第一篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 例談向量法解幾何題的優(yōu)越性

例談向量法解幾何題的優(yōu)越性

【文章摘要】本文著重通過例子說明應(yīng)用向量法解答一些幾何題的優(yōu)越性。向量法解幾何題 可減少“確定角的位置”、“確定距離的位置”的論證過程，減少立體幾何問題的論證、探求的難度。我們在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新出更多更好的思維和方法，提高學(xué)生的分析能力和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】“向量法”、“幾何問題”、“求角”、“求距離”。

【正文內(nèi)容】

向量是新教材新增加的內(nèi)容，高中階段學(xué)的向量有平面向量和空間向量兩部分，其中空間向量是平面向量的推廣和拓展。有了向量，在數(shù)學(xué)，尤其是幾何中的研究產(chǎn)生了較大的影響。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學(xué)代數(shù)化，數(shù)量化，可以為學(xué)生提供全新的視角，使學(xué)生形成一種新的思維方式。在研究解析幾何、立體幾何的問題中，向量，特別是向量的坐標(biāo)表示，有獨(dú)特的優(yōu)越性。下面通過幾個(gè)例子談?wù)動(dòng)孟蛄縼斫鉀Q一些幾何問題的優(yōu)越性。

一、用向量進(jìn)行證明

例1 證明：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。已知：m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線,直線與的交點(diǎn)為B,且⊥m, ⊥n，求證: ⊥方法一(幾何方法)分析:在內(nèi)平移m,n,使它們都通過點(diǎn)B

.此時(shí)仍有⊥m, ⊥n, 過B點(diǎn)在內(nèi)作任一條不與m,n重合的直線g,在上自點(diǎn)B起在平面的兩側(cè)分別截取BA=BA′,于是m,n都是線段AA′的垂直平分線,它們上面的點(diǎn)到A,A′的距離相等,如果我們能證明g也是AA′的垂直平分線即可。在g上任取一點(diǎn)E,過點(diǎn)E在線,分別與m,n相交于點(diǎn)D,C, 容易證明△CDA≌△CDA′

進(jìn)而又可證明△CEA≌△CEA′ 于是EA=EA′，g⊥ 方法二(用向量)

內(nèi)作不通過點(diǎn)B的直 1 證明:在內(nèi)作不與m,n重合的任一條直線g ,在,m,n,g上取非零向量，， 因m與n相交，得使，向量不共線，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）, ∵∴ ∴l(xiāng) ∴g ∴l(xiāng)

方法二與方法一相比較, 方法二顯得精練,簡潔些,又不用作太多輔助線.二、用向量求距離

例2 如圖，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都為60o。求AC1的長。

解：∵

∴ =(2=2)2 =

=1+1+1+2cos60o+2cos60o+2cos60o =6 ∴∴AC1的長為.三、用向量求角

用向量不僅可以求兩向量夾角還可以求兩異面直線所成角，線面所成的角，二面角，特別用向量求二面角更顯示其優(yōu)越性。值得注意的是：用cos<成角時(shí)，要注意異面直線所成角的范圍（0o，90o）即當(dāng)cos

>＝，求兩異面直線所< 0時(shí)，異面直線a,b所成角是的補(bǔ)角。當(dāng)然向量也可求直線與平面所成角等。這時(shí)也要注意，斜線與平面所成角范圍（0o，90o），直線與平面所成角范圍[0o，90o]。

求二面角平面角是高中階段的一個(gè)難點(diǎn),求此角的關(guān)鍵在于找出哪個(gè)角為所求,而用向量方法剛好可以避免找哪個(gè)角為所求角這一個(gè)關(guān)鍵.例3 如圖所示,三棱錐A-BCD,AB大小.解: 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz, ∵AB=BC=2BD,設(shè)BD=1 則AB=BC=2,DC= ,0),D(0,0,0)

若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,設(shè)平面ABC的法向量為則

取平面ABC的法向量設(shè)平面ACD的法向量為則

取法向量 , cos<>= ，.四、用向量解解析幾何問題

例4 橢圓 的焦點(diǎn)為 F1、F2，點(diǎn) P為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是。（2000年高考題）解：由橢圓方程知焦點(diǎn)F1（則），F(xiàn)2（），設(shè)點(diǎn) P（x 0，y 0），∵ ∠F1PF2為鈍角，∴cos∠F1PF2 = 即 ∴(x 0 +)(x 0，)+ y 02 < 0 即 x 02 + y 02 < 5 ??①

又 P(x 0，y 0)在橢圓上，∴ 即y02 = 4x 02 代入① 得： x 02 + 4x 02 < 5 所以 x 02 <，所以

即點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取值范圍是。

如果用常規(guī)的方法，用兩點(diǎn)間距離公式才能將坐標(biāo)與邊長，用余弦定理將邊長與角聯(lián)系起來；但采取向量的方法可以大大減少繁瑣的計(jì)算，使得解答過程簡單明了。

當(dāng)然，用向量解決以上問題并不是唯一的方法，但它是解決以上問題的一種有力工具。向量在高中數(shù)學(xué)中的優(yōu)越性并不止這些，在此不一一列舉了。掌握用向量方法解決問題，不僅可以達(dá)到問題解決的目的。還可以在解題過程中感受到成功的喜悅，何樂而不為呢？總之在解決問題的時(shí)候，要注意多角度考慮，應(yīng)因時(shí)、因地制宜。這樣做了，還會(huì)創(chuàng)新出更多更好的思路和方法。我們在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的分析能力和創(chuàng)新意識(shí)。

