第一篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理

等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理

第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)

1、等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。

2、等差數(shù)列通項公式：

an?a1?(n?1)d，a1為首項，d為公差

推廣公式：an?am?(n?m)d

變形推廣：d?

3、等差中項

（1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項．即：b成等差數(shù)列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4、等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn

（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）

特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

（3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

6、等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8、等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為2220。

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當(dāng)然擴充到3項、4項??都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標系數(shù)之和相等。

（4）?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

(6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1

bnB2n?1（8）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?，當(dāng)然也有an?m,am?n，則am?n?0

(9)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

即當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最大值時的n值． a?0?n?1（2）“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

即 當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負分界項

法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對于任何數(shù)列都適用，但求通項時記住討論當(dāng)n?1的情況。

p?q 2解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。（以上加上藍色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會運用）

第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)

1、等比數(shù)列的定義：

2、通項公式：

an?a1qn?1，a1為首項，q為公比

an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m?

3、等比中項

an am（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A2?ab或A??ab 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）

（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1

4、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：(1)當(dāng)q?1時，Sn?na1(2)當(dāng)q?1時，Sn?

?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an?1?qan或為等比數(shù)列

an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an（2）等比中項：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數(shù)列（3）通項公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列（4）前n項和公式：

Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數(shù)??{an}為等比數(shù)列

6、等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an?

17、等比數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項：an?a1qn?1

如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為?，aa2?（公比為q，中間項，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負

8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)q?1時

①等比數(shù)列通項公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q ②前n項和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q

(2)對任何m,n?N*,在等比數(shù)列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當(dāng)m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。

(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當(dāng)m?n?2k時,得an?am?ak2

注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

(4)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。

(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

(6)如果{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(7)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列(8)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列

kanabn(9)①當(dāng)q?1時，②當(dāng)0

③當(dāng)q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當(dāng)q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列。

(10)在等比數(shù)列{an}中, 當(dāng)項數(shù)為2n(n?N*)時,S奇S偶?1,。

q(11)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn?m?Sn?qn?Sm

注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。

解決等比數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程； ②巧妙運用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。

關(guān)于等差、等比兩個引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數(shù)，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數(shù)，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：

例1

已知數(shù)列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數(shù)列的通項公式

解題大致思路：先設(shè)an?b?3(an?1?b)，則對于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列?an?2?為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項和公比分別是多少？還有你考慮到當(dāng)n?1的這種情況了嗎？

例2

已知數(shù)列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數(shù)列的通項公式

n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當(dāng)然也希望通過這兩個模式能讓你意識到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。

第二篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合習(xí)題

等差數(shù)列等比數(shù)列綜合練習(xí)題

一．選擇題

1.已知an?1?an?3?0，則數(shù)列?an?是（）

A.遞增數(shù)列

B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列

D.擺動數(shù)列

1，那么它的前5項的和S5的值是（）231333537A．

B．

C．

D．

22223.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S7=35，則a4=（）2.等比數(shù)列{an}中，首項a1?8，公比q? A.8

B.7

C.6

D.5 ,則2a9?a10?（）4.等差數(shù)列{an}中，a1?3a8?a15?120 A．24

B．22

C．20

D．-8 215.已知數(shù)列?an?中，a1?1,an?2an?1?3，求此數(shù)列的通項公式.16.設(shè)等差數(shù)列

?an?的前n項和公式是sn?5n2?3n,求它的前3項，并求它的通項公式.5.數(shù)列?an?的通項公式為an?3n?28n，則數(shù)列?an?各項中最小項是（）

A.第4項

B.第5項

C.第6項

D.第7項

2a?b等于（）

2c?d11

1A．1

B．

C．

D．

824a20?（）7.在等比數(shù)列?an?中,a7?a11?6,a4?a14?5,則a1023232

3A.B.C.或

D.?或 ?

