第一篇：法向量的求法和其應(yīng)用

平面法向量的求法及其應(yīng)用

引言：本節(jié)課介紹平面法向量的三種求法,并對平面法向量在高中立體幾何中的應(yīng)用作歸納和總結(jié)。其中重點介紹外積法求平面法向量的方法，因為此方法比內(nèi)積法更具有優(yōu)越性,特別是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那么每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕松。

一、平面的法向量

?

?

1、定義：如果a

??，那么向量a叫做平面?的法向量。平面?的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。

2、平面法向量的求法

???

方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標系中，設(shè)平面?的法向量n?(x,y,1)[或n?(x,1,z)，或n?(1,y,z)]，在平

???????

面?內(nèi)任找兩個不共線的向量a,b。由n??，得n?a?0且n?b?0，由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方程組即可?得到n。

方法二：任何一個x,y,z的一次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是x,y,z的一次方程。

?

Ax?By?Cz?D?0(A,B,C不同時為0)，稱為平面的一般方程。其法向量n?(A,B,C);若平面與3個坐標軸的交點為P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如圖所示,則平面方程為:為一般式即可求出它的法向量。

xa

?

yb

?

zc

?1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化

方法三(外積法): 設(shè) , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積a?b為一長度等于|a||b|sin?，（θ

????

為,兩者交角，且0????），而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由

?的方向轉(zhuǎn)為

?的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為a?b的方向,a?b??b?a。

?

?

??????

x1z1x1y1??y1z

1?,?,設(shè)a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2),則:a?b??

?yx2z2x2y2??2z2?

（注：

1、二階行列式:M?

?

?

ac

bd

?ad?cb；

2、適合右手定則。）例

1、已知，a?(2,1,0),b?(?1,2,1)，?

?

?

?

試求（1）：a?b;（2）：b?a.?

?

?

?

Key:(1)a?b?(1,?2,5);(2)b?a?(?1,2,5)

例

2、如圖1-1,在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，????

key求平面AEF的一個法向量n。:法向量n?AF?AE?(1,2,2)

二、平面法向量的應(yīng)用

1、求空間角

?

(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)n是平面?的法向量，AB是平面?的一條斜線，A??，則AB與平面? 所成的角為：

?

?

圖2-1-1:

??

?

??

??n,AB??

?

??

?

??|cos?n,AB?|

??

圖2-1-2:???n,AB??

?

?

?arccos

?

(2)、求面面角:設(shè)向量m，n分別是平面?、?的法向量，則二面角??l??的平面角為：

?

?

?

?

圖2-

3???m,n??arccos

m?n

?

?

（圖2-2）;

?

|m|?|n|

?

?

?

???m,n????arccos

m?n

?

?

(圖2-3)

?

|m|?|n|

兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，m的方向?qū)ζ矫?而

?

??

言向外，n的方向?qū)ζ矫?而言向內(nèi)；在圖2-3中，m的方向?qū)ζ矫?而言向內(nèi)，n的方向?qū)ζ矫?而言向內(nèi)。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角??l??的平面角。

2、求空間距離

（1）、異面直線之間距離:

?

?

方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量a、b，?

求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

?

②在直線a、b上各取一點A、B，作向量AB；

??

③求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為

?

?

d?

|AB?n|

???,其中n?a,n?b,A?a,B?b

|n|

（2）、點到平面的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點B為平面α外一點，點A 為平面α內(nèi)任一點，平面的法向量為n，則點P到

?

?

n

平面α的距離公式為d?

|AB?n|

?

|n|

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線a與平面?之間的距離：

????AB?n?，其中d?A??,B?a。n?

是平面?的法向量 |n|

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面?,?之間的距離：

?

?

d?

|AB?n|

?，其中A??,B??。n?

是平面?、?的|n|

3、證明

?

?

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,m向是平面?的法向量，a是

?

?

直線

a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（m??a）。

?

?

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,m向是平面?的法向量，a是直線a

?

?的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（m?a?0）。

?

?

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，m是平面?的法向量，n是平面?

?

?的法向量，證明兩平面的法向量垂直（m?n?0）

?

?

