第一篇：四年級奧數(shù)講義之：歸一問題

四年級數(shù)學(xué)講義 奧數(shù)：歸一問題

一、教學(xué)銜接

二、教學(xué)內(nèi)容

（一）知識揭示

1、歸一法的來歷

我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

2、歸一法的分類

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時行150千米，照這樣，7小時行駛多少千米？ 另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時？

3、正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量。

（二）例題講解

例1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時爬行多少米？

分析： 為了求出蝸牛1小時爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時爬幾米？1小時=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個同類量（如時間與時間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。解：1小時=60分鐘 12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時爬行12米。

例2.一個糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時？ 分析： 通過3小時磨6000千克，可以求出1小時磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時，所以剩下的量除以1小時磨的數(shù)量，得到問題所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時）答：磨完剩下的面粉還要7小時。

例3.學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個足球和5個籃球共花了281元；買3個足球和7個籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個足球、4個籃球共花多少元？

分析： 要求5個足球和4個籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個足球和每個籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個），總價差355-281＝74（元）.74元正好是兩個籃球的價錢，從而可以求出一個籃球的價錢，一個足球的價錢也可以隨之求出，使問題得解。解：①一個籃球的價錢：（355-281）÷（7-5）=37元 ②一個足球的價錢：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）答：買5個足球，4個籃球共花308元。

例4.一個長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個進(jìn)水管和一個排水管.單開進(jìn)水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時把滿池水排空？

分析： 要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時間。解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時）③排空全池水所需的時間：480÷（80-60）=24（小時）列綜合算式： 480÷（480÷6-480÷8）=24（小時）答：兩管齊開需24小時把滿池水排空。

例5.7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析： 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？ 336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？ 560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？ 112÷8-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

三、教學(xué)練習(xí)

1、一批產(chǎn)品,28人25天可以生產(chǎn)完,生產(chǎn)5天后,此項(xiàng)任務(wù)要提前10天完成,應(yīng)增加_____人.2、某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.1、小明3小時走6千米路，照這樣計(jì)算他7小時走了多少千米？

4、5輛載重量相同的卡車6趟運(yùn)走糧食300噸，照這樣計(jì)算，7輛這樣的卡車8趟運(yùn)糧食多少噸？如果倉庫有糧食1200噸，要求5次運(yùn)完，則須增加多少輛車？

5、媽媽買水果，如果她買了3斤蘋果和5斤荔枝，那么需要41元，如果買了6斤蘋果和5斤荔枝那么需要47元。媽媽現(xiàn)在買5斤蘋果和3斤荔枝共需要多少錢？

6、甲乙兩個修路隊(duì)4天修路770米，現(xiàn)在兩個修路隊(duì)同時修路，在相同的天數(shù)里，甲隊(duì)修路840米，乙隊(duì)修路700米，求甲乙兩隊(duì)每天各修路多少米。

四、教學(xué)小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了什么？你都會了嗎？

五、教學(xué)拓展

1、某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時？

2、甲、乙兩個打字員4小時共打字3600個.現(xiàn)在二人同時工作，在相同時間內(nèi)，甲打字2450個，乙打字2050個.求甲、乙二人每小時各打字多少個？

六、課后練習(xí)

1、加工一批39600件的大衣,30個人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加_____人.2、54人12天修水渠1944米,如果人數(shù)增加18人,天數(shù)縮到原來的一半,可修水渠_____米.3、4輛大卡車5次運(yùn)煤80噸,3輛小卡車8次運(yùn)煤36噸.現(xiàn)在有煤77噸,用一輛大卡車和小卡車同時運(yùn)_____次運(yùn)完.4、個人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要_____天.5、一列火車5小時行375千米，照這樣計(jì)算，8小時行多少千米？

6、一個車間要加工48個零件，4小時加工了24個，照這樣計(jì)算，加工完剩下的零件還要多少小時？

7、一個修路隊(duì)6人12天修路1440米，照這樣計(jì)算，20人修4800米要多少天？

8、一個水池可以容水360噸，水池裝有一根進(jìn)水管和一根出水管，單開進(jìn)水管，6小時可把空池注滿，單開排水管，9小時可把滿池水排空，如果兩管一齊開，需多少小時把空池注滿？

