第一篇：長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量單元測(cè)試題

長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量單元測(cè)試題

數(shù)學(xué)（理）2018.7

本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()

A． 銳角三角形

B． 直角三角形 C． 鈍角三角形

D． 不確定

2．在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則

=()

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()

A．

B．

C．

D． 0

=

2,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的（）4．在△ABC中,設(shè)A． 垂心

B． 內(nèi)心

C． 外心

D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()

-λ

與向量的夾角大于90°,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍A． λ<

B． λ<2

C． λ>

D． λ>2

6．已知△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且,則||等于()

A．

B．

C．

D． 2

7．已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a上的投影為()

試卷第1頁(yè)，總5頁(yè) A．

1B． 2

C．

D．

8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于（）A． {(1,1)}

B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}

D． ?

9．已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=（）A．

4B．

3C． 2

D． 0

10．如圖所示,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),且三等分圓周,若

=x

+y,則

()

A． x=y=-1

B． x=y=1

C． x=y=

D． x=y=-11．如右圖:在平行六面體=.則下列向量中與

中，為AC與BD的交點(diǎn)，若

相等的向量是()

=，=，A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，（）的取值范圍是

試卷第2頁(yè)，總5頁(yè)

A．

B．

C． [﹣6，6]

D． [﹣4，4]

試卷第3頁(yè)，總5頁(yè)

第II卷（非選擇題）

二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。

13．在四邊形ABCD中,積為_(kāi)____.=(1,1)，則四邊形ABCD的面14．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠DAB=60°,=2,則的值為_(kāi)_______.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夾角為,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b與c共線,則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)____.三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

17．如圖所示,在平面斜坐標(biāo)系xOy中,∠x(chóng)Oy=60°,平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若的斜坐標(biāo)為(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分別為x軸、y軸同方向的單位向量),則點(diǎn)P

(1)若點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的斜坐標(biāo)為(2,-2),求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離.(2)求以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證:

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．

19．如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn),AC與BM交于點(diǎn)N,BN=BM.(1)求證:M是CD的中點(diǎn);

試卷第4頁(yè)，總5頁(yè)(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點(diǎn)B的一動(dòng)點(diǎn),求20．設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如圖,在△OAB中,已知P為線段AB上的一點(diǎn),.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|

|=2,且的夾角為60°時(shí),求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函數(shù)f（x）=2?，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相應(yīng)的x的值；（2）計(jì)算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

試卷第5頁(yè)，總5頁(yè)

參考答案

1．B 【解析】 【分析】

由正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得A為直角，即得選項(xiàng).【詳解】

∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形． 【點(diǎn)睛】

判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．

②化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論．

2．A 【解析】 【分析】

利用向量的線性運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解.【詳解】

如圖,=-=-)==)=.故答案為：A

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查向量的線性運(yùn)算法則，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運(yùn)算的重要考點(diǎn)，要理解掌握并靈活運(yùn)用.3．B 【解析】 【分析】

答案第1頁(yè)，總15頁(yè)

先設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個(gè)數(shù)，若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較數(shù)量積公式求a與b的夾角.【詳解】

設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3

(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積和模，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是先要討論S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】

假設(shè)BC的中點(diǎn)是O,先化簡(jiǎn)已知得

2=2,即（）·

=0, 所以的個(gè)數(shù)得到，其二, 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的外心.【詳解】

假設(shè)BC的中點(diǎn)是O,則即(所以)·=0，=（）·（）=2

=2, ,所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的外心.答案第2頁(yè)，總15頁(yè)

故答案為：C 【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的減法法則，考查向量垂直的表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是在于熟練掌握向量的運(yùn)算法則.5．D 【解析】 【分析】

設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為m,由題得得a·<0,再利用已知和數(shù)量積公式化簡(jiǎn)即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【詳解】

由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此|

|2-λ

<0,若設(shè)正三角形ABC邊長(zhǎng)為m,則有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案為：D 【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查平面向量的夾角公式和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】

設(shè)AD的中點(diǎn)為E,證明四邊形ABCE是平行四邊形，再證明|【詳解】

設(shè)AD的中點(diǎn)為E,則ABCE是平行四邊形,連接BE,因?yàn)椤鰽BD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以

|=|

|，求|

|即得解.的夾角大于90°，即；的夾角小于90°，即

.||=||=×2=，故答案為：B.【點(diǎn)睛】

答案第3頁(yè)，總15頁(yè)

(1)本題主要考查平面向量的平行四邊形法則和共線向量，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是取AD的中點(diǎn)E,因?yàn)?．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的投影公式求解.【詳解】

中有.a+b在a上的投影為故答案為：B 【點(diǎn)睛】

=2.(1)本題主要考查向量的投影和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影為8．C 【解析】 【分析】

.先設(shè)解.【詳解】，再化簡(jiǎn)集合M得到，再化簡(jiǎn)集合N得到，解方程組即得設(shè)a=(x,y),對(duì)于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.①

對(duì)于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案為：C 【點(diǎn)睛】

.②

(1)本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平

答案第4頁(yè)，總15頁(yè)

和分析推理能力.(2)本題解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是設(shè)，因?yàn)橄蛄渴沁\(yùn)動(dòng)變化的,其二是化簡(jiǎn)集合M和N，分別得到9．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】

a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案為：B 【點(diǎn)睛】

和.(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以為鄰邊作平行四邊形OBDA,根據(jù)平行四邊形法則即得x,y的值.,這些公式要理解掌握并靈活運(yùn)用.【詳解】 以

故答案為：A 【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量平行四邊形法則和共線向量，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 為鄰邊作平行四邊形OBDA,已知

=0,所以

=-,因此x=y=-1.答案第5頁(yè)，總15頁(yè)

由題意可得

化簡(jiǎn)得到結(jié)果．

【詳解】

由題意可得

故答案為：A 【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的加法減法法則,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】

根據(jù)圓的方程，求出【詳解】

因?yàn)閳AM：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圓心的坐標(biāo)（3，3）半徑為2，所以|ME|=∴=，|OM|=

3，=

=，∵的取值范圍是[﹣6，6]．，的模長(zhǎng)關(guān)系與夾角，利用向量數(shù)量積求得取值范圍。

=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)向量的模長(zhǎng)求得數(shù)量積的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題。13．

【解析】 【分析】

先推理得到四邊形ABCD為平行四邊形,且|

|=|

|=,再根據(jù)已知得到四邊形ABCD為菱形,再求出三角形BCD的面積，最后計(jì)算出四邊形ABCD的面積.【詳解】

答案第6頁(yè)，總15頁(yè)

由=(1,1),可知四邊形ABCD為平行四邊形,且||=||=,因?yàn)?所以可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分∠ABC,四邊形ABCD為菱形,其邊長(zhǎng)為,且對(duì)角線BD長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)的倍,即BD=,則CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面積為,所以四邊形ABCD的面積為2×故答案為：【點(diǎn)睛】.(1)本題主要考查共線向量和向量的線性運(yùn)算，考查三角形的面積的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)表示與向量方向相同的單位向量.14．

