勻速圓周運(yùn)動(dòng)典型問(wèn)題剖析
勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn),同時(shí)它又容易和很多知識(shí)綜合在一起,形成能力性很強(qiáng)的題目,如除力學(xué)部分外,電學(xué)中“粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”涉及的很多問(wèn)題仍然要用到勻速圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí),對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)可重點(diǎn)從兩個(gè)方面掌握其特點(diǎn),首先是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,其次是其動(dòng)力學(xué)規(guī)律,現(xiàn)就各部分涉及的典型問(wèn)題作點(diǎn)滴說(shuō)明。
(一)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征及應(yīng)用
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度、線速度的大小不變,而方向都是時(shí)刻變化的,因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變加速曲線運(yùn)動(dòng)。為了描述其運(yùn)動(dòng)的特殊性,又引入周期(T)、頻率(f)、角速度()等物理量,涉及的物理量及公式較多。因此,熟練理解、掌握這些概念、公式,并加以靈活選擇運(yùn)用,是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。
1.基本概念、公式的理解和運(yùn)用
[例1]
關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是()
A.線速度不變
B.角速度不變
C.加速度為零
D.周期不變
解析:勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期是不變的;線速度的大小不變,但方向時(shí)刻變化,故勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是變化的,加速度不為零,答案為B、D。
[例2]
在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓環(huán)上有A、B兩點(diǎn),如圖1所示,過(guò)A、B的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60°,則A、B兩點(diǎn)的線速度之比為
;向心加速度之比為。
圖1
解析:A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為
它們的角速度相同,所以線速度之比
加速度之比
2.傳動(dòng)帶傳動(dòng)問(wèn)題
[例3]
如圖2所示,a、b兩輪靠皮帶傳動(dòng),A、B分別為兩輪邊緣上的點(diǎn),C與A同在a輪上,已知,在傳動(dòng)時(shí),皮帶不打滑。求:
(1)
;(2)
;(3)。
圖2
解析:A、C兩點(diǎn)在同一皮帶輪上,它們的角速度相等,即,由于皮帶不打滑,所以A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等,即。
(1)根據(jù)知
(2)根據(jù)知
(3)根據(jù)知
點(diǎn)評(píng):共軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上各點(diǎn)的角速度相同,不打滑的皮帶傳動(dòng)的兩輪邊緣上各點(diǎn)線速度大小相等,這樣通過(guò)“角速度”或“線速度”將比較“遙遠(yuǎn)”的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)聯(lián)系在一起。
(二)動(dòng)力學(xué)特征及應(yīng)用
物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
且有
方向始終指向圓心
1.基本概念及規(guī)律的應(yīng)用
[例4]
如圖3所示,質(zhì)量相等的小球A、B分別固定在輕桿的中點(diǎn)和端點(diǎn),當(dāng)桿在光滑水平面上繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)求桿OA和AB段對(duì)球A的拉力之比。
解析:隔離A、B球進(jìn)行受力分析,如圖3所示。因A、B兩球角速度相同,設(shè)為,選用公式,并取指向圓心方向?yàn)檎较?,則
對(duì)A球:
①
對(duì)B球:
②
①②兩式聯(lián)立解得
圖3
點(diǎn)評(píng):向心力是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體受到的合力,而不一定是某一個(gè)力,要對(duì)物體進(jìn)行正確的受力分析。
[例5]
如圖4所示,一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面,圓錐筒固定不動(dòng),有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列說(shuō)法正確的是()
A.球A的線速度必定大于球B的線速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的運(yùn)動(dòng)周期必定小于球B的運(yùn)動(dòng)周期
D.球A對(duì)筒壁的壓力必定大于球B對(duì)筒壁的壓力
圖4
解析:對(duì)小球A、B受力分析,兩球的向心力都來(lái)源于重力mg和支持力的合力,其合成如圖4所示,故兩球的向心力
比較線速度時(shí),選用分析得r大,v一定大,A答案正確。