第二篇：法向量的求法及其空間幾何題的解答

XX一對一個(gè)性化輔導(dǎo)教案

教師

科目

數(shù)

學(xué)

時(shí)間

2013

年

X

月

X日

學(xué)生

年級(jí)

高二

學(xué)校

XX校區(qū)

授課內(nèi)容

空間法向量求法及其應(yīng)用

立體幾何知識(shí)點(diǎn)與例題講解

難度星級(jí)

★★★★

教學(xué)內(nèi)容

上堂課知識(shí)回顧（教師安排）：

1.平面向量的基本性質(zhì)及計(jì)算方法

2.空間向量的基本性質(zhì)及計(jì)算方法

本堂課教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握空間法向量的求法及其應(yīng)用

2.掌握用空間向量求線線角，線面角，面面角及點(diǎn)面距

3.熟練靈活運(yùn)用空間向量解決問題

得分：

平面法向量的求法及其應(yīng)用

一、平面的法向量

1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。

2、平面法向量的求法

方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。

二、平面法向量的應(yīng)用

1、求空間角

(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：

圖2-1-1:

圖2-1-2:

圖2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

圖2-1-2

C

α

圖2-3

β

β

α

圖2-2

(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：

（圖2-2）;

(圖2-3)

兩個(gè)平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。

2、求空間距離

圖2-4

n

a

b

A

B

（1）、異面直線之間距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量；

圖2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中

A

a

B

α

圖2-6

（2）、點(diǎn)到平面的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點(diǎn)B為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A

為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)P到

平面α的距離公式為

圖2-7

α

β

A

B

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：

圖2-8

α

a，其中。是平面、的法向量。

3、證明

圖2-9

α

a

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。

圖2-10

β

α

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）

圖2-11

α

β

（4）、證明面面平行：在圖2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。

圖3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真題新解

1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小

解:以A點(diǎn)為原點(diǎn),以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示.，設(shè)平面PAD的法向量為，設(shè)平面PCD的法向量為，即平面PAD平面PCD。，，設(shè)平在AMC的法向量為.又,設(shè)平面PCD的法向量為..面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題)

(本題滿分12分)

圖3-2

如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離。

解:以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.，設(shè)平面A1BC的法向量為

又，,即AD//平面A1BC.，設(shè)平面A1MC的法向量為:,又，設(shè)平面A1BD1的法向量為:，,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點(diǎn)A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點(diǎn)到平面A1MC的距離為:.四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）

（2）、通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）

（3）、把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）

立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題講解

一、知識(shí)點(diǎn)

<一>常用結(jié)論

1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式

：設(shè)a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.8．異面直線所成角：=

（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）

9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點(diǎn)A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

11.二面角的平面角

或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定理：設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.13.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A，B，則=.14.異面直線間的距離：

(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).15.點(diǎn)到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.16.三個(gè)向量和的平方公式：

17.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.18.面積射影定理

.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)

球與正四面體的組合體:

棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）

21.求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）

〈二〉溫馨提示：

1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？

①

異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②

直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．

二、題型與方法

【例題解析】

考點(diǎn)1

點(diǎn)到平面的距離

求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)．

A

B

C

D

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大?。?/p>

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維

能力和運(yùn)算能力．

解答過程：解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，令得為平面的一個(gè)法向量．

由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．

點(diǎn)到平面的距離．

小結(jié)：本例中（Ⅲ）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點(diǎn)2

異面直線的距離

此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解答過程：

如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是

AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點(diǎn)3

直線到平面的距離

此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3．

如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.B

A

C

D

O

G

H

思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過程：

解析一

∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求

點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面

平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二

∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則,即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4

異面直線所成的角

此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.異面直線所成的角是高考考查的重點(diǎn).例

4、如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)．

（I）求證：平面平面；

（II）求異面直線與所成角的大小．

思路啟迪：（II）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi).解答過程：解法1：（I）由題意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

異面直線與所成角的大小為．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，．

異面直線與所成角的大小為．

小結(jié)：

求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)5

直線和平面所成的角

此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容.例5.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。?/p>

考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．

解答過程：

D

B

C

A

S

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?，所以?/p>

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，，，D

B

C

A

S，所以．

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．，．，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，所以，直線與平面所成的角為．

小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計(jì)算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6

二面角

此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視.例6．如圖，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

A

B

C

Q

P

（II）求二面角的大小．

命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.A

B

C

Q

P

O

H

過程指引：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?/p>

而，所以，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

小結(jié)：本題是一個(gè)無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7

利用空間向量求空間距離和角

眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例7．如圖，已知是棱長為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：四點(diǎn)共面；

（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面；

（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．

命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．

過程指引：

解法二：

（1）

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，所以，故，共面．

又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．

（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．

因?yàn)椋?，又，所以，從而，?/p>

故平面．

（3）設(shè)向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，再用公式求夾角；點(diǎn)面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對值.考點(diǎn)9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算

棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.課后練習(xí)題

15.【2012高考四川文14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。

（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重慶文20】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）

已知直三棱柱中，，為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求異面直線和的距離；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分

