微積分II真題含答案

一、填空題（每題3分，共30分）

1、函數(shù)的定義域是____________.2、設(shè)，則________________.3、廣義積分的斂散性為_____________.4、____________

.5、若

.6、微分方程的通解是

____.7、級(jí)數(shù)的斂散性為

.8、已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數(shù)R(x)=____________.9、交換的積分次序=

.10、微分方程的階數(shù)為

_____階.二、單選題（每題3分，共15分）

1、下列級(jí)數(shù)收斂的是（）

A，B，C，D，2、，微分方程的通解為（）

A，B，C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=（）

A,B,C,D，04、若

A,B,C,D,5、=（）

A,0

B,1

C,2

D,三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分）

1．已知

2.求，其中D是由，x=1和x軸圍成的區(qū)域。

3.已知z=f(x,y)由方程確定，求

4.判定級(jí)數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由

和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.已知x表示勞動(dòng)力，y表示資本，某生產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)為，勞動(dòng)力的單位成本為200元，每單位資本的成本為400元，總預(yù)算為100000元，問(wèn)生產(chǎn)商應(yīng)如何確定x和y，使產(chǎn)量達(dá)到最大？。

五、證明題（5分）

一、填空題（每小題3分，共30分）

1,2，3，發(fā)散

4，0

5，6，y=cx

7，收斂

8，R(x)=x3+1000x

9，10，2

二、單選題（每小題3分，共15分）

1，B

2，B

3，C

4，C

5，D

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

1、解：

令2、3、整理方程得：

4、先用比值判別法判別的斂散性，（2分）

收斂，所以絕對(duì)收斂。(交錯(cuò)法不行就用比較法)

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1、解：

2、解：約束條件為200x+400y-100000=0

（2分）

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，（4分）,求一階偏導(dǎo)數(shù)，（6分）

得唯一解為：，（8分）

根據(jù)實(shí)際意義，唯一的駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，該廠獲得最大產(chǎn)量時(shí)的x為40，y為230.（9分）

五、證明題（5分）

證明：設(shè)對(duì)等式兩邊積分，得：

（2分）

（4分）

解得：

題設(shè)結(jié)論得證。

（5分）

一、填空題（每題2分，共20分）

1、函數(shù)的定義域是_______

2、__________

3、_______

4、若___________

5、設(shè)可微，則

6.已知滿足方程則

_______

7、交換的積分次序=__________________

8、級(jí)數(shù)__________

9、若級(jí)數(shù)的收斂，則k的取值范圍是

10、微分方程的通解是

____

二、單選題（每題2分，共10分）

1、若廣義積分，則k=（）

A，B，C，D，2、若滿足方程，則

（）

A，0

B，1

C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=____________

A,B,C,D，4、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

A,B，C

D5、微分方程的階數(shù)為

（）

A,1

B，2

C

D

三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計(jì)算

2.已知，求

3.計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。

4.求一階線性微分方程的通解.5．

判別級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？

6．計(jì)算定積分。

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。

五、證明題（4分）

證明：

一、填空題（每題2分，共20分）

1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c為任意常數(shù)）

二、單選題（每題2分，共10分）

1、D2、D，3、C,4、B，5、C

三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計(jì)算

解：

--------

4分

-----------8分

2.已知，求

解：兩邊去自然對(duì)數(shù)，兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，---------

4分

整理得

所以

------------

8分

3.計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。

解：畫圖（2分），Y-型，-----------

分

-------------

8分

4.求一階線性微分方程的通解.解：方法1：

直接算，，方法2：原方程可以化為，直接代入公式，------------

分

（c為任意常數(shù)）

--------------

8分

5．這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)為。

先判斷是否收斂，是一個(gè)P-級(jí)數(shù)，且P=，發(fā)散。

----------------2’

----------------------------------4’

----------------------------------6’

根據(jù)萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)收斂，而且是條件收斂。

-----------------------------8’

6．積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又為偶函數(shù)，則

=2

----------------------------------2’

=

--------------------------------4’

=

--------------------------------6’

==

--------------------------------8’

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：畫圖（2分）

-----------------

5分

=

----------------

9分

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。

解：由題意知，收入函數(shù)為

利潤(rùn)函數(shù)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，-------------

