第一篇：07-08微積分(II)期末考試復(fù)習(xí)指南

07-08微積分(II)期末考試復(fù)習(xí)指南

各章涉及的考點主要包括：

五、定積分及其應(yīng)用

1、定積分的概念和性質(zhì)

2、微積分基本定理和微積分基本公式（如書上P188習(xí)題5-3.1、3、6）

3、換元積分法和分部積分法（如書上P191 例5；P194習(xí)題5-4.2(2)(4)(5)(6)）

4、廣義積分（如書上P197 例

5、P198 例8）

5、直角坐標系下平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積（如書上P202例2;P203例3；P206例9；P208習(xí)題5-6.12（3））

注意：本章復(fù)習(xí)要訣，要花大力氣做好充分復(fù)習(xí)，但考點涉及的各種問題都要適當(dāng)?shù)刈鰩椎谰毩?xí)題，加深對相關(guān)概念、公式和定理的理解。本章所占分值較大。

六、多元函數(shù)微積分

1、二元函數(shù)的極限（如書上P13習(xí)題6-2.4）

2、偏導(dǎo)數(shù)（如書上P17例4；P18習(xí)題6-3.2）

3、全微分，全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（如書上P21習(xí)題6-4.2、3）

4、復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分（如書上P29習(xí)題6-5.15、16）

5、拉格朗日乘數(shù)法（如書上P35例8；P39習(xí)題6-6.7；P59總復(fù)習(xí)六24）

6、二重積分：交換二次積分次序、分別在直角坐標系和極坐標系下計算二重積分（如書上P52習(xí)題6-8.1、3；P55例

1、例2）

注意：本章復(fù)習(xí)要訣，要花大力氣做好充分復(fù)習(xí)，考點涉及的各種問題要適當(dāng)?shù)刈鰩椎谰毩?xí)題，加深對相關(guān)概念、公式和定理的理解。本章所占分值最大。

七、無窮級數(shù)

1、正項級數(shù)的判定（如書上P69例

1、P70例4；P96 總習(xí)題七4（2）（4）（6））

注意：本章復(fù)習(xí)要訣，不要鉆研復(fù)雜的無窮級數(shù)，理解常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)，能夠正確判斷正項級數(shù)的斂散性，對相關(guān)問題要適當(dāng)?shù)刈鲆恍┚毩?xí)題，加深對相關(guān)概念、公式和定理的理解，效果應(yīng)該不錯。

八、微分方程與差分方程

1、可分離變量的微分方程（如書上P103例

1、P104例2）

注意：本章復(fù)習(xí)要訣，搞清楚可分離變量的微分方程的特征以及解法，并適當(dāng)?shù)刈鲆恍┚毩?xí)題即可。

第二篇：微積分II全書整理

第一部分 多變量微分學(xué)

一、多元函數(shù)極限論 1.多元函數(shù)極限的定義：

（1）鄰域型定義：設(shè)函數(shù)f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當(dāng)點P?D?U?(P0)時，都有f(P)?A??，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(P)當(dāng)P?P0時的極限，記作limf(P)?A.P?P0?（2）距離型定義：設(shè)函數(shù)f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當(dāng)點P?D，且0??(P,P0)??時，都有f(P)?A??，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(P)當(dāng)P?P0時的極限，記作limf(P)?A.P?P0注：①這里給出的是數(shù)學(xué)分析中國際通用的定義，已自然排除了P0鄰域內(nèi)的無定義點； ②極限存在的充要條件：點P在定義域內(nèi)以任何方式或途徑趨近于P0時，f(P)都有極限； ③除洛必達法則、單調(diào)有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數(shù)求極限的性質(zhì)和方法，常用的有：等價無窮小替換、無窮小×有界量=無窮小、夾擠準則等；

④若已知limf(P)存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發(fā)現(xiàn)點P以不P?P0同的方式或途徑于P0時，f(P)區(qū)域不同的值，則可斷定limf(P)不存在.P?P0⑤二元函數(shù)的極限記為（x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或limf(x,y)?A.x?x0y?y02.多元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果P0?D，且有P?P0limf(P)?f(P0)，則稱f(P)在P0處連續(xù)；如果f(P)在區(qū)域E的每一點處都連續(xù)，則稱f(P)在區(qū)域E上連續(xù).注：①如果limf(P)?f(P0)，只稱“不連續(xù)”，而不討論間斷點類型；

P?P0②在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)擁有和一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限

累次極限與二重極限的存在性之間沒有任何必然的聯(lián)系，但若某個累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個累次極限存在而不相等，則二重極限一定不存在，又若兩個累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.二、偏導(dǎo)數(shù)、全微分

1.偏導(dǎo)數(shù)、全微分的相關(guān)理論問題（以二元函數(shù)為例討論）

（1）偏導(dǎo)數(shù)的存在性：討論對某個變量的偏導(dǎo)數(shù)，則將其他變量當(dāng)作常數(shù).f(x,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y)?f(x0,y0)?lim?fx'(x0,y0)；lim?fy'(x0,y0).x?x0y?y0x?x0y?y0（2）可微性：記?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)，則僅當(dāng)limx?0y?0?z?(A?x?B?y)(?x)?(?y)22?0時，f(x,y)在(x0,y0)處可微，否則不可微.其中A?fx'(x0,y0)，B?fy'(x0,y0).注：等價于?z?A?x?B?y?o?(?x)2?(?y)2

?即f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?(A?x?B?y)?o又即

?(?x)2?(?y)2

?f(x,y)?f(x0,y0)??fx'(x0,y0)(x?x0)?fy'(x0,y0)(y?y0)??o(x?x0)2?(y?y0)2記dz?A?x?B?y????z?zdx?dy為全微分f(x,y)在(x,y)處的全微分.?x?y中值定理推廣為：?z?fx'(x??1?x,y??y)?x?fy'(x,y??2?y)?y,0??1,?2?1.（3）偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性：討論偏導(dǎo)連續(xù)性，先用定義求fx'(x0,y0)和fy'(x0,y0)，用公式求fx'(x,y)和fy'(x,y)，判斷l(xiāng)imfx'(x,y)?fx'(x0,y0)和limfy'(x,y)?fy'(x0,y0)x?x0y?y0x?x0y?y0是否都成立，如果都成立則偏導(dǎo)數(shù)連續(xù).④邏輯關(guān)系：

連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)??可微?偏導(dǎo)存在?極限存在

2.多元函數(shù)微分法：（1）鏈式求導(dǎo)法則：

①從題目中的復(fù)合關(guān)系畫出從起始變量經(jīng)過中間變量到終變量的復(fù)合結(jié)構(gòu)圖；

②求偏導(dǎo)就是“走路”的過程，有幾條路，等號后就有幾項；每條路上有幾段，每項中就會有幾部分相乘（注意：偏導(dǎo)寫偏微分符號“?”，不偏則寫微分符號“d”）； ③嚴格遵守用位置表示偏導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，注意避免符號混亂和歧義；

④對于求高階偏導(dǎo)數(shù)的問題，不論對誰求導(dǎo)，也不論求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍具有與原來函數(shù)相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)（注意若偏導(dǎo)連續(xù)則相等，要合并同類項）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數(shù)存在性及求導(dǎo)法則：

①一個方程的情形（以三個變量為例）：設(shè)F(x,y,z)在點(x0,y0,z0)某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)，且F(x0,y0,z0)?0，F(xiàn)z'(x0,y0,z0)?0，則方程F(x,y,z)?0在點(x0,y0,z0)內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定單值函數(shù)z?z(x,y)，這個函數(shù)在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

Fy'F'?z?z.結(jié)論不難推廣到一般情形.??x，???xFz'?yFz'②方程組的情形：一般地，設(shè)方程組Fi(x1,x2,?,xn;u1,u2,?,um)?0(i?1,2,?m)可確定m個n元函數(shù)ui?ui(x1,x2,?,xn).當(dāng)雅可比行列式