如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點(diǎn)，已知∠＝，，求：（1）三棱錐的體積

（2）異面直線與所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

第三篇：高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)例談

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)例談

陜西省延安市子長縣職教中心 楊東紅

摘 要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)和探究知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生是否興趣盎然，是否印象深刻，是概念教學(xué)成功的關(guān)鍵。因此，如何設(shè)計(jì)概念教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生探究和學(xué)習(xí)，如何提升學(xué)生對概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)，是每一個(gè)教師迫切需要解決的問題。當(dāng)前，由于受應(yīng)試教育的影響，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教師們普遍有這樣的看法，就是與其在概念教學(xué)中花費(fèi)時(shí)間，不如教師多講一些題，學(xué)生多做一些題，在做題的過程中學(xué)生們自然就會(huì)理解和掌握好概念。在這種思想支配下的教學(xué)結(jié)果是：數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏必要的根基，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解不準(zhǔn)，大量的機(jī)械、盲目的做題起不到應(yīng)有的效果，常常事倍功半，反而使學(xué)生對數(shù)學(xué)逐漸失去興趣。那么，針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的這些問題，如何抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī)，進(jìn)行有效教學(xué)呢？

一、重視對概念有效的導(dǎo)入

在實(shí)際的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師只注重概念的嚴(yán)密性，導(dǎo)入方式過于學(xué)術(shù)化。教學(xué)過程一般是先引進(jìn)概念，再加幾點(diǎn)注意，然后進(jìn)行大量的解題練習(xí)，這樣的教學(xué)機(jī)械、死板、千篇一律，挫傷了學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的積極性。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不應(yīng)簡單給出定義，讓學(xué)生機(jī)械背誦定義，而應(yīng)注重對概念導(dǎo)入的研究，注重對適宜情景的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的熱情。

1、關(guān)注學(xué)生的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，建立概念

學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，是一個(gè)由易到難，逐步延伸和提高的過程，前面的知識(shí)是后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。正因如此，奧蘇伯爾曾經(jīng)說過：“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！蓖瑫r(shí)，學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)及熟悉的生活情景，都是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要切入點(diǎn)。例如，函數(shù)的概念，初中是用變量之間的對應(yīng)來描述的，高中函數(shù)的概念是在初中的基礎(chǔ) 上進(jìn)行了拓展和提高，是用集合與對應(yīng)的語言來描述的，是初中函數(shù)概念的進(jìn)一步深化。再如，在周期函數(shù)的教學(xué)中，可從自然界中日出日落、寒來暑往等周而復(fù)始的現(xiàn)象和天文地理、化學(xué)物理以及人類社會(huì)中的一些周期現(xiàn)象引入，使抽象的概念變得淺顯易懂。

2、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引入概念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式?！苯處焺?chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，觀察比較，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的直觀性，更易于理解數(shù)學(xué)概念。例如，在講指數(shù)函數(shù)定義前，讓學(xué)生做這樣的實(shí)驗(yàn)：拿一張紙來對折，觀察折紙的次數(shù)與紙疊的層數(shù)之間的關(guān)系，得出折一次為2層，折兩次為4層……以此類推可得出折紙的次數(shù)x與所得紙的層數(shù)y=2x的關(guān)系。

3、利用實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)概念

波利亞說過，對數(shù)學(xué)特征的直觀表征，往往能根植進(jìn)學(xué)生的心靈。事實(shí)上，數(shù)學(xué)來源于生活，生活中的道理和數(shù)學(xué)中的道理是相通的。因此，如果利用生活中的實(shí)際問題，把數(shù)學(xué)概念的空間形式直觀化，無疑會(huì)提高學(xué)生理解概念，應(yīng)用概念的能力。例如：可用地面上直立的旗桿引入直線與平面垂直的定義；用“蘿卜的集合”和“坑的集合”來講映射的概念；用“照鏡子”引入對稱；用“芭蕾舞”導(dǎo)入旋轉(zhuǎn)體等。

二、重視對概念本質(zhì)的理解

概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，貴在掌握概念的本質(zhì)屬性。如果對概念的理解不深刻，就會(huì)在平時(shí)的做題中出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率低下，成績徘徊不前。因此，教師要利用多種方式，多種途徑幫助學(xué)生深刻理解概念，讓學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概念的重要性。

1、抓住關(guān)鍵字詞，全面理解概念。

數(shù)學(xué)概念歷經(jīng)前人不斷地總結(jié)、概括和完善，表達(dá)已十分精煉。因此，在講解概念時(shí)，要字斟句酌，特別是對其中的關(guān)鍵詞語，要仔細(xì)推敲，深刻領(lǐng)會(huì)其中的深意，只有這樣才能全面理解概念，避免產(chǎn)生不必要的誤差。例如異面直線的定義是這樣的：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，這里要引導(dǎo)學(xué)生理解“不同在任何一個(gè)平面”表達(dá)的意義；再如函數(shù)的概念中：對于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中有唯一確定的元素與之對應(yīng)。這里要重點(diǎn)講清楚“任意”與“唯一”包含的意義。

2、利用對比和反例，有效理解概念

數(shù)學(xué)中許多概念具有一定的抽象性和相似性，使得學(xué)生對這些概念的理解容易產(chǎn)生混淆。例如頻率與概率、映射與函數(shù)、對數(shù)與指數(shù)、子集與真子集、相互獨(dú)立事件與互斥事件等。教師要引導(dǎo)學(xué)生討論辨析這些概念的異同，推敲它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，深刻理解這些概念。另一方面，許多概念學(xué)生從正面理解比較困難，容易產(chǎn)生一些不正確的認(rèn)識(shí)，而反例是推翻錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的有效手段，有時(shí)能起到意想不到的效果。例如：“異面直線”的概念，學(xué)生往往理解為“在不同平面內(nèi)的兩條直線”。這時(shí)可用書本作為反例：翻開的書本，書脊兩側(cè)頁面的底邊，可以近似地看做分別位于兩個(gè)頁面上的線段，符合“在不同平面內(nèi)”，但它們所在直線卻是相交于一點(diǎn)的，顯然不是異面直線。

