2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）

Ａ．3

Ｂ．5

Ｃ．6

Ｄ．10

答案：選Ｂ

解析：由展開式通項(xiàng)有

由題意得，故當(dāng)時(shí)，正整數(shù)的最小值為5，故選Ｂ

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二項(xiàng)式定理的基本知識(shí)，以通項(xiàng)公式切入探索，由整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得所求。本題中“

非零常數(shù)項(xiàng)”為干擾條件。

易錯(cuò)點(diǎn)：將通項(xiàng)公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。

2．將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：選Ａ

解析：法一

由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，帶入到已知解析式中可得選Ａ

法二

由平移的意義可知，先向左平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí)，以平移公式切入，為簡單題。

易錯(cuò)點(diǎn)：將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，誤選Ｃ

3．設(shè)和是兩個(gè)集合，定義集合，如果，那么等于（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：選Ｂ

解析：先解兩個(gè)不等式得。由定義，故選Ｂ

點(diǎn)評(píng)：本題通過考察兩類簡單不等式的求解，進(jìn)一步考察對(duì)集合的理解和新定義的一種運(yùn)算的應(yīng)用，體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個(gè)集合的差。

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)新定義理解不全，忽略端點(diǎn)值而誤選Ａ，以及解時(shí)出錯(cuò)。

4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

①；

②；

③與相交與相交或重合；

④與平行與平行或重合．

其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（）

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

答案：選Ｄ

解析：由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法，可知①②③④均錯(cuò),具體可觀察如圖的正方體：

但不垂直，故①錯(cuò)；但在底面上的射影都是

故②錯(cuò)；相交，但異面，故③錯(cuò)；但異面，故④錯(cuò)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察空間線面之間位置關(guān)系，以及射影的意義理解。關(guān)鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。

易錯(cuò)點(diǎn)：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯(cuò)選Ｂ或Ｃ

5．已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，則（）

A．0

B．1

C．

D．

答案：選C

解析：法一

特殊值法，由題意取，則，可見應(yīng)選C

法二

令，分別取和，則原式化為

所以原式=（分子、分母1的個(gè)數(shù)分別為個(gè)、個(gè)）

點(diǎn)評(píng)：本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時(shí)，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。

易錯(cuò)點(diǎn)：取特值時(shí)忽略和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認(rèn)為是型而誤選B，看錯(cuò)項(xiàng)數(shù)而錯(cuò)選D

6．若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．

甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件

B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：選B

解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即

即公比不一定為，則命題乙不成立，故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換。要是等比數(shù)列，則公比應(yīng)唯一確定。

易錯(cuò)點(diǎn)：本題是易錯(cuò)題。由，得到的是兩個(gè)等比數(shù)列，而命題乙是指一個(gè)等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列的確定性，容易錯(cuò)選C

x

y

M

F1

F2

D

L

O

7．雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于

（）A．

B．

C．

D．

答案：選A

解析：由題設(shè)可知點(diǎn)同時(shí)滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故

由定義可得

故原式，選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的基本量的計(jì)算，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的重要性。

易錯(cuò)點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識(shí)。

8．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得

為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A．2

B．3

C．4

D．5

答案：選D

解析：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得，故時(shí)，為整數(shù)。故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，以及部分分式法，數(shù)的整除性

是傳統(tǒng)問題的進(jìn)一步深化，對(duì)教學(xué)研究有很好的啟示作用。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能將等差數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，胡亂選擇。

9．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）

A．

B．

C．

D．

答案：選C

解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時(shí)，滿足，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為個(gè)，而位于直線上及其下方的點(diǎn)有個(gè)，故所求概率，選C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計(jì)算以及數(shù)形結(jié)合的知識(shí)和方法。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能數(shù)形直觀，確定點(diǎn)的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A

10．已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（）

A．60條

B．66條

C．72條

D．78條

答案：選A

解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓

上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識(shí)，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征。是較難問題

