1.3　直線的方程

第2課時　直線方程的兩點式、截距式

1.經(jīng)過A(3,2),B(4,3)兩點的直線方程是()

A.x+y+1=0

B.x+y-1=0

C.x-y+1=0

D.x-y-1=0

2.經(jīng)過點A(2,5),B(-3,6)的直線在x軸上的截距為()

A.2

B.-3

C.-27

D.27

3.(2020安徽無為中學(xué)高二月考)直線l過點(-1,-1)和(2,5),點(1

010,y)在直線l上,則y的值為()

A.2

019

B.2

020

C.2

021

D.2

022

4.(多選題)(2020山東寧陽一中高二期中)過點A(4,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()

A.y=-x+5

B.y=x+5

C.y=x4

D.y=-x4

5.過點(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是.6.過點(5,0),且在兩坐標軸上的截距之差為2的直線方程是.7.若直線y=x+2m與兩坐標軸圍成的三角形面積不小于8,則實數(shù)m的取值范圍為.8.已知直線l經(jīng)過點A(-2,1),B(3,-3),求直線l的方程,并求直線l在y軸上的截距.9.已知直線l過點P(4,1),(1)若直線l過點Q(-1,6),求直線l的方程;

(2)若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍,求直線l的方程.能力達標

10.過點A(3,-1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有()

A.2條

B.3條

C.4條

D.無數(shù)條

11.兩條直線l1:xa-yb=1和l2:xb-ya=1在同一直角坐標系中的圖象可以是()

12.過點P(1,3),且與x軸,y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是()

A.3x+y-6=0

B.x+3y-10=0

C.3x-y=0

D.x-3y+8=0

13.(2020北京大興高二期中)已知兩點A(3,0),B(0,4),動點P(x,y)在線段AB上運動,則xy()

A.無最小值,且無最大值

B.無最小值,但有最大值

C.有最小值,但無最大值

D.有最小值,且有最大值

14.(多選題)經(jīng)過點(2,1),且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的直線方程可以是()

A.x+y-3=0

B.x+y+3=0

C.x-y-1=0

D.x-y+1=0

15.過點P(1,3)的直線l分別與兩坐標軸交于A,B兩點,若P為AB的中點,則直線l的截距式方程是.16.過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距之和為0(不過原點)的直線方程為　　　　　　　,此直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為.17.過點M(2,1)作直線l,分別交x軸,y軸的正半軸于點A,B.(1)當(dāng)M為AB中點時,求直線l的方程;

(2)設(shè)O是坐標原點,當(dāng)△AOB的面積最小時,求直線l的方程.18.直線過點P43,2且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,是否存在這樣的直線同時滿足下列條件:

(1)△AOB的周長為12;

(2)△AOB的面積為6?

若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.1.經(jīng)過A(3,2),B(4,3)兩點的直線方程是()

A.x+y+1=0

B.x+y-1=0

C.x-y+1=0

D.x-y-1=0

答案D

解析由直線的兩點式方程得y-23-2=x-34-3,即x-y-1=0.2.經(jīng)過點A(2,5),B(-3,6)的直線在x軸上的截距為()

A.2

B.-3

C.-27

D.27

答案D

解析由兩點式得直線方程為x+32+3=y-65-6,即y=-x5+275,令y=0,得x=27,故選D.3.(2020安徽無為中學(xué)高二月考)直線l過點(-1,-1)和(2,5),點(1

010,y)在直線l上,則y的值為()

A.2

019

B.2

020

C.2

021

D.2

022

答案C

解析直線l的兩點式方程為y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),化簡得y=2x+1,將x=1

010代入y=2x+1,得y=2

021.4.(多選題)(2020山東寧陽一中高二期中)過點A(4,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()

A.y=-x+5

B.y=x+5

C.y=x4

D.y=-x4

答案AC

解析當(dāng)直線過坐標原點時,直線方程為y=x4;

當(dāng)直線不過坐標原點時,設(shè)直線方程為xa+ya=1,代入點A(4,1),可得a=5,即y=-x+5.故選AC.5.過點(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是.答案y=-3x+6

解析由題意知直線過點(2,0),又直線過點(1,3),由兩點式可得y-03-0=x-21-2,整理得y=-3x+6.6.過點(5,0),且在兩坐標軸上的截距之差為2的直線方程是.答案x5+y7=1或x5+y3=1

解析設(shè)直線的方程為xa+yb=1,∵點(5,0)在直線上,∴a=5.由|5-b|=2得b=7或b=3,∴所求直線的方程為x5+y7=1或x5+y3=1.7.若直線y=x+2m與兩坐標軸圍成的三角形面積不小于8,則實數(shù)m的取值范圍為.答案{m|m≥2或m≤-2}

解析由y=x+2m,得x-2m+y2m=1,由直線y=x+2m與兩坐標軸圍成的三角形面積不小于8,則12|2m|×|-2m|≥8,解得m≥2或m≤-2,故實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥2或m≤-2}.8.已知直線l經(jīng)過點A(-2,1),B(3,-3),求直線l的方程,并求直線l在y軸上的截距.解因為A,B兩點的橫坐標不相等,而且縱坐標也不相等,所以直線的兩點式方程為y-1-3-1=x-(-2)3-(-2),整理得y=-45x-35.因此直線l在y軸上的截距為-35.9.已知直線l過點P(4,1),(1)若直線l過點Q(-1,6),求直線l的方程;