9、學(xué)校買來一些足球和排球，如果3個足球和4個排球，共需花費(fèi)196元，如果買3個足球和7個排球，共需花費(fèi)271元，現(xiàn)在要買4個足球和5個排球，共需多少錢。

10、小明和小華4分鐘共打字720個，現(xiàn)在2人同時打字，在相同時間內(nèi)，小明打字490個，小華打字410個，問小明和小華每分鐘各打字多少個？

第二篇：陸老師奧數(shù)培訓(xùn)講義歸一問題

陸老師奧數(shù)培訓(xùn)講義

【四年級】歸一問題

報(bào)名電話；*** 例1． 加工一批39600件的大衣,30個人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加多少人.例2．

54人12天修水渠1944米,如果人數(shù)增加18人,天數(shù)縮到原來的一半,可修水渠多少米.例3.一批產(chǎn)品,28人25天可以收割完,生產(chǎn)5天后,此項(xiàng)任務(wù)要提前10天完成,應(yīng)增加多少_人.。

例4.，某工程隊(duì)施工時,欲將一個池塘的水排完,若用15臺抽水機(jī),并且每天抽水8小時,則7日可排水1260噸;若每天抽水12小時,要求14天排水7560噸,則應(yīng)需幾臺抽水機(jī)?

例5.光華機(jī)械廠一個車間,原計(jì)劃15人3天做900個零件,生產(chǎn)開始后,又增加一批任務(wù),在工作效率相同下,要10個人8天完成,問增加了幾個零件? 練習(xí)題 1 某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃多少_天.某生產(chǎn)小組12個人,9天完成,零件1620個.現(xiàn)在有一批任務(wù),零件數(shù)為2520個,問14個人要多少天完成.3.一項(xiàng)工程預(yù)計(jì)15人每天做4小時,18天可以完成,后來增加3人,并且工作時間增加1小時,這項(xiàng)工程多少天完成.4某機(jī)床廠第一車間的職工,用18臺車床,2小時生產(chǎn)機(jī)器零件720件,20臺這樣的車床3小時可生產(chǎn)機(jī)器零件多少件.5.4輛大卡車5次運(yùn)煤80噸,3輛小卡車8次運(yùn)煤36噸.現(xiàn)在有煤77噸,用一輛大卡車和小卡車同時運(yùn)多少次運(yùn)完.6.某車間接到任務(wù),要在15天制造12000個零件.后來任務(wù)增加28%日產(chǎn)量也提高.這樣多少天完成.7，.8個人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要多少天.8，光明小學(xué)有50個學(xué)生幫學(xué)校搬磚,要搬2000塊,4次搬了一半,照這樣算,再增加50個學(xué)生,還要幾次運(yùn)完? ,9..一根木料,鋸成2段,要3分鐘,如果鋸成6段要多少分鐘?

10.一列火車3小時行240千米,照這樣算,7小時行多少千米.11.糧站加工切面,5天加工440千克,照這樣算,30天可加工切面多少千克.加工4840千克切面要多少天.12.兩輛汽車一個月用油1200千克,5輛汽車8個月用汽油_____千克.現(xiàn)有36000千克汽油,夠__多少輛汽車用3個月.(一個月算30天).8個人10天修公路840米,照這樣算,20人要修4200米,要用多少天.5.筑路隊(duì),修一段路,6個人45天完成,如果增加9人,_____天完成.6.學(xué)校平整操場,35人3小時平整1260平方米,照這樣算,40人平整2880平方米,要_____小時.7.某工程隊(duì),16個工人9天能挖水溝1872米,27個工人14天能挖_____米.8.紅光大隊(duì)用拖拉機(jī)耕地,2臺3小時耕75公畝,照這樣算,4臺5小時耕_____公畝.9.磚廠用3臺制磚機(jī)4小時生產(chǎn)紅磚坯4.8萬塊,照這樣算,8臺制磚機(jī)8小時可制_____紅磚坯.10.3臺磨面機(jī)8小時可磨面粉33.6噸,現(xiàn)在磨面機(jī)增加到12臺,要磨面粉168噸,要_____小時.解答題: 11.李莊大隊(duì)修水渠1800米,計(jì)劃用75人12天修完,如果增加15人,幾天修完?

