勻速圓周運(yùn)動(dòng)典型問題剖析

勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，同時(shí)它又容易和很多知識(shí)綜合在一起，形成能力性很強(qiáng)的題目，如除力學(xué)部分外，電學(xué)中“粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”涉及的很多問題仍然要用到勻速圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)可重點(diǎn)從兩個(gè)方面掌握其特點(diǎn)，首先是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，其次是其動(dòng)力學(xué)規(guī)律，現(xiàn)就各部分涉及的典型問題作點(diǎn)滴說明。

（一）運(yùn)動(dòng)學(xué)特征及應(yīng)用

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時(shí)刻變化的，因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變加速曲線運(yùn)動(dòng)。為了描述其運(yùn)動(dòng)的特殊性，又引入周期（T）、頻率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，并加以靈活選擇運(yùn)用，是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

1.基本概念、公式的理解和運(yùn)用

[例1]

關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）

A.線速度不變

B.角速度不變

C.加速度為零

D.周期不變

解析：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期是不變的；線速度的大小不變，但方向時(shí)刻變化，故勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是變化的，加速度不為零，答案為B、D。

[例2]

在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓環(huán)上有A、B兩點(diǎn)，如圖1所示，過A、B的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60°，則A、B兩點(diǎn)的線速度之比為

；向心加速度之比為。

圖1

解析：A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為

它們的角速度相同，所以線速度之比

加速度之比

2.傳動(dòng)帶傳動(dòng)問題

[例3]

如圖2所示，a、b兩輪靠皮帶傳動(dòng)，A、B分別為兩輪邊緣上的點(diǎn)，C與A同在a輪上，已知，在傳動(dòng)時(shí)，皮帶不打滑。求：

（1）

；（2）

；（3）。

圖2

解析：A、C兩點(diǎn)在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即，由于皮帶不打滑，所以A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等，即。

（1）根據(jù)知

（2）根據(jù)知

（3）根據(jù)知

點(diǎn)評(píng)：共軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上各點(diǎn)的角速度相同，不打滑的皮帶傳動(dòng)的兩輪邊緣上各點(diǎn)線速度大小相等，這樣通過“角速度”或“線速度”將比較“遙遠(yuǎn)”的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)聯(lián)系在一起。

（二）動(dòng)力學(xué)特征及應(yīng)用

物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

且有

方向始終指向圓心

1.基本概念及規(guī)律的應(yīng)用

[例4]

如圖3所示，質(zhì)量相等的小球A、B分別固定在輕桿的中點(diǎn)和端點(diǎn)，當(dāng)桿在光滑水平面上繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)求桿OA和AB段對(duì)球A的拉力之比。

解析：隔離A、B球進(jìn)行受力分析，如圖3所示。因A、B兩球角速度相同，設(shè)為，選用公式，并取指向圓心方向?yàn)檎较颍瑒t

對(duì)A球：

①

對(duì)B球：

②

①②兩式聯(lián)立解得

圖3

點(diǎn)評(píng)：向心力是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體受到的合力，而不一定是某一個(gè)力，要對(duì)物體進(jìn)行正確的受力分析。

[例5]

如圖4所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動(dòng)，有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）

A.球A的線速度必定大于球B的線速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的運(yùn)動(dòng)周期必定小于球B的運(yùn)動(dòng)周期

D.球A對(duì)筒壁的壓力必定大于球B對(duì)筒壁的壓力

圖4

解析：對(duì)小球A、B受力分析，兩球的向心力都來源于重力mg和支持力的合力，其合成如圖4所示，故兩球的向心力

比較線速度時(shí)，選用分析得r大，v一定大，A答案正確。

比較角速度時(shí)，選用分析得r大，一定小，B答案正確。

比較周期時(shí)，選用分析得r大，T一定大，C答案不正確。

小球A和B受到的支持力都等于，D答案不正確。

點(diǎn)評(píng)：①“向心力始終指向圓心”可以幫助我們合理處理物體的受力；②

根據(jù)問題討論需要，解題時(shí)要合理選擇向心力公式。

2.軌跡圓（圓心、半徑）的確定

[例6]