三、重視概念的形成過程

概念的形成是概念教學(xué)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)，有時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。在具體教學(xué)中，教師可以根據(jù)教材和學(xué)生實(shí)際，精心設(shè)計(jì)問題串，為學(xué)生搭建腳手架，給學(xué)生預(yù)留一定的時(shí)間自主探究、合作交流、討論反饋，學(xué)生在問題的解決過程中，建構(gòu)概念。例如“向量”概念的教學(xué)，可設(shè)計(jì)如下問題：（1）舉一些物理中既有大小又有方向的物理量；（2）請?jiān)倥e一些生活中既有大小又有方向的量；（3）數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量有何區(qū)別；（4）你愿意怎樣表示一個(gè)向量；（5）有向線段與向量有何異同。這樣讓學(xué)生依據(jù)問題逐步探究，既能體現(xiàn)學(xué)生的主體性，又讓學(xué)生參與概念產(chǎn)生的過程。教學(xué)上確實(shí)花費(fèi)了較多時(shí)間，但學(xué)生對這一概念卻達(dá)到了真正掌握。

總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心。廣大教師一定要走出輕視概念教學(xué)的誤區(qū)，精心設(shè)計(jì)，大膽嘗試，和學(xué)生一起參與到概念的形成過程中，達(dá)到對概念本質(zhì)的理解。

第四篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 新課標(biāo)例談情境教育

例 談 情 境 教 育

內(nèi)容提要：情境教育是素質(zhì)教育的一種教育模式，它服務(wù)于素質(zhì)教育，是實(shí)施素質(zhì)教育的一條有效途徑。創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，能使數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到意想不到的效果。本文從兩個(gè)定理的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，以及達(dá)到的教學(xué)效果出發(fā)，論述情境教育在素質(zhì)教育中的重要意義。

關(guān)鍵詞：情境教育；情境教學(xué)；素質(zhì)教育 一 情境教育

情境教育是由情境教學(xué)發(fā)展而來的。近半個(gè)世紀(jì)來，中國的教育受凱烙夫教育思想的影響極深，注重認(rèn)知，忽略情感，學(xué)校成為單一傳授知識(shí)的場所。這就導(dǎo)致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質(zhì)的全面提高，尤其是影響了情感意志及創(chuàng)造性的培養(yǎng)和發(fā)展。情境教學(xué)則針對我國傳統(tǒng)的注入式教學(xué)造成的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的弊端而提出的，這些弊端是：呆板、繁瑣、片面、低效，以及壓抑學(xué)生興趣、特長、態(tài)度、志向等素質(zhì)發(fā)展。情境教學(xué)開辟了一條促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展，人格素質(zhì)全面發(fā)展的有效途徑。

情境教育反映在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要求教師注重?cái)?shù)學(xué)的文化價(jià)值，創(chuàng)設(shè)有利于當(dāng)今素質(zhì)教育的問題情境。在數(shù)學(xué)課中加入數(shù)學(xué)史的講授會(huì)使學(xué)生興趣盎然。任何一個(gè)靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來，就會(huì)對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導(dǎo)和證明，還指出它的思考路線，以及學(xué)者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過，課堂氣氛會(huì)立刻活躍起來。教師也可以適當(dāng)介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學(xué)生開闊了眼界，知道一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過程竟如此曲折，印象會(huì)非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學(xué)生的思維，使他們從多方面去思考問題。教師可以給予一定的物質(zhì)條件，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流。二 兩個(gè)定理的教學(xué)

在初二幾何的勾股定理的教學(xué)中，如果教師講授新課時(shí)，照本宣科地將知識(shí)程式化地交給學(xué)生，學(xué)生即使知其然，卻不知其所以然。失去了對知識(shí)、技能、方法的領(lǐng)悟過程。不如先給學(xué)生講“勾股定理”的歷史及其一些著名的證明方法，把學(xué)生帶入勾股定理的教學(xué)情境。

教師可介紹：《九章算術(shù)》記載：今有勾三尺，股四尺，問為弦?guī)缀?。答曰：五尺[1]。我國古代稱直角三角形的短直角邊為勾，長直角邊為股，斜邊為弦[2]。又如《周髀算經(jīng)》稱：“勾廣三，股修四，徑隅五?！闭n本表述為：勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理，國外稱為：畢達(dá)哥拉斯定理。勾股定理作為幾何學(xué)中一條重要的定理，古往今來，有無數(shù)人探索它的證明方法。同學(xué)們能否猜出有幾種證法？怎么證？

這個(gè)問題一提出，就讓學(xué)生倍感新鮮、有趣。當(dāng)教師告訴學(xué)生它的證明方法有500來種，更讓他們吃驚。接著教師可以向?qū)W生介紹歷史上幾種著名的證法。如果學(xué)校教學(xué)條件允許的話，教師可發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，利用現(xiàn)代教育媒體，配合教學(xué)課件，為學(xué)

用心

愛心

專心

生展現(xiàn)證明的過程，使學(xué)生印象更深刻。

（課件演示）

（一）劉徽以割補(bǔ)術(shù)論證這一定理（圖1）

（二）趙君卿注里記載的證法（圖2）

2ab+(b-a)=c化簡為 a+b=c

（三）利用相似三角形的性質(zhì)的證法（圖3）

直角三角形ABC，AD為斜邊BC上的高。利用相似三角形的性質(zhì)可得： AB∶BC=BD∶AB 即 AB2=BD×BC AC∶BC=DC∶AC AC2=DC×BC 兩式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC2