?F1?u1?F2?(F1,F2,?,Fm)J???u1?(u1,u2,?,um)??Fm?u1?F1?u2?F2?u2??Fm?u1?F1?um?F1??um?0 ??F1??um??ui?(F1,F2,?,Fm)J??時，可以確定其中J由將J?分母中的第i個元素替換成xj??，?(u1,u2,?,um)?xjJ得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數(shù)名稱）注：①求導(dǎo)前應(yīng)事先判斷，a個變元，b個方程可確定b個(b?a)元函數(shù)； ②有些比較簡單的問題不必使用此通法，可以考慮利用全微分形式不變性.③經(jīng)驗結(jié)論：由u??(x,y,z),v??(x,y,z),F(u,v)?0確定的隱函數(shù)z?z(x,y)，?2zA求2時，有?x(F2')2?2u?2v??u????F1'2?F2'2?0；

?x?x??x?2?2zA?u?u?2u?2v求時，有?F1'?F2'?0； 2?x?y?x?y?x?y(F2')?x?yA?2z求2時，有(F2')2?y2??u??2u?2v???y???F1'?y2?F2'?y2?0，??22其中A?(F2')F“11?2F1'F2'F”12?(F1')F“22.（F(x,y)?0的曲率：A21?(F')?(F2')322?）

三、多元微分學(xué)的幾何學(xué)應(yīng)用（以下的討論主要為了計算，條件未必嚴格）

?x?x?t??1.曲線的切線和法平面：設(shè)曲線l:?y?y?t? 在P0處x'?t0?，y'?t0?，z'?t0?都存在且不為0，?z?z?t??則曲線l在P0處的：（1）切線方程為x?x0y?y0z?z0： ??x'?t0?y'?t0?z'?t0?（2）法平面方程為x'?t0?(x?x0)?y'?t0?(y?y0)?z'?t0?(z?z0)?0.注：若曲線以???F(x,y,z)?0?Fy'Fz'Fz'Fx'Fx'Fy'??形式給出，切向量為?，，?.G'G'G'G'Gx'x?zGz'y??G(x,y,z)?0?y?2.曲面的切平面與法線：設(shè)曲面?由方程F(x,y,z)?0確定，F(xiàn)(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)處可微，且Fx'，F(xiàn)y'，F(xiàn)z'不為0，則曲面?在P0處的：

（1）切平面方程為Fx'(x?x0)?Fy'(y?y0)?Fz'(z?z0)?0（導(dǎo)數(shù)已經(jīng)代入P0坐標）；（2）法線方程為x?x0y?y0z?z0.??Fx'Fy'Fz'注：二元函數(shù)在某點處的全微分等于其在這點處切平面豎坐標的增量.3.方向?qū)?shù)：（1）定義式：?u?l?P0?limP?P0f(P)?f(P0)

PP0（2）若函數(shù)f(x,y,z)在點P0處可微，那么f(x,y,z)在點P0處沿所有方向的方向?qū)?shù)存在，且?f?l?P0??f?f?f?cos??cos??cos?，其中cos?,cos?,cos?為l的方向余弦.?x?y?z注：沿所有方向的方向?qū)?shù)存在不能推出可微，偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出各方向?qū)?shù)存在.4.梯度：

（1）計算：grad u=?u?u?ui+j+k； ?x?y?x（2）grad u是u(P)在點P的變化量最大的方向，其模等于這個最大變化率；（3）梯度的運算法則和一元函數(shù)的求導(dǎo)法則相似；（4）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影.四、極值與最值問題

1.二元函數(shù)的非條件極值問題

（1）極值的必要條件：對偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)f(x,y)，在M(x0,y0)處有極值的必要條件是?f(x0,y0)?f(x0,y0)??0.（可推廣到三元及以上）

?x?y（2）極值的充分條件：設(shè)M(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的駐點，且f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)，記A?f”xx(x0,y0),B?f“xy(x0,y0),C?A?f”yy(x0,y0),??B?AC，則： ①??0時，(x0,y0)是極值點，當(dāng)A?0時，f(x0,y0)為極小值；當(dāng)A?0時，f(x0,y0)為極大值；

②??0時，(x0,y0)不是極值點； ③??0時，此法失效，另謀它法.注：本方法不可推廣到三元及以上，三元及以上的充分條件中，要求黑塞矩陣正定或負定.（本知識不做要求，在出題人手下不會出現(xiàn)三元以上的極值判斷問題）2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

（1）一般情況下的拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)u?f(x1,x2,?,xn)在條件?i(x1,x2,?,xn)下的條件極值(i?1,2,?m,m?n)，可以從函數(shù)

2F(x1,?,xn,?1,?,?n)?f(x1,x2,?,xn)???i?i(x1,x2,?,xn)

i?1m的駐點中得到可能的條件極值的極值點.步驟：

①構(gòu)造輔助函數(shù)；（注意：變量均為獨立變量）②求各變量的一階導(dǎo)并令其為零，聯(lián)立得到方程組； ③解方程組得到所有駐點.（解無定法，盡量利用觀察法）（2）對“條件極值”的解讀：

事實上，只利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值無異于掩耳盜鈴.由于對于多元函數(shù)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)后會出現(xiàn)至少三個變量，在數(shù)學(xué)上欲判斷求得的駐點是否是極值點需要利用三階以上的黑塞矩陣.而出題人為了回避這一知識點，通常以實際問題的形式來考察拉格朗日乘數(shù)法.由于在實際問題的背景下必存在最值，可以認為“所得即所求”，但是實際上求出的并不是真正的條件極值，而是在條件下的最值.所以，出題人通常在題目中會以“最值”來代替極值進行考察.五、習(xí)題

?2u?2u?y?1.已知方程2?2?0有u????形式的解，求出此解.?x?y?x?2.已知二元函數(shù)z?f(x,y)可微，兩個偏增量：?xz?(2?3x2y2)?x?3xy2?x2?y2?x3，?yz?2x3y?y?x3?y2.且f(0,0)?1,求f(x,y).?2z3.設(shè)F(x?y?z,x?y?z)?0確定z?z(x,y)，其中F有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.?x?y2224.已知函數(shù)z?f(x,y)可微，且有

?z?z?z?0，?y?0.現(xiàn)在將x作為滿足方程(x?z)?x?x?yy,z的函數(shù)，求?x.?y5.設(shè)y?f(x,t),t是由方程F(x,y,t)?0確定的x,y的函數(shù)，其中F和f均有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求dy.dx6.設(shè)x??(u,v),y??(u,v),z?f(u,v),z是x,y的二元函數(shù)，求

?z?z.及

?x?y7.求函數(shù)w?e的方向?qū)?shù).8.求grad[c·r+?2yln(x?z2)在點(e2,1,e)處沿曲面x?eu?v,y?eu?v,z?euv的法線向量1ln(c·r)],其中c為常向量，r為向徑，且c·r >0.2'9.設(shè)二元函數(shù)f在P0(x0,y0)點某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)fx'和fy都有界，證明:f在此鄰域內(nèi)連續(xù).10.設(shè)fx'(x0,y0)存在，fy(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)，證明：f(x,y)在(x0,y0)處可微.'?x3?y3，(x,y)?(0,0)?11.證明：函數(shù)f(x,y)??x2?y2在原點處偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.?0，(x,y)?(0,0)?12.設(shè)z?z(x,y)是由方程2x?y?其中?有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，證明：????確定的二元函數(shù)，zz???2z?2z??2z??????.?x?y?x2?y2???13.證明：曲面e2x?z?f(?y?2z)是柱面，其中f可微.第二部分 多變量積分學(xué)

一、各類積分的計算公式及意義

（一）二重積分 1.計算公式

①直角坐標系下的二重積分：②極坐標系下的二重積分：

??f?x,y?dxdy??dx?Dabby2(x)y1(x)f?x,y?dy??dy?cdx2(y)x1(y)f?x,y?dx

??Df?x,y?dxdy??d????r2(?)r1(?)f?rcos?,rsin??rdr??rdr?a?2(r)?1(r)f?rcos?,rsin??d?.?(x,y)dudv

?(u,v)③二重積分的變量替換：

?xy??f?x,y?dxdy??uv??f?x(u,v),y(u,v)?2.幾何意義：f?x,y??0時，表示以z?0為底，以z?f?x,y?為頂?shù)那斨w的體積.3.物理意義：各點處面密度為f?x,y?的平面片D的質(zhì)量.（二）三重積分 1.計算公式

