4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題

1.已知橢圓x236+y29=1以及橢圓內(nèi)一點P(4,2),則以P為中點的弦所在直線的斜率為()

A.-12

B.12

C.-2

D.2

2.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

3.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與直線y=3x無交點,則離心率e的取值范圍是()

A.(1,2)

B.(1,2]

C.(1,5)

D.(1,5]

4.已知橢圓x216+y24=1,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=()

A.1

B.2

C.3

D.2

5.已知過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為.6.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點,則此雙曲線離心率的取值范圍為.能力達標(biāo)

7.已知橢圓x216+y24=1,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=()

A.1

B.2

C.3

D.2

8.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52,過右焦點F的直線與兩條漸近線分別交于A,B兩點,且AB=BF,則直線AB的斜率為()

A.-13或13

B.-16或16

C.2

D.16

9.已知拋物線y2=4x,過其焦點F的直線l與拋物線分別交于A,B兩點(A在第一象限內(nèi)),AF=3FB,過AB的中點且垂直于l的直線與x軸交于點G,則△ABG的面積為()

A.839

B.1639

C.3239

D.6439

10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,過右焦點F2的直線l與橢圓交于A,B兩點,且滿足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,則該橢圓的離心率是()

A.12

B.33

C.32

D.53

11.(多選題)已知B1,B2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下頂點和上頂點,點P是橢圓上不同于短軸端點的任意一點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,則下列四個命題中正確的是()

A.直線PB1與PB2的斜率之積為定值-a2b2

B.PB1·PB2>0

C.△PB1B2的外接圓半徑的最大值為a2+b22a

D.直線PB1與QB2的交點M的軌跡為雙曲線

12.設(shè)雙曲線x29-y216=1的右頂點為A,右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則△ABF的面積為.13.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-2,2),B(2,2),直線AM,BM交于點M,且直線AM與直線BM的斜率滿足:kAM-kBM=-2.(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)設(shè)直線l交曲線C于P,Q兩點,若直線AP與直線AQ的斜率之積等于-2,證明:直線l過定點.14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,且經(jīng)過點32,-32.(1)求橢圓C的方程;

(2)過點P(0,2)的直線交橢圓C于A,B兩點,求△OAB(O為原點)面積的最大值.1.已知橢圓x236+y29=1以及橢圓內(nèi)一點P(4,2),則以P為中點的弦所在直線的斜率為()

A.-12

B.12

C.-2

D.2

答案A

2.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

答案B

解析拋物線的焦點為Fp2,0,所以過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px消去x,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y22=p=2(y1,y2分別為點A,B的縱坐標(biāo)),所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1.3.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與直線y=3x無交點,則離心率e的取值范圍是()

A.(1,2)

B.(1,2]

C.(1,5)

D.(1,5]

答案B

4.已知橢圓x216+y24=1,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=()

A.1

B.2

C.3

D.2

答案B

5.已知過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為.答案22

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,∴y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2.∵y1-y2x1-x2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-b2a2=-12.∴a2=2b2.又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴e=ca=22.6.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點,則此雙曲線離心率的取值范圍為.答案(1,5)

解析由過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點,可得ba<2.∴e=ca=a2+b2a2<1+4=5,∵e>1,∴1

7.已知橢圓x216+y24=1,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=()

A.1

B.2

C.3

D.2

答案B

解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23.∴橢圓的右焦點F(23,0).∴設(shè)過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線為my=x-23,其中m=1k.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立my=x-23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0.∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.∵AF=3FB,∴-y1=3y2,把以上三式聯(lián)立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2.又k>0,∴k=2.8.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52,過右焦點F的直線與兩條漸近線分別交于A,B兩點,且AB=BF,則直線AB的斜率為()

A.-13或13

B.-16或16

C.2

D.16

答案B

9.已知拋物線y2=4x,過其焦點F的直線l與拋物線分別交于A,B兩點(A在第一象限內(nèi)),AF=3FB,過AB的中點且垂直于l的直線與x軸交于點G,則△ABG的面積為()

A.839

B.1639

C.3239

D.6439

答案C

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為AF=3FB,所以y1=-3y2,設(shè)直線l的方程為x=my+1,由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4,∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433,∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中點坐標(biāo)為53,233,過AB中點且垂直于直線l的直線方程為y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239.10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,過右焦點F2的直線l與橢圓交于A,B兩點,且滿足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,則該橢圓的離心率是()

A.12

B.33

C.32

D.53

答案B

11.(多選題)已知B1,B2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下頂點和上頂點,點P是橢圓上不同于短軸端點的任意一點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,則下列四個命題中正確的是()

A.直線PB1與PB2的斜率之積為定值-a2b2

B.PB1·PB2>0

C.△PB1B2的外接圓半徑的最大值為a2+b22a

D.直線PB1與QB2的交點M的軌跡為雙曲線

答案BC

解析設(shè)P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,則kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正確;

∵點P在圓x2+y2=b2外,∴x02+y02-b2>0,∴PB1·PB2=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=x02+y02-b2>0,B正確;

當(dāng)點P在長軸的頂點上時,∠B1PB2最小且為銳角,設(shè)橢圓的右頂點為A,△PB1B2的外接圓半徑為r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a.∴r≤a2+b22a,∴△PB1B2的外接圓半徑的最大值為a2+b22a,C正確;

直線PB1的方程為y+b=y0+bx0x,直線QB2的方程為y-b=y0-b-x0x,兩式相乘可得y2-b2=y02-b2-x02x2,化為y2b2-x2a2=1,由于點P不與B1,B2重合,∴M的軌跡為雙曲線的一部分,∴D不正確.12.設(shè)雙曲線x29-y216=1的右頂點為A,右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則△ABF的面積為.答案3215

13.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-2,2),B(2,2),直線AM,BM交于點M,且直線AM與直線BM的斜率滿足:kAM-kBM=-2.(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)設(shè)直線l交曲線C于P,Q兩點,若直線AP與直線AQ的斜率之積等于-2,證明:直線l過定點.(1)解設(shè)M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),則kAM-kBM=y-2x+2-y-2x-2=8-4yx2-4=-2,可得x2=2y(x≠±2),則M的軌跡C的方程為x2=2y(x≠±2).(2)證明設(shè)Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2,又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2,即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直線l的斜率為kPQ=m22-n22m-n=m+n2,可得直線l的方程為y-m22=m+n2(x-m),化為y=m+n2x-mn2,可得y-6=m+n2(x-2),可得直線l恒過定點(2,6).14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,且經(jīng)過點32,-32.(1)求橢圓C的方程;

(2)過點P(0,2)的直線交橢圓C于A,B兩點,求△OAB(O為原點)面積的最大值.解(1)根據(jù)題意知:離心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因為c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2,又由橢圓C經(jīng)過點32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1,聯(lián)立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以橢圓C的方程為x23+y2=1.(2)由題意,易知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,聯(lián)立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0,因為直線AB與橢圓C相交于A,B兩點,所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)>0,得k2>1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2,所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2

=1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2.點O(0,0)到直線kx-y+2=0的距離d=21+k2,所以△OAB面積S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2.令k2-1=t,則k2=t2+1(t>0),所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32,當(dāng)且僅當(dāng)4t=3t,即t2=43時,等號成立,此時k2=73,△OAB的面積取得最大值32.