2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

一

試

一、填空題（每小題8分，共64分，）

1.函數(shù)的值域是

.2.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.3.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是

.4.已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則

.5.函數(shù)

在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是

.6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是

.7.正三棱柱的9條棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則

.8.方程滿足的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是

.二、解答題（本題滿分56分）

9.（16分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的最大值.10.（20分）已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.11.（20分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列，使得

.解

答

1.提示：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域?yàn)?2.提示：令，則原函數(shù)化為，即

.由，及

知

即

.（1）

當(dāng)時(shí)（1）總成立；

對(duì)；對(duì).從而可知

.3.9800

提示：由對(duì)稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

.又軸上有98個(gè)整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.4.提示

：設(shè)的公差為的公比為，則

（1），（2）

（1）代入（2）得，求得.從而有

對(duì)一切正整數(shù)都成立，即

對(duì)一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.5.提示：令則原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時(shí)，,，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以

.綜上在上的最小值為.6.提示：同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為

.7.提示：解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則

由此可設(shè)，所以，即

.所以

.解法二：如圖，.設(shè)與交于點(diǎn)

則

.從而平面

.過(guò)在平面上作,垂足為.連結(jié),則為二面角的平面角.設(shè),則易求得.在直角中，,即

.又

..8.336675

提示：首先易知的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

.把滿足的正整數(shù)解分為三類：

（1）均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1；

（2）中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003；

(3)設(shè)兩兩均不相等的正整數(shù)解為.易知，所以，即

.從而滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

.9.解法一：

由

得

.所以，所以.又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.解法二：.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則..容易知道當(dāng)時(shí)，.從而當(dāng)時(shí)，即，從而,，由

知.又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.10.解法一：設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，.線段的垂直平分線的方程是

.（1）

易知是（1）的一個(gè)解，所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為.由（1）知直線的方程為，即

.（2）

（2）代入得，即

.（3）

依題意，是方程（3）的兩個(gè)實(shí)根，且，所以,..定點(diǎn)到線段的距離

..當(dāng)且僅當(dāng)，即,或時(shí)等號(hào)成立.所以，面積的最大值為.解法二：同解法一，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，則的絕對(duì)值，所以,當(dāng)且僅當(dāng)且，即,或

時(shí)等號(hào)成立.所以，面積的最大值是.11.令，則，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實(shí)數(shù)根.所以，.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有，這里，所有的與都是不同的.不妨設(shè)，則，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.加

試

1.（40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓．

2.（40分）設(shè)k是給定的正整數(shù)，．記，．證明：存在正整數(shù)m，使得為一個(gè)整數(shù)．這里，表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如：，．

3.（50分）給定整數(shù)，設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，記

．

求證：

．

4.（50分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)在每個(gè)頂點(diǎn)處涂染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同．問(wèn)：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？

解

答

1.用反證法．若A，B，D，C不四點(diǎn)共圓，設(shè)三角形ABC的外接圓與AD交于點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交直線AN于點(diǎn)Q，連接CE并延長(zhǎng)交直線AM于點(diǎn)P，連接PQ．

因?yàn)镻的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O），同理，所以，故⊥．

由題設(shè)，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是

．

①

由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得，②

．

③

由①，②，③可得，所以，故△DMN

∽

△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K為BC的中點(diǎn)，矛盾！從而四點(diǎn)共圓.注1：“P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）”的證明：延長(zhǎng)PK至點(diǎn)F，使得，④

則P，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共圓，故，從而E，C，F(xiàn)，K四點(diǎn)共圓，于是，⑤

⑤-④，得

P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）．

注2：若點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，完全類似．

2.記表示正整數(shù)n所含的2的冪次．則當(dāng)時(shí)，為整數(shù)．

下面我們對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，k為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時(shí)

為整數(shù)．

假設(shè)命題對(duì)成立．

對(duì)于，設(shè)k的二進(jìn)制表示具有形式，這里，或者1，．

于是，①

這里

.顯然中所含的2的冪次為．故由歸納假設(shè)知，經(jīng)過(guò)f的v次迭代得到整數(shù)，由①知，是一個(gè)整數(shù)，這就完成了歸納證明．

3.由知，對(duì)，有．

注意到當(dāng)時(shí)，有，于是對(duì)，有，故

．

4.對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，如果相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，在它們所在的邊上標(biāo)上a，如果顏色不同，則標(biāo)上b，如果數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上c．于是對(duì)于給定的點(diǎn)上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點(diǎn)上的設(shè)置．為了使得最終回到時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條．所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記a，b，c，使得標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍．

設(shè)標(biāo)有a的邊有條，標(biāo)有b的邊有條，．選取條邊標(biāo)記a的有種方法，在余下的邊中取出條邊標(biāo)記b的有種方法，其余的邊標(biāo)記c．由乘法原理，此時(shí)共有種標(biāo)記方法．對(duì)i，j求和，密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)為

．

①

這里我們約定．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)

．

②

代入①式中，得

．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若，則②式仍然成立；若，則正n邊形的所有邊都標(biāo)記a，此時(shí)只有一種標(biāo)記方法．于是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所有不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為

．

綜上所述，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有種；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有種．