2017屆高考數(shù)學(xué)押題卷（一）理

本試題卷共6頁，23題(含選考題)。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

第Ⅰ卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分。

1．已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選B．

2．已知集合，集合，集合，則集合（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可得，則．故選A．

3．已知等差數(shù)列，，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以公差，所以，所以．故選D．

4．世界最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡FAST于2016年9月25日在貴州省黔南州落成啟用，它被譽(yù)為“中國天眼”，從選址到啟用歷經(jīng)22年，F(xiàn)AST選址從開始一萬多個(gè)地方逐一審查．為了加快選址工作進(jìn)度，將初選地方分配給工作人員．若分配給某個(gè)研究員8個(gè)地方，其中有三個(gè)地方是貴州省的，問：某月該研究員從這8個(gè)地方中任選2個(gè)地方進(jìn)行實(shí)地研究，則這個(gè)月他能到貴州省的概率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】．故選D．

5．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】此三視圖的幾何體如圖：，，，，，∴．故選B．

6．如圖，在三棱錐中，面，，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故選D．

7．已知函數(shù)，滿足和是偶函數(shù)，且，設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，．故選B．

8．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，、為切點(diǎn)，若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，的面積為，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由拋物線的對稱性知，軸，且是焦點(diǎn)弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，所以以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選D．

9．根據(jù)下列流程圖輸出的值是（）

A．11

B．31

C．51

D．79

【答案】D

【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，輸出．故選D．

10．在長方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)異面直線與所成的角最大時(shí)，則三棱錐的體積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

因?yàn)锳1B∥D1C，所以CP與A1B成角可化為CP與D1C成角，顯然當(dāng)P與A重合時(shí)，異面直線CP與BA1所成的角最大，所以．故選B．

11．已知函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖像沿著y軸向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)圖像．設(shè)，對任意的恒成立，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因?yàn)?，則，所以，所以，所以函數(shù)，所以，所以，；又，所以，所以，所以，又，所以，所以取得最小值時(shí)，所以的值是．故選C．

12．已知函數(shù)，有下列四個(gè)命題；

①函數(shù)是奇函數(shù)；

②函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】①函數(shù)的定義域是，不滿足函數(shù)奇偶性定義，所以函數(shù)非奇非偶函數(shù)，所以①錯(cuò)誤；②取，，所以函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，所以②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，要使，即，即，令，，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)即為的解，也就是，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖像有交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系畫出這兩個(gè)函數(shù)圖像，可知他們只有一個(gè)交點(diǎn)，所以④是正確的．故選B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13．共享單車是指企業(yè)與政府合作，在公共服務(wù)區(qū)等地方提供自行車單車共享服務(wù)．現(xiàn)從6輛黃色共享單車和4輛藍(lán)色共享單車中任取4輛進(jìn)行檢查，則至少有兩個(gè)藍(lán)色共享單車的取法種數(shù)是_____________．

【答案】115

【解析】分三類，兩輛藍(lán)色共享單車，有種，三輛藍(lán)色共享單車，有種，四輛藍(lán)色共享單車，有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，至少有兩輛藍(lán)色共享單車的取法種數(shù)是90+24+1＝115．

14．如圖所示，在南海上有兩座燈塔，這兩座燈塔之間的距離為60千米，有個(gè)貨船從島P處出發(fā)前往距離120千米島Q處，行駛致一半路程時(shí)剛好到達(dá)M處，恰巧M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量⊥，則＝_____________．

【答案】－3600

【解析】由題意可知，⊥，⊥，所以＝

15．若，滿足約束條件，設(shè)的最大值點(diǎn)為，則經(jīng)過點(diǎn)和的直線方程為_______________．

【答案】

【解析】在直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組可行域?yàn)椋?/p>

表示點(diǎn)到可行域的點(diǎn)的距離的平方減4．如圖所示，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，即，則經(jīng)過，兩點(diǎn)直線方程為．

16．已知數(shù)列滿足（，且為常數(shù)），若為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，則的通項(xiàng)公式為________________．

【答案】或

【解析】①若，則，由，得，由，得，聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意．

②若，則，由，得，得，則，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意．

綜上①②，滿足條件的的通項(xiàng)公式為或．

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）在中，設(shè)向量，．

（1）求的值；

（2）求的取值范圍．

【答案】（1）＝，（2）．

【解析】（1）由，································1分

由正弦定理，等式可為，∴，····················································3分

由余弦定理可得，∴＝．··························································6分

（2）由（1）可知，所以，······················7分，·····················································10分