5分，解得

----------------

9分

五、證明題（4分）

利用級(jí)數(shù)的斂散性，證明：

證明：先證明級(jí)數(shù)收斂，用比值判別法，所以級(jí)數(shù)收斂

由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知道，即

一、填空題（每小題3分，共15分）

1．設(shè),則=

.2．

當(dāng)

時(shí),收斂.3．

交換積分次序

.4．

已知級(jí)數(shù)收斂,則=

.5．

若，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則=

.二、單選題（每小題3分，共15分）

1．（）.(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).2.函數(shù)在上可積的必要條件是在上（）

（A）連續(xù)

;

（B）有界;

（C）

無(wú)間斷點(diǎn);

(D)有原函數(shù).3．下列反常積分收斂的是（）

(A);

(B)

;

(C)

;

(D)

.4．下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）.(A)

;

(B)

;(C)

;(D)

.5．

微分方程的通解是（）

(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).三、計(jì)算題I（每題6分，共24分）

1.求.2.設(shè),求.3.求，其中D由圍成.4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.四、計(jì)算題II（每題8分，共24分）

5.求.6.設(shè)由方程確定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）

1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)

已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有該原料12噸,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總

利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

六、證明題（6分）

證明：若收斂，則發(fā)散.一、1.;

2.;

3.;

4.;

5..二、BBACD

三、1.解:原式=

(3分)

.(6分)

2.解:

(2分)

(4分)

(6分)

3.解：原式=

（2分）

（4分）

.（6分）

4.解:記,取

(4分)

又

收斂

故原級(jí)數(shù)收斂.(6分)

四、5．解：令，即，則

當(dāng)時(shí)，（2分）

故原式

（4分）

（6分）

.（8分）

6．解：記

（4分）

（8分）

7．解：原方程可化為------一階線性微分方程

此時(shí)，（2分）

故原方程的通解為

（4分）

（6分）

由,得

從而，所求原方程的特解為

.（8分）

五、1.解：1>

故所求圖形的面積為

（4分）

2>所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（5分）

.（8分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3.8千件,乙產(chǎn)品2.2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(萬(wàn)元).(8分)

六、證明：證明：由于

（3分），又因?yàn)?/p>

收斂，故收斂，從而，絕對(duì)收斂.（6分）

1．函數(shù)的定義域是

.2．

.3．

若___________.4．

設(shè)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則

.5．

=

.6．

廣義積分收斂，則

.7．

交換積分次序=

.8．

設(shè)D為所圍區(qū)域，則

.9．

=

.10.方程是

階微分方程

.三、單選題（每小題3分，共15分）

1．廣義積分收斂于（）.A.0

;

B.;

C.;

D..2.設(shè)積分區(qū)域D是（）.A.;

B.;

C.;

D..3．下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）.A.;

B.;

C.;

D..4．設(shè)，其中可微，則（）

A.;

B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;

B.;

C.;

D..三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

1.求.2.設(shè)D由曲線圍成,求

3.已知，求.4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為時(shí)，成本函數(shù),需求函數(shù)分別為,分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格，產(chǎn)品受的限制，求工廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和價(jià)格。

五、證明題（5分）

設(shè)，其中F可微。證明：

一.1.;

2.0

;

3.;

4.；5.0

;

6.;

7.;

8.2(2ln2-1);

9.1；

10.2.二.C

A

D

C

B

三.1.解:原式=

(3分)

(6分)

(8分)

2．解:畫積分區(qū)域草圖，聯(lián)立方程求交點(diǎn)得：，（2分）

原式=.(4分)

（5分）

（8分）

3.解:

令，則

(3分)

(5分)

(8分)

4.解:用比值判別法

(2分)

(4分)

(6分)

原級(jí)數(shù)收斂.(8分)

四.1.解：(1)，（2分）

故所求圖形的面積為

（5分）

(2)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

.（9分）

2.解:由需求函數(shù)x,y得：，利潤(rùn)函數(shù)

=

=

(2分)

作輔助函數(shù)

=

(4分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)量分別為及時(shí)工廠獲得的利潤(rùn)最大,此時(shí)兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為

(9分)

五．證明：

（3分），.（5分）

故等式成立。

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.設(shè)域是，則

.3.交換積分次序

.4.設(shè)資本投入為，勞動(dòng)投入為時(shí)，某產(chǎn)品的產(chǎn)出量為，且為常數(shù)，則對(duì)資本的偏彈性，對(duì)資本的偏彈性