比較角速度時(shí),選用分析得r大,一定小,B答案正確。
比較周期時(shí),選用分析得r大,T一定大,C答案不正確。
小球A和B受到的支持力都等于,D答案不正確。
點(diǎn)評(píng):①“向心力始終指向圓心”可以幫助我們合理處理物體的受力;②
根據(jù)問(wèn)題討論需要,解題時(shí)要合理選擇向心力公式。
2.軌跡圓(圓心、半徑)的確定
[例6]
甲、乙兩名滑冰運(yùn)動(dòng)員,,面對(duì)面拉著彈簧秤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的滑冰表演,如圖5所示,兩人相距0.9m,彈簧秤的示數(shù)為9.2N,下列判斷中正確的是()
A.兩人的線速度相同,約為40m/s
B.兩人的角速度相同,為6rad/s
C.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑相同,都是0.45m
D.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑不同,甲為0.3m,乙為0.6m
圖5
解析:甲、乙兩人做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同,向心力大小都是彈簧的彈力,則有即且,解得,由于
所以
而,r不同,v不同。所以答案選D。
點(diǎn)評(píng):有些勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓是比較“隱蔽”的,一旦理解錯(cuò)誤,就會(huì)給解題帶來(lái)麻煩,如本題中兩人做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑并不是兩人的間距,例2中A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心并不是圓環(huán)的中心O等。
3.聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題
[例7]
司機(jī)開(kāi)著汽車(chē)在一寬闊的馬路上勻速行駛突然發(fā)現(xiàn)前方有一堵墻,他是剎車(chē)好還是轉(zhuǎn)彎好?(設(shè)轉(zhuǎn)彎時(shí)汽車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等。)
解析:設(shè)汽車(chē)質(zhì)量為m,車(chē)輪與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為,剎車(chē)時(shí)車(chē)速為,此時(shí)車(chē)離墻距離為,為方便起見(jiàn),設(shè)車(chē)是沿墻底線的中垂線運(yùn)動(dòng)。若司機(jī)采用剎車(chē),車(chē)向前滑行的距離設(shè)為s,則常數(shù),若司采取急轉(zhuǎn)彎法,則(R是最小轉(zhuǎn)彎半徑)。
討論:
(1)若,則急剎車(chē)或急轉(zhuǎn)彎均可以;
(2)若,則急剎車(chē)會(huì)平安無(wú)事,汽車(chē)能否急轉(zhuǎn)彎與墻的長(zhǎng)度和位置有關(guān),如圖6所示,質(zhì)點(diǎn)P表示汽車(chē),AB表示墻,若墻長(zhǎng)度,如圖6,則墻在AB和CD之間任一位置上,汽車(chē)轉(zhuǎn)彎同樣平安無(wú)事;
(3)若,則不能急剎車(chē),但由(2)知若墻長(zhǎng)和位置符合一定條件,汽車(chē)照樣可以轉(zhuǎn)彎。
點(diǎn)評(píng):利用基本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是看能否將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為合理的物理模型。
圖6
三.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例變形
課文中的圓周運(yùn)動(dòng)只有汽車(chē)過(guò)橋和火車(chē)轉(zhuǎn)彎兩個(gè)實(shí)例,而從這兩個(gè)實(shí)例可以變化出很多模型。試分析如下:
(一)汽車(chē)過(guò)橋
原型:汽車(chē)過(guò)凸橋
如圖1所示,汽車(chē)受到重力G和支持力FN,合力提供汽車(chē)過(guò)橋所需的向心力。
假設(shè)汽車(chē)過(guò)橋的速度為v,質(zhì)量為m,橋的半徑為r。
圖1
分析:當(dāng)支持力為零時(shí),只有重力提供汽車(chē)所需的向心力,即,1.當(dāng)汽車(chē)的速度,汽車(chē)所受的重力G小于過(guò)橋所需的向心力,汽車(chē)過(guò)橋時(shí)就會(huì)離開(kāi)橋面飛起來(lái)。
2.當(dāng)汽車(chē)的速度,汽車(chē)所受的重力G恰好等于過(guò)橋需要的向心力,汽車(chē)恰好通過(guò)橋面的最高點(diǎn)。
3.當(dāng)汽車(chē)的速度,汽車(chē)所受的重力G大于所需的向心力,此時(shí)需要的向心力要由重力和支持力的合力共同來(lái)提供。
因此,汽車(chē)過(guò)凸橋的最大速度為。
模型一:繩拉小球在豎直平面內(nèi)過(guò)最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
如圖2所示,小球所受的重力和繩的拉力的合力提供小球所需的向心力,即。
圖2
分析:當(dāng)繩的拉力為零時(shí),只有重力提供小球所需的向心力,即,1.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的繩的拉力來(lái)提供,只要不超過(guò)繩的承受力,已知物體的速度,就可求出對(duì)應(yīng)的拉力。
2.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。
3.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G大于所需的向心力,此時(shí)小球?qū)⑸喜坏阶罡唿c(diǎn)。
