2005年高考理科數(shù)學(xué)上海卷試題及答案

一、填空題（）

1.函數(shù)的反函數(shù)________________

2.方程的解是___________________

3.直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡方程是______________

4.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù)______________

5.若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是____

6.將參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，所得方程是______

7.計(jì)算：______________

8.某班有50名學(xué)生，其15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級(jí)中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是____________（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

9.在中，若，，則的面積S=_________

10.函數(shù)的圖像與直線又且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是____________

11.有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的一個(gè)是四棱柱，則的取值范圍是_______

12.用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得到個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫(xiě)成一個(gè)行的數(shù)陣對(duì)第行，記

例如：用1，2，3可得數(shù)陣如下，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，___________________

二、選擇題（）

13.若函數(shù)，則該函數(shù)在上是

(A)單調(diào)遞減無(wú)最小值

(B)單調(diào)遞減有最小值

(C)單調(diào)遞增無(wú)最大值

(D)單調(diào)遞增有最大值

14.已知集合，則等于

(A)

(B)

(C)

(D)

15.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線

(A)又且僅有一條

(B)有且僅有兩條

(C)有無(wú)窮多條

(D)不存在16.設(shè)定義域?yàn)闉镽的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解得充要條件是

(A)且

(B)且

(C)且

(D)且

三、解答題

17.已知直四棱柱中，底面是直角梯形，，，求異面直線與所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

18.證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程（為虛數(shù)單位）無(wú)解

19.點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值

20.假設(shè)某市2004年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%，另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米那么，到那一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2004年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？

（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？

21.（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分8分，第3小題滿(mǎn)分6分

對(duì)定義域是.的函數(shù).，規(guī)定：函數(shù)

（1）若函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)的解析式；

（2）求問(wèn)題（1）中函數(shù)的值域；

（3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明

22.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)，，其中n是正整數(shù)對(duì)平面上任一點(diǎn)，記為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖像，其中是以3位周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求以曲線C為圖像的函數(shù)在上的解析式；

（3）對(duì)任意偶數(shù)n，用n表示向量的坐標(biāo)

2005年高考理科數(shù)學(xué)上海卷試題及答案

參考答案

1.2.x=0

3.x+2y－4=0

4.－

5.6.7.3

8.9.10.11.解析：①拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，只有一種一種情況，就是將上下底面對(duì)接，其全面積為

②拼成一個(gè)四棱柱，有三種情況，就是分別讓邊長(zhǎng)為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為：，顯然，三個(gè)是四棱柱中全面積最小的值為：

由題意，得

解得

12.－1080

13.A

14.B

15.B

16.C

17.[解]由題意AB∥CD,∴∠C1BA是異面直線BC1與DC

所成的角.連結(jié)AC1與AC,在Rt△ADC中,可得AC=.又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.在梯形ABCD中,過(guò)C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°,CH=2,HB=3,∴CB=.又在Rt△CBC1中,可得BC1=,在△ABC1中,cos∠C1BA=,∴∠C1BA=arccos

異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos

另解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.則C1(0,1,2),B(2,4,0),∴=(－2,－3,2),=(0,－1,0),設(shè)與所成的角為θ,則cosθ==,θ=

arccos.異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos

18.[解]

原方程化簡(jiǎn)為,設(shè)z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得

x2+y2+2xi=1－i,∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,∴原方程的解是z=－±i.19.[解]（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(0,4)

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則={x+6,y},={x－4,y},由已知可得

則2x2+9x－18=0,解得x=或x=－6.由于y>0,只能x=,于是y=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)

(2)

直線AP的方程是x－y+6=0.設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d有

d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－x2=(x－)2+15,由于－6≤m≤6,∴當(dāng)x=時(shí),d取得最小值

20.[解](1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50,則Sn=250n+=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù),∴n≥10.∴到2013年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn},由題意可知{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an>0.85

bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由計(jì)算器解得滿(mǎn)足上述不等式的最小正整數(shù)n=6.∴到2009年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.21.[解]

(1)

(2)

當(dāng)x≠1時(shí),h(x)=

=x－1++2,若x>1時(shí),則h(x)≥4,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立

若x<1時(shí),則h(x)≤

0,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立

∴函數(shù)h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

(3)令

f(x)=sin2x+cos2x,α=

則g(x)=f(x+α)=

sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x－sin2x,于是h(x)=

f(x)·f(x+α)=

(sin2x+co2sx)（cos2x－sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,α=,g(x)=f(x+α)=

1+sin2(x+π)=1－sin2x,于是h(x)=

f(x)·f(x+α)=

(1+sin2x)（1－sin2x)=cos4x.22.[解](1)設(shè)點(diǎn)A0(x,y),A0為P1關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A0的坐標(biāo)為(2－x,4－y),A1為P2關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2+x,4+y),∴={2,4}.(2)

∵={2,4},∴f(x)的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到.因此,曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x∈(－2,1]時(shí),g(x)=lg(x+2)－4.于是,當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g(x)=lg(x－1)－4.另解設(shè)點(diǎn)A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2－x=2,y2－y=4,若3<

x2≤6,則0<

x2－3≤3,于是f(x2)=f(x2－3)=lg(x2－3).當(dāng)1<

x≤4時(shí),則3<

x2≤6,y+4=lg(x－1).∴當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g(x)=lg(x－1)－4.(3)

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