第一篇：函數(shù)的定義福的定義初二作文[范文模版]

函數(shù)的定義福的定義初二作文

在平平淡淡的學(xué)習(xí)、工作、生活中，大家都寫過作文吧，作文是人們把記憶中所存儲(chǔ)的有關(guān)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思想用書面形式表達(dá)出來的記敘方式。那么一般作文是怎么寫的呢？以下是小編為大家整理的函數(shù)的定義福的定義初二作文，歡迎閱讀與收藏。

幸福，是媽媽的.嘮叨；幸福，是依偎在媽媽的懷抱里；幸福，是注視父母滄桑面龐的敬意。

我覺得幸福是和爸爸媽媽生活在一個(gè)溫暖的家里，在一起歡笑，在一起嬉戲，雖然有時(shí)會(huì)吵架，但是這也是一種愛的表現(xiàn)，和爸爸媽媽在一起還可以......

家是最幸福的地方，如果在外面受到了挫折，回到家中可以得到父母的安慰和呵護(hù)，有時(shí)覺得媽媽太嘮叨，總是說自己這也不好，那也不好，總是說自己不如別人，當(dāng)時(shí)就會(huì)覺得媽媽很煩，但是現(xiàn)在回過頭來想一想，媽媽這么做是愛我的，我現(xiàn)在覺得我很幸福，有一個(gè)愛我，疼我的父母。父母能給你的，都給你了，有父母是的地方就是最幸福的。

其次，我覺得幸福的就是和朋友，知己在一起的時(shí)候，可以在一起嬉戲，玩耍，打鬧，可以互訴心聲，有些事，有些秘密在家不想告訴父母，那么朋友便是你的一個(gè)好的傾訴對(duì)象，她會(huì)給你守住秘密，并且會(huì)在你最困難的時(shí)候幫助你，知己，便是一個(gè)你隨叫隨到的一個(gè)人物。

幸福，可能對(duì)于在一場大地震中受難的人來說，可能就是活著，見到自己的親人，愛人，朋友。

幸福，對(duì)于乞丐來說，可能就是一頓飽飯。

幸福，對(duì)于一個(gè)孤兒來說，可能就是人們帶給他們的愛與溫暖吧！

幸福，對(duì)于世界上任何一個(gè)生物來說都有不同的意義。例如，貓的幸福就是天天有老鼠吃；魚的幸福就是能夠自由自在的在水里游，；戀人間的幸福就是一個(gè)溫暖的擁抱；而對(duì)于父母而言。也許就是兒女的安全吧！

幸福其實(shí)很簡單，它就在我們身邊，只是我們不知道罷了。

第二篇：函數(shù)單調(diào)性定義證明

用函數(shù)單調(diào)性定義證明

例

1、用函數(shù)單調(diào)性定義證明:

(1)為常數(shù))在 上是增函數(shù).(2)在 上是減函數(shù).分析：雖然兩個(gè)函數(shù)均為含有字母系數(shù)的函數(shù)，但字母對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性并沒有影響，故無須討論.證明:(1)設(shè)

則 是 上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)設(shè)在 是 上是增函數(shù).上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是減函數(shù).小結(jié)：由(1)中所得結(jié)論可知二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只與對(duì)稱軸的位置和開口方向有關(guān)，與常數(shù) 無關(guān).若函數(shù)解析式是分式，通常變形時(shí)需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式便于判斷符號(hào).根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)

例

1、函數(shù)

在上是減函數(shù)，求的取值集合.分析：首先需要對(duì) 前面的系數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的類型，再做進(jìn)一步研究.解：當(dāng)

具備增減性.當(dāng)，解得

.故所求的取值集合為

.時(shí)，函數(shù)此時(shí)為，是常數(shù)函數(shù)，在上不時(shí)，為一次函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則有

小結(jié)：此題雖比較簡單，但滲透了對(duì)分類討論的認(rèn)識(shí)與使用.

第三篇：函數(shù)極限的定義證明

習(xí)題1?3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.x??2x?12

1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時(shí), 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時(shí), 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時(shí), 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因?yàn)?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?, 當(dāng)|x|?X時(shí), 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因?yàn)???0, ?X?

?2, 當(dāng)x?X時(shí), 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.?0??, 所以lim

x???

