2.1　雙曲線及其標準方程

1.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點坐標為()

A.22,0

B.62,0

C.52,0

D.(3,0)

2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且雙曲線的焦距為25,則該雙曲線的方程為()

A.x24-y2=1

B.x23-y22=1

C.x2-y24=1

D.x22-y23=1

3.已知雙曲線x2λ-3+y22-λ=1,焦點在y軸上,若焦距為4,則λ等于()

A.32

B.5

C.7

D.12

4.已知雙曲線x24-y25=1上一點P到左焦點F1的距離為10,則PF1的中點N到坐標原點O的距離為()

A.3或7

B.6或14

C.3

D.7

5.如圖,已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點A,B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2,|AB|=m,F1為雙曲線的左焦點,則△ABF1的周長為()

A.2a+2m

B.4a+2m

C.a+m

D.2a+4m

6.與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓P的圓心在()

A.一個橢圓上

B.一個圓上

C.一條拋物線上

D.雙曲線的一支上

7.以橢圓x23+y24=1的焦點為頂點,以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線的標準方程是.8.已知點F1,F2分別是雙曲線x29-y216=1的左、右焦點,若點P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,則△F1PF2的面積為.9.已知與雙曲線x216-y29=1共焦點的雙曲線過點P-52,-6,求該雙曲線的標準方程.能力達標

10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

11.已知平面內兩定點A(-5,0),B(5,0),動點M滿足|MA|-|MB|=6,則點M的軌跡方程是()

A.x216-y29=1

B.x216-y29=1(x≥4)

C.x29-y216=1

D.x29-y216=1(x≥3)

12.動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡是()

A.雙曲線的一支

B.圓

C.橢圓

D.雙曲線

13.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF1F2的面積為()

A.1

B.12

C.2

D.4

14.已知左、右焦點分別為F1,F2的雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)過點15,-63,點P在雙曲線C上,若|PF1|=3,則|PF2|=()

A.3

B.6

C.9

D.12

15.若曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點在x軸上的雙曲線,則m的取值范圍為.16.焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點(42,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.17.已知雙曲線E:x216-y24=1的左、右焦點分別為F1,F2.(1)若點M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,求點M到x軸的距離;

(2)若雙曲線C與雙曲線E有相同的焦點,且過點(32,2),求雙曲線C的方程.18.已知△OFQ的面積為26,且OF·FQ=m,其中O為坐標原點.(1)設6

(2)設以O為中心,F為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示,|OF|=c,m=64-1c2,當|OQ|取得最小值時,求此雙曲線的標準方程.1.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點坐標為()

A.22,0

B.62,0

C.52,0

D.(3,0)

答案B

解析將雙曲線方程化為標準方程為x2-y212=1,∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=62,故右焦點坐標為62,0.2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且雙曲線的焦距為25,則該雙曲線的方程為()

A.x24-y2=1

B.x23-y22=1

C.x2-y24=1

D.x22-y23=1

答案C

解析由題意得|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,則該雙曲線的方程為x2-y24=1.3.已知雙曲線x2λ-3+y22-λ=1,焦點在y軸上,若焦距為4,則λ等于()

A.32

B.5

C.7

D.12

答案D

解析根據(jù)題意可知,雙曲線的標準方程為

y22-λ-x23-λ=1.由其焦距為4,得c=2,則有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知雙曲線x24-y25=1上一點P到左焦點F1的距離為10,則PF1的中點N到坐標原點O的距離為()

A.3或7

B.6或14

C.3

D.7

答案A

解析連接ON,ON是△PF1F2的中位線,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3.5.如圖,已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點A,B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2,|AB|=m,F1為雙曲線的左焦點,則△ABF1的周長為()

A.2a+2m

B.4a+2m

C.a+m

D.2a+4m

答案B

解析由雙曲線的定義,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓P的圓心在()

A.一個橢圓上

B.一個圓上

C.一條拋物線上

D.雙曲線的一支上

答案D

解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,畫出圓x2+y2=1與(x-4)2+y2=4的圖象如圖,設圓P的半徑為r,∵圓P與圓O和圓M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,則|PM|-|PO|=1<4,∴點P在以O,M為焦點的雙曲線的左支上.7.以橢圓x23+y24=1的焦點為頂點,以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線的標準方程是.答案y2-x23=1