3232328.已知等比數(shù)列?an?中,an>0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,那么a3?a5=（）6.已知a，b，c，d是公比為2的等比數(shù)列，則

A.5

B.10

C.15

D.20 二．填空題

9．已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________

10.在等比數(shù)列{an}中，a2?a8?16，則a5=__________

11．在等差數(shù)列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝__________

12.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a17=10,則S19的值_________

13.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于_________

三.解答題

14.設(shè)三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為6，其中最后一個數(shù)加上1后，這三個數(shù)又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).等差數(shù)列、等比數(shù)列同步練習(xí)題

等差數(shù)列

一、選擇題

1、等差數(shù)列-6，-1，4，9，……中的第20項為（）

A、89 B、-101 C、101 D、-89

2． 等差數(shù)列{an}中，a15=33，a45=153，則217是這個數(shù)列的（）

A、第60項 B、第61項 C、第62項

D、不在這個數(shù)列中

3、在-9與3之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成和為-21的等差數(shù)列，則n為

A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差數(shù)列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，則前10項的S10等于（）

A、720 B、257 C、255 D、不確定

5、等差數(shù)列中連續(xù)四項為a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、6、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……組成一新數(shù) 列{Cn}，其通項公式為（）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一個項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和分別是24與30 若此數(shù)列的最后一項比第-10項為10，則這個數(shù)列共有（）

A、6項 B、8項 C、10項 D、12項

8、設(shè)數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項和為（）

A、0 B、100 C、10000 D、505000

答案1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空題

9、在等差數(shù)列{an}中，an=m，an+m=0，則am= ______。

10、在等差數(shù)列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，則S16= ______。11． 在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，則從a15到a30的和是 ______。

12． 已知等差數(shù)列 110，116，122，……，則大于450而不大于602的各項之和為 ______。

三、解答題

13． 已知等差數(shù)列{an}的公差d=，前100項的和S100=145求： a1+a3+a5+……+a99的值

14． 已知等差數(shù)列{an}的首項為a，記

(1)求證：{bn}是等差數(shù)列

(2)已知{an}的前13項的和與{bn}的前13的和之比為 3 ：2，求{bn}的公差。

15． 在等差數(shù)列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通項公式

(2)這個數(shù)列的前多少項的和最大？并求出這個最大值。

16、等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且已知Sn的最大值為S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

答案：

二、填空題

9、n10、80

11、-368 12、13702

13、∵{an}為等差數(shù)列∴ an+1-an=d

∴ a1+a3+a5+…+a99=a2+a4+a6+…+a100-50d

又（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+…+a99=

=60

14、(1)證：設(shè){an}的公差為d則an=a+（n-1）d

當(dāng)n≥0時 b n-bn-1=

d 為常數(shù)∴ {bn}為等差數(shù)列

（2）記{an}，{bn}的前n項和分別為A13，B13則，∴{bn}的公差為

15、S17=S9 即 a10+a11+…+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

當(dāng)n=13時，Sn最大，Sn的最大值為169

16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197=

(a1+a197)=

(a99+ a99)>0

又 a99>0，a100<0則 d<0

∴當(dāng)n<197時，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n為197

等比數(shù)列

一、選擇題

1、若等比數(shù)列的前3項依次為A、1 B、C、D、，……，則第四項為（）

2、等比數(shù)列{an}的公比q>1，其第17項的平方等于第24項，求：使a1+a2+a3+……+an>

成立的自然數(shù)n的取值范圍。

2、公比為的等比數(shù)列一定是（）

A、遞增數(shù)列 B、擺動數(shù)列 C、遞減數(shù)列 D、都不對

3、在等比數(shù)列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比為整數(shù)，則a12=（）

A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比數(shù)列的公比為2，前4項的和為1，則前8項的和等于（）