?0.3.當(dāng)x?2時(shí),y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時(shí), y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時(shí)極限為零.x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限, 并說明它們?cè)趚?0時(shí)的極限是否存在.xx

證明 因?yàn)?/p>

x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.x?0

因?yàn)?/p>

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.x?0

7.證明: 若x???及x???時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.x??

證明 因?yàn)閘imf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,x???

x???

?X1?0, 使當(dāng)x??X1時(shí), 有|f(x)?A|??;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時(shí), 有|f(x)?A|??.取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時(shí), 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0<|x?x0|

|f(x)?A|

|f(x)?A|0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0

| f(x)?A|

證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對(duì)于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時(shí)? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時(shí)? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?

第四篇：二次函數(shù)的定義教案

《二次函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)與技能：使學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，掌握根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式的方法，并了解如何根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍。

（2）過程與方法：復(fù)習(xí)舊知，通過實(shí)際問題的引入，經(jīng)歷二次函數(shù)概念的探索過程，提高學(xué)生解決問題的能力。

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)加深對(duì)二次函數(shù)概念的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)二次函數(shù)概念的理解。

教學(xué)難點(diǎn)：由實(shí)際問題確定函數(shù)解析式和確定自變量的取值范圍。教學(xué)過程：

一、知識(shí)回顧

1、函數(shù)的定義是什么？

在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，如果存在兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。

2、一次函數(shù)的一般形式是什么？

形如y=kx+b(其中k ,b為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)叫做x 的一次函數(shù)。

師：今天，我們來共同認(rèn)識(shí)一種新的函數(shù)——二次函數(shù)。

二、探究感悟

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

出示拋物線圖片，學(xué)生欣賞這些美麗的拋物線。

（二）自主交流 出示問題1 要用長20米的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個(gè)矩形的花圃，怎樣圍法才能使圍成的花圃的面積最大？

試一試

(1)設(shè)矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為x米，先取x的一些值，算出矩形的另一邊BC的長，進(jìn)而得出矩形ABCD的面積y．

(2)x的值是否可以任意?。坑邢薅ǚ秶鷨?？

(3)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長確定后，矩形的面積也隨之確定，y是x的函數(shù)，試寫出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式． 出示問題2 某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可以售出約100件．該店想通過降低售價(jià)、增加銷售量的辦法來提高利潤．經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，其銷售量可增加約10件．將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤最大？

思考：（1）本題中的等量關(guān)系是什么？ 每天利潤= 單件利潤×每天銷量

（2）每天增加的銷售量與單件商品降低價(jià)格又何關(guān)系？填寫下表。

單件利潤（元）每天銷量（件）

每天利潤（y元)降價(jià)x元前

降價(jià)x元后

（三）歸納總結(jié)

問題1中的函數(shù)關(guān)系式為 y=-2x2+20x（0＜x＜10）； 問題2 設(shè)每件商品降價(jià)x元，該商品每天的利潤為y元，y是x的函數(shù)，則函數(shù)關(guān)系式為y=-100x2+100x+200(0≤x≤2)．

討論：得到的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式有什么共同特點(diǎn)？這兩個(gè)問題有什么共同特點(diǎn)？

概括：它們都是用自變量的二次整式來表示的，問題都可歸結(jié)為：當(dāng)自變量為何值時(shí)函數(shù)取得最大值？

二次函數(shù)的定義：形如y＝ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù).（四）交流反思

1、在y＝ax2＋bx＋c中自變量是x，它的取值范圍是一切實(shí)數(shù)．但在實(shí)際問題中，自變量的取值范圍是使實(shí)際問題有意義的值．

2、在y＝50x2＋100x＋50中，a＝50，b＝100，c＝50．

3、為什么二次函數(shù)定義中要求a≠0？(若a＝0，ax2＋bx+c就不是關(guān)于x的二次整式了)

4、b和c是否可以為零？

若b＝0，則y＝ax2＋c；

若c＝0，則y＝ax2＋bx；

若b＝c＝0，則y＝ax2．

以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y＝ax2+bx+c是二次

函數(shù)的一般形式．

5、思考： 二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c（a≠0）與一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么聯(lián)系和區(qū)別？

聯(lián)系：(1)等式一邊都是ax2＋bx＋c且a ≠0(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函數(shù)y= ax2＋bx＋c中y=0時(shí)得到的.區(qū)別:前者是函數(shù).后者是方程.等式另一邊前者是y,后者是0。

三、訓(xùn)練升華

例1:下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=3x-1；(2)y=3x2；(3)y=3x3+2x2 ；(4)y=2x2-2x+1；(5)y=x-2+x；(6)y=x2-x(1+x)。