（4）、證明面面平行：在圖2-11中, m向是平面?的法向量，n是平

?

?

面?的法向量，證明兩平面的法向量共線（m??n）。

三、高考真題新解

1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=1

2AB=1，M是PB（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC解:以A點為原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz如圖所示.?????

(I).?AP?(0,0,1)，AD?(1,0,0)，設(shè)平面PAD的法向量為m?AP?AD?(0,?1,0)

?

?

?

?

?

又?DC?(0,1,0)，DP?(?1,0,1)，設(shè)平面PCD的法向量為n?DC?DP?(1,0,1)

?

?

??

?m?n?0，?m?n，即平面PAD?平面PCD。

?

?

????

(II).?AC?(1,1,0)，PB?(0,2,?1)，??AC,PB??arccos

AC?PB

?

?

?arccos

AC|?|PB|

|?

?

?

(III).?CM?(?1,0,1?

?

2)，CA?(?1,?1,0)，設(shè)平在AMC的法向量為m?CM?CA?(11

2,?2,1).?

?

?

?

又?CB?(?1,1,0),設(shè)平面PCD的法向量為n?CM?CB?(?

12,?

12,?1).?

?

?

?

??m,n??arccos

m?n

?

?

?arccos(?

2|m|?|n|).?面AMC與面BMC所成二面角的大小為arccos(?2

3).[或??arccos23

]

2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題)(本題滿分12分)如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中點。(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

圖

解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系3-

2D-xyz如圖所示.?

?

?

?

?

(I).?BC?(?2a,0,0),BA1?(0,?a,a),設(shè)平面A1BC的法向量為n?BC?BA1?(0,2a2,2a2)

?????

又?AD?(?2a,0,0),?n?AD?0,?AD?n,即AD//平面A1BC.?

(II).?MC?（?

?

a,0,a),MA1?(?

?

a,a,0),設(shè)平面A1MC的法向量為: m?MC?MA1?(a,???

a,?

a),又?BD1?(?2a,?a,a),BA1?(0,?a,a),設(shè)平面A1BD1的法向量為: n?BD1?BA1?(0,2a2,2a2),?

?

???

??

?m?n?0,?m?n,即平面A1MC?平面A1BD1.(III).設(shè)點A到平面A1MC的距離為d,?

?

?

?m?MC?MA1?(a,?

a,?

a)是平面A1MC的法向量,?

?

又?MA?（22

a,0,0),?A點到平面A1MC的距離為:d?

|m?MA|

?

?

a.|m|

四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）、把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）

第二篇：法向量的求法及其空間幾何題的解答

XX一對一個性化輔導(dǎo)教案

教師

科目

數(shù)

學(xué)

時間

2013

年

X

月

X日

學(xué)生

年級

高二

學(xué)校

XX校區(qū)

授課內(nèi)容

空間法向量求法及其應(yīng)用

立體幾何知識點與例題講解

難度星級

★★★★

教學(xué)內(nèi)容

上堂課知識回顧（教師安排）：

1.平面向量的基本性質(zhì)及計算方法

2.空間向量的基本性質(zhì)及計算方法

本堂課教學(xué)重點：

1.掌握空間法向量的求法及其應(yīng)用

2.掌握用空間向量求線線角，線面角，面面角及點面距

3.熟練靈活運用空間向量解決問題

得分：

平面法向量的求法及其應(yīng)用

一、平面的法向量

1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。

2、平面法向量的求法

方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。

二、平面法向量的應(yīng)用

1、求空間角

(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：

圖2-1-1:

圖2-1-2:

圖2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

圖2-1-2

C

α

圖2-3

β

β

α

圖2-2

(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：

（圖2-2）;

(圖2-3)

兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲猓姆较驅(qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。