12.某水泥廠計(jì)劃24天生產(chǎn)1080噸水泥,由于技術(shù)改進(jìn),平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)15噸,可比計(jì)劃提前幾天完成?

13.某小水泥廠計(jì)劃24天完成一批任務(wù),每天應(yīng)生產(chǎn)45噸水泥.改進(jìn)技術(shù)后,每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)15噸,這樣提前幾天完成?

14.機(jī)器廠原來制造50臺機(jī)器要用鋼材75噸,技術(shù)革新后,每臺機(jī)器用的鋼材節(jié)省了半噸.原來制造50臺用的鋼材,現(xiàn)在可造多少臺.

第三篇：奧數(shù) 歸一問題教案

第五講 歸一問題教案

教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生初步了解歸一化問題，并掌握解決正歸一問題，反規(guī)一問題的方法。2.通過老師講解，使學(xué)生掌握分析歸一問題的方法。3.熟悉并掌握歸一應(yīng)用題的解題步驟。

教學(xué)重點(diǎn)：會分析歸一應(yīng)用題，使之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決。教學(xué)難點(diǎn)：反歸一問題的計(jì)算。教學(xué)過程：

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時行150千米，照這樣，7小時行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時？ 正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量； 不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量。

學(xué)習(xí)例1 ： 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時爬行多少米？

集體討論：一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，那么蝸牛一分鐘爬行多遠(yuǎn)？

分析與解答：

為了求出蝸牛1小時爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時爬幾米？1小時=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時爬行12米。

小結(jié)

還可以這樣想：先求出題目中的兩個同類量（如時間與時間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。

解：1小時=60分鐘

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時爬行12米。

學(xué)習(xí)例2：

一個糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時？

集體討論：加工廠一小時磨多少千克面粉？ 分析與解答： 方法1：

通過3小時磨6000千克，可以求出1小時磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時，所以剩下的量除以1小時磨的數(shù)量，得到問題所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時）

答：磨完剩下的面粉還要7小時。

方法2：用比例關(guān)系解。

解：設(shè)磨剩下的面粉還要 x 小時。

6000x＝3×14000 x=7（小時）

答：磨完剩下的面粉還要7小時。學(xué)習(xí)例3：

學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個足球和5個籃球共花了281元；買3個足球和7個籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個足球、4個籃球共花多少元？

分析與解答

要求5個足球和4個籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個足球和每個籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個），總價差355-281＝74（元）.74元正好是兩個籃球的價錢，從而可以求出一個籃球的價錢，一個足球的價錢也可以隨之求出，使問題得解。

解：①一個籃球的價錢：（355-281）÷（7-5）=37元

②一個足球的價錢：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：買5個足球，4個籃球共花308元。

學(xué)習(xí)例4：

一個長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個進(jìn)水管和一個排水管.單開進(jìn)水管8小時可以把空池注滿； 單開排水管6小時可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時把滿池水排空？

分析與解答

要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時間。

解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時）

③排空全池水所需的時間：480÷（80-60）=24（小時）

列綜合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小時）

答：兩管齊開需24小時把滿池水排空。

學(xué)習(xí)例5： 7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

分析與解答： 方法1：

要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）

② 560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）

列綜合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。方法2：

在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時，可以列出兩種不同情況的算式： 336÷6÷7 ①，336÷7÷6.② 算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。

學(xué)習(xí)例6：

某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時？

分析與解答：

我們把1個工人工作1小時，作為1個工時.根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時”呢？求出“工時”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時”總數(shù)，再求出要加班的工時數(shù)，問題就解決了。

解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時”：

8×18×7.5=1080（工時）

②增加6人后每天工作幾小時？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時）

③每天加班工作幾小時？ 11.25-8=3.25（小時）

答：每天要加班工作3.25小時。

練習(xí)：

1.花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請算出桃樹有幾棵？

2.5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？ 作業(yè)：

3.4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？

4.5臺拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺？

第四篇：奧數(shù)之火柴棍問題(一)