①直角坐標系下的三重積分：（1）柱型域：

投影穿線法（先一后二法）：（2）片型域：

定限截面法（先二后一法）：

???f?x,y,z?dV????dxdy??Vxyz2?x,y?z1x,y?f?x,y,z?dz

???Vf?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?dxdy

z1Dzz2②柱面坐標系下的三重積分：

???f?x,y,z?dV????f?rcos?,rsin?,z?rdrd?dz???d??VV?r2r1rdr?z2?r,??z1?r,??f?rcos?,rsin?,z?dz③球面坐標系下的三重積分：

???Vf?x,y,z?dV????f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r2sin?d?d?drV??d?????2????1???sin?d??r2??,??r1??,??f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r2dr

④三重積分的變量替換：

???Vxyzf?x,y,z?dV????f?x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)?Vuvw?(x,y,z)dudvdw

?(u,v,w)2.物理意義：各點處體密度為f?x,y,z?的幾何形體?的質(zhì)量.（三）第一型曲線積分： 1.計算公式

①平面曲線的情形：

b?x?x?t?,（1）C:?a?t?b則?f?x,y?ds??f?x?t?,y?t??x?2?t??y?2?t?dt.Ca?y?y?t?,（2）C:y?g?x?,a?x?b則（3）C:r?r???,?????則②空間曲線的情形：

?Cf?x,y?ds??f?x,g?x??1?g'2?x?dx.ab?f?x,y?ds???f?r???cos?,r???sin??C?r2????r?2???d?.?x?x?t?,??C:?y?y?t?,a?t?b:?f?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t??x?2?t??y?2?t??z'2?t?dt.C??z?z?t?,?2.幾何意義：以C為準線，母線平行于z軸的柱面介于z?0與z?f?x,y?間的面積.3.物理意義：各點處線密度為f?x,y?（或f?x,y,z?）的曲線C的質(zhì)量.（四）第一型曲面積分： 1.計算公式：

??f?x,y,z?dS????f?x,y,z?x,y??Sxy??z???z?1???????y??dxdy.?x????222.物理意義：各點處面密度為f?x,y,z?的曲面S的質(zhì)量.（五）第二型曲線積分：

1.計算公式：

①平面曲線的情形：C:??x?x?t?,a?t?b?y?y?t?,ba?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??CP(x(t),y(t))dx(t)?Q(x(t),y(t))dy(t)

?x?x?t?,?②空間曲線的情形：C:?y?y?t?,a?t?b

?z?z?t?,???CbP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?P(x(t),y(t),z(t))dx(t)?Q(x(t),y(t),z(t))dy(t)?z(x(t),y(t),z(t))dz(t)

a2.物理意義：力場F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k沿有向曲線C所做的功.（六）第二型曲面積分： 1.計算公式：

??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS???z????z???????????P(x,y,z(x,y))????Q(x,y,z(x,y))?R(x,y,z(x,y))?dxdy.?x???y??xy???2.物理意義：流速場v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k單位時間通過有向曲面S流向指定一側(cè)的凈通量.二、各種積分間的聯(lián)系

1.第一型曲線積分與第二型曲線積分：

?CPdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds.C2.第一型曲面積分與第二型曲面積分：

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS.SS3.第二型曲線積分與二重積分（Green公式）：

??Q?P??Pdx?Qdy??C????x??y??dxdy.?D?4.第二型曲面積分與三重積分（Gauss公式）：

??P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????????x??y??z??dV.?SV?5.第二型曲線積分與第二型曲面積分（Stokes公式）：

??R?Q???Q?P???P?R????Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??????C????y?z???dxdy.?z?x?x?y?????S?

三、各種積分的通用性質(zhì)

1.黎曼積分的性質(zhì)

1°??f?P???g?P??d???????f?P?d????g?P?d?.?12°

??f?P?d???f?P?d???f?P?d?，其中??1?2??2??，且?1與?2無公共內(nèi)點.3°若f?P??g?P?，P??，則

??f?P?d???g?P?d?.??若f?P??g?P?,f?P??g?P?，且f?P?,g?P?連續(xù)，P??，則

?f?P?d???g?P?d?.?4°

??f?P?d???f?P?d?.?5° 若f?P?在積分區(qū)域?上的最大值為M，最小值為m，則m????f?P?d??M?.6° 若f?P?在有界閉區(qū)域?上連續(xù)，則至少有一點P??，使

?2??f?P?d??fP??.3??7° 若??R關(guān)于坐標軸對稱，當(dāng)f?P?關(guān)于垂直該軸的坐標是奇函數(shù)則為0；若??R關(guān)于坐標平面對稱，當(dāng)f?P?關(guān)于垂直該平面坐標軸的坐標是奇函數(shù)時為0.8° 將坐標軸重新命名，如果積分區(qū)域不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.2.第二型積分的性質(zhì)

1° 設(shè)?是與?方向相反的幾何體，則????A(P)d????A(P)d?.?????????????2° ??A?P???B?P?d????A?P?d????B?P?d?.???????3°若???1??2，則A(P)d???????1?A(P)d???A(P)d?.?2????4°若ep?A?P?,P??,則?A(P)d??0.????5°設(shè)P??,ep=?cos?P，cos?P，cos?P?，A?P?=?P(P),Q(P),R(P)?，則

???A(P)d????P(P)cos????P?Q(P)cos?P?R(P)cos?P?d?

6° 將坐標軸重新命名，如果曲線或曲面的方程不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.四、各種積分的應(yīng)用

1.形心坐標公式：x?????M?xd??,y?????M?yd??,z?????M?zd??.質(zhì)心坐標公式：x?????M?xd?????M?d?,y?????M?yd?????M?d?,z?????M?zd?????M?d?.2.轉(zhuǎn)動慣量：I??2???M?d?.?Mr?3.旋度：rotF(M)= ????R?Q???P?R???Q?P????i+??z??x?j+???x??y??k.?y?z??????4.散度：divF(M)= ????P?Q?R?????.?x?y?z??M

五、習(xí)題

1.計算2.計算3.計算4.計算5.計算

?x?a(t?sint)2其中D由橫軸和擺線的一拱(0?t?2?,a?0)圍成.ydxdy,????y?a(1?cost)D??D1?sin2(x?y)dxdy,其中D: 0?x??,0?y??.a2?x2?y2dxdy,其中D: x2?y2?ay,y?x,a?0.x2?y2dxdy, 其中D: 0?x?a,0?y?a.3??D??D???y?1?xf(z)?dV,其中V是由不等式組?1?x?1,xV?y?1,0?z?x2?y2所限定的區(qū)域，f(z)為任一連續(xù)函數(shù).x2?y22222226.計算???其中V是由不等式組x?y?z?1,x?y?(z?1)?1所確dV,2zV定的空間區(qū)域.7.計算8.計算???VVx2?y2?z2?1dV,其中V是由錐面z?x2?y2和平面z?1圍成的立體.0，0)處，底為平面x?y?z?3上以(1，1，1)???(x?2y?3z)dV,其中V是頂點在(0，為圓心，1為半徑的圓的圓錐體.8.計算xds,其中l(wèi)為雙曲線xy?1上點(,2)到(1,1)的弧段.l?12?x2?y2?z2?a2?9.計算?(2yz?2zx?2xy)ds,其中L是空間圓周?.3L?x?y?z?a2?

zx2y2ds，??z2?1的上半部分，10.計算??其中S是橢球面點P(x,y,z)?S,?22?(x,y,z)D為S在點P處的切平面，?(x,y,z)為原點(0，0，0)到平面?的距離.211.計算(x?1?esinx)dy?ecosxdx,其中l(wèi)是由由原點沿y?x到點(1,1)的曲線.l222??x?y?z?4x?z?0?,12.計算?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,其中?:?22???x?y?2x?2yy222222從z軸正向看?取逆時針方向.13.計算

(x?y)dx?(x?y)dy?x?t?sint??,其中l(wèi)為擺線從t?0到t?2?的弧段.?22?lx?y?y?1?cost14.計算??(2x?2xS3?e??)dydz?(zy2?6x2y?z2x)dzdx?z2ydxdy,其中S是由拋物面

1y,x?1,y?1所圍成的立體表面的外側(cè).2z?4?x2?y2，坐標面xoz,yoz及平面z?15.計算??(xS3?y2)dydz?(y3?z2)dzdx?(z3?x2)dxdy,其中S是由錐面y?x2?z2與半球面y?R?16.計算R2?x2?z2(R?0)構(gòu)成的閉曲面的外側(cè).??x?z?x??22????其中是由y?x?z?1 f?dzdx?z?fdxdy,???y???y?y?????x?x??f?dydz?????y?y??和y?9?x2?z2所圍立體表面的外側(cè)，f(u)是有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù).17.計算

