1.5　兩條直線的交點坐標

1.直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點坐標為()

A.(-4,-3)

B.(4,3)

C.(-4,3)

D.(3,4)

2.過2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點且與4x-3y-7=0平行的直線是()

A.3x+4y+17=0

B.4x-3y-6=0

C.3x+4y-17=0

D.4x-3y+18=0

3.過兩直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為()

A.3x-19y=0

B.19x-3y=0

C.19x+3y=0

D.3x+19y=0

4.兩條直線x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交點在第二象限,則m的取值范圍是()

A.(-∞,5)

B.(-5,0)

C.(0,5)

D.(-5,5)

5.直線l1:x+by=1與直線l2:x-y=a的交點坐標為(0,2),則a=　　　　,b=.6.(2020福建莆田一中高二月考)經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為.7.求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點.能力達標

8.過直線l1:3x+y-1=0與直線l2:x+2y-7=0的交點,并且與直線l1垂直的直線方程是()

A.x-3y+7=0

B.x-3y+13=0

C.x-3y+6=0

D.x-3y+5=0

9.已知直線l過直線2x+y-5=0和直線x+2y-4=0的交點,且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù),則直線l的方程為()

A.x-y-1=0

B.x+y-3=0或x-2y=0

C.x-y-1=0或x-2y=0

D.x+y-3=0或x-y-1=0

10.若點A(2,-3)是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點,則相異兩點(a1,b1)和(a2,b2)所確定的直線方程是()

A.2x-3y+1=0

B.3x-2y+1=0

C.2x-3y-1=0

D.3x-2y-1=0

11.(多選題)兩條直線l1:2x+3y-m=0與l2:x-my+12=0的交點在y軸上,那么m的值為()

A.-24

B.6

C.-6

D.0

12.(多選題)已知三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一點,則坐標(m,n)可能是()

A.(1,-3)

B.(3,-4)

C.(-3,1)

D.(-4,3)

13.經(jīng)過兩直線11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交點,且與A(3,-2),B(-1,6)等距離的直線的方程是.14.(2020銀川一中高二月考)已知直線l:x+y-2=0,一束光線從點P(0,1+3)以120°的傾斜角投射到直線l上,經(jīng)l反射,則反射光線所在的直線方程為.15.在△ABC中,BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0,角A的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為(1,2).(1)求點A的坐標;

(2)求直線BC的方程;

(3)求點C的坐標.16.在△ABC中,AD,BE,CF分別為邊BC,AC,AB上的高,求證:AD,BE,CF三線共點.1.直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點坐標為()

A.(-4,-3)

B.(4,3)

C.(-4,3)

D.(3,4)

答案C

解析由3x+2y+6=0,2x+5y-7=0,解得x=-4,y=3,即交點坐標是(-4,3).故選C.2.過2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點且與4x-3y-7=0平行的直線是()

A.3x+4y+17=0

B.4x-3y-6=0

C.3x+4y-17=0

D.4x-3y+18=0

答案B

解析由2x+y-8=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,∴直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點為(3,2).設(shè)與直線4x-3y-7=0平行的直線的方程為4x-3y+a=0,把點(3,2)代入4x-3y+a=0,得a=-6,∴所求直線方程為4x-3y-6=0.故選B.3.過兩直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為()

A.3x-19y=0

B.19x-3y=0

C.19x+3y=0

D.3x+19y=0

答案D

解析過兩直線交點的直線系方程為x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原點坐標,求得λ=-45,故所求直線方程為x-3y+4-45(2x+y+5)=0,即3x+19y=0,故選D.4.兩條直線x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交點在第二象限,則m的取值范圍是()

A.(-∞,5)

B.(-5,0)

C.(0,5)

D.(-5,5)

答案C

解析由x-my+4=0,2mx+5y-4m=0,解得x=4m2-202m2+5,y=12m2m2+5,即兩條直線的交點為4m2-202m2+5,12m2m2+5,由交點在第二象限,得4m2-202m2+5<0且12m2m2+5>0,解得m∈(0,5).5.直線l1:x+by=1與直線l2:x-y=a的交點坐標為(0,2),則a=　　　　,b=.答案-2　12

解析將點(0,2)代入直線x+by=1,解得b=12,將點(0,2)代入直線x-y=a,解得a=-2.6.(2020福建莆田一中高二月考)經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為.答案x+y+1=0或3x+4y=0

解析由題意可設(shè)所求直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=7λ-62+5λ;令y=0,得x=7λ-63+2λ.∵所求直線方程在兩坐標軸上的截距相等,∴7λ-63+2λ=7λ-62+5λ,即λ=13或λ=67,∴所求直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.7.求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點.證明將原方程整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式對于m的任意實數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均等于零,故有x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4.所以m為任意實數(shù)時,所給直線必通過定點(9,-4).能力達標

8.過直線l1:3x+y-1=0與直線l2:x+2y-7=0的交點,并且與直線l1垂直的直線方程是()

A.x-3y+7=0

B.x-3y+13=0

C.x-3y+6=0

D.x-3y+5=0

答案B

解析由3x+y-1=0,x+2y-7=0,解得x=-1,y=4,所以直線l1與l2的交點為(-1,4),又與直線l1垂直的直線的斜率為13,由點斜式,得所求直線方程為y-4=13(x+1),即x-3y+13=0,故選B.9.已知直線l過直線2x+y-5=0和直線x+2y-4=0的交點,且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù),則直線l的方程為()