奧數(shù)專題之火柴棍問題(一)

主講：殷老師 2011-2-9

火柴除了可作火種外，人們常用它來擺圖形、算式，做出許多有趣的游戲。它不受場地和時間的限制，只要有幾根火柴(或幾根長短一樣的細(xì)小木棍)就可以進(jìn)行?；鸩裼螒蛟⒅R、技巧于游戲之中，啟迪你的智慧，開闊你的思路，豐富你的課余生活。

火柴問題大體分為兩種：一種是擺圖形和變換圖形；一種是變換算式。

這一講我們先介紹變換圖形的游戲。1.擺圖形游戲

游戲1用8根火柴棍可以擺成一個正方形?，F(xiàn)添兩根，即用10根火柴能擺出與這個正方形同樣大小的圖形嗎？

分析與解：8根火柴擺一個正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個圖形都符合題意。

游戲2用8根火柴棍擺出八個大小一樣的三角形和兩個一樣大小的正方形。

分析與解：4根火柴可擺出一個正方形，另4根火柴又可擺出一個同樣大小的正方形。把這兩個正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個相同的三角形。

2.移動火柴，變換圖形游戲

游戲3右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請移動2根火柴，使房子改變方向。

解：如左下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無關(guān)，應(yīng)移動虛線表示的2根火柴(見右下圖)。

游戲4在左下圖中移動4根火柴棍，使圖形成為只有三個正方形的圖形。

解：因?yàn)橹荒芤苿?根火柴，所以圖中較長的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動。把圖中最里面的4根火柴移補(bǔ)到右上圖的相關(guān)位置上即可。

游戲5在左下圖中移動4根火柴棍，使它變成3個三角形，并且這3個三角形的面積之和與原來的六邊形面積相同。

解：原圖中有6個三角形，變化后剩下3個三角形，這3個三角形與原來的6個三角形的面積相同，必然有一個三角形的面積要增大。如右上圖所示，移動虛線表示的4根火柴。圖中下面的大三角形面積等于小三角形面積的4倍。

3.去掉火柴，變換圖形游戲

游戲6在左下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。

解：拿掉的火柴應(yīng)能盡量多的“破壞”正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。

游戲7 在左下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個完全相同的圖形組合。

分析與解：左上圖的面積等于七個邊長為1根火柴棍的小正方形的面積之和。要達(dá)到規(guī)定要求，必須去掉一個小正方形。剩下的部分劃分成兩個面積等于三個小正方形面積的圖形。去掉右上圖中虛線所示的火柴棍即可。

課后練習(xí)

1.用9根火柴棍擺出一個圖形，使它含有五個等邊三角形。

2.用9根火柴棍擺出一個圖形，使它含有三個正方形和七個長方形(不含正方形)。

3.在左下圖中移動3根火柴棍，使“井”字形變成“品”字形圖形。

4.右上圖是用24根火柴棍擺出的兩個正方形。

(1)請你移動4根，把它變成三個正方形；

(2)再移動8根，把(1)中所得圖形變成九個完全相同的正方形；

(3)在(2)中所得圖形上拿走8根火柴，使它變成五個完全相同的正方形。

5.用13根火柴棍擺成含有6個、7個和8個等邊三角形的圖形。各給出一種擺法。

6.右圖中共有13個三角形，從中拿掉盡量少的火柴棍，使得圖中沒有三角形。

第五篇：四年級奧數(shù)——雞兔同籠問題

第6講 雞兔同籠問題與假設(shè)法

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。

【例題講解及思維拓展訓(xùn)練題】

例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

【思維拓展訓(xùn)練一】 1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？ 分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實(shí)際多300－140＝160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因?yàn)?60÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實(shí)際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

例2 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

【思維拓展訓(xùn)練二】

1、現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

2、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例3 樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24×500=120（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

【思維拓展訓(xùn)練三】

1、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

【課堂鞏固訓(xùn)練題】

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

7．振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4