊥BD，∵∠ACD＝30°，∴CO=3DO＝33，∴AC＝2CO＝63．

23．如圖①，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE＝PB．

（1）求證：PD＝PE；

（2）如圖②，當∠ABC＝90°時，連接DE，則DEBP是否為定值？如果是，請求其值；如果不是，請說明理由．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP中，BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；

（2）DEBP=2，理由如下：

∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（對頂角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE=2PE，∴DEBP=2．

24．如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，DE交BC于點O，連接EC．

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若∠A＝40°，當∠BOD等于多少度時四邊形BECD是矩形，并說明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BECD是平行四邊形；

（2）解：若∠A＝40°，當∠BOD＝80°時，四邊形BECD是矩形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形．

25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M，N分別是BC，DE的中點．

（1）求證：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M是BC的中點，∴MD＝ME=12BC，∴點N是DE的中點，∴MN⊥DE；

（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等邊三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM=12BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中點，∴DN=12DE＝3，∴MN=DM2-DN2=33．

26．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝4，求?ABCD的面積．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四邊形BFDE是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE=12AD＝2，DE=3AE＝23，由（1）得：四邊形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝23，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=12∠DAB＝30°，∴AB=3BF=3×23=6，∴?ABCD的面積＝AB×DE＝6×23=123．

27．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求證：?ABCD是菱形；

（2）若點P是對角線BD上一動點（不與點B、D重合），PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PE+PF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，∴AO＝CO=12AC＝6，BO＝DO=12BD＝8，∵62+82＝102，∴AO2+BO2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形；

（2）解：是定值，連接OP，過B作BH⊥DA于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，S△ABD=12S菱形ABCD=12×12AC?BD=14×12×16＝48，∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO=12AB?PE+12AD?PF=12AD（PE+PF）=12AD?BH，∴PE+PF＝BH，∵S△ABD=12AD?BH=12×10?BH＝48，∴BH=485，∴PE+PF=485．

故PE+PF定值為485．

28．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求證：△EBF≌△ABC；

（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）△ABC滿足　AB＝AC，∠BAC＝150°　時，四邊形AEFD是正方形．

【解答】（1）證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△EBF和△ABC中，EB=ABFBE=∠CBABF=BC，∴△EBF≌△ABC（SAS）；

（2）證明：∵△EBF≌△ABC，∴EF＝AC，又∵△ADC為等邊三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴AB＝AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）解：當AB＝AC，∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是正方形．

理由是：∵△ABE、△ACD為等邊三角形，∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形，∵∠BAC＝150°，∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四邊形ADEF是正方形，故答案為：AB＝AC，∠BAC＝150°．

29．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：PB＝PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．

【解答】（1）證明：過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．

∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．

∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．

∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．

在△PGB和△PHE中，∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．

（2）解：PE的長度不變．

連接BD，如圖2．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．

∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC=2OB．

∵BC＝2，∴OB=2，∴PF＝OB=2．

∴點P在運動過程中，PF的長度不變，值為2．

30．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD的一點，點E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F．

（1）求證：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求證：BP＝BC．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE．

（2）證明：四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∴∠E+∠DFE＝90°，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，由（1）知△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，∴∠CPE＝90°，∴∠BPC+∠DPE＝90°，∵PD＝DE，∴∠DPE＝∠E，∴∠DPE＝∠PCD，∵∠BCP+∠PCD＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC．

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日期：2021/5/14

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