【解析】 【分析】

先計(jì)算出【詳解】 =-a2，再計(jì)算出

=()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·()

答案第7頁(yè)，總15頁(yè)

=·()

=-

=-a2+a2+a2=-.故答案為：【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查向量的線性運(yùn)算法則，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運(yùn)算的重要考點(diǎn)，要理解掌握并靈活運(yùn)用.15．

【解析】 【分析】

先利用坐標(biāo)運(yùn)算求出a·b=3+(3+m)2=[

m,再利用向量的數(shù)量積公式得a·b=,再解方程]2即得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】 因?yàn)閍·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos

]2, ，解得m=-.故答案為：-【點(diǎn)睛】

答案第8頁(yè)，總15頁(yè)

（1）本題主要考查向量的數(shù)量積計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】

先求出λa+b的坐標(biāo)，再根據(jù)向量λa+b與c共線得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【詳解】

由題可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b與c共線,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案為：-1 【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】

(1)先根據(jù)點(diǎn)P的斜坐標(biāo)得到設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為(x,y),【詳解】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,-2), 所以所以|

=2e1-2e2，|=2,即點(diǎn)P到原點(diǎn)O

=2e1-2e2, 再平方求出|

|2=4，即點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為2（.2）

與向量

共線，則

.，則

.=xe1+ye2,再平方化簡(jiǎn)得所求圓的方程為x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距離為2.(2)設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為(x,y), 則=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，則x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圓的方程為x2+y2+xy=1.【點(diǎn)睛】

答案第9頁(yè)，總15頁(yè)

（1）本題主要考查新定義和向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于新定義要先理解清楚它的內(nèi)涵外延，再利用它來(lái)解題.18．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析 【解析】 【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出

和的坐標(biāo)，再計(jì)算得

=0即證

BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),再根據(jù)已知求出P【詳解】，再求=4=，即證明AP=AB.如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10頁(yè)，總15頁(yè)

∴||=||,即AP=AB.【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，考查模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力（.2）向量則19．（1）見(jiàn)解析；（2）0 【解析】 【分析】

.，(1)設(shè)=m=n,再根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)=,再求出=(1-n)+n,解方程組所以=m,即M是CD的中點(diǎn).（2）先利用向量的數(shù)量積和向量的線性運(yùn)算求得數(shù)求出函數(shù)的最小值.【詳解】(1)設(shè)=m=n，==-,再利用二次函由題意知)

=又+m)=+n，+n()

=(1-n)+n，∴

答案第11頁(yè)，總15頁(yè)

∴=m,即M是CD的中點(diǎn).(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中點(diǎn), ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--|

|2

|cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2

=又0<||-||≤|2=-,∴當(dāng)||=, ,即H與M重合時(shí),取得最小值,且最小值為0.【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查向量的線性運(yùn)算和基底法，考查向量的數(shù)量積計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于平面內(nèi)的不共線的向量量總可以表示成，其中

是基底.，則平面的任意一個(gè)向20．（1）；（2）【解析】 【分析】

(1)設(shè)a與b的夾角為θ,化簡(jiǎn)|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【詳解】

=

.得θ=,即a與b的夾角為.（2）利用向量模的計(jì)算(1)設(shè)a與b的夾角為θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a與b的夾角為.(2)|2a+3b|==

答案第12頁(yè)，總15頁(yè)

=.【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查向量的模和數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2),則

.21．（1）【解析】 【分析】 ；（2）

(1)利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)得,即x=,y=.（2）先求出再計(jì)算【詳解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3

+3,即4

+3，∴.∴x=,y=.·()

=

=×22-×42+×4×2×=-9.【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查向量的線性運(yùn)算和基底法，考查向量的數(shù)量積計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于平面內(nèi)的不共線的向量

答案第13頁(yè)，總15頁(yè)，則平面的任意一個(gè)向

量總可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2個(gè)零點(diǎn).【解析】 【分析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出f（x）的表達(dá)式，再根據(jù)定義域求出最值及相應(yīng)的自變量。（2）根據(jù)三角函數(shù)表達(dá)式，求出三角函數(shù)的變化周期及函數(shù)值，代入求解。（3）跟雷討論在t取不同范圍時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題?！驹斀狻?/p>

（1）f（x）=2?=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=

sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=sin（x﹣）與y=﹣同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)數(shù)的圖象．

兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在答案第14頁(yè)，總15頁(yè)

當(dāng)4k＜t＜+4k，k∈Z時(shí)，由圖象可知，y=sin（x﹣）與y=﹣零點(diǎn)

兩圖象無(wú)交點(diǎn)，g（x）無(wú)當(dāng)+4k≤t＜2+4k或1個(gè)零點(diǎn) +4k＜t≤4+4k時(shí)，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象1個(gè)交點(diǎn)，g（x）當(dāng)2+4k≤t≤【點(diǎn)睛】 +4k時(shí)，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象2個(gè)交點(diǎn)，g（x）2個(gè)零點(diǎn).本題考查了向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意分類討論時(shí)t的不同取值情況，屬于難題。

答案第15頁(yè)，總15頁(yè)

第二篇：長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)不等式單元測(cè)試題

長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)不等式單元測(cè)試題

數(shù)學(xué)（理）2018.7

本試卷共5頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．下列命題中，為真命題的是

()

A． 若ac>bc，則a>b

B． 若a>b，c>d，則ac>bd

C． 若a>b，則<

D． 若ac2>bc2，則a>b 2．下列命題的逆命題為真命題的是

()

A． 若x>2，則(x-2)(x+1)>0

B． 若x2+y2≥4，則xy=2 C． 若x+y=2，則xy≤

1D． 若a≥b，則ac2≥bc2

3．若a＞0，b＞0，則p＝與q＝a·b的大小關(guān)系是()

baA． p≥q

B． p≤q

C． p＞q

D． p＜q

4．在R上定義運(yùn)算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則（）

A． ﹣1＜a＜1

B． 0＜a＜

2C． ﹣5．若實(shí)數(shù)A． C． 滿足

B．

D．

D． ﹣ ,則下列不等式一定成立的是()

6．設(shè)均為正數(shù),且,則的最小值為()

A． 1

B．

3C． 6

D． 9

7．在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足

試卷第1頁(yè)，總5頁(yè)，設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，則λ2?λ3取到最大值時(shí)，2x+y的值為（）

A． ﹣1

B． 1

C．-

D．

8．函數(shù)y＝f(x)的圖象是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的兩段圓弧，如圖所示．則不等式f(x)>f(－x)＋x的解集為()

A． ∪(0,1]

B． [－1,0)∪

C． ∪

D． ∪

9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區(qū)域?yàn)?)