??z?y?12(8y?1)xdydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy,?1?y?3?繞其中S是由????S?x?0y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面，它的法向量與y軸正向夾角恒大于18.計算

?.2??S2yx2?z2dzdx,其中S是曲面y?x2?z2及y?1，y?2所圍立體表面外側(cè).19.求閉曲面（x2?y2?z2)2?a3z所圍成的立體體積.20.求錐面y?z?x含在圓柱面x?y?a內(nèi)部分的面積.222222x213x9?旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.?lnx(1?x?2)繞直線y?21.求由曲線L：y?4842x34?2x(0?x?1)繞直線L：y?x旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.22.求平面曲線段l：y?3323.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，并設(shè)

?10f(x)dx?A,求

?10dx?f(x)f(y)dy.x1

2222??x?y?z?R?z?0?對三個坐標軸轉(zhuǎn)動慣量之和.24.求線密度為x的物質(zhì)曲線?22??x?y?Rx25.設(shè)r=xi+yj+zk, r=|r|.（1）求f(r)，使div[f(r)r]=0；（2）求f(r)，使div[gradf(r)]=0.26.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)、正值且單調(diào)下降，證明：

????xf(x)dx?00101xf2(x)dx11f2(x)dx0f(x)dx

.27.設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，證明：

??f(x?y)dxdy??DA?Af(t)(A?|t|)dt.?a?28.證明：1085???x?y?z??3adS?(3?23a)3?a5(a?0),其中?是球面：

?3x2?y2?z2?2ax?2ay?2az?2a2?0.29.設(shè)?是弧長為s的光滑曲線段，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上連續(xù)，且

M?maxP2?Q2?R2.證明：?Pdx?Qdy?Rdz?Ms.??30.設(shè)在上半平面D??(x,y)|y?0?內(nèi)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的t?0，都有f(tx,ty)?t?2f(x,y).證明：光滑的有向簡單閉曲線.?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0，其中L是D內(nèi)任意分段

第三部分 無窮級數(shù)

一、數(shù)項級數(shù)

（一）數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

1.收斂的必要條件：收斂級數(shù)的一般項必趨于0.2.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對任意給定的正數(shù)?，總存在N使得對于任何兩個N大于的正整數(shù)m和n，總有Sm?Sn??.（即部分和數(shù)列收斂）

3.收斂級數(shù)具有線性性（即收斂級數(shù)進行線性運算得到的級數(shù)仍然收斂），而一個收斂級數(shù)和一個發(fā)散級數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對收斂級數(shù)的項任意加括號所成級數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個數(shù)項級數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項不會影響斂散性.（二）數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷 1.正項級數(shù)的斂散性判斷方法

（1）正項級數(shù)基本定理：如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項級數(shù)收斂.（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項級數(shù)

?un?1?n和

?vn?1?n之間自某項以后成立著關(guān)系：存在常數(shù)c?0，使un?cvn(n?1,2,?)，那么（i）當(dāng)級數(shù)?vn?1?n?1?n收斂時，級數(shù)

?un?1?n?1?n亦收斂；

（ii）當(dāng)級數(shù)?un發(fā)散時，級數(shù)

??vn亦發(fā)散.推論：設(shè)兩個正項級數(shù)?un和?vn，且自某項以后有n?1n?1?un?1vn?1?，那么 unvn（i）當(dāng)級數(shù)?vn?1?n?1?n收斂時，級數(shù)

?un?1?n?1?n亦收斂；

（ii）當(dāng)級數(shù)?un發(fā)散時，級數(shù)

?vn亦發(fā)散.??（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項級數(shù)

il若m?un和?vn，n?1n?1un?l?0，n??vn?那么這兩個級數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小的內(nèi)容）另外，若l?0，則當(dāng)級數(shù)

?vn?1?n收斂時，級數(shù)

?un?1?n亦收斂；若l??，則當(dāng)級數(shù)

?un?1n發(fā)散時，級數(shù)?vn?1?n亦發(fā)散.常用度量： ①等比級數(shù)：?qn?0?n，當(dāng)q?1時收斂，當(dāng)q?1時發(fā)散；

②p-級數(shù)：1，當(dāng)p?1時收斂，當(dāng)p?1時發(fā)散(p?1時稱調(diào)和級數(shù))； ?pnn?1?③廣義p-級數(shù)：?n?lnn?n?2??1p，當(dāng)p?1時收斂，當(dāng)p?1時發(fā)散.④交錯p-級數(shù)：?(?1)n?1n?11，當(dāng)p?1時絕對收斂，當(dāng)0?p?1時條件收斂.np（4）達朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項級數(shù)

?un，當(dāng)limn?1?un?1?r?1時

n??un?un?1?r?1時級數(shù)?un發(fā)散；當(dāng)r?1或r?1時需進一步判斷.級數(shù)?un收斂；當(dāng)limn??un?1n?1n??（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項級數(shù)

?un?1n，設(shè)r?limnun，那么r?1n??時此級數(shù)必為收斂，r?1時發(fā)散，而當(dāng)r?1時需進一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)

?un?1?n為正項級數(shù)，非負的連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??)上單調(diào)

?下降，且自某項以后成立著關(guān)系：f(un)?un，則級數(shù)2.任意項級數(shù)的理論與性質(zhì)

（1）絕對收斂與條件收斂：

①絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之不然； ②對于級數(shù)

?n?1un與積分

???0f(x)dx同斂散.?un?1?n，將它的所有正項保留而將負項換為0，組成一個正項級數(shù)

?vn?1?n，其中vn?un?un2un?un2；將它的所有負項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數(shù)

?wn?1?n，其中wn?，那么若級數(shù)??un?1n?n絕對收斂，則級數(shù)

?vn?1?n和

?wn?1?n都收斂；若級數(shù)

?un?1?n條件收斂，則級數(shù)?vn?1n和

?wn?1?都發(fā)散.③絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)（將其項重新排列后得到的級數(shù)）仍絕對收斂，且其和相同.④若級數(shù)?un?1?n和?vn?1?n都絕對收斂，它們的和分別為U和V，則它們各項之積按照任何方式排列所構(gòu)成的級數(shù)也絕對收斂，且和為UV.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積????????un???vn?也絕對收斂，且和也為UV.?n?1??n?1???????注：?cn???un???vn?，這里cn?u1vn?u2vn?1???un?1v2?unv1.n?1?n?1??n?1?（2）交錯級數(shù)的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯級數(shù)??(?1)n?1?n?1un滿足limun?0，n??且?un?單調(diào)減少（即un?un?1），則

?(?1)n?1?n?1un收斂，其和不超過第一項，且余和的符號與第一項符號相同，余和的值不超過余和第一項的絕對值.二、函數(shù)項級數(shù)

（一）冪級數(shù)

1.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域（1）柯西-阿達馬定理：冪級數(shù)

?an?0??n(x?x0)n在x?x0?R內(nèi)絕對收斂，在x?x0?R內(nèi)發(fā)散，其中R為冪級數(shù)的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理：若冪級數(shù)

?an?0n則它必在x?x0???x0(x?x0)n在x??處收斂，內(nèi)絕對收斂；又若?an?0??n(x?x0)n在x??處發(fā)散，則它必在x?x0???x0也發(fā)散.推論1：若冪級數(shù)?an?0nxn在x??(??0)處收斂，則它必在x??內(nèi)絕對收斂；又若冪級數(shù)?an?0?nxn在x??(??0)處發(fā)散，則它必在x??時發(fā)散.?推論2：若冪級數(shù)?an?0n(x?x0)n在x??處條件收斂，則其收斂半徑R???x0，若又有

an?0，則可以確定此冪級數(shù)的收斂域.（3）收斂域的求法：令liman?1(x)?1解出收斂區(qū)間再單獨討論端點處的斂散性，取并集.n??a(x)n2.冪級數(shù)的運算性質(zhì)

（1）冪級數(shù)進行加減運算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進行乘法運算時，有：

?????n?n??n???anx???bnx?????aibn?i?xn，收斂域仍取交集.?n?0??n?0?n?0?i?0??（2）冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且若冪級數(shù)

