一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|=-m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是（）

二、填空題（每小題5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．

2．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)

S=x2+y2，則+=_______．

3．若z?C，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，則z的值是________.[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

4．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______.三、（本題滿分20分）

三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D￠，則D￠為三棱錐S－ABC的外接球球心．

四、（本題滿分20分）

設(shè)0

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

五、（本題滿分20分）

設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，…，an，…滿足－=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．

第二試

一、（35分）

設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有DD是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿足的充分必要條件是n≥4．

[來源:Z。xx。k.Com]

三、（35分）

水平直線m通過圓O的中心，直線l^m，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP,BQ,CR為圓

O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，AB′CR+BC′AP=AC′BQ；(2)l與圓O相交時(shí)，AB′CR+BC′AP＜AC′BQ；(3)l與圓O相離時(shí)，AB′CR+BC′AP＞AC′BQ.1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽解答

第一試

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不同的對，則這樣的(A，B)對的個(gè)數(shù)是（）

（A）8

（B）9

（C）26

（D）27

【答案】D

【解析】a1∈A或?A，有2種可能，同樣a1∈B或?B，有2種可能，但a1?A與a1?B不能同時(shí)成立，故有22－1種安排方式，同樣a2、a3也各有22－1種安排方式，故共有(22－1)3種安排方式．選D．

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|-m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是（）[來源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)]

【答案】B

【解析】方程①為橢圓，②為雙曲線的一支．二者的焦點(diǎn)均為(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，由于n為橢圓的長軸，而C中兩個(gè)焦點(diǎn)與原點(diǎn)距離(分別表示|n|、|m|)均小于橢圓長軸，故否定C．

由B與D知，橢圓的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)都在y軸負(fù)半軸上，由n為長軸，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲線上一點(diǎn)到－ni距離大，否定D，故選B．

二、填空題（每小題5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．

2．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)

S=x2+y2，則+=_______．

【答案】

【解析】令x=rcosθ，y=rsinθ，則S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．

∴+=+=．

3．若z?C，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，則z的值是________.【答案】±(1+i)

【解析】如圖，可知z2表示復(fù)數(shù)4(cos120°+isin120°)．∴

z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)．

[來源:Zxxk.Com]

4．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______.【答案】08

【解析】令x=1031，則得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末兩位數(shù)字為09－1=08．

5．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，則k的最大值是_______.6．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．

【答案】34

【解析】首位與末位各可選擇1，6，8，9，有4種選擇，十位還可選0，有5種選擇，共有4×5×4=80種選擇．

但兩端為1，8，中間為0，1，8時(shí)，或兩端為9、6，中間為0，1，8時(shí)，倒后不變；共有2×3+2×3=12個(gè)，故共有(80－12)÷2=34個(gè)．

三、（本題滿分20分）

三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為，則為三棱錐S—ABC的外接球球心．

四、（本題滿分20分）

設(shè)0

五、（本題滿分20分）

設(shè)正數(shù)列a0、a1、a2、…、an、…滿足

－=2an－1，(n≥2)

且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．

【解析】變形，同除以得：=2+1，令+1=bn，則得bn=2bn－1．

即{bn}是以b1=+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

∴

bn=2n．

∴

=(2n－1)2．故

∴

第二試

一、（35分）

設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有DD是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿足的充分必要條件是n≥4．

n=2時(shí)，連1條對角線把四邊形分成了2個(gè)三角形，但其中最多只能有1個(gè)鈍角三角形．

n=3時(shí)，無法從同一頂點(diǎn)出發(fā)連線段把四邊形分成3個(gè)三角形，現(xiàn)連了1條對角線AC后，再連B與AC上某點(diǎn)得到線段，此時(shí)無法使得到的兩個(gè)三角形都是鈍角三角形．

∴當(dāng)n=2，3時(shí)無法得到滿足題目要求的解．只有當(dāng)n≥4時(shí)才有解．

二、（35分）

設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元素的集合，A的m個(gè)子集A1,A2,L,Am兩兩互不包含．

試證：(1)

≤1；

(2)

C≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的個(gè)數(shù)，C表示n個(gè)不同元素取|Ai|個(gè)的組合數(shù)．

三、（35分）

水平直線m通過圓O的中心，直線l^m，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP,BQ,CR為圓

O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，AB′CR+BC′AP=AC′BQ；(2)l與圓O相交時(shí)，AB′CR+BC′AP＜AC′BQ；(3)l與圓O相離時(shí)，AB′CR+BC′AP＞AC′BQ.【解析】證明：設(shè)MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半徑=r．

且設(shè)k=d2－r2．則當(dāng)k>0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O外，此時(shí)，直線l與⊙O相離；

當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O上，此時(shí)，直線l與⊙O相切；

當(dāng)k<0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O內(nèi)，此時(shí)，直線l與⊙O相交．

∴

AP==，同理，BQ=，CR=．

則AB′CR+BC′AP－AC′BQ=

AB′CR+BC′AP－(AB+BC)′BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)

=BC×－AB×