A．

B．

C．

D．

10．當(dāng)x≥0時(shí)，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4)

B．(－4,4)C． [10，＋∞)

D．(1,10]

試卷第2頁(yè)，總5頁(yè) 11．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，則()A． a＜b

B． a＞b C． ab＜

1D． ab＞2

12．函數(shù)y＝(x＜0)的值域是()

A．(－1,0)

B． [－3,0)C． [－3,1]

D．(－∞，0)試卷第3頁(yè)，總5頁(yè)

第II卷（非選擇題）

二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。

13．建造一個(gè)容積為8 m3，深為2 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，若池底每平方米120元，池壁的造價(jià)為每平方米80元，這個(gè)水池的最低造價(jià)為_(kāi)_______元．

14．不等式＜2的解集為_(kāi)_______．

15．已知x,y,z∈R,有下列不等式: ①x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);，③|x+y|≤|x-2|+|y+2|;④x2+y2+z2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序號(hào)是_____ 16．已知x，則函數(shù)的最大值為_(kāi)______

三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

17．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0(a>0)，q：實(shí)數(shù)x滿足≤0．(1)若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

18．設(shè) p：2x2-3x+1≤0，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

19．已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實(shí)數(shù)),設(shè)，(1)若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)設(shè)mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)滿足f(-x)=f(x),試比較F(m)+F(n)的值與0的大小.20．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥x，且當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，有f(x)≤(x＋2)2成立．

試卷第4頁(yè)，總5頁(yè)(1)證明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表達(dá)式；

(3)設(shè)g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)圖象上的點(diǎn)都位于直線y＝的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

21．某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料能獲得利潤(rùn)10000元，需要的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽8噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料能獲得利潤(rùn)5000元，需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現(xiàn)庫(kù)存有磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種肥料．問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？ 22．整改校園內(nèi)一塊長(zhǎng)為15 m，寬為11 m的長(zhǎng)方形草地(如圖A)，將長(zhǎng)減少1 m，寬增加1 m(如圖B)．問(wèn)草地面積是增加了還是減少了？假設(shè)長(zhǎng)減少x m，寬增加x m(x>0)，試研究以下問(wèn)題：

x取什么值時(shí)，草地面積減少？ x取什么值時(shí)，草地面積增加？

試卷第5頁(yè)，總5頁(yè)

參考答案

1．D 【解析】 【分析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷真假.【詳解】

當(dāng)c<0時(shí)，若ac>bc，則aa>b，0>c>d時(shí)，ac

若a>b>0或0>a>b，則，但當(dāng)a>0>b時(shí)，故C為假命題；

若ac2>bc2，則故答案為：D.【點(diǎn)睛】，則a>b，故D為真命題．

本題主要考查不等式的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.2．B 【解析】 【分析】

先寫出每一個(gè)選項(xiàng)的逆命題，再判斷命題的真假.【詳解】

A中，“若x>2，則(x-2)(x+1)>0”的逆命題為“若(x-2)(x+1)>0，則x>2”，為假命題； B中，“若x2+y2≥4，則xy=2”的逆命題為“若xy=2，則x2+y2≥4”，為真命題；

C中，“若x+y=2，則xy≤1” 的逆命題為“若xy≤1，則x+y=2”，如x=-1，y=-1，滿足xy≤1，但x+y≠2，為假命題；

D中，“若a≥b，則ac2≥bc2”的逆命題為“若ac2≥bc2，則a≥b”，如c=0時(shí)，ac2≥bc2，但a≥b不一定成立，為假命題． 故答案為：B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查逆命題和其真假的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.答案第1頁(yè)，總16頁(yè)

3．A 【解析】 【分析】

利用作商法結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)比較大小.【詳解】 ，若則，；

若則，∴

若∴p≥q 故選：A 則

【點(diǎn)睛】

本題考查比較大小問(wèn)題，考查了作商法及指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了分類討論的思想，屬于中等題.4．C 【解析】 【分析】

根據(jù)新定義化簡(jiǎn)不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出關(guān)于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范圍． 【詳解】

由已知：（x﹣a）?（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．

令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜tmin．

答案第2頁(yè)，總16頁(yè)

t=x2﹣x=，當(dāng)x∈R，t≥﹣．

∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣故選：C． 【點(diǎn)睛】 ．

考查學(xué)生理解新定義并會(huì)根據(jù)新定義化簡(jiǎn)求值，會(huì)求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件． 5．B 【解析】 【分析】

由題意給出反例說(shuō)明不等式的結(jié)論不成立，結(jié)合不等式的性質(zhì)證明不等式成立即可確定正確選項(xiàng).【詳解】 取取取，滿足，滿足，滿足，而，而，而，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)D錯(cuò)誤； , 對(duì)于選項(xiàng)B，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知由題意可知,，即由不等式的傳遞性可知本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】，選項(xiàng)B的說(shuō)法正確.本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6．D 【解析】 【分析】

答案第3頁(yè)，總16頁(yè)

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論得到關(guān)于的不等式，求解不等式即可確定的最小值.【詳解】

均為正數(shù),且由基本不等式可得解得據(jù)此可得或,所以,整理可得(舍去).,整理得, ,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為9.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】

在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 7．D 【解析】 【分析】

根據(jù)三角形中位線定理及基本不等式，求得λ2?λ3的最大值，并求得此時(shí)P的位置。由向量加法法則，判斷出x與y的關(guān)系，進(jìn)而求出2x+y的值?！驹斀狻?/p>

由題意，可得∵EF是△ABC的中位線，∴P到BC的距離等于△ABC的BC邊上高的一半，可得S1=S=S2+S3，由此可得λ2?λ3

=由向量的加法的四邊形法

當(dāng)且僅當(dāng)S2=S3時(shí)，即P為EF的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．∴則可得，∴兩式相加，得∵由已知得∴根據(jù)平面向量基本定理，得x=y=，從而得到2x+y=.綜上所述，可得當(dāng)λ2?λ3取到最大值時(shí)，2x+y的值為

答案第4頁(yè)，總16頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由基本不等式確定最值，屬于難題。8．C 【解析】 【分析】

由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則不等式f（x）＞f（﹣x）+x等價(jià)為f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可． 【詳解】

函數(shù)的圖象可知，函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則f（﹣x）=﹣f（x），所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等價(jià)為f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）．

對(duì)應(yīng)圓的方程為x2+y2=1，聯(lián)立直線y=得，x=，所以由圖象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集為[﹣1，﹣故答案為：C 【點(diǎn)睛】）∪（0，）．

(1)本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理數(shù)形結(jié)合能力（.2利用圖象的對(duì)稱性判斷函數(shù)是奇函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，然后利用直線與圓的方程解方程即可． 9．B 【解析】 【分析】 先化簡(jiǎn)不等式得到【詳解】 由題得先作出不等式再作出