?an?0n(x?x0)n在x?x0?R處收斂，則S(x)在?x0?R,x0?R?內(nèi)連續(xù)；又若冪級數(shù)斂，則S(x)在?x0?R,x0?R?內(nèi)連續(xù).?an?0?n(x?x0)n在x?x0?R處收（3）冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)可以逐項微分和逐項積分，收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級數(shù)展開以及冪級數(shù)的求和（1）常用的冪級數(shù)展開：

?xn121n①e?1?x?x???x????，x?(??, +?).2!n!n!n?0x?12n=1+x+x+·②··+x+··· =?xn，x?(?1, 1).1?xn?0??11n從而，??(?1)nx2n.??(?x)，21?xn?01?xn?0?1315x2n?1x2n?1nn③sinx?x?x?x???(?1)，x?(??, +?).????(?1)3!5!(2n?1)!(2n?1)!n?02n2n?1214nxnx④cosx?1?x?x???(?1)，x?(??, +?).????(?1)2!4!(2n)!(2n)!n?0n?12131n?1nn?1x1?x)?x?x?x???(?1)x????(?1)⑤ln(，x?(?1, 1].23n?1nn?1?⑥(1?x)?1??x??(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn??，x?(?1, 1).?1x3(2n?1)！x2n?1(2n)!⑦arcsinx?x????????nx2n?1，x?[?1, 1].223(2n)！2n?1n?04(n!)(2n?1)?1311n2n?1⑧arctanx?x?x???(?1)x????(?1)nx2n?1，x?[?1, 1].32n?12n?1n?0（2）常用的求和經(jīng)驗規(guī)律：

①級數(shù)符號里的部分x可以提到級數(shù)外；

②系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有n，可以與x的冪合并，如將cn和xn合并為(cx)n； ③對?an?0?n x求導(dǎo)可消去an分母因式里的n,對?anxn積分可消去an分子因式里的n?1；nn?0?④系數(shù)分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n?1)!等可考慮正余弦函數(shù)的展開； ⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個微分方程并求解.（二）傅里葉級數(shù)

1.狄利克雷收斂定理（本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立）若f(x)以2l為周期，且在[?l, l]上滿足： ①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點； ②只有有限個極值點；

則f(x)誘導(dǎo)出的傅里葉級數(shù)在[?l, l]上處處收斂.2.傅里葉級數(shù)S(x)與f(x)的關(guān)系：

??f(x)，x為連續(xù)點；??f(x?0)?f(x?0)S(x)??，x為間斷點；2??f(?l?0)?f(l?0)，x為邊界點.?2?3.以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開：

a0??n?xn?x?f(x)~S(x)????ancos?bnsin?

2n?1?ll??1l??a0?l??lf(x)dx?1ln?x?dx；（1）在[?l, l]上展開：?an??f(x)cos?lll?1ln?x?b?f(x)sindx?nl??ll?（2）正弦級數(shù)與余弦級數(shù)：

??a0?0?①奇函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級數(shù)：?an?0；

?2ln?x?bn??f(x)sindxl0l?2l?a??0l?0f(x)dx?2ln?x?②偶函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級數(shù)：?an??f(x)cosdx；

0ll??bn?0??4.一些在展開時常用的積分：（1）??0(?1)n?1?1?sinnxdx?;?cosnxdx?0;

0n?11n?（2）?2sinnxdx?;?2cosnxdx?sin；

00nn2（3）???0(?1)n?1??(?1)n?1?22?(?1)nxsinnxdx?;?xcosnxdx?；?0xcosnxdx?n2； 0nn21axe(asinnx?ncosnx)?C； 22?a?n1axeax(nsinnx?acosnx)?C；

?ecosnxdx?22a?nax（4）esinnxdx?（5）sinaxsinnxdx???11sin(a?n)x?sin(a?n)x?C；

2(a?n)2(a?n)11sin(a?n)x?sin(a?n)x?C.2(a?n)2(a?n)

x??cosaxcosnxd?注：①求多項式與三角函數(shù)乘積的積分時可采用列表法，注意代入端點后可能有些項為0； ②展開時求積分要特別注意函數(shù)的奇偶性及區(qū)間端點和間斷點的特殊性； ③對于l??的情形，事先令t?

?lx對求積分通常是有幫助的.五、習(xí)題

1.判斷下列數(shù)項級數(shù)的斂散性，若收斂，不是正項級數(shù)的指出是絕對收斂還是條件收斂.（1）??n?1?n21???2??n??nn；

（2）?n??n?1，其中?非負；

?（3）?n?1??40tannxdxn?，其中??0；

（4）?(?1)n?1n?1?1np?1n；

（5）?(??)nn?1?n!，其中??0；

nn（6）?(?1)nn?2?(2n?3)！.(2n?1)！2n?3nn2.求冪級數(shù)?x的收斂域.nn?1??anbn?n3.求冪級數(shù)???n?n??x的收斂域，其中a,b為正數(shù).n?1???4.將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù).（1）x1?2x；

（2）arcsinx；（3）11?x1ln?arctanx?x.41?x2?5.求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（1）?(?1)n?1n?1n2xn；

（2）?(?1)n?1??n?1x2n；

n(2n?1)x3n（3）?；

!n?0?3n?6.求數(shù)項級數(shù)?(?1)n?1?n?12n2的和.n(2n)!?2(2n?1)7.設(shè)f(x)??arctanx?,分別求出f2(0)和f(2n)(0).?8.求極限limx?0sinx?0sin(t2)dtx2n?1?nn?1n?2.1?9.求極限limx?0?45!4??89!8????4n?4(4n?3)!4n?41????????3!7!11!(4n?1)!.l?x,0?x???210.將函數(shù)f(x)??展開成正弦級數(shù).?l?x,l?x?l?2?l??xcos,0?x???l211.將函數(shù)f(x)??展開成余弦級數(shù).l?0,?x?l?2?12.將函數(shù)f(x)?arcsin(sinx)展開成傅里葉級數(shù).13.證明：冪級數(shù)?n?1??(k!)k?1n2(2n)!??xn在(?3,3)內(nèi)絕對收斂.14.求函數(shù)F(x)?f(t)f(x?t)dt的傅里葉系數(shù)An,Bn，其中f(x)是以2?為周期的???1連續(xù)函數(shù)，an,bn是其傅里葉系數(shù).并證明：

1?????2?a022f(t)dt???(an?bn).2n?12

第三篇：微積分II真題含答案

微積分II真題含答案

一、填空題（每題3分，共30分）

1、函數(shù)的定義域是____________.2、設(shè)，則________________.3、廣義積分的斂散性為_____________.4、____________

.5、若

.6、微分方程的通解是

____.7、級數(shù)的斂散性為

.8、已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數(shù)R(x)=____________.9、交換的積分次序=

.10、微分方程的階數(shù)為

_____階.二、單選題（每題3分，共15分）

1、下列級數(shù)收斂的是（）

A，B，C，D，2、，微分方程的通解為（）

A，B，C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=（）

A,B,C,D，04、若

A,B,C,D,5、=（）

A,0

B,1

C,2

D,三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分）

1．已知

2.求，其中D是由，x=1和x軸圍成的區(qū)域。

3.已知z=f(x,y)由方程確定，求

4.判定級數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由

和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.已知x表示勞動力，y表示資本，某生產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)為，勞動力的單位成本為200元，每單位資本的成本為400元，總預(yù)算為100000元，問生產(chǎn)商應(yīng)如何確定x和y，使產(chǎn)量達到最大？。

五、證明題（5分）

一、填空題（每小題3分，共30分）

1,2，3，發(fā)散

4，0

5，6，y=cx

7，收斂

8，R(x)=x3+1000x

9，10，2

二、單選題（每小題3分，共15分）

1，B

2，B

3，C

4，C

5，D

三、計算題（每小題8分，共32分）

1、解：

令2、3、整理方程得：

4、先用比值判別法判別的斂散性，（2分）

收斂，所以絕對收斂。(交錯法不行就用比較法)