易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆。對(duì)直線截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇。

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．

11．已知函數(shù)的反函數(shù)是，則；

．

答案：

解析：由互反函數(shù)點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系，取特殊點(diǎn)求解。在上取點(diǎn)，得點(diǎn)

在上，故得；又上有點(diǎn)，則點(diǎn)在點(diǎn)評(píng)：本題主要考察反函數(shù)的概念及其對(duì)稱性的應(yīng)用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。

易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致填寫其他錯(cuò)誤答案。

12．復(fù)數(shù)，且，若是實(shí)數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是

．（寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可）

答案：或滿足的任意一對(duì)非零實(shí)數(shù)對(duì)

解析：由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可知，由題意得，答案眾多，如也可。

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考察復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，有一般結(jié)論需要寫出一個(gè)具體結(jié)果，屬開放性問題。

易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)果寫錯(cuò)，或?qū)忣}馬虎，只寫出，不合題意要求。

x

y

o

13．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

答案：

解析：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令，顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)

時(shí)，取得最小值為

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線性規(guī)劃的基本知識(shí)，考察學(xué)生的動(dòng)手能力作圖觀察能力。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯(cuò)，以及把直線間的相對(duì)位置搞錯(cuò)，找錯(cuò)點(diǎn)的位置而得到錯(cuò)誤結(jié)果。

14．某籃運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率

．（用數(shù)值作答）

答案：

解析：由題意知所求概率

點(diǎn)評(píng)：本題考察次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。

易錯(cuò)點(diǎn)：把“恰好投進(jìn)3個(gè)球”錯(cuò)誤理解為某三次投進(jìn)球，忽略“三次”的任意性。

（毫克）

（小時(shí)）

15為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；

藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．

據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間

（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（II）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么，藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過

小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．

答案：（I）（II）

解析：（I）由題意和圖示，當(dāng)時(shí)，可設(shè)（為待定系數(shù)），由于點(diǎn)在直線上，；同理，當(dāng)時(shí)，可得

（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．

點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)、不等式的實(shí)際應(yīng)用，以及識(shí)圖和理解能力。

易錯(cuò)點(diǎn)：只單純解不等式，而忽略題意，在（II）中填寫了其他錯(cuò)誤答案。

三、解答題：本大題共6小題，共75分．

16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力．

解：（Ⅰ）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，則由，可得，．

（Ⅱ）

．，．

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計(jì)總體分布的統(tǒng)計(jì)方法，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

解：（Ⅰ）

分組

頻數(shù)

頻率

0.04

0.25

0.30

0.29

0.10

0.02

合計(jì)

1.00

樣本數(shù)據(jù)

頻率/組距

1.30

1.34

1.38

1.42

1.46

1.50

1.54

（Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．

（Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為

．

18．本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）

過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

在中，；

設(shè)，在中，．，A

D

B

C

H

V，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，．

從而，即．

同理，即．又，平面．

又平面．平面平面．

A

D

B

C

V

x

y

z

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由．

得

可取，又，于是，，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由，得

A

D

B

C

V

x

y

可取，又，于是，，．

又，即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．

設(shè)．

A

D

B

C

V

x

y

z

（Ⅰ），即．，即．

又，平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，則取，得．

可取，又，于是，關(guān)于遞增．，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．

解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，N

O

A

C

B

y

x

直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，N

O

A

C

B

y

x

l

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．

從而，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

21．本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（?。┊?dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立?/p>

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．

綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，．

即．即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí)，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，等式成立；

當(dāng)時(shí)，等式成立；

當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立．

綜上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，且時(shí)，．　?、?/p>

（?。┊?dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以，即左邊右邊，不等式①成立?/p>

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式①成立，即，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以?/p>

于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式①也成立．

綜上所述，所證不等式成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)，時(shí)，，而由（Ⅰ），．

（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有．　　　　?、?/p>

又由（Ⅱ）可得，與②式矛盾．

故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

下同解法1．