或，再分別作出它們對(duì)應(yīng)的可行域即得解.或

.對(duì)應(yīng)的可行域，是選項(xiàng)B中上面的一部分，對(duì)應(yīng)的可行域，是選項(xiàng)B中下面的一部分，答案第5頁(yè)，總16頁(yè)

故答案為：B 【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查不等式對(duì)應(yīng)的可行域，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)解題的關(guān)鍵是由已知的不等式得到10．B 【解析】 【分析】

一般選擇特殊值驗(yàn)證法，取a=10,排除C,D,取a=-4,排除A,故選擇B.【詳解】

用特殊值檢驗(yàn)法，取a＝10，則不等式為－5x－6x＋15＞0，即5x＋6x－15＜0，當(dāng)x≥0取x=2時(shí)，17＞0，所以不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0不恒成立，排除C，D，取a＝-4，不

2或

.等式為9x－6x＋1>0，當(dāng)x≥0取x=時(shí)，0＞0不恒成立，所以排除A.故答案為：B 【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.（2）本題可以選擇直接法解答，但是比較復(fù)雜，由于是一個(gè)選擇題，所以可以選擇特殊值驗(yàn)證法比較簡(jiǎn)潔.11．A 【解析】 【分析】 先利用作差法比較【詳解】 的大小，再比較a,b的大小關(guān)系.2∵0＜α＜β＜，∴0＜2α＜2β＜且0＜sin 2α＜sin 2β，∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，答案第6頁(yè)，總16頁(yè)

∴a－b＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，＝sin2α－sin2β＜0，∴a＜b.又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，∴a＜b.【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)比較實(shí)數(shù)大小，常用的有作差法和作商法，本題的關(guān)鍵是首先要想到比較12．B 【解析】 【分析】 的大小.2222先把函數(shù)變形得y＝【詳解】，再利用基本不等式求函數(shù)的最值即得函數(shù)的值域.y＝，∵x＜0，∴－x＞0且y＜0，∴x＋＝－(－x＋)≤－2，∴y＝≥－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立．

所以函數(shù)的值域?yàn)閇－3,0).故答案為：B

【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)使用基本不等式求最值時(shí)，要注意觀察收集題目中的數(shù)學(xué)信息（正數(shù)、定值等），然后變形，答案第7頁(yè)，總16頁(yè)

配湊出基本不等式的條件.解答本題的關(guān)鍵是先變形y＝13．1760 【解析】 【分析】

.設(shè)池底長(zhǎng)為x，根據(jù)條件建立水池的總造價(jià)，再根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】

設(shè)池底長(zhǎng)為x，則寬為因此水池的總造價(jià)為，當(dāng)且僅當(dāng)【點(diǎn)睛】

在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14．(－∞，－7)∪(－2，＋∞)【解析】 【分析】

先移項(xiàng)通分，再根據(jù)符號(hào)確定不等式解集.【詳解】 時(shí)取等號(hào)，即這個(gè)水池的最低造價(jià)為1760元.，即解集為(－∞，－7)∪(－2，＋∞).【點(diǎn)睛】

本題考查分式不等式解法，考查基本求解能力.15．①③④ 【解析】

答案第8頁(yè)，總16頁(yè)

【分析】

由題意逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法的正誤即可.【詳解】

逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法：，則，說(shuō)法①正確；

當(dāng)時(shí)，不成立，說(shuō)法②錯(cuò)誤；

由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得：|x?2|+|y+2|?|(x?2)+(y+2)|=|x+y|，說(shuō)法③正確；，則，說(shuō)法④正確.綜上可得，一定成立的不等式的序號(hào)是①③④.【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，利用不等式求最值，均值不等式成立的條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16．1 【解析】 【分析】 由題意可知【詳解】，結(jié)合均值不等式的結(jié)論求解函數(shù)的最大值即可.∵x

又∵y=4x-2

=≤-2+3=1，答案第9頁(yè)，總16頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)5-4xx=1時(shí)等號(hào)成立，∴ymax=1.【點(diǎn)睛】

條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．

17．（1）x的取值范圍為(2，3)；（2）a的取值范圍為(1，2]． 【解析】 【分析】

（1）先化簡(jiǎn)命題p和q,再根據(jù)p∧q為真得到x的取值范圍.(2)先寫出命題p和q，再根據(jù)p是q的充分不必要條件得到a的取值范圍.【詳解】

(1)由x2-4x+3<0，得1

由≤0，得2

∵p∧q為真，∴p真，q真，∴,解得2

q：實(shí)數(shù)x滿足x≤2或x>3；

p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2≥0，由x2-4ax+3a2≥0，得x≤a或x≥3a． ∵p是q的充分不必要條件，所以a≤2且3a>3，解得1

(1)本題主要考查不等式的解法，考查復(fù)合命題的真假，考查充要條件的運(yùn)用，意在考查學(xué)

答案第10頁(yè)，總16頁(yè)

生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結(jié)論；然后化簡(jiǎn)每一個(gè)命題，建立命題

和集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系.,則是的充分條件，若，則；最后利用下面的結(jié)論判斷：①若是的充分非必要條件；②若③若且，即,則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；

時(shí)，則是的充要條件.18．

【解析】 【分析】

先化簡(jiǎn)命題p和q,再根據(jù)p是q的充分不必要條件分析推理得到a的取值范圍.【詳解】

由題意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1．

∵p是q的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件，∴a+1≥1且a≤(等號(hào)不能同時(shí)取得)，∴0≤a≤．

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】

．

(1)本題主要考查解不等式，考查充要條件的應(yīng)用，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結(jié)論；然后化簡(jiǎn)每一個(gè)命題，建立命題和集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系.,則是的充分條件，若，；最后利用下面,時(shí)，的結(jié)論判斷：①若，則是的充分非必要條件；②若

且，即則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；③若

答案第11頁(yè)，總16頁(yè)

則是的充要條件.19．(1)【解析】 【分析】（1）由可得

.(2).(3)F(m)+F(n)>0.；然后再根據(jù)f(x)≥0恒成立并結(jié)合判別式可得a=1，進(jìn)而可得，根據(jù)函數(shù)有單調(diào)性可得對(duì)稱軸與所給

為奇函數(shù)且在R上為增函函數(shù)的解析式．（2）由題意可得區(qū)間的關(guān)系，從而可得k的取值范圍．（3）結(jié)合題意可得函數(shù)數(shù)，再根據(jù)條件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0． 【詳解】(1)∵∴b=a+1.∵f(x)≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1.，故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)可得解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范圍為(3)∵f(-x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴b=0．

．

或，答案第12頁(yè)，總16頁(yè)

又a>0，∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)為增函數(shù)． 對(duì)于F(x),當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí),∴∴在，,且F(x)在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)．

；

由mn<0,知m,n異號(hào),不妨設(shè)m>0,n<0, 則有m>-n>0，∴，． ∴【點(diǎn)睛】

（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要結(jié)合拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解，進(jìn)而得到關(guān)于參數(shù)的不等式即可．