A、15 B、17 C、19 D、21

5、設(shè)A、G分別是正數(shù)a、b的等差中項和等比中項，則有（）

3、已知等比數(shù)列{an}，公比q>0，求證：SnSn+2

6、{an}為等比數(shù)列，下列結(jié)論中不正確的是（）

A、{an2}為等比數(shù)列 B、為等比數(shù)列

C、{lgan}為等差數(shù)列 D、{anan+1}為等比數(shù)列

7、a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c為常數(shù)，b、c必須滿足（）

一個等比數(shù)列前幾項和Sn=abn+c，那么a、A、a+b=0

B、c+b=0

C、c+a=0

D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比數(shù)列，a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，且xy≠0，則 的值為（）

A、1 B、2 C、3 D、4

4、數(shù)列{an}的前幾項和記為An，數(shù)列{bn}的前幾項和為Bn，已知答案：

一、1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B 求Bn及數(shù)列{|bn|}的前幾項和Sn。

二、填空題

1、在等比數(shù)列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，則a7= _____,q= ______。

2、數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=-，則an = ______，Sn= ______。

3、等比數(shù)列a，-6，m，-54，……的通項an = ___________。

4、{an}為等差數(shù)列，a1=1，公差d=z，從數(shù)列{an}中，依次選出第1，3，32……3n-1項，組成數(shù)

列{bn},則數(shù)列{bn}的通項公式是__________，它的前幾項之和是_________。

二、計算題

1、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為37，第

二個數(shù)與第三個數(shù)的和為36，求這四個數(shù)。，答案

一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1

二、1、解：由題意，設(shè)立四個數(shù)為a-d，a，a+d，則

由（2）d=36-2a（3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四數(shù)為或12，16，20，25。

2、解：設(shè){an}的前幾項和Sn，的前幾項的和為Tn an=a1qn-1

∵Sn>Tn ∴即>0 又

∴a12qn-1>1（1）

又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）由（1）（2）

∴n≥0且n∈N

3、證一：（1）q=1 Sn=na1 SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12（2）q≠1

=-a12qn<0

∴SnSn+2

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）

=-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2

4、解：n=1

n≥2時，∴

bn=log2an=7-2n

∴{bn}為首項為5，公比為（-2）的等比數(shù)列

令bn>0，n≤3

∴當(dāng)n≥4時，bn〈0

1≤n≤3時，bn〉0 ∴當(dāng)n≤3時，Sn=Bn=n（6-n），B3=9

當(dāng)n≥4時，Sn=b1+b2+b3-（b4+b5+…+bn）=2B3-Bn=18-n（6-n）=n2-6n+18

第三篇：等差數(shù)列知識點

精英輔導(dǎo)學(xué)校楊景勛專用2011年12月16日星期五

（一）等差數(shù)列I1、等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005則n=_____

2、等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10-a12的值為______

3、等差數(shù)列{an}中，a1=-5，前11項的平均值為5，若從中抽出一項，余下的10項的平均值為4，則抽取的（一）等差數(shù)列II

等差數(shù)列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是數(shù)列的前n項和，則（）A、S4

4、正項等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，有（）

A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全國卷I）設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一個等差數(shù)列共10項；其中奇數(shù)項的和為125，偶數(shù)項的和為15，則第6項是_____

7、已知數(shù)列{an}前四項為-1，3，-6，10，則{an}的一個通項式為_______________

8、等差數(shù)列a-d，a，a+d的一個通項公式是____________

9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為1

4的等差數(shù)列，則|m-n|=_______

10、等差數(shù)列{an}中，若a1=25，從第10項開始小于1，則公差d的范圍是________

11、（2006全國卷II）已知等差數(shù)列{an}中，a2=7, a4=15，則前10項的和S10=_______

12、一個等差數(shù)列{an}中前4項和為40，最后4項的和為80，所有項和210，求項數(shù)n.13、等差數(shù)列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，問數(shù)列的前多少項之和最大，并求出最大值。

3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范圍；②指出S1，S2…S12中哪一個值最大，說明理由。）

4、（2004年重慶考試卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003?a2004<0，則使前n項和S>0成立的最大自然數(shù)n是（A、4005B、4006C、4007D=4008

5、（2004年福建卷試卷）若

a5Sa=5，則求939

S=_______

56、（2001年上海考試卷）設(shè)數(shù)列的通項為an=2n-7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首項a1>0，Sn=

?1，則i?1aiai?1

limSn=________ n??