∵，∴，∴，∴的取值范圍為．··································12分

18．（本小題滿分12分）某研究所設(shè)計(jì)了一款智能機(jī)器人，為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)方案中機(jī)器人動(dòng)作完成情況．現(xiàn)委托某工廠生產(chǎn)500個(gè)機(jī)器人模型，并對生產(chǎn)的機(jī)器人進(jìn)行編號：001，002，……，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一給容量為50個(gè)機(jī)器人樣本．試驗(yàn)小組對50個(gè)機(jī)器人樣本的動(dòng)作個(gè)數(shù)進(jìn)行分組，頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)組如圖所示，請據(jù)此回答如下問題：

分組

機(jī)器人數(shù)

頻率

[50，60)

0.08

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

（1）補(bǔ)全頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；

（2）若隨機(jī)抽的號碼為003，這500個(gè)機(jī)器人分別放在A，B，C三個(gè)房間，從001到200在A房間，從201到355在B房間，從356到500在C房間，求B房間被抽中的人數(shù)是多少？

（3）從動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于80的機(jī)器人中隨機(jī)選取2個(gè)機(jī)器人，該2個(gè)機(jī)器人中動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于90的機(jī)器人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

【答案】（1）見解析，（2）16，（3）．

【解析】（1）頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)組如圖所示，請據(jù)此回答如下問題：

分組

機(jī)器人數(shù)

頻率

[50，60)

0.08

[60，70)

0.2

[70，80)

0.2

[80，90)

0.4

[90，100]

0.12

·········4分

（2）系統(tǒng)抽樣的分段間隔為＝10，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號，以后每隔10個(gè)抽到一個(gè)，則被抽中的機(jī)器人數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列，故可分別求出在001到200中有20個(gè)，在201至355號中共有16個(gè)．··························6分

（3）該2個(gè)機(jī)器人中動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于90的機(jī)器人數(shù)記為，的取值為0，1，2，··7分

所以，，所以的分布列

0

P

················11分

數(shù)學(xué)期望．·····························12分

19．（本小題滿分12分）已知正方體的棱長為1，S是的中點(diǎn)，M是SD上的點(diǎn)，且SD⊥MC．

（1）求證：SD⊥面MAC

（2）求平面SAB與平面SCD夾角的余弦值．

【答案】（1）見解析，（2）．

【解析】（1）證明：由題意可知，SA＝SB＝SC＝SD，連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系O-xyz如圖，則高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，0），C（0，0），所以，所以，即AC⊥SD，又因?yàn)镾D⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分

（2）根據(jù)題意可知，，，則，設(shè)平面SAB的法向量為，則，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，················································7分

設(shè)平面SCD的法向量為，則，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，············································9分

所以，所以兩個(gè)法向量的夾角余弦值為

．···········································11分

所以平面SAB與平面SCD夾角的余弦值為．····························12分

20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點(diǎn)的軌跡方程．

【答案】（1），（2）．

【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)，所以橢圓的C：中a＝5，········································1分

根據(jù)，解得c＝，所以，·································3分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．·································4分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，另設(shè)，設(shè)在處切線的方程為，與橢圓C：聯(lián)立：，消去可得：，由，得，化簡可得：

由，可得，所以上式可化為：，∴，所以橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為：①，··························7分

同理可得橢圓在點(diǎn)B的切線方程為：②，·······················8分

聯(lián)立方程①②，消去x得：，解得，··········9分

而A，B都在直線上，所以有，所以，所以，即此時(shí)的交點(diǎn)的軌跡方程為；······11分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝0，則，則橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為：①，橢圓在點(diǎn)B的切線方程為：，此時(shí)無交點(diǎn)．

綜上所述，交點(diǎn)的軌跡方程為．······································12分

21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)），（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）或．

【解析】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的．···········································1分

當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)椋?，令，解得x＝0或．·····························3分

①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；························4分

②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；························5分

綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；·······6分

（2）①當(dāng)a＝0時(shí)，可得，故a＝0可以；·········7分

②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，（I）若，解得；

可知：時(shí)，是增函數(shù)，時(shí)，是減函數(shù)，由，∴在上；

解得，所以；·······································10分

（II）若，解得；

函數(shù)在上遞增，由，則，解得

由，即此時(shí)無解，所以；·····························11分

③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在上遞增，類似上面時(shí)，此時(shí)無解．

綜上所述，．···········································12分

請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。

22．（本小題滿分10分）已知在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為：，曲線C2的極坐標(biāo)方程：，（1）寫出C1和C2的普通方程；

（2）若C1與C2交于兩點(diǎn)A，B，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）將曲線C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；····2分

將曲線C1的方程消去t化為普通方程：；··············4分

（2）若C1與C2交于兩點(diǎn)A，B，可設(shè)，聯(lián)立方程組，消去y，可得，··················6分

整理得，所以有，·····························8分

則．·················10分

23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)，（1）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對于實(shí)數(shù)x，y，有，求證:．

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】（1）根據(jù)題意可得恒成立，即，化簡得，而是恒成立的，所以，解得；·········································5分

（2），所以．·····················································10分