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1、解：

2、解：約束條件為200x+400y-100000=0

（2分）

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，（4分）,求一階偏導(dǎo)數(shù)，（6分）

得唯一解為：，（8分）

根據(jù)實際意義，唯一的駐點就是最大值點，該廠獲得最大產(chǎn)量時的x為40，y為230.（9分）

五、證明題（5分）

證明：設(shè)對等式兩邊積分，得：

（2分）

（4分）

解得：

題設(shè)結(jié)論得證。

（5分）

一、填空題（每題2分，共20分）

1、函數(shù)的定義域是_______

2、__________

3、_______

4、若___________

5、設(shè)可微，則

6.已知滿足方程則

_______

7、交換的積分次序=__________________

8、級數(shù)__________

9、若級數(shù)的收斂，則k的取值范圍是

10、微分方程的通解是

____

二、單選題（每題2分，共10分）

1、若廣義積分，則k=（）

A，B，C，D，2、若滿足方程，則

（）

A，0

B，1

C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=____________

A,B,C,D，4、下列級數(shù)發(fā)散的是（）

A,B，C

D5、微分方程的階數(shù)為

（）

A,1

B，2

C

D

三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計算

2.已知，求

3.計算二重積分，其中D由，及所圍成。

4.求一階線性微分方程的通解.5．

判別級數(shù)的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

6．計算定積分。

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產(chǎn)量x和y。

五、證明題（4分）

證明：

一、填空題（每題2分，共20分）

1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c為任意常數(shù)）

二、單選題（每題2分，共10分）

1、D2、D，3、C,4、B，5、C

三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計算

解：

--------

4分

-----------8分

2.已知，求

解：兩邊去自然對數(shù)，兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，---------

4分

整理得

所以

------------

8分

3.計算二重積分，其中D由，及所圍成。

解：畫圖（2分），Y-型，-----------

分

-------------

8分

4.求一階線性微分方程的通解.解：方法1：

直接算，，方法2：原方程可以化為，直接代入公式，------------

分

（c為任意常數(shù)）

--------------

8分

5．這是一個交錯級數(shù)，一般項為。

先判斷是否收斂，是一個P-級數(shù)，且P=，發(fā)散。

----------------2’

----------------------------------4’

----------------------------------6’

根據(jù)萊布尼茨定理，級數(shù)收斂，而且是條件收斂。

-----------------------------8’

6．積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，又為偶函數(shù)，則

=2

----------------------------------2’

=

--------------------------------4’

=

--------------------------------6’

==

--------------------------------8’

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：畫圖（2分）

-----------------

5分

=

----------------

9分

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產(chǎn)量x和y。

解：由題意知，收入函數(shù)為

利潤函數(shù)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，-------------

5分，解得

----------------

9分

五、證明題（4分）

利用級數(shù)的斂散性，證明：

證明：先證明級數(shù)收斂，用比值判別法，所以級數(shù)收斂

由級數(shù)收斂的必要條件知道，即

一、填空題（每小題3分，共15分）

1．設(shè),則=

.2．

當(dāng)

時,收斂.3．

交換積分次序

.4．

已知級數(shù)收斂,則=

.5．

若，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則=

.二、單選題（每小題3分，共15分）

1．（）.(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).2.函數(shù)在上可積的必要條件是在上（）

（A）連續(xù)

;

（B）有界;

（C）

無間斷點;

(D)有原函數(shù).3．下列反常積分收斂的是（）

(A);

(B)

;

(C)

;

(D)

.4．下列級數(shù)發(fā)散的是（）.(A)

;

(B)

;(C)

;(D)

.5．

微分方程的通解是（）

(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).三、計算題I（每題6分，共24分）

1.求.2.設(shè),求.3.求，其中D由圍成.4.判別級數(shù)的斂散性.四、計算題II（每題8分，共24分）

5.求.6.設(shè)由方程確定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）

1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤函數(shù)為(萬元)

已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有該原料12噸,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時,總

利潤最大?最大利潤是多少?

六、證明題（6分）

證明：若收斂，則發(fā)散.一、1.;

2.;

3.;

4.;

5..二、BBACD

三、1.解:原式=

(3分)

.(6分)

2.解:

(2分)

(4分)

(6分)

3.解：原式=

（2分）

（4分）

.（6分）

4.解:記,取

(4分)

又

收斂

故原級數(shù)收斂.(6分)

四、5．解：令，即，則

當(dāng)時，（2分）

故原式

（4分）

（6分）

.（8分）

6．解：記

（4分）

（8分）

7．解：原方程可化為------一階線性微分方程

此時，（2分）

故原方程的通解為

（4分）

（6分）

由,得

從而，所求原方程的特解為

.（8分）

五、1.解：1>

故所求圖形的面積為

（4分）

2>所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（5分）

.（8分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3.8千件,乙產(chǎn)品2.2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(萬元).(8分)

六、證明：證明：由于

（3分），又因為

收斂，故收斂，從而，絕對收斂.（6分）

1．函數(shù)的定義域是

.2．

.3．

若___________.4．

設(shè)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則

.5．

=

.6．

廣義積分收斂，則

.7．

交換積分次序=

.8．

設(shè)D為所圍區(qū)域，則

.9．

=

.10.方程是

階微分方程

.三、單選題（每小題3分，共15分）

1．廣義積分收斂于（）.A.0

;

B.;

C.;

D..2.設(shè)積分區(qū)域D是（）.A.;

B.;

C.;

D..3．下列級數(shù)中條件收斂的是（）.A.;

B.;

C.;

D..4．設(shè)，其中可微，則（）

A.;

B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;

B.;

C.;

D..三、計算題（每題8分，共32分）

1.求.2.設(shè)D由曲線圍成,求

3.已知，求.4.判別級數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為時，成本函數(shù),需求函數(shù)分別為,分別為兩種產(chǎn)品的價格，產(chǎn)品受的限制，求工廠獲得最大利潤時的產(chǎn)量和價格。

五、證明題（5分）

設(shè)，其中F可微。證明：

一.1.;

2.0

;

3.;

4.；5.0

;

6.;

7.;

8.2(2ln2-1);

9.1；

10.2.二.C

A

D

C

B

三.1.解:原式=

(3分)

(6分)

(8分)

2．解:畫積分區(qū)域草圖，聯(lián)立方程求交點得：，（2分）

原式=.(4分)

（5分）

（8分）

3.解:

令，則

(3分)

(5分)

(8分)

4.解:用比值判別法

(2分)

(4分)

(6分)

原級數(shù)收斂.(8分)

四.1.解：(1)，（2分）

故所求圖形的面積為

（5分）

(2)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

.（9分）

2.解:由需求函數(shù)x,y得：，利潤函數(shù)

=

=

(2分)

作輔助函數(shù)

=

(4分)

令

解之得唯一駐點

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)量分別為及時工廠獲得的利潤最大,此時兩種產(chǎn)品的價格分別為

(9分)

五．證明：

（3分），.（5分）

故等式成立。

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.設(shè)域是，則

.3.交換積分次序

.4.設(shè)資本投入為，勞動投入為時，某產(chǎn)品的產(chǎn)出量為，且為常數(shù)，則對資本的偏彈性，對資本的偏彈性

.5.設(shè)

.6.若則

.7.當(dāng)滿足條件

時收斂。

8.微分方程的通解為

.9.設(shè)，其中可微，則

.10..二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1.=（）.A.;

B.;

C.;

D..2.已知，則（）.A.B.C.D..3.若，則（）.A.B.C.D.4.下列級數(shù)發(fā)散的是（）

A.;

B.;

C

.;

D

..5.微分方程的階數(shù)為（）.A

.3

;

B.4

;

C

.2

;

D.6.三．

計算題（每小題8分，共32分）

1.設(shè),求.2.若D是由所圍成的區(qū)域,求之值。

3.判別級數(shù)的收斂性。

4.求方程的通解。

四．應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由拋物線與直線

圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

2.設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動力和原料的函數(shù)，若勞動力單價為100元，原料單價為200元，則在投入3萬元資金用于生產(chǎn)的情況下，如何安排勞動力和原料，可使產(chǎn)量最多。

五．證明題（5分）：

證明：.一.1.;

2.;

3.;

4.;

5.；6.5

;

7.;

8.y=;

9..10.tanx

二.D

B

A

D

A

三.1.解:

令，(2分)

則

(4分)

(8分)

.2.解:

聯(lián)立

解得兩個交點坐標

（2分）

（4分）

（8分）

3.解:

（4分）

(4分)

又是幾何級數(shù)，公比收斂

故由比較判別法知原級數(shù)收斂.(8分)

(或者用比較判別法的極限形式)

4.解：，代入原方程得

（2分）

分離變量

（4分）

兩邊積分

將

回代得方程的解

（8分）

四．1.解：（1），故所求圖形的面積為

（4分）

（2），所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（9分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

（5分）

解之得唯一駐點

(7分)

由問題實際意義知最大產(chǎn)量存在，故當(dāng)勞動力為單位，原料為單位時產(chǎn)量最大。

(9分)

五．證明：交換積分次序：

等式左邊==右邊.故等式成立。

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.=??????????????．

7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.1

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

5.下列級數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤函數(shù)為(萬元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有原料10噸剛好用完,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.1

;

6.2

;

7.2;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

4.解：

代入原方程得

分離變量

（4分）

兩邊積分

（6分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：考察級數(shù)，由于

（3分）

所以此級數(shù)收斂，故

（5分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.設(shè)，則=??????????????．

4.=_

___

__

.5.=

.6.=

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．

A.．??????B.．???????C.．????D.．

3.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

4.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.5.下列級數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤函數(shù)為(萬元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料1噸,現(xiàn)有原料5噸剛好用完,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?

