2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷

數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．不等式的解集是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由得x（x-1）>0，所以解集為

2．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由向量的減法知

3.設(shè)，有實(shí)根，則是的A．充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】判別式大于0，關(guān)于的方程有實(shí)根；但關(guān)于的方程有實(shí)根，判別可以等于0

4．在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由，所以

5．在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則

A．8

B.9

C.10

D.11

【答案】C

【解析】只有的系數(shù)最大，是展開式的第6項(xiàng)，第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，展開式共有11項(xiàng)，故n=10

6．如圖1，在正四棱柱

中，E、F

分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是

A．

B.C.D.【答案】D

圖1

【解析】連B1C，則B1C交BC1于F且F為BC1中點(diǎn)，三角

形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1

7．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖2），從圖中可以看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是

A．48米

B.49米

C.50米

D.51米

圖2

【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖知水位為50米的頻率/組距為1%，即水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。

8．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A．1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】由圖像可知交點(diǎn)共有3個(gè)。

9．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由已知P（），所以化簡得

10.設(shè)集合，的含兩個(gè)元素的子集，且滿

足：對(duì)任意的，都有.則的最大值是

A．10

B.11

C.12

D.13

【答案】B

【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個(gè)；{1，3}、{2，6}只能取一個(gè)；{2，3}、{4，6}只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.11.圓心為且與直線相切的圓的方程是

.【答案】

【解析】半徑R=，所以圓的方程為

12.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，若，則

A=.【答案】

【解析】由正弦定理得，所以A=

13.若.【答案】3

【解析】由得，所以

b

14.設(shè)集合，（1）的取值范圍是

.（2）若且的最大值為9，則的值是

.【答案】（1）（2）

【解析】（1）由圖象可知的取值范圍是；（2）若則（x，y）在圖中的四邊形內(nèi)，t=在（0，b）處取得最大值，所0+2b=9，所以b=

15.棱長為1的正方形的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是

；設(shè)分別是該正方形的棱的中點(diǎn)，則直線被球O截得的線段長為

.【答案】，【解析】正方體對(duì)角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求EF是正方體在球中其中一個(gè)截面的直徑，d=，所以，所以EF=2r=。

三．解答題：本大題共６小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分１２分）

已知函數(shù).求：

(Ⅰ)函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：

．

（I）函數(shù)的最小正周期是；

（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）．

17.（本小題滿分１２分）

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.(Ⅰ)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；

(Ⅱ)任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率.解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

（I）解法一　任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

（II）解法一　任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是

18.（本小題滿分１4分）

如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)求二面角的大小.解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)椋?，A

B

C

Q

P

O

H

又因?yàn)?，所以?/p>

而，所以，．從而．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

19.（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.（Ｉ）證明為常數(shù)；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.解：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，．由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．

又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）

有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，由④⑤得，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

20.（本小題滿分13分）

設(shè)，.（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng).解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)椋裕?/p>

…………………………①

于是．

…………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得．此時(shí)，由得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則．

所以．又由，得，故．