專題一

含參數(shù)導數(shù)問題的分類討論

導數(shù)是研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具，自從導數(shù)進入高中數(shù)學教材以來，有關(guān)導數(shù)問題幾乎是每年高考的必考試題之一．隨著高考對導數(shù)考查的不斷深入，含參數(shù)的導數(shù)問題成為了歷年高考命題的熱點．由于含參數(shù)的導數(shù)問題在解答時往往需要對參數(shù)進行分類討論，如何進行分類討論成為絕大多數(shù)考生答題的難點．

模塊1

整理方法

提升能力

在眾多的含參數(shù)導數(shù)問題中，根據(jù)所給的參數(shù)的不同范圍去討論函數(shù)的單調(diào)性是最常見的題目之一，求函數(shù)的極值、最值等問題，最終也需要討論函數(shù)單調(diào)性．對于含參數(shù)導數(shù)問題的單調(diào)性的分類討論，常見的分類討論點有以下三個：

分類討論點1：求導后，考慮是否有實根，從而引起分類討論；

分類討論點2：求導后，有實根，但不清楚的實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類討論；

分類討論點3：求導后，有實根，的實根也落在定義域內(nèi)，但不清楚這些實根的大小關(guān)系，從而引起分類討論．

以上三點是討論含參數(shù)導數(shù)問題的單調(diào)性的三個基本分類點，在求解有關(guān)含參數(shù)導數(shù)問題的單調(diào)性時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進行討論．因此，對含參數(shù)的導數(shù)問題的分類討論，還是有一定的規(guī)律可循的．當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就會復雜一些了，也有些題目可以根據(jù)其式子和題目的特點進行靈活處理，減少分類討論，需要靈活把握．

例1

設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．

【解析】的定義域是．

．

令，則的根的情況等價于的根的情況．由于的函數(shù)類型不能確定，所以需要對進行分類討論從而確定函數(shù)的類型．

（1）當時，是常數(shù)函數(shù)，此時，于是在上遞增．

（2）當時，是二次函數(shù)，類型確定后，我們首先考慮討論點——是否有實根的問題．由于不能因式分解，所以我們考慮其判別式，判別式的正負影響到的根的情況，由此可初步分為以下三種情況：①當，即時，沒有實根；②當，即時，有兩個相等的實根；③當，即或時，有兩個不等的實根．

對于第①種情況，沒有實根且永遠在軸上方，于是，所以在上遞增．

對于第②種情況，有兩個相等的實根，于是，所以在上遞增．

對于第③種情況，有兩個不等的實根，和．由于不知道兩根是否落在定義域內(nèi)，因此要考慮討論點，而利用韋達定理進行判斷是一個快捷的方法．

因為，所以當時，有且，此時兩個根都在定義域內(nèi)切（因為與的大小關(guān)系已經(jīng)確定，所以不需要考慮討論點）．由可得或，所以在和上遞增；由可得，所以在上遞減．

當時，有且，此時，由可得，所以在上遞增；由可得，所以在上遞減．

綜上所述，當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減

．其中，．

【點評】只要按照3個分類討論點進行思考，就能很好地處理含參數(shù)導數(shù)問題的單調(diào)性．此外，涉及兩根與0的大小比較的時候，利用韋達定理往往比較簡單．

例2

已知函數(shù)（）．

（1）求在上的最小值；

（2）若對恒成立，求正數(shù)的最大值．

【解析】（1）定義域為，．

法1：①當時，函數(shù)在為增函數(shù)，所以．

②當時，令可得．

（i）當，即時，在上恒成立，函數(shù)在為增函數(shù)，所以．

（ii）當，即時，在上恒成立，所以在為減函數(shù)，所以．

（iii）當，即時，在上恒成立，所以在為增函數(shù)，所以．

（iv）當，即時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．當，即時，；當，即時，．

綜上所述，當時，；當時，．

法2：①當時，函數(shù)在為增函數(shù)，所以．

②當時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．

（i）當，即時，．

（ii）當，即時，．

綜上所述，當時，；當時，．

（2）解答詳見專題三例1．

【點評】處理好函數(shù)的單調(diào)性，就能求出函數(shù)的最值．法1是按照常見的3個分類討論點進行討論：當時，沒有實根．當時，有實根，此時需考慮根在不在定義域內(nèi)．當或或時，根都不在定義域內(nèi)（把和并在里面是為了減少分類的情況）；當時，根在定義域內(nèi)，由于定義域內(nèi)只有1個根，所以就不用考慮第3個分類討論點了．法2是根據(jù)式子和題目的特點進行分類：由可知當時，在上遞增；當時，在上先增后減，所以最小值只能在或處取到，此時只需要比較兩者的大小就可以了．由于法2是根據(jù)式子和題目的特點進行分類的，所以能減少分類的情況．