（2）分段函數(shù)的奇偶性的判定要分段進(jìn)行，在得到每一段上的函數(shù)的奇偶性后可得結(jié)論．

20．（1）見(jiàn)解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋【解析】 【分析】（1）由題得)．，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程組，再根據(jù)f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表達(dá)式.(3)先轉(zhuǎn)化為x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合分析得到m的取值范圍.【詳解】

(1)證明：由條件知： f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．

答案第13頁(yè)，總16頁(yè)

又因取x＝2時(shí)，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)因∴4a＋c＝2b＝1.，∴b＝，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．

∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出：a＝，b＝，c＝.∴f(x)＝x2＋x＋.(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必須恒成立． 即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.解得：1－

(1)本題主要考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，考查二次函數(shù)的解析式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)解答第3問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析得到Δ<0或.21．生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元．

答案第14頁(yè)，總16頁(yè)

【解析】 【分析】

設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x(chóng)車皮、乙種肥料y車皮能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z萬(wàn)元，列出線性約束條件，再利用線性規(guī)劃求解.【詳解】

設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x(chóng)車皮、乙種肥料y車皮能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z萬(wàn)元． 目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋0.5y，約束條件為：，可行域如圖中陰影部分的整點(diǎn)．

當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z最大，即z最大． 解方程組所以zmax＝x＋0.5y＝3.所以生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元． 【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和應(yīng)用能力.(2)線性規(guī)劃問(wèn)題步驟如下：①根據(jù)題意，設(shè)出變量數(shù)行直線系

；②列出線性約束條件；③確定線性目標(biāo)函

得：M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)．

；④畫(huà)出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；⑤利用線性目標(biāo)函數(shù)作平

；⑥觀察圖形，找到直線

在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.22．見(jiàn)解析

答案第15頁(yè)，總16頁(yè)

【解析】 【分析】

先計(jì)算原草地的面積和整改后的草地面積，即得草地面積增加了.設(shè)減少x m，寬增加x m后，計(jì)算出新草地的面積，再比較和原草地面積的大小，即得x取什么值時(shí)，草地面積減少, x取什么值時(shí)，草地面積增加.【詳解】

原草地面積S1＝11×15＝165(m2)，整改后草地面積為：S＝14×12＝168(m2)，∵S>S1，∴整改后草地面積增加了．

研究：長(zhǎng)減少x m，寬增加x m后，草地面積為：

S2＝(11＋x)(15－x)，∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，∴當(dāng)04時(shí)，x2－4x>0，∴S1>S2.綜上所述，當(dāng)04時(shí)，草地面積減少． 【點(diǎn)睛】

本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，考查一元二次不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.答案第16頁(yè)，總16頁(yè)

第三篇：長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)勾股定理單元測(cè)試題-專題

長(zhǎng)春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)勾股定理單元測(cè)試題

數(shù)學(xué) 2018.7

本試卷共7頁(yè)，120分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題 共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，將△ACD沿AD所在的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在BC的中點(diǎn)E處，則∠B等于

（）

A． 25°

B． 30°

C． 45°

D． 60°

2．如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條邊是分別是a，b，則a+b和的平方的值（）

A． 1

3B． 19

C． 2

5D． 169

3．如圖所示，一個(gè)圓柱高為8cm，底面圓的半徑為5cm，則從圓柱左下角A點(diǎn)出發(fā)．沿圓柱體表面到右上角B點(diǎn)的最短路程為（）

A． cm

B．

cm

C．

cm

D． 以上都不對(duì)，那么AB的長(zhǎng)度是（）4．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=

A．

B． 27

C． 3

D． 25

試卷第1頁(yè)，總7頁(yè) 5．如圖是由5個(gè)正方形和5個(gè)等腰直角三角形組成的圖形，已知③號(hào)正方形的面積是1，那么①號(hào)正方形的面積是（）

A．

4B． 8

C． 16

D． 32

6．如圖，一棵大樹(shù)在離地面3米處折斷，樹(shù)的頂端落在離樹(shù)干底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是（）

A． 8米

B． 12米

C． 5米

D． 5或7米

7．在以下列三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能組成直角三角形的是（）A． 4、7、9

B． 5、12、1

3C． 6、8、10

D． 7、24、25

8．如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫(huà)直角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)（）

A． 6

B． 7

C． 8

D． 9

9．直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊長(zhǎng)為（）A．

4B．

5C． 6

D． 10 10．如圖矩形ABCD中，AB=3，BC=

3，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△PCD沿直線

PD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，則點(diǎn)B到點(diǎn)C1的最短距離為（）

A． 5

B． 4

C． 3

D． 2

二、填空題 共10小題，每小題3分，共30分。

11．如圖所示的圖形由4個(gè)等腰直角形組成，其中直角三角形（1）的腰長(zhǎng)為1cm，則直角三角形（4）的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_．

試卷第2頁(yè)，總7頁(yè)

12．如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若S1=30，S2=40，則S3=_____．

13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．

14．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)．如果∠A=105°，∠B=45°，b=

2，那么c=_____．

15．把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．

16．勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式

可

以

構(gòu)

造

出

如

下

勾

股

數(shù)

組

：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面規(guī)律，第5個(gè)勾股數(shù)組為_(kāi)____．

17．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=6，△ABC的面積為cm2，則斜邊AB的長(zhǎng)

試卷第3頁(yè)，總7頁(yè) 是_____cm．

18．已知三角形三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，則此三角形的最大邊上的高等于_____． 19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△ACD沿CD所在的直線折疊至△CDA的位置，CA'交AB于點(diǎn)E．若△A'ED為直角三角形，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

20．如圖，△ABO的邊OB在數(shù)軸上，AB⊥OB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是_____．

三、解答題 共10小題，每小題6分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

21．如圖，5×5的正方形網(wǎng)格中隱去了一些網(wǎng)格線，AB，CD間的距離是2個(gè)單位，CD，EF間的距離是3個(gè)單位，格點(diǎn)O在CD上（網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請(qǐng)分別在圖①、②中作格點(diǎn)三角形OPQ，使得∠POQ=90°，其中點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在EF上，且它們不全等．

22．如圖，在長(zhǎng)方體上有一只螞蟻從項(xiàng)點(diǎn)A出發(fā)，要爬行到頂點(diǎn)B去找食物，一只長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、1、2，如果螞蟻?zhàn)叩氖亲疃搪窂?，你能?huà)出螞蟻?zhàn)叩穆肪€嗎？

試卷第4頁(yè)，總7頁(yè)

23．一駕2.5米長(zhǎng)的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部離建筑物0.7米，如果梯子的頂部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多遠(yuǎn)（其中梯子從AB位置滑到CD位置）？