2、求空間距離

圖2-4

n

a

b

A

B

（1）、異面直線之間距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

②在直線a、b上各取一點A、B，作向量；

圖2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中

A

a

B

α

圖2-6

（2）、點到平面的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點B為平面α外一點，點A

為平面α內(nèi)任一點，平面的法向量為，則點P到

平面α的距離公式為

圖2-7

α

β

A

B

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：

圖2-8

α

a，其中。是平面、的法向量。

3、證明

圖2-9

α

a

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。

圖2-10

β

α

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）

圖2-11

α

β

（4）、證明面面平行：在圖2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。

圖3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真題新解

1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小

解:以A點為原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz如圖所示.，設(shè)平面PAD的法向量為，設(shè)平面PCD的法向量為，即平面PAD平面PCD。，，設(shè)平在AMC的法向量為.又,設(shè)平面PCD的法向量為..面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題)

(本題滿分12分)

圖3-2

如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點。

(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示.，設(shè)平面A1BC的法向量為

又，,即AD//平面A1BC.，設(shè)平面A1MC的法向量為:,又，設(shè)平面A1BD1的法向量為:，,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點到平面A1MC的距離為:.四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）

（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）

（3）、把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）

立體幾何知識點和例題講解

一、知識點

<一>常用結(jié)論

1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式

：設(shè)a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.8．異面直線所成角：=

（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）

9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

11.二面角的平面角

或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定理：設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.13.空間兩點間的距離公式

若A，B，則=.14.異面直線間的距離：

(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).15.點到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.16.三個向量和的平方公式：

17.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.18.面積射影定理

.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)

球與正四面體的組合體:

棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）

21.求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補法、等積變換法）

〈二〉溫馨提示：

1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？

①

異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②

直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．

二、題型與方法

【例題解析】

考點1

點到平面的距離

求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂足，當然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

A

B

C

D

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維

能力和運算能力．

解答過程：解法二：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中點，以為原點，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．

點到平面的距離．

小結(jié)：本例中（Ⅲ）采用了兩種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法，把不易直接求的B點到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點K到平面的距離的計算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點2

異面直線的距離

此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進一步轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離.解答過程：

如圖所示，取BD的中點F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是

AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點3

直線到平面的距離

此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3．

如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離.B

A

C

D

O

G

H

思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解答過程：

解析一

∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求

點O平面的距離,，平面,又平面

平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二

∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點B平面的距離.設(shè)點B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則,即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點4

異面直線所成的角

此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.異面直線所成的角是高考考查的重點.例

4、如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點．

（I）求證：平面平面；

（II）求異面直線與所成角的大小．

思路啟迪：（II）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).解答過程：解法1：（I）由題意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

異面直線與所成角的大小為．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，，，．

異面直線與所成角的大小為．

小結(jié)：

求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點5

直線和平面所成的角

此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容.例5.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。?/p>

考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

解答過程：

D

B

C

A

S

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因為，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，，，D

B

C

A

S，所以．

（Ⅱ）取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，．，．，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，所以，直線與平面所成的角為．

小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點明直線和平面所成的角的值.考點6

二面角

此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進行求解.二面角是高考的熱點，應(yīng)重視.例6．如圖，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

A

B

C

Q

P

（II）求二面角的大?。?/p>

命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.A

B

C

Q

P

O

H

過程指引：（I）在平面內(nèi)過點作于點，連結(jié)．

因為，所以，又因為，所以．

而，所以，從而，又，所以平面．因為平面，故．

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點作于點，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由（I）知，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

在中，所以．

則相關(guān)各點的坐標分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.考點7

利用空間向量求空間距離和角

眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具時，不僅會降低題目的難度，而且使得作題具有很強的操作性.例7．如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．

（1）求證：四點共面；

（2）若點在上，點在上，垂足為，求證：平面；

（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．

命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．

過程指引：

解法二：

（1）

建立如圖所示的坐標系，則，，所以，故，共面．

又它們有公共點，所以四點共面．

（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．

因為，有，又，所以，從而，．

故平面．

（3）設(shè)向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個平面的法向量的坐標，再用公式求夾角；點面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對值.考點9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算

棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.課后練習(xí)題

15.【2012高考四川文14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，，點在平面內(nèi)的射影在上。

（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大?。?/p>

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重慶文20】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）

已知直三棱柱中，，為的中點。

（Ⅰ）求異面直線和的距離；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分

如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點，已知∠＝，，求：（1）三棱錐的體積

（2）異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

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法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進了向量知識以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學(xué)生對空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點.而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)