因此,繩拉小球在豎直平面內(nèi)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為。
實(shí)例:翻轉(zhuǎn)過(guò)山車(chē)
如圖3所示:由于過(guò)山車(chē)在軌道最高點(diǎn)所受的力為重力和軌道的支持力,故分析方法與模型一類(lèi)似。請(qǐng)同學(xué)們自己分析一下。
圖3
模型二:一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過(guò)最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
如圖4所示,物體所受的重力和桿對(duì)球的彈力的合力提供物體所需的向心力,即
圖4
分析:當(dāng)桿對(duì)球的彈力為零時(shí),只有重力提供小球所需的向心力,即,1.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的桿的拉力來(lái)提供。(此時(shí)桿對(duì)小球的彈力為向下的拉力,參考圖3)。已知物體的速度,就可求出對(duì)應(yīng)的拉力。
2.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。
3.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G大于所需的向心力,多余的部分將由桿對(duì)小球的支持力來(lái)抵消。(此時(shí)桿對(duì)小球的彈力為向上的支持力)。
4.當(dāng)小球的速度,物體所受的重力G等于桿對(duì)小球的支持力。
因此,一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為0。
(二)火車(chē)轉(zhuǎn)彎
原型:火車(chē)轉(zhuǎn)彎
如圖5所示,火車(chē)在平直的軌道上轉(zhuǎn)彎,將擠壓外軌,由外軌給火車(chē)的彈力提供火車(chē)轉(zhuǎn)彎所需的向心力,這樣久而久之,將損壞外軌。
圖5
故火車(chē)轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌,火車(chē)駛過(guò)轉(zhuǎn)彎處時(shí),鐵軌對(duì)火車(chē)的支持力FN的方向不再是豎直的,而是斜向彎道的內(nèi)側(cè),它與重力的合力指向圓心,提供火車(chē)轉(zhuǎn)彎所需的向心力(如圖6所示)。這就減輕了輪緣與外軌的擠壓。
圖6
分析:當(dāng)火車(chē)的速度為時(shí),火車(chē)所需的向心力全部由重力和支持力的合力來(lái)提供,即。
1.若火車(chē)的速度,將擠壓外軌;
2.若火車(chē)的速度,將擠壓內(nèi)軌。
模型一:圓錐擺
小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來(lái)提供(如圖7所示)
圖7
模型二:小球在漏斗中的轉(zhuǎn)動(dòng)
小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力來(lái)提供(如圖8所示)
圖8
四.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題常涉及兩個(gè)物體的兩種不同的運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),另一個(gè)做其他形式的運(yùn)動(dòng)。由于這兩種運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的,因此,依據(jù)等時(shí)性建立等式來(lái)解待求量是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本思路。特別需要提醒同學(xué)們注意的是,因勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性,使得前一個(gè)周期中發(fā)生的事件在后一個(gè)周期中同樣可能發(fā)生,這就要求我們?cè)诒磉_(dá)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí),必須把各種可能都考慮進(jìn)去,以下幾例運(yùn)算結(jié)果中的自然數(shù)“n”正是這一考慮的數(shù)學(xué)化。
[例1]
如圖1所示,直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),槍口發(fā)射的子彈速度為v,并沿直徑勻速穿過(guò)圓筒。若子彈穿出后在圓筒上只留下一個(gè)彈孔,則圓筒運(yùn)動(dòng)的角速度為多少?
圖1
解析:子彈穿過(guò)圓筒后做勻速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)它再次到達(dá)圓筒壁時(shí),若原來(lái)的彈孔也恰好運(yùn)動(dòng)到此處。則圓筒上只留下一個(gè)彈孔,在子彈運(yùn)動(dòng)位移為d的時(shí)間內(nèi),圓筒轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,其中,即。
解得角速度的值,[例2]
質(zhì)點(diǎn)P以O(shè)為圓心做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖2所示,周期為T(mén)。當(dāng)P經(jīng)過(guò)圖中D點(diǎn)時(shí),有一質(zhì)量為m的另一質(zhì)點(diǎn)Q受到力F的作用從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。為使P、Q兩質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的速度相同,則F的大小應(yīng)滿足什么條件?