24．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至B′處，求B′與B之間的距離．

25．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是多少？

26．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32．

（1）求∠BDC的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積．

27．已知△ABC，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖．

（1）在圖1中，畫(huà)一個(gè)與△ABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形；（2）在圖2中，畫(huà)一個(gè)與△ABC面積相等，且以點(diǎn)C為一頂點(diǎn)的正方形．

試卷第5頁(yè)，總7頁(yè)

28．已知：如圖等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于D，且BD=8．求△ABC的面積S△ABC．

29．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．請(qǐng)完成以下任務(wù)．（1）尺規(guī)作圖：①作∠A的平分線，交CB于點(diǎn)D；

②過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)E．請(qǐng)保留作圖痕跡，不寫作法，并標(biāo)明字母．（2）若AC=3，BC=4，求CD的長(zhǎng)．

30．（1）如上圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，任意連接這些小正方形的頂點(diǎn)，可得到一些線段；請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出AB=，CD=，EF=

這樣的線段；

（2）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中作出△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1；并計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和B1之間的距離？

（3）如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的．

試卷第6頁(yè)，總7頁(yè)

①將該圖形分成三塊（在圖中畫(huà)出），使由這三塊可拼成一個(gè)正方形； ②求出所拼成的正方形的面積S．

試卷第7頁(yè)，總7頁(yè)

參考答案

1．B 【解析】 【分析】

利用隱含條件90°及等邊三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】

因?yàn)镋是直角三角形ABC的中點(diǎn)，所以AE=BE=EC，又因?yàn)椤螦EC=∠ACE，所以AE=AC=EC，所以，∠C=60°，∠B=30°.【點(diǎn)睛】

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.2．C 【解析】 【分析】

根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理，結(jié)合圖形進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積即直角三角形斜邊的平方13，也就是兩條直角邊的平方和是13，四個(gè)直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正方形的面積即2ab=12．根據(jù)完全平方公式即可求解． 【詳解】

根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2+b2=13，四個(gè)三角形的面積=4×ab=13?1，∴2ab=12，聯(lián)立解得：(a+b)2=13+12=25． 故選C． 【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意完全平方公式的展開(kāi)：(a+b)2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系． 3．B 【解析】 【分析】

沿過(guò)A的圓柱的高AD剪開(kāi)，展開(kāi)得出平面，連接AB，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．

答案第1頁(yè)，總19頁(yè)

【詳解】

沿過(guò) A 的圓柱的高 AD 剪開(kāi)，展開(kāi)得出平面，如圖

連接 AB，則 AB 的長(zhǎng)就是從圓柱左下角 A 點(diǎn)出發(fā).沿圓柱體表面到右上角 B 點(diǎn)的最短路程，由題意知： ∠BCA=90°，AC=×2×5cm×π=5πcm，BC=8cm，由勾股定理得： AB=故選B.【點(diǎn)睛】

本題考查了平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題及勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是知道求出哪一條線段的長(zhǎng)，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目． 4．C 【解析】 【分析】

根據(jù)AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根據(jù)求得的AD和BD解直角△ABD，可以計(jì)算AB． 【詳解】

∵△ACD為直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD=2，∵△ABD為直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB=3，故選 C． 【點(diǎn)睛】

答案第2頁(yè)，總19頁(yè)

(cm).本題考查了直角三角形中勾股定理的靈活運(yùn)用，根據(jù)兩直角邊求斜邊，根據(jù)斜邊和一條直角邊求另一條直角邊． 5．C 【解析】 【分析】

等腰直角三角形中，直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)的比值為1：，正方形面積為邊長(zhǎng)的平方；所以要求①號(hào)正方形的面積，求出①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)即可． 【詳解】

要求①號(hào)正方形的面積，求①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)即可，題目中給出③號(hào)正方形的面積為1，即③號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理4號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為求得①號(hào)正方形邊長(zhǎng)為4，所以①號(hào)正方形面積為4×4=16． 故選C． 【點(diǎn)睛】

本題考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，已知直角邊求斜邊邊長(zhǎng)，解本題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用勾股定理． 6．A 【解析】 【分析】

先根據(jù)勾股定理求出折斷部分的長(zhǎng)，再加上沒(méi)折斷的部分即可.【詳解】

米，3+5=8米.故選A.【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.也就是說(shuō)，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.7．A 【解析】 【分析】

答案第3頁(yè)，總19頁(yè)

，以此類推，可以

根據(jù)勾股定理逆定理逐項(xiàng)分析即可.【詳解】

A.∵42+72≠92，∴4、7、9不能組成直角三角形；

B.∵52+122=132，∴ 5、12、13能組成直角三角形；

C.∵62+82=102，∴6、8、10能組成直角三角形；

D.∵72+242=252，∴7、24、25能組成直角三角形； 故選A.【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理逆定理,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形,在一個(gè)三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.8．C 【解析】 【分析】

如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫(huà)直角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)． 【詳解】

根據(jù)題意可得以AB為邊畫(huà)直角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共 8個(gè)．

故選C． 【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要注意找出所有符合條件的點(diǎn)． 9．B 【解析】 【分析】

利用勾股定理即可求出斜邊長(zhǎng)． 【詳解】

答案第4頁(yè)，總19頁(yè)

由勾股定理得：斜邊長(zhǎng)為：故選B． 【點(diǎn)睛】

=5．

本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，理解勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵． 10．C 【解析】 【分析】

連接BD，BC1，利用三角形三邊關(guān)系得出BC1+DC1＞BD，得到當(dāng)C1在線段BD上時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C1的距離最短，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【詳解】 連接BD，BC1，在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，由折疊的性質(zhì)可知，C1D=CD=3，∴當(dāng)C1在線段BD上時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C1的距離最短，在Rt△BCD中，BD=此時(shí)BC1=6﹣3=3，故選：C．

=6，【點(diǎn)睛】

本題考查了翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.11．4 【解析】 【分析】

根據(jù)勾股定理先求出①的斜邊，再逐步求出各三角形的斜邊即可． 【詳解】

根據(jù)勾股定理，①的斜邊=③的斜邊=；④的斜邊=

；②的斜邊=

；

．故答案為4．

答案第5頁(yè)，總19頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．利用勾股定理是解題的基本思路． 12．70 【解析】 【分析】

根據(jù)勾股定理以及圓面積公式，可以證明：S1+S2=S3．故S3=70． 【詳解】

設(shè)直角三角形三邊分別為a、b、c，如圖所示：

則∵a2+b2=c2，，.∴即S1+S2=S3． ∴S3=70． 故答案為：70.【點(diǎn)睛】 ．

本題考查了圓的面積公式和勾股定理的應(yīng)用，注意發(fā)現(xiàn)此圖中的結(jié)論：S1+S2=S3． 13．8﹣【解析】 【分析】

作DF⊥AE于F，則四邊形DCEF為矩形，即DC=EF，要求CD的長(zhǎng)度，求出AF即可．再根據(jù)△ABE≌△ADF，要求AF求出BE即可． 【詳解】 如圖，答案第6頁(yè)，總19頁(yè)

