四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

奧數(shù)精講1

學(xué)員編號(hào)：

年

級(jí)：四年級(jí)

課

時(shí)

數(shù)：

學(xué)員姓名：

輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)

學(xué)科教師：

授課目標(biāo)

C數(shù)的整除

C找規(guī)律

C

數(shù)字迷

授課難點(diǎn)

整除

教學(xué)重點(diǎn)：找規(guī)律

——數(shù)的整除

計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。

數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1

如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性質(zhì)2

如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性質(zhì)3

如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái)：

（1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2整除。

（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。

（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。

（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。

（5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。

（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。

例題1

在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；

能被8整除的數(shù)有3728，8064；

能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。

例題2

在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。

例題3

從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。

解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？

2．個(gè)位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？

3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？

——找規(guī)律

計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。

我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)見(jiàn)過(guò)“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問(wèn)題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開(kāi)的春季過(guò)后就是夏天，赤日炎炎的夏季過(guò)后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過(guò)后就是冬天，白雪皚皚的冬季過(guò)后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問(wèn)題。

例題1

節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問(wèn)：

（1）第100盞燈是什么顏色？

（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？

分析與解：這是一個(gè)周期變化問(wèn)題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。

（1）100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。

（2）150÷12=12……6，前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48＋1=49（盞）

例題2

有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于25。已知第1個(gè)數(shù)是3，第6個(gè)數(shù)是6，第11個(gè)數(shù)是7。問(wèn)：這串?dāng)?shù)中第24個(gè)數(shù)是幾？前77個(gè)數(shù)的和是多少？

分析與解：因?yàn)榈?，2，3，4個(gè)數(shù)的和等于第2，3，4，5個(gè)數(shù)的和，所以第1個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)相同。進(jìn)一步可推知，第1，5，9，13，…個(gè)數(shù)都相同。

同理，第2，6，10，14，…個(gè)數(shù)都相同，第3，7，11，15，…個(gè)數(shù)都相同，第4，8，12，16…個(gè)數(shù)都相同。

也就是說(shuō)，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個(gè)數(shù)等于第6個(gè)數(shù)，是6；第3個(gè)數(shù)等于第11個(gè)數(shù)，是7。前三個(gè)數(shù)依次是3，6，7，第四個(gè)數(shù)是

25-（3+6+7）=9。

這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個(gè)數(shù)是19個(gè)周期零1個(gè)數(shù)，其和為25×19+3=478。

例題3

下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。問(wèn)：這串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？

628088640448…

分析與解：這串?dāng)?shù)看起來(lái)沒(méi)有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說(shuō)將出現(xiàn)周期性變化。我們?cè)囍鴮⑦@串?dāng)?shù)再多寫(xiě)出幾位：

當(dāng)寫(xiě)出第21，22位（豎線(xiàn)右面的兩位）時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4……8知，第88個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)相同，所以第88個(gè)數(shù)是4。

【練習(xí)】

1．有一串很長(zhǎng)的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問(wèn)：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？

2．將1，2，3，4，…除以3的余數(shù)依次排列起來(lái)，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和。

3．有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？

4．有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與7的和的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？

——數(shù)字迷

計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。

例題1

把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：

分析與解：一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)，差是一個(gè)兩位數(shù)，也就是說(shuō)被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。

（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填9，被減數(shù)的千位應(yīng)填1，百位應(yīng)填0，且十位相減時(shí)必須向百位借1。

（2）填個(gè)位。由于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字是0，差的個(gè)位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是9。

（3）填十位。由于個(gè)位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實(shí)際數(shù)值是18，18分解成兩個(gè)一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個(gè)重要條件。

例題2

在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個(gè)算式：

分析與解：（1）這是一道四個(gè)數(shù)連加的算式，其特點(diǎn)是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個(gè)位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。

從個(gè)位相同數(shù)相加的情況來(lái)看，和的個(gè)位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學(xué)”＝2或7。

如果“學(xué)”＝2，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學(xué)”≠2。

如果“學(xué)”＝7，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個(gè)位進(jìn)位的2，和的個(gè)位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個(gè)7相加要向千位進(jìn)位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。

滿(mǎn)足條件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個(gè)位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡(jiǎn)化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡(jiǎn)化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習(xí)”=1。

滿(mǎn)足條件的算式如右下式。

例題3

在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見(jiàn)，我們用A，B，C，D，…表示□內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字（見(jiàn)右上式）。

由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個(gè)是5。若C＝5，則有

6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時(shí)被乘數(shù)為695，無(wú)論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時(shí)已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗(yàn)只有645×7滿(mǎn)足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗(yàn)知D=2。

右式為所求豎式。

此類(lèi)乘法豎式題應(yīng)根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進(jìn)位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時(shí)某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗(yàn)決定取舍。

1．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問(wèn)：“小”代表什么數(shù)字？

3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下列各式：