22B

朱出

a 朱方

青入 C

b

A 青入

朱入

青出

青出

c

a b

（圖1）（圖2）（圖3）

（四）如圖一：兩個(gè)正方形邊長分別是a，b。它們的面積和為 a2+b2

如圖二：在圖一的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了以a，b為直角邊的直角三角形，斜邊為c。

在圖二的基礎(chǔ)上把兩個(gè)直角三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)成了如圖三的正方形，且它的邊長為c，即面積為c2。

定理得證。

a b

b

a

用心

愛心

專心

a

a

c

b

c

b

（圖一）（圖二）（圖三）

教師在演示課件時(shí)，可介紹這幾種證明方法，讓學(xué)生清楚運(yùn)用割補(bǔ)法、等比法、代數(shù)法等可證明定理。學(xué)生們觀看了教師所演示的勾股定理的幾種證法之后，有了一種豁然開朗的感覺，并為之驚嘆！產(chǎn)生“竟有此事”之感。如此簡明、巧妙的證法，且都是非常形象、簡單。這時(shí)，教師可抓住這時(shí)學(xué)生產(chǎn)生驚詫，思維正處于積極活動(dòng)狀態(tài)的教學(xué)情境，讓學(xué)生用課前準(zhǔn)備的材料，自己動(dòng)手試一試。

要求：用8個(gè)全等的直角三角形，它們的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c；3個(gè)邊長分別為a，b，c的正方形，用拼圖的方法來證明勾股定理。

b c

a a

b c

（結(jié)果）

（圖4）

教師演示的各種前人證明勾股定理的方法，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，他們迫不及待地想自己動(dòng)手嘗試，希望自己也能證明定理。由于有了許多前人的證法作鋪墊，學(xué)生有條件、有能力去思索和探究。學(xué)生們在教師的指導(dǎo)下，很快就能把定理證出來（如圖4）。教師也就能在一個(gè)輕松的環(huán)境中完成“勾股定理”的教學(xué)。

因此，教師所創(chuàng)設(shè)的這個(gè)勾股定理的教學(xué)情境，由于引入了勾股定理的歷史背景，及簡明、巧妙的證法，為學(xué)生學(xué)習(xí)定理提供了環(huán)境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，培養(yǎng)了學(xué)生的求知欲望。教學(xué)過程中教師還要求學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，使學(xué)生深入其境，真正作為一個(gè)主體去從事研究。調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性[3]。提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和動(dòng)手能力，學(xué)生在實(shí)踐過程中，免不了與其他同學(xué)合作、交流，同時(shí)也就培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神，在這過程還能使學(xué)生嘗試失敗和挫折，體驗(yàn)成功的喜悅！所有這些，都對后續(xù)學(xué)習(xí)起了一定的激勵(lì)作用。所以，實(shí)施素質(zhì)教育，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境至關(guān)重要。

在素質(zhì)教育中，我們提倡提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。所謂教學(xué)效率是學(xué)習(xí)收獲與師生的教學(xué)活動(dòng)量在時(shí)間尺度上的度量。教師只有注重提高課堂教學(xué)效率，才能在保證教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，努力減輕數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生獲得較好的自由度，發(fā)揮較大的積極性和主動(dòng)性。下面以“三角形中位線定理”一節(jié)為例[4]，談?wù)勄榫辰虒W(xué)對提高課堂教學(xué)效率的積極作用。

在“三角形中位線定理”這一節(jié)中，教科書中利用“平行線等分線段定理推論2”

用心

愛心

專心

得到了“三角形中位線定理”。它是運(yùn)用同一法思想來推理的。初中學(xué)生還不容易接受，但決不能因此而簡單地把定理告訴學(xué)生，然后就開始練習(xí)。我們可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)誘導(dǎo)引入新知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓他們在迫切要求之下學(xué)習(xí)。

在復(fù)習(xí)近平行線等分線段定理的推論2后，結(jié)合圖形（圖5）分清定理的條件是AD=BD，DE∥BC。結(jié)論是AE=CE。

問學(xué)生：“如果已知AD=BD，AE=CE是否有 DE∥BC的結(jié)論呢？”學(xué)生中有的回答“有”，有的回答“不一定”。這時(shí)可請學(xué)生互相討論一下。如果有DE∥BC的結(jié)論，那么能否證明。如果說不一定，能否說出理由。學(xué)生的注意力很快地被吸引過來，迫切地想知道問題的答案。

提出問題后，學(xué)生可能證明結(jié)論有些困難，這時(shí)可稍作引導(dǎo)，提醒學(xué)生：“我們現(xiàn)有幾種判定平行的方法？”學(xué)生容易聯(lián)想到同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等方法，可提醒學(xué)生還有：平行四邊形來判定對邊平行。并注意條件是AD=BD，AE=CE。這時(shí)同學(xué)們經(jīng)思考有些已找到思路。通常能找到兩種證明方法。

一種是如圖6，延長DE至F使EF=DE。由ΔADE≌ΔCFE得AD∥CF且AD=CF。從而證得四邊形DBCF是平行四邊形，所以DE∥BC。

另一種是過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于F。證法與上相似。然后再提示同學(xué)們，在證明過程中可得出DF=BC，再把結(jié)論總結(jié)為DE∥BC且DE?12BC。

（圖5）

（圖6）

教師可用多媒體設(shè)備，演示課件，把兩個(gè)證明過程演示出來，這樣更吸引了學(xué)生的注意，最后介紹教科書上的推理過程。在這樣的教學(xué)過程中，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，又使學(xué)生對三角形中位線定理有了深刻的理解。同時(shí)活躍了學(xué)生的思維，收到較好的課堂教學(xué)效果。