作DF⊥AE于F，則DCEF為矩形，DC=EF，又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=BE，在Rt△ABE中，BE=，.∴DC=EF=AE-AF=8-故答案為：8﹣.點(diǎn)睛】本題考查了在直角三角形中勾股定理的合理運(yùn)用和全等三角形的構(gòu)建及證明．解本題關(guān)鍵是求證全等三角形，和已知2邊求直角三角形的第3邊． 14．c=2 【解析】 【分析】

已知∠A，∠B根據(jù)內(nèi)角和為180°，可以求出∠C，在直角△ACD中求得AD，在直角△ABD中求AD，根據(jù)AD=AD作為相等關(guān)系計(jì)算c． 【詳解】

作AD⊥BC于點(diǎn)D，在直角△ACD中，∠C=180°-105°-45°=30°，答案第7頁(yè)，總19頁(yè)

AD=（直角三角形中30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半）；

在直角△ABD中，AD=BD，且AD2+BD2=AB2，AD=

c，∴=∵b=2c，∴c=2． 故答案為：c=2． 【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中在直角△ACD和直角△ABD中求AD是解題的關(guān)鍵． 15．

【解析】 【分析】

先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論． 【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF=

=

答案第8頁(yè)，總19頁(yè)

∴CD=BF+DF-BC=1+故答案為：【點(diǎn)睛】-1．-2=-1，此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵． 16．（11，60，61）【解析】 【分析】

由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，進(jìn)而得出（11，60，61）． 【詳解】

由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得

第4組勾股數(shù)中間的數(shù)為4×（9+1）=40，即勾股數(shù)為（9，40，41）； 第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案為：（11，60，61）． 【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理． 17．5 【解析】 【分析】

根據(jù)題意得到AC2+2AC?BC+BC2=36，根據(jù)三角形的面積公式得到AC?BC=理計(jì)算即可． 【詳解】

∵AC+BC=6，∴（AC+BC）2=AC2+2AC?BC+BC2=36．，根據(jù)勾股定∵△ABC的面積為，∴AC?BC=故答案為：5． 【點(diǎn)睛】，∴2AC?BC=11，∴AC2+BC2=25，∴AB=

=5．

答案第9頁(yè)，總19頁(yè)

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．

18．【解析】 【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面積：斜邊×高÷2=直角邊×直角邊÷2，就可以求出最長(zhǎng)邊的高． 【詳解】

∵52+122=132，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最長(zhǎng)邊是13，設(shè)斜邊上的高為h，則S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=．

故答案為：． 【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面積公式求高． 19．3﹣【解析】 【分析】

分兩種情況:情況一：如圖一所示，當(dāng)∠A'DE=90°時(shí)； 情況二：如圖二所示，當(dāng)∠A'ED=90°時(shí).【詳解】

解：如圖，當(dāng)∠A'DE=90°時(shí)，△A'ED為直角三角形，或2

∵∠A'=∠A=30°，∴∠A'ED=60°=∠BEC=∠B，答案第10頁(yè)，總19頁(yè)

∴△BEC是等邊三角形，∴BE=BC=2，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=2，設(shè)AD=A'D=x，則DE=2﹣x，∵Rt△A'DE中，A'D=∴x=（2﹣x），； DE，解得x=3﹣即AD的長(zhǎng)為3﹣如圖，當(dāng)∠A'ED=90°時(shí)，△A'ED為直角三角形，此時(shí)∠BEC=90°，∠B=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=1，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=4﹣1=3，∴DE=3﹣x，設(shè)AD=A'D=x，則

Rt△A'DE中，A'D=2DE，即x=2（3﹣x），解得x=2，即AD的長(zhǎng)為2；

綜上所述，即AD的長(zhǎng)為3﹣

或2．

答案第11頁(yè)，總19頁(yè)

故答案為：3﹣【點(diǎn)睛】 或2．

本題考查了翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論是解題的關(guān)鍵.20．﹣．

【解析】 【分析】

先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)度【詳解】，，，OA＝OC＝，再由OC位于負(fù)半軸上，即可求出答案.∴根據(jù)勾股定理，得，點(diǎn)C在負(fù)半軸上，∴答案為【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理和無(wú)理數(shù)的應(yīng)用.21．見(jiàn)解析 【解析】 【分析】.先將AE、BF上的網(wǎng)格線補(bǔ)齊，因?yàn)椤螾OQ＝90°，則P和Q都在O點(diǎn)的右側(cè)，且PQ在格點(diǎn)上，當(dāng)P點(diǎn)在靠近A的第二個(gè)格點(diǎn)處，利用旋轉(zhuǎn)的方法，將OP旋轉(zhuǎn)90°，然后判斷EF上是否存在點(diǎn)Q使得∠POQ＝90°,同理判斷當(dāng)P在第三個(gè)格點(diǎn)、第四個(gè)格點(diǎn)、第五個(gè)格點(diǎn)時(shí)EF上是否存在點(diǎn)Q使得∠POQ＝90°.答案第12頁(yè)，總19頁(yè)

【詳解】

解：△POQ如圖所示；

【點(diǎn)睛】

熟練掌握網(wǎng)格中直角三角形的作圖技巧是本題的解題關(guān)鍵.22．見(jiàn)解析 【解析】 【分析】

分為兩種情況：如圖1根據(jù)勾股定理求出AB長(zhǎng)，如圖2根據(jù)勾股定理求出AB長(zhǎng)，得出圖1時(shí)最短，畫(huà)出即可． 【詳解】 解：能；

線段AB的長(zhǎng)就是螞蟻?zhàn)叩淖疃叹嚯x，分為兩種情況：如圖1：AC=4，BC=2+1=3，∠C=90°，由勾股定理得：AB=5；

如圖2：AC=4+1=5，BC=2，∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：AB=∴沿圖1路線走時(shí)最短，＞5，；

如圖3：

答案第13頁(yè)，總19頁(yè)

即能畫(huà)出螞蟻?zhàn)叩淖疃搪肪€：如圖從A到C′再到B或先沿底面走到C''然后走到B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能求出符合條件的最短路線的長(zhǎng)，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目． 23．0.8米 【解析】 【分析】

要求梯子的底部滑出多遠(yuǎn)，就要求梯子原先頂部的高度AO，且△AOB，△COD均為直角三角形，可以運(yùn)用勾股定理求解． 【詳解】

解：在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理AB=AO+OB，可以求得： OA==2.4米，2

22現(xiàn)梯子的頂部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，且CD=AB=2.5米，所以在直角三角形COD中DO=CD﹣CO，即DO==1.5米，22