例3

設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）當時，求函數(shù)的極值點．

【解析】（1）函數(shù)的定義域為，．令，則．當時，所以在上恒大于，所以，于是當時，函數(shù)在定義域上遞增．

（2）首先考慮是否有實根．

①當，即時，由（1）知函數(shù)無極值點．

②當，即時，有唯一的實根，于是在上恒成立，所以函數(shù)在上遞增，從而函數(shù)在上無極值點．

③當，即時，有兩個不同的根，其中．這兩個根是否都在定義域內(nèi)呢？這需要對參數(shù)的取值進一步分類討論．

當時，，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，在上有唯一極小值點．

當時，，由可得或，由可得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以當時，在上有一個極大值點和一個極小值點．

綜上所述，當時，在上有唯一的極小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點；當時，函數(shù)在上無極值點．

【點評】當有兩個不同的根和的時候，由于，所以只需要考慮討論點2，判斷這兩個根是否都在定義域內(nèi)就可以了，顯然，因此只需對作判斷就可以了．判斷的方法有三種，第一種方法是待定符號法，將與之間的大小符號待定為，則有，所以當時，；當時，．第二種方法是韋達定理，判斷、與的大小關(guān)系等價于判斷、與的大小關(guān)系，由此把韋達定理調(diào)整為，此時的判斷就變得十分容易了．第三種方法是利用二次函數(shù)的圖象，是開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)，與軸的交點是，由圖象可知當時，當時．

模塊2

練習鞏固

整合提升

練習1：設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．

【解析】（1）當時，．此時，于是，所以曲線在點處的切線方程為．

（2）函數(shù)的定義域為，．

①當時，所以函數(shù)在上遞增．

②當時，令，則．

（i）當時，所以，于是，所以函數(shù)在上遞減．

（ii）當時，此時有兩個不同的根，，．下判斷、是否在定義域內(nèi)．

法1：（待定符號法），由于，所以．

法2：（韋達定理）由可得．

法3：（圖象法）是開口方向向下的拋物線，對稱軸為，由圖象可知、都在定義域內(nèi)．

當或時，有，所以函數(shù)遞減；當時，有，所以函數(shù)遞增．

綜上所述，當時，函數(shù)在上遞增；當時，函數(shù)在上遞減；當時，函數(shù)在，上遞減，在上遞增．

練習2：設(shè)函數(shù)．

（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

【解析】（1）由解得，此時，由解得或，由解得，所以在區(qū)間，上遞增，在區(qū)間上遞減．

（2）的定義域為，記，其判別式為．

①若，即時，在上恒成立，所以無極值．

②若，即或時，有兩個不同的實根和，且，由韋達定理可得，即．

（i）當時，有，即，從而在上沒有實根，所以無極值．

（ii）當時，有，即，從而在上有兩個不同的根，且在，處取得極值．

綜上所述，存在極值時，的取值范圍為．的極值之和為，而，所以．

練習3：已知函數(shù)，其中、，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍．

【解析】（1），．因為，所以．

①若，即時，有，所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，于是．

②若，即時，當時，當時，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，于是．

③若，即時，有，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，于是．

綜上所述，在區(qū)間上的最小值為．

（2）法1：由可得，于是，又，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間．

由（1）知當或時，函數(shù)即在區(qū)間上遞增或遞減，所以不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求．

若，則．令（），則．由可得，由可得，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以，即，于是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，由此解得，又因為，所以．

綜上所述，的取值范圍為．

法2：由可得，于是，又，所以函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個零點．，所以在區(qū)間上至少有兩個零點與，的圖象至少有兩個交點．，令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，于是

在上遞增，在上也遞增．因為，當時，當時，于是與，的圖象有兩個交點時，的取值范圍是．