但教師應(yīng)不極限于常規(guī)的證法，應(yīng)積極創(chuàng)造條件，要學(xué)生去思索、去研究、去創(chuàng)造。比如三角形中位線定理，可嘗試用向量的方法來證明。

如圖7，在ΔOAB中，C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，設(shè)有向線段

OC?a，OD?c

∴CD?OD?OC?c?a

同理：AB?OB?OA?2c?2a?2(c?a)∴CD?12AB 即CD平行且等于AB的一半。

用向量計(jì)算代替?zhèn)鹘y(tǒng)平面幾何中有些過于復(fù)雜的演繹

（圖7）推理，這不僅是一種解題方法的變革，更重要的是研究平面幾何的觀點(diǎn)的變革。這種

用心

愛心

專心

變革，已逐漸成為平面幾何教材的一種流派。用向量法計(jì)算，有時(shí)可避免用演繹法時(shí)所帶來的某些麻煩。

這里教師還可設(shè)置懸念，為下節(jié)課梯形中位線定理的教學(xué)埋下伏筆。讓學(xué)生親自動(dòng)手畫梯形，并測量其上、下底和中位線的長度，要求學(xué)生探索梯形的上、下底和中位線是否和三角形一樣具有一定的數(shù)量關(guān)系。這樣會(huì)激起學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。

由于學(xué)生親自做一做，測一測，猜一猜等實(shí)踐活動(dòng)，初步得出結(jié)論：梯形中位線好象平行于兩底并且約等于兩底和的一半。這時(shí)教師可通過多媒體關(guān)于角的重疊，線段的疊加等演示活動(dòng)，讓學(xué)生形象直觀的進(jìn)一步加深對自己的發(fā)現(xiàn)正確性的強(qiáng)烈印象。教師再給出證明定理的基本策略提示：

（一）證線段平行的途徑和方法：

1、兩條平行線互相平行→證線段平行

2、平行四邊形兩組對邊平行→證平行四邊形

3、三角形中位線平行底邊→證三角形中位線

（二）證明一線段等于兩線段和的途徑和方法有：

把線段分成兩段使其分別與要證的兩線段相等，或把兩線段合成一線段使其與另一線段相等，再利用三角形全等，或用三角形中位線定理證之。

證明基本策略給出后就給了學(xué)生充分自主的活動(dòng)空間，充分調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性，使其成為學(xué)習(xí)的主人。因此，學(xué)生得出許多不同的證明方法。

（方法一）（方法二）（方法三）

用心

愛心

專心 5

（方法四）（方法五）

這種讓學(xué)生實(shí)踐、體驗(yàn)的教學(xué)方式與傳統(tǒng)教學(xué)中單純的知識(shí)傳授和結(jié)果測查截然不同的，它更注重于學(xué)習(xí)的過程。

學(xué)習(xí)完了定理，如何讓學(xué)生更好地掌握定理呢？數(shù)學(xué)中的定理是一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)體系，要掌握一個(gè)定理，必須了解它在定理體系中的地位和作用，以及它們之間的關(guān)系。雜亂無章的定理，猶如散沙一盤，不便于保持和選取。在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按定理的內(nèi)在聯(lián)系將它們組織成一個(gè)邏輯圖，形成定理鏈，使之在定理的結(jié)構(gòu)體系中掌握定理。如“三角形中位線定理”與“梯形中位線定理”的聯(lián)系：（如圖8）當(dāng)梯形的上底等于零時(shí)，梯形變成三角形，這時(shí)，“梯形中位線定理”與“三角形中位線定理”等價(jià)，即“三角形中位線定理”是當(dāng)梯形上底等于零時(shí)的“梯形中位線定理”。教師可以用多媒體課件演示它們之間的關(guān)系，加深學(xué)生對它們的關(guān)系的理解。

（圖8）

在此過程中，教師還可進(jìn)一步拓展定理，提出：“當(dāng)梯形和三角形的中位線所在的直線向上、下平移時(shí)，會(huì)產(chǎn)生什么后果？各線段之間有何聯(lián)系？”這樣又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問題情境，使學(xué)生很自然地進(jìn)入到另一個(gè)問題情境中，教師也就順利地把學(xué)生的思維帶到了“平行線分線段成比例定理及其推論”的教學(xué)中來。這個(gè)教學(xué)過程是師生交流、共同發(fā)展的互動(dòng)過程，教師在教學(xué)過程中，不僅是傳播知識(shí)，更重要的是發(fā)揮育人的功能，培養(yǎng)學(xué)生掌握和利用知識(shí)的素質(zhì)和能力。發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學(xué)生的潛能，提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

三 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境應(yīng)注意的幾個(gè)問題

以上兩個(gè)例子的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)說明：情境教學(xué)能促進(jìn)教學(xué)過程變成一種不斷能引起學(xué)生極大興趣的，向知識(shí)領(lǐng)域不斷探索的活動(dòng)。它借助新異的教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，使學(xué)生固有的好奇心、求知欲得以滿足。但應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

1、教師在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)，一定要緊扣課題，不要故弄玄虛，離題太遠(yuǎn)，要有利于激發(fā)學(xué)生思維的積極性、要直接有利于當(dāng)時(shí)所研究的課題的解決，既要考慮教學(xué)內(nèi)容又要考慮學(xué)生的差異，注意向?qū)W生提示設(shè)問的角度和方法。使學(xué)生從教師的情境設(shè)計(jì)教學(xué)中學(xué)到提問題的本領(lǐng)。一個(gè)好問題應(yīng)該是解答中包含著明顯的數(shù)學(xué)概念與技巧；或問題有多種解法；或問題能夠推廣各種情形；或問題來自學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和日常生活中[5]。