2.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

五、證明題（5分）

證明

一，填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.0；

5.3

;

6.6

;

7.7;

8.二;

9.；

10..二，單選題（每小題3分，共15分）

1.B

.A

3.B

4.A

5.D

三，計算題（每小題8分，共32分）

.解：

（4分）

（8分）

2.解設(shè)

則

（3分）

(6分)

（8分）

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：

分離變量

（3分）

兩邊積分

（5分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四，應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

2.(4分)

(9分)

五，證明題（5分）

證明：考察級數(shù)，由于

（3分）

所以此級數(shù)收斂，故

（5分）

四、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.廣義積分收斂，則

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.五、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.函數(shù)，由方程所確定，則

=（）.A.2

B.-1

C.1

D.-2

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.可偏導(dǎo)的函數(shù)取得極值點必為（）．

A．零點．????????B．駐點．???????C．不可導(dǎo)點.D．駐點或不可導(dǎo)點．

5.下列級數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.六、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.計算D由和圍成的區(qū)域

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸

旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．銷售收入Q與用兩種廣告手段的費用x和y之間的函數(shù)關(guān)系為，凈利潤是銷售收入的減去廣告成本，而廣告預(yù)算是25，試確定如何分配兩種手段的廣告成本，以使利潤最大?最大利潤是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.2

;

6.>3

;

7.1;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：原式

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：由于，由公式得其通解

（4分）

=

=

（6分）

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,所求利潤函數(shù)

3.作拉格朗日函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當(dāng)兩種廣告費用分別為15,10時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：令，則

于是=

（3分）

所以原式成立

（5分）

第四篇：微積分復(fù)習(xí)教案

第一講 極限理論

一 基本初等函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象，其中函數(shù)圖像是重中之重，由函數(shù)圖像可以輕易的得到函數(shù)的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法

⑴當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時,x0?Df,則有l(wèi)imf(x)?f(x0)

x?x0例1 計算極限limxarcsinx

x?22 ⑵設(shè)m,n為非負整數(shù),a0?0,b0?0則

?0,當(dāng)n?ma0xm?a1xm?1???am?1x?am??a0lim??,當(dāng)n?m x??bxn?bxn?1???b01n?1x?an?b0???,當(dāng)n?m 例2 計算極限：⑴ lim973x?1 ⑵ ?3x?2??2x?3?

limx??2x?4?4x?1?16x???⑶用兩個重要極限求

①limsinx?1（limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??f(x)?0xxf(x)x2 結(jié)論：當(dāng)x?0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。②lim(1?1)x?e（lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)實質(zhì)：外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒

例4 計算極限：⑴ lim(1?2x)⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的極限（?000，???，0??，0，?）?0 ①羅必達法則

例5 計算極限：

x?0?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?)sinxx②設(shè)法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例6 計算極限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0x?1xx?1 ③用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關(guān)系！）例7 計算極限limsinxtanx

x?0x2(1?cosx)⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。

例8 計算極限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x?0x???1?x2x三 連續(xù)和間斷 1.連續(xù)的定義

2.間斷點的定義和分類

四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這里有一些證明題值得注意）。

第二講 微分學(xué)

一 導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0x?x0?xx?x0左導(dǎo)數(shù)：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0右導(dǎo)數(shù)：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0 實質(zhì)：差商的極限。

例1 計算極限：⑴ limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0??x)⑵ lim

?x?0h?x二 各種求導(dǎo)法

⑴導(dǎo)數(shù)公式表（P94）和四則運算法則（P85）

例2設(shè)f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)；

例3設(shè)f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?()；

4x ⑵復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（P90）

例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隱函數(shù)求導(dǎo)（方法：把y當(dāng)作x的函數(shù)，兩邊對x求導(dǎo)）

例5 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①xy?e?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷對數(shù)求導(dǎo)法（多用于冪指函數(shù)和由多因子相乘構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)）

例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

① y?xsinxx? ②y?2x?1(x?1)(3?2x)⑸由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)

?x??(t)重點：由參數(shù)方程?確定的函數(shù)y?f(x)的導(dǎo)數(shù)為dy???(t)；

dx??(t)?y??(t)?x?ln(1?t)例7 設(shè)?，求dy；

dx?y?t?arctant三 高階導(dǎo)數(shù)

例8 設(shè)y?2arctanx，求y??； 例9 設(shè)y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重點：函數(shù)y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 設(shè)y?3x2?e2x，求dy； 例11設(shè)y?2x?ey，求dy； 五 單調(diào)性和極值

重點：⑴由f?(x)的符號可以判斷出f(x)的單調(diào)性；

⑵求f(x)的極值方法：①求出f?(x)，令其為零，得到駐點及不可導(dǎo)點，姑且統(tǒng)稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側(cè)附近f?(x)的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。

例12 求函數(shù)y?x?ln(x?1)的單調(diào)區(qū)間和極值點。

例13 證明：當(dāng)0?x?六 最值問題

求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值之步驟：①求出f?(x)，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導(dǎo)點），并求出函數(shù)在這些點處的取值；②求出函數(shù)在區(qū)間端點取值f(a)，f(b)；

③比較函數(shù)在可疑點和區(qū)間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

例14 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1七 凹凸性和拐點

重點：

⑴凹凸性概念：設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，若對?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

?2時，恒有x?sinx。

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)?（f(1）

2222則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f??(x)的符號可以判斷出f(x)的凹凸性。f??(x)為正號則f(x)是凹函數(shù)，f??(x)為負號則f(x)是凸函數(shù)。

⑵判斷f(x)的拐點之方法：①求出f??(x)，令其為零，得到f??(x)等于0的點和f??(x)不存在的點；②判斷在這些點兩側(cè)附近f??(x)的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。

例15 求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點。

⑴y?x?2x?1 ⑵y?3x

例16 證明：當(dāng)x1?x2時，必有ax1?x2243ax1?ax2?（a?0）。

2第三講 積分學(xué)

一 不定積分與原函數(shù)的概念與性質(zhì)

⑴原函數(shù)：若F?(x)?f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。

⑵不定積分：f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，即

?f(x)dx?F(x)?c，這里F?(x)?f(x)

⑶不定積分的性質(zhì)（P174,共2個）

特別強調(diào)：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切記常數(shù)c不可丟）二 定積分的概念與性質(zhì)

⑴定積分概念：

n?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1 ⑵定積分和不定積分的區(qū)別：定積分是和式的極限，計算結(jié)果是個常數(shù)；不定積分是由一族函數(shù)（被積函數(shù)的原函數(shù)）構(gòu)成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續(xù)；

⑷定積分的幾何意義：設(shè)f(x)?0，x?[a,b]，則?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0ab及y?f(x)圍成的曲邊梯形的面積。

⑸定積分的性質(zhì)（P210,共7個）注意結(jié)合定積分的幾何意義理解之。

例：⑥若對?x?[a,b]，有m?f(x)?M，則有m(b?a)? ⑦若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在??[a,b]，使得滿足 另：若f(x)是奇函數(shù)，則三 由變上限積分確定的函數(shù)