A.x-y-1=0

B.x+y-3=0或x-2y=0

C.x-y-1=0或x-2y=0

D.x+y-3=0或x-y-1=0

答案C

解析由2x+y-5=0,x+2y-4=0,解得x=2,y=1.所以兩直線的交點坐標為(2,1),因為直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù),①當直線l與坐標軸的截距不為0時,可設(shè)直線l的方程為x-y=a,直線l過兩直線的交點,所以把(2,1)代入x-y=a,得a=1,則直線l的方程為x-y=1,即x-y-1=0;

②當直線l與兩坐標的截距等于0時,設(shè)直線l的方程為y=kx,直線l過兩直線的交點,所以把(2,1)代入y=kx,得k=12,所以直線l的方程為y=12x,即x-2y=0.綜合①②,直線l的方程為x-y-1=0或x-2y=0.故選C.10.若點A(2,-3)是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點,則相異兩點(a1,b1)和(a2,b2)所確定的直線方程是()

A.2x-3y+1=0

B.3x-2y+1=0

C.2x-3y-1=0

D.3x-2y-1=0

答案A

解析∵A(2,-3)是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點,∴2a1-3b1+1=0,且2a2-3b2+1=0,∴兩點(a1,b1)和(a2,b2)都在同一條直線2x-3y+1=0上,故點(a1,b1)和(a2,b2)所確定的直線方程是2x-3y+1=0,故選A.11.(多選題)兩條直線l1:2x+3y-m=0與l2:x-my+12=0的交點在y軸上,那么m的值為()

A.-24

B.6

C.-6

D.0

答案BC

解析因為兩條直線2x+3y-m=0和x-my+12=0的交點在y軸上,設(shè)交點為(0,b),所以3b-m=0,-mb+12=0,消去b,可得m=±6.故選BC.12.(多選題)已知三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一點,則坐標(m,n)可能是()

A.(1,-3)

B.(3,-4)

C.(-3,1)

D.(-4,3)

答案AB

解析由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2,由三條直線相交于一點,可知m×1+n×2+5=0,即m+2n+5=0,結(jié)合選項可知AB正確.13.經(jīng)過兩直線11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交點,且與A(3,-2),B(-1,6)等距離的直線的方程是.答案7x+y-9=0或2x+y+1=0

解析直線11x+3y-7=0和直線12x+y-19=0的交點坐標是(2,-5),線段AB的中點為(1,2),當所求直線過線段AB的中點時,所求方程是7x+y-9=0;直線AB的斜率是-2,當所求直線與直線AB平行時,所求直線的方程是2x+y+1=0.故所求直線方程是7x+y-9=0或2x+y+1=0.14.(2020銀川一中高二月考)已知直線l:x+y-2=0,一束光線從點P(0,1+3)以120°的傾斜角投射到直線l上,經(jīng)l反射,則反射光線所在的直線方程為.答案x+3y-(1+3)=0

解析如圖,設(shè)入射光線與l交于點Q,反射光線與x軸交于點P＇,由入射光線傾斜角為120°可得入射光線所在直線的斜率為-3,又入射光線過點P(0,1+3),∴入射光線所在的直線方程為y-(1+3)=-3x,即3x+y-(1+3)=0.解方程組3x+y-(1+3)=0,x+y-2=0,得x=1,y=1,所以點Q的坐標為(1,1).過點Q作垂直于l的直線l＇,顯然l＇的方程為y=x.由反射原理知,點P(0,1+3)關(guān)于l＇的對稱點P＇(1+3,0)必在反射光線所在的直線上.所以反射光線所在直線P＇Q的方程為y-01-0=x-(1+3)1-(1+3),即x+3y-(1+3)=0.15.在△ABC中,BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0,角A的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為(1,2).(1)求點A的坐標;

(2)求直線BC的方程;

(3)求點C的坐標.解(1)直線x-2y+1=0和直線y=0的交點是(-1,0),即點A的坐標為(-1,0).(2)∵直線x-2y+1=0為BC邊上的高,由垂直關(guān)系得kBC=-2,∴直線BC的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.(3)∵角A的平分線所在直線的方程為y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,設(shè)點C的坐標為(a,b),則ba+1=-1,b-2a-1=-2,解得a=5,b=-6,即點C的坐標為(5,-6).16.在△ABC中,AD,BE,CF分別為邊BC,AC,AB上的高,求證:AD,BE,CF三線共點.解建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),則直線CF的方程為x=0.由直線的截距式方程可得直線AC的方程為xa+yc=1,即cx+ay-ac=0.同理,可得直線BC的方程為cx+by-bc=0.由于AD為BC邊上的高,則直線AD的斜率為bc,由直線的點斜式方程可得直線AD的方程為y=bc(x-a).同理,得直線BE的方程為y=ac(x-b).設(shè)直線CF和直線AD交于點O,由y=bc(x-a),x=0得點O的坐標為0,-abc.又O點坐標也滿足直線BE的方程,所以直線BE也過點O.所以AD,BE,CF三線共點.