用心

愛心

專心

2、要啟發(fā)引導(dǎo)，保持思維的持續(xù)性。首先要給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，必要時(shí)可作適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，教師的啟發(fā)要遵循學(xué)生思維的規(guī)律，因勢利導(dǎo)、步步釋疑，切不可不顧學(xué)生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)，超前引路，也不可強(qiáng)制學(xué)生按照教師提出的方法和途徑去思考問題，越俎代庖。

3、要不斷向?qū)W生提出新的數(shù)學(xué)問題，要提出帶有導(dǎo)向性、難度適宜、啟發(fā)性的問題。其實(shí)，問題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問題，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

4、鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，保護(hù)學(xué)生的獨(dú)特見解，即使對沒有多大價(jià)值的問題，也要盡量找出合理部分，給予及時(shí)的肯定和表揚(yáng)。四 結(jié)束語

教學(xué)實(shí)踐證明，精心創(chuàng)設(shè)各種教學(xué)情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)又使課堂教學(xué)豐富多彩，生動(dòng)活潑，另外，對教師也提出了更高要求，不僅自己要刻苦鉆研、精心設(shè)計(jì)，而且要經(jīng)常向別人學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)別人先進(jìn)的教學(xué)方法和設(shè)計(jì)思路，另外還要敢于示范，在學(xué)生面前展示自己的思維過程，在教學(xué)中應(yīng)打破“老師講，學(xué)生聽”的習(xí)慣，變“傳播”為“探究”，充分暴露知識(shí)形成的過程，促使學(xué)生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律，獲得成功，同時(shí)激發(fā)學(xué)生鉆研，從而為學(xué)生將來成為創(chuàng)造型人才奠定基礎(chǔ)。總之，情境教育是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑。

參考文獻(xiàn)

【1】白尚恕 《九章算術(shù)》注釋[M] 科學(xué)出版社 1983 【2】人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 幾何[M] 人民教育出版社 2001，3 【3】燕國材 素質(zhì)教育概論[M] 廣東教育出版社 2002，1 【4】陳 虹 教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化一例[J] 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2000年，第2期

【5】 施文娟 發(fā)揮問題情境教育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J] 寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版）2001年，第3期

用心

愛心

專心 7

第五篇：例談中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量構(gòu)造法 新課標(biāo) 人教版

例談中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量構(gòu)造法

http:// 河南湯陰一中 楊煥慶王國偉

向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，是聯(lián)系眾多知識(shí)的媒介。它廣泛應(yīng)用于函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何等知識(shí)。利用向量這個(gè)工具解題，可以簡潔、規(guī)范的處理數(shù)學(xué)中的許多問題。特別是處理立體幾何、解析幾何的有關(guān)度量、角度、平行、垂直、共線等問題；運(yùn)用向量知識(shí)，可以使幾何問題直觀化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

構(gòu)造向量除有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還特別要知道實(shí)現(xiàn)構(gòu)造的理論基礎(chǔ)：

（1）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.（2）|a·b|?|a|·|b|。一.證明不等式

????通過構(gòu)造向量，利用向量的重要不等式：或|a·b|?|a|·|a|?|b|?|a?b|，|b|，以達(dá)證明不等式之目的。

例1.設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，求證a2?b2?

c?d?(a?c)?(b?d)

??????

證明：構(gòu)造向量m?(a，b)，n?(c，d)，由|m|?|n|?|m?n|得

a2?b2?

c?d

?(a?c)?(b?d)

例2.若a?b?c?1，求證：a?b?c?

???

證明：構(gòu)造向量m?(a，b，c)，n?(b，c，a)，p?(c，a，b)

???

則m?n?p?(a?b?c，b?c?a，c?a?b)?(1，1，1)

??????

于是由|m|?|n|?|p|?|m?n?p|

222

有3a?b?c?3

得a?b?c?

222

將例1推廣到更一般的形式，即有

例3.若a1，a2，a3，?，an和b1，b2，?，bn都是正數(shù)，則a1?a2???an?

(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)

??

證明：構(gòu)造向量m?(a1，a2，?，an)，n?(b1，b2，?，bn)

????

于是，由|m|?|n|?|m?n|得

b1?b2???bn

222

?

222

a1?a2???an?

222

b1?b2???bn

222

?

(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)

222

從上述證明，發(fā)現(xiàn)條件a1，a2，?，an和b1，b2，?，bn是正數(shù)是多余的。

????

而且利用|m|?|n|?|m?n|還可以推出

a1?a2???an?

222

b1?b2???bn

222

?

(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)

222

例4.設(shè)任意實(shí)數(shù)x，y滿足|x|?1，|y|?1，求證：

11?x

?

11?y

?

21?xy

?

證明：構(gòu)造向量a?(，?)，b?(1?x，1?y)

?x1?y????

由向量數(shù)量積性質(zhì)(a?b)?|a|2|b|2得

4?(所以即

11?x1

??

11?y11?y1

22)(1?x?1?y)?

42?(x?y)21?xy

1?x1

?

42?2xy

?

21?xy

1?x

?

1?y

?

例5.設(shè)a，b為不等的正數(shù)，求證(a4?b4)(a2?b2)?(a3?b3)2

??