甲、乙兩名滑冰運(yùn)動(dòng)員，，面對(duì)面拉著彈簧秤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的滑冰表演，如圖5所示，兩人相距0.9m，彈簧秤的示數(shù)為9.2N，下列判斷中正確的是（）

A.兩人的線速度相同，約為40m/s

B.兩人的角速度相同，為6rad/s

C.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑相同，都是0.45m

D.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑不同，甲為0.3m，乙為0.6m

圖5

解析：甲、乙兩人做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，向心力大小都是彈簧的彈力，則有即且，解得，由于

所以

而，r不同，v不同。所以答案選D。

點(diǎn)評(píng)：有些勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓是比較“隱蔽”的，一旦理解錯(cuò)誤，就會(huì)給解題帶來麻煩，如本題中兩人做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑并不是兩人的間距，例2中A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心并不是圓環(huán)的中心O等。

3.聯(lián)系實(shí)際問題

[例7]

司機(jī)開著汽車在一寬闊的馬路上勻速行駛突然發(fā)現(xiàn)前方有一堵墻，他是剎車好還是轉(zhuǎn)彎好？（設(shè)轉(zhuǎn)彎時(shí)汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等。）

解析：設(shè)汽車質(zhì)量為m，車輪與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，剎車時(shí)車速為，此時(shí)車離墻距離為，為方便起見，設(shè)車是沿墻底線的中垂線運(yùn)動(dòng)。若司機(jī)采用剎車，車向前滑行的距離設(shè)為s，則常數(shù)，若司采取急轉(zhuǎn)彎法，則（R是最小轉(zhuǎn)彎半徑）。

討論：

（1）若，則急剎車或急轉(zhuǎn)彎均可以；

（2）若，則急剎車會(huì)平安無事，汽車能否急轉(zhuǎn)彎與墻的長度和位置有關(guān)，如圖6所示，質(zhì)點(diǎn)P表示汽車，AB表示墻，若墻長度，如圖6，則墻在AB和CD之間任一位置上，汽車轉(zhuǎn)彎同樣平安無事；

（3）若，則不能急剎車，但由（2）知若墻長和位置符合一定條件，汽車照樣可以轉(zhuǎn)彎。

點(diǎn)評(píng)：利用基本知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是看能否將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為合理的物理模型。

圖6

三.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例變形

課文中的圓周運(yùn)動(dòng)只有汽車過橋和火車轉(zhuǎn)彎兩個(gè)實(shí)例，而從這兩個(gè)實(shí)例可以變化出很多模型。試分析如下：

（一）汽車過橋

原型：汽車過凸橋

如圖1所示，汽車受到重力G和支持力FN，合力提供汽車過橋所需的向心力。

假設(shè)汽車過橋的速度為v，質(zhì)量為m，橋的半徑為r。

圖1

分析：當(dāng)支持力為零時(shí)，只有重力提供汽車所需的向心力，即，1.當(dāng)汽車的速度，汽車所受的重力G小于過橋所需的向心力，汽車過橋時(shí)就會(huì)離開橋面飛起來。

2.當(dāng)汽車的速度，汽車所受的重力G恰好等于過橋需要的向心力，汽車恰好通過橋面的最高點(diǎn)。

3.當(dāng)汽車的速度，汽車所受的重力G大于所需的向心力，此時(shí)需要的向心力要由重力和支持力的合力共同來提供。

因此，汽車過凸橋的最大速度為。

模型一：繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

如圖2所示，小球所受的重力和繩的拉力的合力提供小球所需的向心力，即。

圖2

分析：當(dāng)繩的拉力為零時(shí)，只有重力提供小球所需的向心力，即，1.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的繩的拉力來提供，只要不超過繩的承受力，已知物體的速度，就可求出對(duì)應(yīng)的拉力。

2.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。

3.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G大于所需的向心力，此時(shí)小球?qū)⑸喜坏阶罡唿c(diǎn)。

