XX一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)教案

教師

科目

數(shù)

學(xué)

時(shí)間

2013

年

X

月

X日

學(xué)生

年級(jí)

高二

學(xué)校

XX校區(qū)

授課內(nèi)容

空間法向量求法及其應(yīng)用

立體幾何知識(shí)點(diǎn)與例題講解

難度星級(jí)

★★★★

教學(xué)內(nèi)容

上堂課知識(shí)回顧（教師安排）：

1.平面向量的基本性質(zhì)及計(jì)算方法

2.空間向量的基本性質(zhì)及計(jì)算方法

本堂課教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握空間法向量的求法及其應(yīng)用

2.掌握用空間向量求線線角，線面角，面面角及點(diǎn)面距

3.熟練靈活運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題

得分：

平面法向量的求法及其應(yīng)用

一、平面的法向量

1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無(wú)數(shù)條。

2、平面法向量的求法

方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。

二、平面法向量的應(yīng)用

1、求空間角

(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：

圖2-1-1:

圖2-1-2:

圖2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

圖2-1-2

C

α

圖2-3

β

β

α

圖2-2

(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：

（圖2-2）;

(圖2-3)

兩個(gè)平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積（簡(jiǎn)稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。

2、求空間距離

圖2-4

n

a

b

A

B

（1）、異面直線之間距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量；

圖2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中

A

a

B

α

圖2-6

（2）、點(diǎn)到平面的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點(diǎn)B為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A

為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)P到

平面α的距離公式為

圖2-7

α

β

A

B

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：

圖2-8

α

a，其中。是平面、的法向量。

3、證明

圖2-9

α

a

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。

圖2-10

β

α

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）

圖2-11

α

β

（4）、證明面面平行：在圖2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。

圖3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真題新解

1、（2005全國(guó)I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小

解:以A點(diǎn)為原點(diǎn),以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示.，設(shè)平面PAD的法向量為，設(shè)平面PCD的法向量為，即平面PAD平面PCD。，，設(shè)平在AMC的法向量為.又,設(shè)平面PCD的法向量為..面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測(cè)19題)

(本題滿分12分)

圖3-2

如圖3-2，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離。

解:以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.，設(shè)平面A1BC的法向量為

又，,即AD//平面A1BC.，設(shè)平面A1MC的法向量為:,又，設(shè)平面A1BD1的法向量為:，,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點(diǎn)A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點(diǎn)到平面A1MC的距離為:.四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，建立右手系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）

（2）、通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）

（3）、把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問(wèn)題）

立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題講解

一、知識(shí)點(diǎn)

<一>常用結(jié)論

1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式

：設(shè)a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.8．異面直線所成角：=

（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）

9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點(diǎn)A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

11.二面角的平面角

或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定理：設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.13.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A，B，則=.14.異面直線間的距離：

(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).15.點(diǎn)到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.16.三個(gè)向量和的平方公式：

17.長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.18.面積射影定理

.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)

球與正四面體的組合體:

棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）

21.求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）

〈二〉溫馨提示：

1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？

①

異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②

直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．

二、題型與方法

【例題解析】

考點(diǎn)1

點(diǎn)到平面的距離

求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．

A

B

C

D

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維

能力和運(yùn)算能力．

解答過(guò)程：解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，令得為平面的一個(gè)法向量．

由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．

點(diǎn)到平面的距離．

小結(jié)：本例中（Ⅲ）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點(diǎn)2

異面直線的距離

此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2已知三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解答過(guò)程：

如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是

AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò)程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.考點(diǎn)3

直線到平面的距離

此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3．

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.B

A

C

D

O

G

H

思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過(guò)程：

解析一

∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求

點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面

平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二

∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則,即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4

異面直線所成的角

此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角.異面直線所成的角是高考考查的重點(diǎn).例

4、如圖，在中，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)．

（I）求證：平面平面；

（II）求異面直線與所成角的大?。?/p>

思路啟迪：（II）的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi).解答過(guò)程：解法1：（I）由題意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

異面直線與所成角的大小為．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，．

異面直線與所成角的大小為．

小結(jié)：

求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)5

直線和平面所成的角

此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容.例5.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。?/p>

考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．

解答過(guò)程：

D

B

C

A

S

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?，所以?/p>

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，，，D

B

C

A

S，所以．

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．，．，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，所以，直線與平面所成的角為．

小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計(jì)算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6

二面角

此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視.例6．如圖，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

A

B

C

Q

P

（II）求二面角的大?。?/p>

命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.A

B

C

Q

P

O

H

過(guò)程指引：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?/p>

而，所以，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫妫剩?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

小結(jié)：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7

利用空間向量求空間距離和角

眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例7．如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：四點(diǎn)共面；

（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面；

（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．

命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．

過(guò)程指引：

解法二：

（1）

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，所以，故，共面．

又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．

（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．

因?yàn)?，有，又，所以，從而，?/p>

故平面．

（3）設(shè)向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，再用公式求夾角；點(diǎn)面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對(duì)值.考點(diǎn)9.簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算

棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.課后練習(xí)題

15.【2012高考四川文14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。

（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大??；

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重慶文20】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)4分，（Ⅱ）小問(wèn)8分）

已知直三棱柱中，，為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求異面直線和的距離；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分

如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點(diǎn)，已知∠＝，，求：（1）三棱錐的體積

（2）異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）