證明：構(gòu)造向量m?(a，b)，n?(a，b)，則

??

332

(a?b)?(m?n)2

??222

?|m||n|cos?

??22

?|m||n|

?(a4?b4)(a2?b2)

??

因?yàn)閍，b為不相等的正數(shù)，所以m??n，即??0，?

所以(a4?b4)(a2?b2)?(a3?b3)2 例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求證：(1?

?

1x)(1?

?

?

1y)?9。

1xy

證明：構(gòu)造向量a?(1,?

?

1x

?),b?(1,1y)，則a?b?1?，而

|a|?|b|?1?

1x

??

1y

?(1?

1x)(1?

1y)，222

由|a·b|?|a|·|b|，得|a·b|?|a|·|b|

所以(1?

1x)(1?

1y)?(1?

1xy)?(1?

2x?y)?9

例7.求證：(ac?bd)?(a?b)(c?d)

?

?

證明：設(shè)OA?(a,b),OB?(c,d)

?

?

（1）當(dāng)OA,OB至少有一個(gè)為零時(shí)，所證不等式0?0成立；

?

?

（2）當(dāng)OA,OB都不是零向量時(shí)，設(shè)其夾角是?，則有

?

?

cos??

OA?OB

?

?

?

ac?bda?b?

|OA|?|OB|

c?d

22，因?yàn)閨cos?|?1，即(ac?bd)?(a?b)(c?d)

點(diǎn)撥：只要實(shí)質(zhì)上，甚至形式上和向量沾點(diǎn)邊的，都是向量的親戚，用向量去思考，沒錯(cuò)！二.研究等量關(guān)系

例8.已知：

sin

x

a

?

cosb

x

?

1a?b

2nn?1

(a?0,b?0)。

?cosb

2nn?1

證明：對于任何正整數(shù)n都有

sina

xx

?

1(a?b)

n?1

分析：借助向量不等式|a·b|?|a|·|b|等號(hào)成立的條件，構(gòu)造向量，可化難為易。證明：構(gòu)造向量p?（sin

sin

a

cosb

xcos,x

x

b),q?(a,b)，則p?q?sin

x?cosx?1

|p|?|q|?

x

a

??

a?b?1，所以p?q?|p|?|q|，故p,q同向，則p??q

即

sin

x

a

??a,cosx

b

??b，所以

???

sin

x

a

?

cosb

x

??代入題設(shè)得：

?(sin

x?cos

2nn?12nn?1

x)?

2nn?12nn?1

1a?b

a?b，?cos

于是所以

sinasina

x

?

cosbcosb

x

?sinx(1

sinx

a

n?1)

n?1

x（cosb

x)

n?1

??

n?1

?

1(a?b)

n?1

x

?

x

?

(a?b)

例9.已知cos??cos??cos(???)?，求銳角?,?。

分析：本題如果直接進(jìn)行三角恒等變換，較難求出?,?的值。換一種思路，引入向量，問題迎刃而解。

解：由已知得(1?cos?)cos??sin?sin??

?

?

?cos?，構(gòu)造向量a?(1?cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，?

?

則a?b?(1?cos?)cos??sin?sin??

由|a·b|2?|a|2·|b|，得（32

??

?cos?，?|a|?|b|?

2?2cos?

?cos?)?2?2cos?，即(cos??

12)?0

?cos??

???

?，則sin（?

??)?1???

?

三.求值域或最值

例10.求函數(shù)y?x?3??9x2的最大值。

分析：本題是求無理函數(shù)的最值問題，按常規(guī)方法求解有一定的難度，若正確構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)|a·b|?|a|·|b|解答，將會(huì)使求解非常容易。解：原函數(shù)可變?yōu)閥??3?

13?3x?

?9x，設(shè)f(x)?

?3x??9x，因?yàn)?/p>

12222

(3x)?(10?9x)?10，所以構(gòu)造向量a?(,1),b?(3x,10?9x)由

|a·b|?|a|·|b|

得|

?3x??9x

|?

122

()?1?3

(3x)?(?9x)

222

?

103，從而y??3?

?

13，當(dāng)且僅當(dāng)

?9x3

?3x,x?

時(shí)，ymax?

例11.求函數(shù)y?x2?x?1?x2?x?1的值域。

分析：分析函數(shù)解析式的特征，結(jié)構(gòu)上接近兩個(gè)向量的差，于是構(gòu)造向量。

?

解：設(shè)a?(x?

?

?

12,32

?

?),b?(x?

?

12,32

????)，?y?|a|?|b|，?a,b不共線

?||a|?|b||?|a?b|?1，即?1?y?1

例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求2x?1?2y?1的最大值

2y?1)

證明：構(gòu)造向量

a?(1,1),b?(2x?1,根據(jù)(a?b)?|a|?|b|得：

(1?2x?1?1?2y?1)?(1?1)(2x?1?2y?1)即1?2x?1?1?2y?1?

8?22故2x?1?

2y?1最大值 為22.利用向量數(shù)量積的一個(gè)重要性質(zhì)|a·b|?|a|·|b|，變形為

|a·b|?|a|·|b|可以解決不等式中一類含有乘積之和或乘方之和的式子的題目，采用構(gòu)造向量去解往往能化難為易，同時(shí)提高了學(xué)生的觀察分析能力和想象能力

總之，構(gòu)造向量法，為我們研究數(shù)學(xué)問題提供了一種嶄新的思維視角，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯和聯(lián)系，是高層次思維的反映,常用構(gòu)造法解題 ,能起到發(fā)展思維,提高能力,挖掘潛力之功效.