因此，繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為。

實(shí)例：翻轉(zhuǎn)過山車

如圖3所示：由于過山車在軌道最高點(diǎn)所受的力為重力和軌道的支持力，故分析方法與模型一類似。請(qǐng)同學(xué)們自己分析一下。

圖3

模型二：一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

如圖4所示，物體所受的重力和桿對(duì)球的彈力的合力提供物體所需的向心力，即

圖4

分析：當(dāng)桿對(duì)球的彈力為零時(shí)，只有重力提供小球所需的向心力，即，1.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的桿的拉力來提供。（此時(shí)桿對(duì)小球的彈力為向下的拉力，參考圖3）。已知物體的速度，就可求出對(duì)應(yīng)的拉力。

2.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。

3.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G大于所需的向心力，多余的部分將由桿對(duì)小球的支持力來抵消。（此時(shí)桿對(duì)小球的彈力為向上的支持力）。

4.當(dāng)小球的速度，物體所受的重力G等于桿對(duì)小球的支持力。

因此，一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的最小速度為0。

（二）火車轉(zhuǎn)彎

原型：火車轉(zhuǎn)彎

如圖5所示，火車在平直的軌道上轉(zhuǎn)彎，將擠壓外軌，由外軌給火車的彈力提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力，這樣久而久之，將損壞外軌。

圖5

故火車轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車駛過轉(zhuǎn)彎處時(shí)，鐵軌對(duì)火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向圓心，提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力（如圖6所示）。這就減輕了輪緣與外軌的擠壓。

圖6

分析：當(dāng)火車的速度為時(shí)，火車所需的向心力全部由重力和支持力的合力來提供，即。

1.若火車的速度，將擠壓外軌；

2.若火車的速度，將擠壓內(nèi)軌。

模型一：圓錐擺

小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來提供（如圖7所示）

圖7

模型二：小球在漏斗中的轉(zhuǎn)動(dòng)

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力來提供（如圖8所示）

圖8

四.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題常涉及兩個(gè)物體的兩種不同的運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)做其他形式的運(yùn)動(dòng)。由于這兩種運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的，因此，依據(jù)等時(shí)性建立等式來解待求量是解答此類問題的基本思路。特別需要提醒同學(xué)們注意的是，因勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，使得前一個(gè)周期中發(fā)生的事件在后一個(gè)周期中同樣可能發(fā)生，這就要求我們?cè)诒磉_(dá)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，必須把各種可能都考慮進(jìn)去，以下幾例運(yùn)算結(jié)果中的自然數(shù)“n”正是這一考慮的數(shù)學(xué)化。

[例1]

如圖1所示，直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，槍口發(fā)射的子彈速度為v，并沿直徑勻速穿過圓筒。若子彈穿出后在圓筒上只留下一個(gè)彈孔，則圓筒運(yùn)動(dòng)的角速度為多少？

圖1

解析：子彈穿過圓筒后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它再次到達(dá)圓筒壁時(shí)，若原來的彈孔也恰好運(yùn)動(dòng)到此處。則圓筒上只留下一個(gè)彈孔，在子彈運(yùn)動(dòng)位移為d的時(shí)間內(nèi)，圓筒轉(zhuǎn)過的角度為，其中，即。

解得角速度的值，[例2]

質(zhì)點(diǎn)P以O(shè)為圓心做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，周期為T。當(dāng)P經(jīng)過圖中D點(diǎn)時(shí)，有一質(zhì)量為m的另一質(zhì)點(diǎn)Q受到力F的作用從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。為使P、Q兩質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的速度相同，則F的大小應(yīng)滿足什么條件？

圖2

解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由質(zhì)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)情況可知，只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圓周上的C點(diǎn)時(shí)P、Q速度方向才相同，即質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過周經(jīng)歷的時(shí)間

①

質(zhì)點(diǎn)P的速率

②

在同樣的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)Q做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度應(yīng)達(dá)到v，由牛頓第二定律及速度公式得

③

聯(lián)立以上三式，解得

[例3]

