2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

【第一試】

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程有重根，則q的弧度數(shù)為

A．

B。

C。

D。

答：[

]

2、已知M=，N=，若對(duì)于所有的，均有則的取值范圍是

A．[]

B。（）C。（）

D。[]

答：[

]

3、不等式>0的解集是

A．[2，3]

B。（2，3）

C。[2，4]

D。（2，4）

答：[

]

4、設(shè)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，且有，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為

A．2

B。

C。3

D。

答：[

]

5、設(shè)三位數(shù)，若以為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)

等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有

A．45個(gè)

B。81個(gè)

C。165個(gè)

D。216個(gè)

答：[

]

6、頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C是PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐O—HPC的體積最大時(shí)，OB的長(zhǎng)是

A．

B。

C。

D。

答：[

]

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。

8、設(shè)函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，都有=，則。

9、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是______________。

10、設(shè)是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)使得也

是一個(gè)正整數(shù)，則=________________。

11、已知數(shù)列滿足關(guān)系式

且，則的值是______。

12、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（-1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是___________。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)。問(wèn)：

（Ⅰ）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？

（Ⅱ）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？

（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）

14、在平面直角坐標(biāo)系中，給定三點(diǎn)A（0，），B（-1，0），C（1，0）。點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB、AC距離的等比中頂。

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線L經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率的取值范圍。

15、已知、是方程（）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)閇，]。

（Ⅰ）求

（Ⅱ）證明：對(duì)于，若，則。

【第二試】

一、（本題滿分50分）

在銳角△ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相

交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求

AK的長(zhǎng)。

二、（本題滿分50分）

在平面直角坐標(biāo)系中，軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線（≥0）上的點(diǎn)列滿足，直線在X軸上的截距為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

（Ⅰ）證明>>4。

（Ⅱ）證明有，使得對(duì)都有<。

三、（本題滿分50分）

對(duì)于整數(shù)≥4，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互素的元素。

參考答案

第一試

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、解：因方程有重根，故

得，于是。

故選B。

2、解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部。

故選A。

3、解：原不等式等價(jià)于

設(shè)

解得。

即。

故選C。

4、解：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，則

由（1）（2）得，即共線，且，故選C。

5、解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)，顯然均不為0。即

（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，所以。

（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個(gè)不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)a>b，必須滿足。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是

a

b

4，3

2，1

4，3

2，1

3，2

3，2

1，2

1，2

共20種情況。

同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有種情況。

故。

綜上。

6、解：

。C是PA中點(diǎn)，最大，也即最大。

此時(shí)，故選D。

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對(duì)稱性，可將這圖形割補(bǔ)成長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，故它的面積是。

8、解：

=

即。

9、解：連結(jié)，垂足為E，延長(zhǎng)CE交于F，則，連結(jié)AE，由對(duì)稱性知是二面角的平面角。

連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則

中，在的補(bǔ)角。

10、解：設(shè)，從而是平方數(shù)，設(shè)為

。（負(fù)值舍去）

11、解：設(shè)

即

故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列。

12、解：經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設(shè)圓心為

S（a，3－a），則圓S的方程為：

對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)M，N，P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得

a=1或a=－7。

即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過(guò)點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這是一個(gè)不可能事件，過(guò)關(guān)的概率為0。所以最多只能連過(guò)4關(guān)。

.......5分

（Ⅱ）設(shè)事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)失敗”，則對(duì)立事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)成功”。

第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個(gè)。

第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過(guò)此關(guān)的概率為：。

第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。

過(guò)此關(guān)的概率為：。

........10分

第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。

過(guò)此關(guān)的概率為：。

.........15分

故連過(guò)前三關(guān)的概率為：。

........20分

（說(shuō)明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）

14、解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為

圓S：

......5分

（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分

圓S：

①

與雙曲線T：

②

因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為

③

（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分

（ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：

情況1：直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。

故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。

......15分

情況2：直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得

該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是

④

或

⑤

解方程④得，解方程⑤得。

綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。

......20分

15、解：（Ⅰ）設(shè)

則

又

故在區(qū)間上是增函數(shù)。

.......5分

......10分

（Ⅱ）證：

....15分，而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，......20分