例2:當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)y=(m+1)xm2-2m-1 是二次函數(shù)？

四、課堂練習(xí)

1、已知直角三角形兩條直角邊長的和為10cm.（1）當(dāng)它的一條直角邊長為4.5cm時(shí)，求這個(gè)直角三角形的面積；（2）設(shè)這個(gè)直角三角形的一條直角邊長為xcm,面積為Scm2，求S與x的函數(shù)關(guān)系式。

2、已知正方體的棱長為xcm,表面積為Scm2，體積為Vcm3。（1）分別寫出S與x,V與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）這兩個(gè)函數(shù)中，哪一個(gè)是x的二次函數(shù)？

五、課堂總結(jié)

一元二次方程的一般形式：y＝ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))

第五篇：§1-1 函數(shù)極限暫時(shí)的定義

第1章函數(shù)的極限和連續(xù)函數(shù)

近代微積分是建立在近代極限理論的基礎(chǔ)上，可是近代極限理論對(duì)于剛步入大學(xué)的一年級(jí)大學(xué)生來說，是很難接受的。為了減少初學(xué)者學(xué)習(xí)微積分的難點(diǎn)，我們有意避開了近代極限理論，而用“無限接近”的說法，暫時(shí)定義了函數(shù)的極限。關(guān)于極限概念的這種“無限接近”說法，最早出現(xiàn)在法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾(D?Alembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的優(yōu)點(diǎn)是直觀明白，而缺點(diǎn)是簡單粗糙，甚至連有關(guān)函數(shù)極限的簡單結(jié)論，也無法用它來證明。幸好，這一章中那些應(yīng)當(dāng)用近代極限理論證明的結(jié)論也都是如此明白，讀者憑借直覺也會(huì)相信它們都是正確的。關(guān)于極限概念的精確化，以及極限基本性質(zhì)和連續(xù)函數(shù)主要性質(zhì)的證明，那是微積分產(chǎn)生和發(fā)展了一百多年以后才逐步完成的。我們將在本書第二篇中講述它。

§1-1函數(shù)極限暫時(shí)的定義

1.函數(shù)在某點(diǎn)的極限一個(gè)變量y能夠無限制地接近某一個(gè)常量(數(shù))C，就說“C是變量y的極限”。那么，“變量y能夠無限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是說，“預(yù)先給出任何正數(shù)?，不管它多么小，變量y在無限變化過程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在這個(gè)時(shí)刻以后，能夠使絕對(duì)值y?C小于或不超過那個(gè)正數(shù)?，即y?C??”。對(duì)于作為變量的函數(shù)y?f(x)來說，設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)c的近旁有定義。當(dāng)自變量x無限制地接近c(diǎn)且又不等于c時(shí)，若函數(shù)值f(x)能夠無限制地接近一個(gè)常數(shù)C，簡記成limf(x)?C 或 f(x)?C(x?c)x?c

則稱“常數(shù)C為函數(shù)f(x)在點(diǎn)c的極限”(圖1-1)。

類似地，設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)c的左旁有定義。當(dāng)自變量x從點(diǎn)c左邊無限制地接近c(diǎn)且又不等于c時(shí)，若函數(shù)值f(x)能夠無限制地接近常數(shù)A(圖1-2)，簡記成lim?f(x)?A x?c

則稱“常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點(diǎn)c的左極限”。同理，設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)c的右旁有定義。當(dāng)自變量x從點(diǎn)c右邊無限制地接近c(diǎn)且又不等于c時(shí)，若函數(shù)值f(x)能夠無限制地接近常數(shù)B(圖1-2)，簡記成x?c?limf(x)?B

則稱“常數(shù)B為函數(shù)f(x)在點(diǎn)c的右極限”。

§1-1函數(shù)極限暫時(shí)的定義

3函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。從圖1-1和圖1-2上看出，若函數(shù)f(x)在點(diǎn)c的兩邊近旁都有定義，則

limf(x)?C的充分必要條件是lim?f(x)?lim?f(x)?C

x?c

x?cx?c

例1證明：lim

sinx

?

1x?0x

π

證如圖1-3中的單位圓，當(dāng)0?x?時(shí)，則有

sinx?x?tanx(見下注)

由此得

cosx?

從而有

sinx

?1 x

圖1-3

xxsinx1??