.5.設(shè)

.6.若則

.7.當(dāng)滿足條件

時(shí)收斂。

8.微分方程的通解為

.9.設(shè)，其中可微，則

.10..二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1.=（）.A.;

B.;

C.;

D..2.已知，則（）.A.B.C.D..3.若，則（）.A.B.C.D.4.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

A.;

B.;

C

.;

D

..5.微分方程的階數(shù)為（）.A

.3

;

B.4

;

C

.2

;

D.6.三．

計(jì)算題（每小題8分，共32分）

1.設(shè),求.2.若D是由所圍成的區(qū)域,求之值。

3.判別級(jí)數(shù)的收斂性。

4.求方程的通解。

四．應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由拋物線與直線

圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

2.設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動(dòng)力和原料的函數(shù)，若勞動(dòng)力單價(jià)為100元，原料單價(jià)為200元，則在投入3萬(wàn)元資金用于生產(chǎn)的情況下，如何安排勞動(dòng)力和原料，可使產(chǎn)量最多。

五．證明題（5分）：

證明：.一.1.;

2.;

3.;

4.;

5.；6.5

;

7.;

8.y=;

9..10.tanx

二.D

B

A

D

A

三.1.解:

令，(2分)

則

(4分)

(8分)

.2.解:

聯(lián)立

解得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

（2分）

（4分）

（8分）

3.解:

（4分）

(4分)

又是幾何級(jí)數(shù)，公比收斂

故由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.(8分)

(或者用比較判別法的極限形式)

4.解：，代入原方程得

（2分）

分離變量

（4分）

兩邊積分

將

回代得方程的解

（8分）

四．1.解：（1），故所求圖形的面積為

（4分）

（2），所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（9分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

（5分）

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

由問(wèn)題實(shí)際意義知最大產(chǎn)量存在，故當(dāng)勞動(dòng)力為單位，原料為單位時(shí)產(chǎn)量最大。

(9分)

五．證明：交換積分次序：

等式左邊==右邊.故等式成立。

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.=??????????????．

7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.1

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有原料10噸剛好用完,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.1

;

6.2

;

7.2;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

4.解：

代入原方程得

分離變量

（4分）

兩邊積分

（6分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點(diǎn)（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：考察級(jí)數(shù)，由于

（3分）

所以此級(jí)數(shù)收斂，故

（5分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.設(shè)，則=??????????????．

4.=_

___

__

.5.=

.6.=

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．

A.．??????B.．???????C.．????D.．

3.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

4.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料1噸,現(xiàn)有原料5噸剛好用完,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

2.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

五、證明題（5分）

證明

一，填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.0；

5.3

;

6.6

;

7.7;

8.二;

9.；

10..二，單選題（每小題3分，共15分）

1.B

.A

3.B

4.A

5.D

三，計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

（4分）

（8分）

2.解設(shè)

則

（3分）

(6分)

（8分）

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：

分離變量

（3分）

兩邊積分

（5分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四，應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

2.(4分)

(9分)

五，證明題（5分）

證明：考察級(jí)數(shù)，由于

（3分）

所以此級(jí)數(shù)收斂，故

（5分）

四、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.廣義積分收斂，則

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.五、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.函數(shù)，由方程所確定，則

=（）.A.2

B.-1

C.1

D.-2

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.可偏導(dǎo)的函數(shù)取得極值點(diǎn)必為（）．

A．零點(diǎn)．????????B．駐點(diǎn)．???????C．不可導(dǎo)點(diǎn).D．駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．

5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.六、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.計(jì)算D由和圍成的區(qū)域

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸

旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．銷售收入Q與用兩種廣告手段的費(fèi)用x和y之間的函數(shù)關(guān)系為，凈利潤(rùn)是銷售收入的減去廣告成本，而廣告預(yù)算是25，試確定如何分配兩種手段的廣告成本，以使利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.2

;

6.>3

;

7.1;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：原式

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：由于，由公式得其通解

（4分）

=

=

（6分）

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點(diǎn)（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,所求利潤(rùn)函數(shù)

3.作拉格朗日函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)兩種廣告費(fèi)用分別為15,10時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：令，則

于是=

（3分）

所以原式成立

（5分）