如圖3所示，在同一豎直平面內(nèi)，A物體從a點(diǎn)開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)B物體從圓心O處自由落下，要使兩物體在b點(diǎn)相遇，求A的角速度。

圖3

解析：A、B兩物體在b點(diǎn)相遇，則要求A從a勻速轉(zhuǎn)到b和B從O自由下落到b用的時(shí)間相等。

A從a勻速轉(zhuǎn)到b的時(shí)間

B從O自由下落到b點(diǎn)的時(shí)間

由，解得

[例4]

如圖4，半徑為R的水平圓盤正以中心O為轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從圓板中心O的正上方h高處水平拋出一球，此時(shí)半徑OB恰與球的初速度方向一致。要使球正好落在B點(diǎn)，則小球的初速度及圓盤的角速分別為多少？

圖4

解析：要使球正好落在B點(diǎn)，則要求小球在做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，圓盤恰好轉(zhuǎn)了n圈（）。

對(duì)小球

①

②

對(duì)圓盤

③

聯(lián)立以上三式，解得

【模擬試題】

一.選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有的小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，有的小題有多個(gè)選項(xiàng)正確）

1.下列說法正確的是（）

A.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度恒定

B.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力為零

C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小是不變的D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體處于平衡狀態(tài)

2.如圖1所示，把一個(gè)長為20cm，系數(shù)為360N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個(gè)質(zhì)量為0.50kg的小球，當(dāng)小球以的轉(zhuǎn)速在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧的伸長應(yīng)為（）

A.5.2cm

B.5.3cm

C.5.0cm

D.5.4cm

圖1

3.一圓盤可以繞其豎直軸在圖2所示水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤半徑為R。甲、乙物體質(zhì)量分別是M和m（M>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根長為的輕繩連在一起。若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸位置上，甲、乙之間連線剛好沿半徑方向被拉直，要使兩物體與圓盤間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度的最大值不得超過（兩物體均看作質(zhì)點(diǎn)）（）

A.B.C.D.圖2

4.如圖3所示，一個(gè)球繞中心線以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，則（）

A.A、B兩點(diǎn)的角速度相等

B.A、B兩點(diǎn)的線速度相等

C.若，則

D.以上答案都不對(duì)

圖3

5.一圓盤可繞圓盤中心O且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上放置一小木塊A，它隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)（做勻速圓周運(yùn)動(dòng)），如圖4所示，則關(guān)于木塊A的受力，下列說法正確的是（）

A.木塊A受重力、支持力和向心力

B.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向與木塊運(yùn)動(dòng)方向相反

C.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向指向圓心

D.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，摩擦力的方向與木塊運(yùn)動(dòng)方向相同

圖4

6.如圖5所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)。圓半徑為R，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點(diǎn)時(shí)（）

A.小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mg

B.小球受到的向心力等于重力mg

C.小球的線速度大小等于

D.小球的向心加速度大小等于

圖5

二.填空題

7.一輛質(zhì)量為4t的汽車駛過半徑為50m的凸形橋面時(shí)，始終保持5m/s的速率。汽車所受的阻力為車對(duì)橋面壓力的0.05倍。通過橋的最高點(diǎn)時(shí)汽車牽引力是

N。（g=10m/s2）

三.解答題（解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和演算步驟）

8.m1、m2是質(zhì)量分別為50g和100g的小球，套在水平光滑桿上，如圖6所示。兩球相距21cm，并用細(xì)線相連接，欲使小球繞軸以600r/min的轉(zhuǎn)速在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)而不滑動(dòng)，兩球離轉(zhuǎn)動(dòng)中心多遠(yuǎn)？線上拉力是多大？

圖6

9.如圖7所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B兩個(gè)小物塊，它們距離軸心O分別為，它們與臺(tái)面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4倍，取。

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使兩物塊都不發(fā)生相對(duì)于臺(tái)面的滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍；

（2）要使兩物塊都對(duì)臺(tái)面發(fā)生滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度速度應(yīng)滿足的條件。

圖7

【試題答案】

1.C

2.C

3.D

4.AC

5.C

6.BCD

7.8.9.（1）

（2）