0?1??1?cosx?2sin2?2????x2?0(x?0?)

2x2?2?

?

可見，當(dāng)x?0時(shí)，函數(shù)值

sinxsinx

?1；而左極限為 無限制地接近1，即得右極限lim?

x?0xx

sinxsin(?x)sinx

?lim?lim?1 ??x?0x?0x?xx

x?0

lim?

(sinx是奇函數(shù))(用x替換?x)

因此有 lim

sinx

。?1（因?yàn)樽笥覙O限相等）

x?0x

?和EB?ED是因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離垂線最短；CB??CE?EB是因?yàn)橛叶耸亲蠖嘶　咀ⅰ緼B?CB

??CE?EB?CE?ED?CD，即sinx?x?tanx。長的過剩近似值。因此，AB?CB

【問與答】

問：圓弧長度是怎么定義的？

答：首先說一下實(shí)數(shù)基本性質(zhì)之一，即“實(shí)數(shù)連續(xù)性質(zhì)”。在§0-2中，我們?cè)蜗蟮匕阉f成“實(shí)數(shù)能夠一個(gè)挨一個(gè)地填滿整個(gè)數(shù)軸，而不會(huì)留下一個(gè)空隙”，而在近代數(shù)學(xué)中是把它說成“有上界的（非空）實(shí)數(shù)集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）實(shí)數(shù)集合必有最大下界”（出現(xiàn)在§5-3中）。因?yàn)閳A弧所有可能外切折線長度組成的集合有下界,所以它有最大下界。我們就把這個(gè)最大下界定義為圓弧的長度。

2.函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)特別，若函數(shù)f(x)在含點(diǎn)c的某個(gè)區(qū)間內(nèi)有定義，且滿足條件limf(x)?f(c)，則稱點(diǎn)c為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)圖1-4)；并稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)c是連續(xù)x?c的。y

圖1-

5令?x?x?c(稱為自變量x的增量)，其中?是大寫希臘字母delta（讀作“得兒塔”），而把?y?f(c??x)?f(c)（圖1-5）稱為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)c(相應(yīng)于?x)的增量。因此，limf(x)?f(c)??limf(c??x)?f(c)??lim?y?0

x?c

?x?0

?x?0

這就是說，函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)c連續(xù)，說明自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值的變化也很小。它表示自然界中變量連續(xù)變化的特征(不是跳躍式變化)?！斑B續(xù)”一詞當(dāng)初就來源于此。請(qǐng)讀者特別注意，limf(x)?C與limf(x)?f(c)的明顯區(qū)別是：前者不考慮函數(shù)f(x)

x?c

x?c

在點(diǎn)c是否定義有函數(shù)值f(c)；后者中函數(shù)f(x)不僅在點(diǎn)c定義有函數(shù)值f(c)，而且必須滿足條件limf(x)?f(c)。在函數(shù)極限limf(x)?C的定義中，規(guī)定x?c(x?c)是想讓極

x?c

x?c

限概念的“外延”（邏輯學(xué)中的術(shù)語）更加寬廣，而有l(wèi)imf(x)?f(c)僅是一種特殊情形。

x?c

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)c不能滿足條件limf(x)?f(c)，則稱點(diǎn)c間斷點(diǎn)。函數(shù)

x?c的間斷點(diǎn)可能是下面的情形之一：

可除間斷點(diǎn)稱點(diǎn)c為函數(shù)f(x)的可除間斷點(diǎn)，若有極限limf(x)，且或者函數(shù)f(x)

x?c

在點(diǎn)c沒有定義函數(shù)值[但在點(diǎn)c近旁定義有函數(shù)值f(x)]，例如函數(shù)

sinx

有可除間斷點(diǎn)0(圖1-6)

y?x或者函數(shù)f(x)在點(diǎn)c定義有函數(shù)值f(c)但limf(x)?f(c)，例如函數(shù)

x?c

?x2,x?2f(x)??

1,x?2?

x?2(x?2)

x?