(2)若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍,求直線l的方程.解(1)∵直線l過點P(4,1),Q(-1,6),∴直線l的方程為y-16-1=x-4-1-4,即y=-x+5.(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為0,所以設(shè)直線l的斜率為k,則其方程為y-1=k(x-4).令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-1k.∴1-4k=24-1k,解得k=14或k=-2.∴直線l的方程為y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x4或y=-2x+9.能力達標

10.過點A(3,-1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有()

A.2條

B.3條

C.4條

D.無數(shù)條

答案B

解析當(dāng)截距都為零時滿足題意要求,直線為y=-13x,當(dāng)截距不為零時,設(shè)直線方程為xa+yb=1,∴3a+-1b=1,|a|=|b|,∴a=2,b=2或a=4,b=-4,即直線方程為x2+y2=1或x4+y-4=1,∴滿足條件的直線共有3條.故選B.11.兩條直線l1:xa-yb=1和l2:xb-ya=1在同一直角坐標系中的圖象可以是()

答案A

解析直線l1,l2的方程化為截距式分別為xa+y-b=1,xb+y-a=1.假定l1,判斷a,b,確定l2的位置,知A項符合.12.過點P(1,3),且與x軸,y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是()

A.3x+y-6=0

B.x+3y-10=0

C.3x-y=0

D.x-3y+8=0

答案A

解析設(shè)所求的直線方程為xa+yb=1(a>0,b>0),由于過點P(1,3)且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6,因此有1a+3b=1,12ab=6,解得a=2,b=6,故所求直線的方程為y=-3x+6,故選A.13.(2020北京大興高二期中)已知兩點A(3,0),B(0,4),動點P(x,y)在線段AB上運動,則xy()

A.無最小值,且無最大值

B.無最小值,但有最大值

C.有最小值,但無最大值

D.有最小值,且有最大值

答案D

解析線段AB的方程為x3+y4=1(0≤x≤3),于是y=41-x3(0≤x≤3),從而xy=4x1-x3=-43x-322+3,顯然當(dāng)x=32時,xy取最大值為3;當(dāng)x=0或x=3時,xy取最小值為0.14.(多選題)經(jīng)過點(2,1),且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的直線方程可以是()

A.x+y-3=0

B.x+y+3=0

C.x-y-1=0

D.x-y+1=0

答案AC

解析由題意設(shè)直線方程為xa+ya=1或xa+y-a=1,把點(2,1)代入直線方程得2a+1a=1或2a+1-a=1,解得a=3或a=1,∴所求直線的方程為x3+y3=1或x1+y-1=1,即x+y=3或x-y=1.15.過點P(1,3)的直線l分別與兩坐標軸交于A,B兩點,若P為AB的中點,則直線l的截距式方程是.答案x2+y6=1

解析設(shè)A(m,0),B(0,n),由P(1,3)是AB的中點可得m=2,n=6,即A,B的坐標分別為(2,0),(0,6),則l的截距式方程是x2+y6=1.16.過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距之和為0(不過原點)的直線方程為　　　　　　　,此直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為.答案y=x+1　12

解析當(dāng)直線不過原點時,可知直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù),且不為0.可設(shè)直線方程為xa+y-a=1,因為直線過P(1,2),所以1a+2-a=1,即a=-1,直線方程為y=x+1.當(dāng)直線方程為y=x+1時,與x軸的交點坐標為(-1,0),與y軸的交點坐標為(0,1),所以三角形面積為12×1×1=12.17.過點M(2,1)作直線l,分別交x軸,y軸的正半軸于點A,B.(1)當(dāng)M為AB中點時,求直線l的方程;

(2)設(shè)O是坐標原點,當(dāng)△AOB的面積最小時,求直線l的方程.解(1)設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為xa+yb=1,∴M(2,1)為AB中點,∴a2=2,b2=1,∴a=4,b=2,則直線l的方程為x4+y2=1.(2)設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為xa+yb=1,又點M(2,1)在直線l上,∴2a+1b=1.∵1=2a+1b≥22ab,∴ab≥8,當(dāng)

且僅當(dāng)2a=1b,即a=4,b=2時,等號成立,∴S=12ab≥4,∴直線l的方程為x4+y2=1.18.直線過點P43,2且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,是否存在這樣的直線同時滿足下列條件:

(1)△AOB的周長為12;

(2)△AOB的面積為6?

若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.解設(shè)直線方程為xa+yb=1(a>0,b>0),若滿足條件(1),則a+b+a2+b2=12.①

又∵直線過點P43,2,∴43a+2b=1.②

由①②可得5a2-32a+48=0,解得a=4,b=3或a=125,b=92,∴所求直線的方程為x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若滿足條件(2),則ab=12,③

由題意得43a+2b=1,④

由③④整理得a2-6a+8=0,解得a=4,b=3,或a=2,b=6,∴所求直線的方程為x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.綜上所述,存在同時滿足(1)(2)兩個條件的直線方程,為3x+4y-12=0.