解析由題意知,雙曲線的焦點在y軸上,設雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1,則a=1,c=2,所以b2=3,所以雙曲線的標準方程為y2-x23=1.8.已知點F1,F2分別是雙曲線x29-y216=1的左、右焦點,若點P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,則△F1PF2的面積為.答案16

解析因為P是雙曲線左支上的點,所以|PF2|-|PF1|=6,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos

∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.9.已知與雙曲線x216-y29=1共焦點的雙曲線過點P-52,-6,求該雙曲線的標準方程.解已知雙曲線x216-y29=1,則c2=16+9=25,∴c=5.設所求雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).依題意知b2=25-a2,故所求雙曲線方程可寫為x2a2-y225-a2=1.∵點P-52,-6在所求雙曲線上,∴代入有(-52)2a2-(-6)225-a2=1,化簡得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.當a2=1254時,b2=25-a2=25-1254=-254<0,不合題意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求雙曲線的標準方程為x2-y224=1.能力達標

10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析因為mn<0,所以m,n均不為0且異號,方程mx2+ny2=1,可化為x21m+y21n=1,因為1m與1n異號,所以方程x21m+y21n=1表示雙曲線,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示雙曲線”的充分條件;反之,若mx2+ny2=1表示雙曲線,則其方程可化為x21m+y21n=1,可知1m與1n異號,則必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示雙曲線”的必要條件.綜上可得,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的充要條件.11.已知平面內兩定點A(-5,0),B(5,0),動點M滿足|MA|-|MB|=6,則點M的軌跡方程是()

A.x216-y29=1

B.x216-y29=1(x≥4)

C.x29-y216=1

D.x29-y216=1(x≥3)

答案D

解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其軌跡為以A,B為焦點的雙曲線的右支.所以點M的軌跡方程為x29-y216=1(x≥3).12.動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡是()

A.雙曲線的一支

B.圓

C.橢圓

D.雙曲線

答案A

解析設動圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y2-8x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得

|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).13.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF1F2的面積為()

A.1

B.12

C.2

D.4

答案A

解析設點P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2,解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1,則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦點分別為F1,F2的雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)過點15,-63,點P在雙曲線C上,若|PF1|=3,則|PF2|=()

A.3

B.6

C.9

D.12

答案C

解析由左、右焦點分別為F1,F2的雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)過點15,-63,可得15a2-69=1,解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,點P在雙曲線C上,若|PF1|=3,可得P在雙曲線的左支上,則|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故選C.15.若曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點在x軸上的雙曲線,則m的取值范圍為.答案(2,+∞)

解析由曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點在x軸上的雙曲線,可得x21m-y21m-2=1,即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點(42,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.答案x216-y29=1

解析設焦點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),則由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,∴5c·5-c=-1,∴c=5,設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),∵雙曲線過點(42,-3),∴32a2-9b2=1.又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴雙曲線的標準方程為x216-y29=1.17.已知雙曲線E:x216-y24=1的左、右焦點分別為F1,F2.(1)若點M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,求點M到x軸的距離;

(2)若雙曲線C與雙曲線E有相同的焦點,且過點(32,2),求雙曲線C的方程.解(1)如圖所示,不妨設點M在雙曲線E的右支上,點M到x軸的距離為h,MF1·MF2=0,則MF1⊥MF2,設|MF1|=m,|MF2|=n,由雙曲線定義,知m-n=2a=8,①

又m2+n2=(2c)2=80,②

由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=255.(2)設所求雙曲線C的方程為

x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),由于雙曲線C過點(32,2),∴1816-λ-44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求雙曲線C的方程為x212-y28=1.18.已知△OFQ的面積為26,且OF·FQ=m,其中O為坐標原點.(1)設6

(2)設以O為中心,F為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示,|OF|=c,m=64-1c2,當|OQ|取得最小值時,求此雙曲線的標準方程.解(1)因為12|OF||FQ|sin(π-θ)=26,|OF||FQ|cosθ=m,所以tan

θ=46m.又6

θ<4,即tan

θ的取值范圍為(1,4).(2)設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),則FQ=(x1-c,y1),所以S△OFQ=12|OF|·|y1|=26,則y1=±46c.又OF·FQ=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c2≥12=23,當且僅當c=4時,取等號,此時|OQ|最小,這時Q的坐標為(6,6)或(6,-6).因為6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12.于是所求雙曲線的標準方程為x24-y212=1.