2圖1-6

有可除間斷點(diǎn)2(圖1-7)，因?yàn)閘imf(x)?limx2?4?f(2)?1。

2圖1-7

第一類間斷點(diǎn)稱點(diǎn)c為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)，若在點(diǎn)c同時(shí)有左極限和右極限,f(x)?lim?f(x)，例如符號(hào)函數(shù)sgnx(圖1-8)，因?yàn)?但是lim?

x?c

x?c

x?0?

limsgnx??1?lim?sgnx?1

x?0

所以點(diǎn)0是符號(hào)函數(shù)sgnx的第一類間斷點(diǎn)。

§1-1函數(shù)極限暫時(shí)的定義

【注】有的教科書中把可除間斷點(diǎn)也稱為第一類間斷點(diǎn)。

第二類間斷點(diǎn)函數(shù)的其他間斷點(diǎn)(即既不是可除間斷點(diǎn)，又不是第一類間斷點(diǎn))，都稱為第二類間斷點(diǎn)。例如，圖1-9和圖1-10中點(diǎn)0都是第二類間斷點(diǎn)(前者為無窮間斷點(diǎn)，后者為擺動(dòng)間斷點(diǎn))。函數(shù)在第二類間斷點(diǎn)c處，f(x)和右極限lim?f(x)左極限lim?

x?c

x?c

中，至少有一個(gè)不存在。

圖1-10

圖1-9

研究函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類，目的是研究當(dāng)函數(shù)有間斷點(diǎn)時(shí)，它對(duì)函數(shù)的某些性質(zhì)(譬如函數(shù)的可積性等)會(huì)造成多大的影響。

3.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限設(shè)函數(shù)y?f(x)對(duì)于絕對(duì)值足夠大的x有定義。當(dāng)自變量x按絕對(duì)值無限制地變大時(shí)，若函數(shù)值f(x)能夠無限制地接近一個(gè)常數(shù)C(圖1-11)，簡記成limf(x)?C 或 f(x)?C(x??)

x??

則稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處的極限或當(dāng)x??時(shí)的極限。

例如，極限lim

x

sinxsinx

?0(見圖1-6)。請(qǐng)你把它與極限lim?1區(qū)別開來。

x??xx?0x

類似地，設(shè)函數(shù)y?f(x)對(duì)于足夠大的x有定義。當(dāng)自變量x無限制地變大時(shí)，若函數(shù)值f(x)能夠無限制地接近一個(gè)常數(shù)A(圖1-12)，簡記成limf(x)?A

x???

則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x???時(shí)的極限。同理(圖1-13)，我們可以定義記號(hào)

limf(x)?B

x???

并稱常數(shù)B為函數(shù)f(x)當(dāng)x???時(shí)的極限。

x???

極限limf(x)?A和limf(x)?B也稱為單側(cè)極限，并且也有結(jié)論：

x???

有極限limf(x)?C

x??

?? limf(x)?limf(x)?C

(充分必要)

x???x???

請(qǐng)讀者注意，其中的“x??”、“x???”、“x???”都是記號(hào)，依次讀作“x趨．．．．．向無窮大”、“x趨向正無窮大”、“x趨向負(fù)無窮大”。再請(qǐng)讀者注意，它們只有同函數(shù)的變化聯(lián)系在一起時(shí)才有意義，而單獨(dú)談?wù)撍鼈兪菦]有意義的！

例2函數(shù)

x

?1?

y??1??(x??1或x?0)?x?

?1?

屬于冪指函數(shù)(圖1-14)。當(dāng)x???或x???時(shí)，函數(shù)y??1??的極限都是e，即

?x??1?

lim?1???e(其中e是無理數(shù)，近似等于2.71828)。證明它屬于高等微積分，你暫且記x???x?

住它就可以了。

x

圖1-14

x

x

?1?

把數(shù)列極限看作函數(shù)極限的特殊情形時(shí), 則也有l(wèi)im?1???e。實(shí)際上，在近代極

n???n??1??1?

限論中，先是證明數(shù)列極限lim?1???e，而后又證明了函數(shù)極限lim?1???e【證

x???n???x?n?

明在本書第二篇（§5-5）中】。

n

x

n

§1-1函數(shù)極限暫時(shí)的定義 7

?1?

根據(jù)極限lim?1???e，則有

x???x?

x

lim?1?x?

x?0

?1?

z??1??x?x????

?1?

lim?1???e z???z?

z

【問與答】

問：函數(shù)（或數(shù)列）在什么情形下才有極限？

答：這是近代極限論中的極限存在問題。討論這個(gè)問題也會(huì)涉及到“實(shí)數(shù)連續(xù)性質(zhì)”。在本書上冊(cè)第二篇中，將會(huì)直接或間接地根據(jù)它，證明極限存在的一些判別法，其中之一就是下一節(jié)中講的單調(diào)有界原理。