8、（2006北京卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn，（1）若a11=0，S14=98，求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項公式。/ 1）

第四篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

第24課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

●考試目標主詞填空

1.等差數(shù)列的性質(zhì).

①等差數(shù)列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數(shù)列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數(shù)列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數(shù)列，⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且m，k為常數(shù)，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數(shù)列前n項和的充要條件是2.等比數(shù)列的性質(zhì).①在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其單調(diào)性的考察應(yīng)視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數(shù)列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數(shù)列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構(gòu)成一個新數(shù)列，則此新數(shù)列仍是等比數(shù)列.?man?⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，m是不等于零的常數(shù)，則{m·an·bn}與??仍為等比數(shù)列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.(2)從等比數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.

【解前點津】等差數(shù)列的公差以及等比數(shù)列的公比都是已知常數(shù)，且每隔k項抽取一個數(shù)中的k邊應(yīng)視為已知正整數(shù)，按定義證明即可.【規(guī)范解答】(1)設(shè){xn}是公差為d的等差數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為xm，隔k項抽取的第二個數(shù)為xm+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為xm+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關(guān)的常數(shù)，故新數(shù)列是一個公差為kd的等差數(shù)列.(2)設(shè){yn}是一個公比為q的等比數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為ym，隔k項抽取的第二個數(shù)為ym+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為ym+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數(shù)列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關(guān)的常數(shù).m?pk?k?1y1?q

故新數(shù)列是一個公比為qk的一個等比數(shù)列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數(shù)列，只須證明xn-xn-1=常數(shù)即可，類似地，證明{yn}是一個等比數(shù)列，只證明yn=常數(shù)即可. yn?

1【例2】設(shè)x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且

111xz，成等差數(shù)列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導(dǎo)

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規(guī)范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數(shù)n. 12

5【解前點津】構(gòu)造“新數(shù)列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規(guī)范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數(shù)列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數(shù)列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數(shù).

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列，或一個等比數(shù)列的模型.這是一種“化歸”的數(shù)學(xué)思想.【例4】設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設(shè)

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規(guī)范解答】設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關(guān)于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量a1，d的方程，是常規(guī)思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應(yīng)訓(xùn)練分階提升

一、基礎(chǔ)夯實

1.在等比數(shù)列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數(shù)列，公比為q，則該數(shù)列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，?，重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列 C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差

5.設(shè)2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

6.若{an}是等比數(shù)列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數(shù)，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數(shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設(shè)上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a25三個數(shù)依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25=114,求這三個數(shù).13.已知{an}為等差數(shù)列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設(shè)f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數(shù))，{an}是等差數(shù)列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數(shù)列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數(shù)列?

(2)設(shè)bn=|an|，求數(shù)列|bn|的前n項和.第3課等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)習(xí)題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設(shè)這兩個正數(shù)為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設(shè)公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數(shù)是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數(shù)列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設(shè){an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數(shù).∴數(shù)列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數(shù)列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當(dāng)1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當(dāng)n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數(shù)列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第五篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

龍源期刊網(wǎng) http://.cn

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

作者：劉春建

來源：《高考進行時·高三數(shù)學(xué)》2013年第03期

一、考綱要求

1.理解等差數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列。

2.理解等比數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列。

3.能夠利用等差中項和等比中項證明等差數(shù)列和等比數(shù)列。

二、難點疑點

1.在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列的過程中，部分學(xué)生只是求出了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，而沒有利用遞推關(guān)系或者等差、等比中項進行證明。

2.在用等比中項證明等比數(shù)列的時候，沒有交代各項均不為零。

3.要注意整體思想在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列中的靈活運用。