圖2
解析:速度相同包括大小相等和方向相同,由質(zhì)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)情況可知,只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圓周上的C點(diǎn)時(shí)P、Q速度方向才相同,即質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)周經(jīng)歷的時(shí)間
①
質(zhì)點(diǎn)P的速率
②
在同樣的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)Q做勻加速直線運(yùn)動(dòng),速度應(yīng)達(dá)到v,由牛頓第二定律及速度公式得
③
聯(lián)立以上三式,解得
[例3]
如圖3所示,在同一豎直平面內(nèi),A物體從a點(diǎn)開(kāi)始做勻速圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)B物體從圓心O處自由落下,要使兩物體在b點(diǎn)相遇,求A的角速度。
圖3
解析:A、B兩物體在b點(diǎn)相遇,則要求A從a勻速轉(zhuǎn)到b和B從O自由下落到b用的時(shí)間相等。
A從a勻速轉(zhuǎn)到b的時(shí)間
B從O自由下落到b點(diǎn)的時(shí)間
由,解得
[例4]
如圖4,半徑為R的水平圓盤(pán)正以中心O為轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),從圓板中心O的正上方h高處水平拋出一球,此時(shí)半徑OB恰與球的初速度方向一致。要使球正好落在B點(diǎn),則小球的初速度及圓盤(pán)的角速分別為多少?
圖4
解析:要使球正好落在B點(diǎn),則要求小球在做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi),圓盤(pán)恰好轉(zhuǎn)了n圈()。
對(duì)小球
①
②
對(duì)圓盤(pán)
③
聯(lián)立以上三式,解得
【模擬試題】
一.選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有的小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確,有的小題有多個(gè)選項(xiàng)正確)
1.下列說(shuō)法正確的是()
A.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度恒定
B.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力為零
C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小是不變的D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體處于平衡狀態(tài)
2.如圖1所示,把一個(gè)長(zhǎng)為20cm,系數(shù)為360N/m的彈簧一端固定,作為圓心,彈簧的另一端連接一個(gè)質(zhì)量為0.50kg的小球,當(dāng)小球以的轉(zhuǎn)速在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧的伸長(zhǎng)應(yīng)為()
A.5.2cm
B.5.3cm
C.5.0cm
D.5.4cm
圖1
3.一圓盤(pán)可以繞其豎直軸在圖2所示水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),圓盤(pán)半徑為R。甲、乙物體質(zhì)量分別是M和m(M>m),它們與圓盤(pán)之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍,兩物體用一根長(zhǎng)為的輕繩連在一起。若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸位置上,甲、乙之間連線剛好沿半徑方向被拉直,要使兩物體與圓盤(pán)間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),則轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)角速度的最大值不得超過(guò)(兩物體均看作質(zhì)點(diǎn))()
A.B.C.D.圖2
4.如圖3所示,一個(gè)球繞中心線以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),則()
A.A、B兩點(diǎn)的角速度相等
B.A、B兩點(diǎn)的線速度相等
C.若,則
D.以上答案都不對(duì)
圖3
5.一圓盤(pán)可繞圓盤(pán)中心O且垂直于盤(pán)面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),在圓盤(pán)上放置一小木塊A,它隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)(做勻速圓周運(yùn)動(dòng)),如圖4所示,則關(guān)于木塊A的受力,下列說(shuō)法正確的是()
A.木塊A受重力、支持力和向心力
B.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力,摩擦力的方向與木塊運(yùn)動(dòng)方向相反
C.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力,摩擦力的方向指向圓心
D.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力,摩擦力的方向與木塊運(yùn)動(dòng)方向相同
圖4
6.如圖5所示,質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)。圓半徑為R,小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán),則其通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)()
A.小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于重力mg
C.小球的線速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于
圖5
二.填空題
7.一輛質(zhì)量為4t的汽車(chē)駛過(guò)半徑為50m的凸形橋面時(shí),始終保持5m/s的速率。汽車(chē)所受的阻力為車(chē)對(duì)橋面壓力的0.05倍。通過(guò)橋的最高點(diǎn)時(shí)汽車(chē)牽引力是
N。(g=10m/s2)
三.解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、方程式和演算步驟)
8.m1、m2是質(zhì)量分別為50g和100g的小球,套在水平光滑桿上,如圖6所示。兩球相距21cm,并用細(xì)線相連接,欲使小球繞軸以600r/min的轉(zhuǎn)速在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)而不滑動(dòng),兩球離轉(zhuǎn)動(dòng)中心多遠(yuǎn)?線上拉力是多大?
圖6
9.如圖7所示,在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B兩個(gè)小物塊,它們距離軸心O分別為,它們與臺(tái)面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4倍,取。
(1)當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),要使兩物塊都不發(fā)生相對(duì)于臺(tái)面的滑動(dòng),求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍;
(2)要使兩物塊都對(duì)臺(tái)面發(fā)生滑動(dòng),求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度速度應(yīng)滿足的條件。
圖7
【試題答案】
1.C
2.C
3.D
4.AC
5.C
6.BCD
7.8.9.(1)
(2)