⑴定義：設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù)，則稱函數(shù)

b??abf(x)dx?M(b?a)。f(x)dx?f(?)(b?a)。

a?a?af(x)dx?0。

?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 為變上限積分確定的函數(shù)。

⑵求導(dǎo)問題：??(x)?dx[?f(t)dt]?f(x)dxax2 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f?(x)。

①f(x)??xln4tedt ②f(x)??x4?2t01?t2dt

⑶與羅必達法則結(jié)合的綜合題

例2 求下列極限： ①

t?lim0x?02sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求積分的各種方法

⑴直接積分法（兩個積分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 計算積分：①? ②dx dx?2sinx?cosxx(1?x)⑵第一換元法（湊微分法）

重點：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x)

令u??(x)整理f(x)????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c

常用湊微分公式：xndx?1d(xn?1)，1dx?2d(x)，1dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx)

n?1x?積分變量還原xcosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。

例4 計算積分：

?①tanxdx ② ⑶第二換元法

重點：??20sin?cos2?d? ③?2x?41?lnxdx ④?(1?xlnx)4dx x2?4x?8?f(x)dx?????f[?(t)]??(t)dx ?dx??(t)dt令x??(t)???????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 整理f[?(t)]??(t)?積分變量還原 常用換元方法：

①被積函數(shù)中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?t，這里m是k，ml的最小公倍數(shù)。

②被積函數(shù)中若有a2?x2，令x?asint； ③被積函數(shù)中若有a2?x2，令x?atant； ④被積函數(shù)中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。

例5 計算積分：⑴ ?a0a?xdx ⑵ ?2241dx

1?x例6 設(shè)f(x)是定義于實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，證明 ⑴?baf(x)dx??b?ca?cf(x?c)dx，⑵ ?baf(x)dx???ba?2bf(a?b?x)dx

⑷分部積分法 u?vdx?uv?uv?dx

關(guān)鍵：適當(dāng)選擇u?，v。選擇的技巧有①若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘易積函數(shù)，令u?為易積函數(shù)，v為冪函數(shù)。②若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘不易積函數(shù)，令u?為冪函數(shù)，v為不易積函數(shù)。

例7 計算積分：arctanxdx

⑸有理分式函數(shù)的積分

步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項式與真分式的和，多項式積分非常容易，下面重點考慮真分式P(x)的積分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 ???Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

這里p2?4q?0，……，r?4s?0。③把P(x)化為如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)2 ??????

B?B2 ?B1? ??????1(x?b)(x?b)(x?b)?M?x?N?M1x?N1M2x?N2???? 2?2??12(x?px?q)(x?px?q)(x?px?q)?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2 ????2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數(shù)，通過對上式進行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數(shù)。

④于是對P(x)的積分就轉(zhuǎn)化成對上面等式的右端積分了，然后再對上式右端積分。

Q(x)x3?2x2dx

⑵ 例8 計算積分：⑴ ?2x?2x?10五 定積分的分段積分問題

例9 計算積分：⑴4x?3?x2?5x?6dx

?0x?3dx。⑵?sin2xdx

0?六 定積分的應(yīng)用：重點是再直角坐標系下求平面圖形的面積。

⑴由曲線y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直線x?a，x?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲線x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直線y?a，y?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲線圍成的圖形的面積。⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 廣義積分

沿著定積分的概念的兩個限制條件（積分區(qū)間有限和被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界）進行推廣，就得到兩種類型的廣義積分。

⑴第一類廣義積分

①定義：? ???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??ab????f(x)dx?lim?f(x)dx

a???a0b ???f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dx

a???ab???00b ②計算方法：先計算定積分，在取極限。

⑵第二類廣義積分（暇積分）

①定義：?f(x)dx?lim?ababb??0?a??b??f(x)dx（a是暇點）f(x)dx（b是暇點）

bc?? ?f(x)dx?lim?bcaa??0?a ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?c??0?af(x)dx?lim?b??0?c?? f(x)dx（c是暇點）②計算方法：先計算定積分，在取極限。

例11 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，收斂于何值。

①? ??1`1dx ②5x?211dx 5(x?1)

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)：微積分如何復(fù)習(xí)？

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)：微積分如何復(fù)習(xí)？

微積分的基本內(nèi)容可以分為三大塊：一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分(主要是二元函數(shù))，無窮級數(shù)和常微分方程與差分方程。一元函數(shù)微積分學(xué)的凱程是考研數(shù)學(xué)三微積分部分出題的重點，應(yīng)引起重視。多元函數(shù)微積分學(xué)的出題焦點是二元函數(shù)的微分及二重積分的計算。無窮級數(shù)和常微分方程與差分方程考查主要集中在數(shù)項級數(shù)的求和、冪級數(shù)的和函數(shù)、收斂區(qū)間及收斂域、解簡單的常微分方程等。下面從三個方面來談微積分復(fù)習(xí)方法。

一、基本內(nèi)容扎實過一遍

事實上，數(shù)學(xué)三考微積分相關(guān)內(nèi)容的題目都不是太難，但是出題老師似乎對基本計算及應(yīng)用情有獨鐘，所以對基礎(chǔ)知識扎扎實實地復(fù)習(xí)一遍是最好的應(yīng)對方法。閱讀教材雖然是奠定基礎(chǔ)的一種良方，但參考一下一些輔導(dǎo)資料，如《微積分過關(guān)與提高》等，能夠有效幫助同學(xué)們從不同角度理解基本概念、基本原理，加深對定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的攝入量。對基本內(nèi)容的復(fù)習(xí)不能只注重速度而忽視質(zhì)量。在看書時帶著思考，并不時提出問題，這才是好的讀懂知識的方法。

二、讀書抓重點

在看教材及輔導(dǎo)資料時要依三大塊分清重點、次重點、非重點。閱讀數(shù)學(xué)圖書與其他文藝社科類圖書有個區(qū)別，就是內(nèi)容沒有那么強的故事性，同時所述理論有一定抽象性，所以在此再一次提醒同學(xué)們讀書需要不斷思考其邏輯結(jié)構(gòu)。比如在看函數(shù)極限的性質(zhì)中的局部有界性時，能夠聯(lián)系其在幾何上的表現(xiàn)來理解，并思考其實質(zhì)含義及應(yīng)用。三大塊內(nèi)容中，一元函數(shù)的微積分是基礎(chǔ)，定義一元函數(shù)微積分的極限及微積分的主要研究對象——函數(shù)及連續(xù)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。這個部分也是每年必定會出題考查的，必須引起注意。多元函數(shù)微積分，主要是二元函數(shù)微積分，這個部分大家需要記很多公式及解題捷徑。無窮級數(shù)和常微分方程與差分方程部分的重點很容易把握，考點就那幾個，需要注意的是其與實際問題結(jié)合出題的情況。

三、做題檢測學(xué)習(xí)效果

大量做題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)區(qū)別與其他文科類科目的最大區(qū)別。在大學(xué)里，我們常常會看到，平時不斷輾轉(zhuǎn)于各自習(xí)室占坐埋頭苦干的多數(shù)是學(xué)數(shù)學(xué)的，而那些平時總抱著小說看，還時不時花前月下的同學(xué)多半是文科院系的。并不是對兩個院系的同學(xué)有什么詬病，這種狀況只是所學(xué)專業(yè)特點使然。在備考研究生考試數(shù)學(xué)的時候，如果充分了解其特點，就能對癥下藥。微積分的選擇及填空題考查的是基本知識的掌握程度及技巧的靈活運用大家可以找一本相關(guān)習(xí)題多練練。微積分的解答題注重計算及綜合應(yīng)用能力，平時多做這方面的題目既可以練習(xí)做題速度及提高質(zhì)量，也能檢測復(fù)習(xí)效果。

其實看看凱程考研怎么樣，最簡單的一個辦法，看看他們有沒有成功的學(xué)生，最直觀的辦法是到凱程網(wǎng)站，上面有大量學(xué)員經(jīng)驗談視頻，這些都是凱程扎扎實實的輔導(dǎo)案例，其他機構(gòu)網(wǎng)站幾乎沒有考上學(xué)生的視頻，這就是凱程和其他機構(gòu)的優(yōu)勢，凱程是扎實輔導(dǎo)、嚴格管理、規(guī)范教學(xué)取得如此優(yōu)秀的成績。

辨別凱程和其他機構(gòu)誰靠譜的辦法。

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