2所以梯子的底部向外滑出的距離為1.5米﹣0.7米=0.8米． 答：梯子的底部向外滑出的距離為0.8米． 【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，找出題目中隱含的直角三角形是解題的關(guān)鍵． 24．BB′=2【解析】 【分析】

由以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至B'處，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

答案第14頁(yè)，總19頁(yè) cm．

質(zhì)得OB′=OB，在Rt△BOC中，AC=BC=2cm，可得OC=1cm，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OB,即可得到BB′.【詳解】 如答圖所示．

因?yàn)锳C=BC=2cm，所以O(shè)C=1cm． 在Rt△BOC中，OB=又因?yàn)镺B′=OB=【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理.25．從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是10厘米． 【解析】 【分析】

根據(jù)題意畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解即可． 【詳解】

圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．

=

=

（cm），cm，所以BB′=2cm．

∵圓柱的底面半徑為cm，高為8cm，∴AD=6cm，BD=8cm，∴AB==10（cm）．

答：從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是10厘米． 【點(diǎn)睛】

本題考查的是平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，此類問(wèn)題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角

答案第15頁(yè)，總19頁(yè)

三角形解決問(wèn)題．

26．（1）∠BDC=90°；（2）四邊形ABCD的面積為24+16【解析】 【分析】

（1）先根據(jù)題意得出△ABD是等邊三角形，△BCD是直角三角形，進(jìn)而可求出∠BDC的度數(shù)；

（2）根據(jù)四邊形周長(zhǎng)計(jì)算BC，CD，即可求△BCD的面積，正△ABD的面積根據(jù)計(jì)算公式計(jì)算，即可求得四邊形ABCD的面積為兩個(gè)三角形的面積的和． 【詳解】

（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形． ∵∠ADC=150°，∴∠BDC=150°﹣60°=90°；

．

（2）∵△ABD為正三角形，AB=8cm，∴其面積為××AB×AD=16．

∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得：BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面積=×6×8=24，故四邊形ABCD的面積為24+16【點(diǎn)睛】

．

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵． 27．(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】 【分析】

（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及其面積求法進(jìn)而得出答案；（2）利用正方形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)而得出答案． 【詳解】

（1）如圖1所示：平行四邊形BCDE即為所求；（2）如圖2所示：正方形CDEF即為所求．

答案第16頁(yè)，總19頁(yè)

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了復(fù)雜作圖以及平行四邊形、正方形的性質(zhì)，正確應(yīng)用網(wǎng)格是解題關(guān)鍵．

28．【解析】 【分析】

根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再設(shè)AD為未知數(shù)x，則AB＝CD＋x，在Rt△BDA中，BD2＋AD2＝AB2,列一元二次方程求解得到AD.則S△ABC＝AC×BD＝（AD＋CD）×BD.【詳解】 ：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，設(shè)AB＝AC＝x，則AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴（x﹣6）2＋82＝x2，∴x＝，∴S△ABC＝AC?BD＝【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握這些知識(shí)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.．

29．（1）①作圖見(jiàn)解析；②作圖見(jiàn)解析；（2）CD=． 【解析】 【分析】

（1）①按作角平分線的步驟（以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與角的兩邊各有一個(gè)

答案第17頁(yè)，總19頁(yè)

交點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧在角內(nèi)交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A以及這個(gè)交點(diǎn)作射線即可）進(jìn)行作圖即可得；

②根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線的方法（以點(diǎn)D為圓心，以大于點(diǎn)D到直線AB的距離為半徑畫(huà)弧，與AB交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離的一半畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D以及這個(gè)交點(diǎn)畫(huà)直線即可）進(jìn)行作圖即可得；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)作圖可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根據(jù)S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式計(jì)算即可得答案.【詳解】

（1）如圖所示：①AD是∠A的平分線； ②DE是AB的垂線；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB=

=5，由作圖過(guò)程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，∴AC?CD+AB?DE=AC?BC，∴×3×CD+×5×CD=×3×4，解得：CD=． 【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握角平分線的作法、垂線的作法是解題的關(guān)鍵.30．見(jiàn)解析 【解析】

答案第18頁(yè)，總19頁(yè)

【分析】（1）為直角邊長(zhǎng)為1，1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；

為直角邊長(zhǎng)為1，2的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；為直角邊長(zhǎng)為2，3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；

（2）在AB的左邊做AB′⊥AB，AC′⊥AC，且AB′=AB，AC′=AC，連接B′C′即可；把BB′放在直角邊長(zhǎng)為2，4的直角三角形的斜邊上，利用勾股定理即可求得BB′長(zhǎng)；（3）有5個(gè)正方形，那么新正方形的面積為5，邊長(zhǎng)為，分成3塊，應(yīng)有兩條剪切線，那么應(yīng)沿左邊第一列兩個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形和下邊第一行右邊兩個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線剪切，注意應(yīng)分割為3塊． 【詳解】

（1）

（2）B和B1之間的距離為（3）①

；

；

②正方形的面積S=5． 【點(diǎn)睛】

無(wú)理數(shù)通常轉(zhuǎn)換為直角邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)；正方形的面積的算術(shù)平方根為正方形的邊長(zhǎng)．

答案第19頁(yè)，總19頁(yè)

第四篇：高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義(八)平面向量

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義

（八）──平面向量

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫(huà)圖時(shí)用有向線段來(lái)表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書(shū)中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。

定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。

定理1 向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。

定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。

定義3 向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標(biāo)。

定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a(chǎn)·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4.a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則

講義八

/ 8

定義6 設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個(gè)單位得到圖形，這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn)，平移到上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。

定理5 對(duì)于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡(jiǎn)即為柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡(jiǎn)即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）對(duì)于任意n個(gè)向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向與例題

1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。

例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：

【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若

不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)

例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AD至P，使DP=GD，則

又因?yàn)锽C與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以

PC，所以

講義八

/ 8

充分性。若因?yàn)?，延長(zhǎng)AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則，則，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G為重心。

例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。

因?yàn)樗?=又因?yàn)橥恚?，?/p>

由①，②，③可得

。得證。

2．證利用定理2證明共線。

例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·

①

【證明】 首先

=

其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH

AB，所以AHCE為平行四邊形。

講義八

/ 8

所以所以所以所以與，共線，所以O(shè)，G，H共線。

所以O(shè)G：GH=1：2。

3．利用數(shù)量積證明垂直。

例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.a·b=0

a

b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OECD。

【證明】 設(shè)，則，又，所以

a·(b-c).（因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以O(shè)E

CD。

4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。

講義八/ 8

【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則y-1), 又因?yàn)?，因?yàn)?，所?x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得

所以

設(shè)所以所以，則，即F=4+

。由和，共線得，所以AF=AE。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。

2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①③ ；④

與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為_(kāi)_________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且于D，若7．已知__________.8．已知

=b, a·b=|a-b|=2，當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為_(kāi)_________.講義八

/ 8

=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點(diǎn)C分

所成的比為2，則9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問(wèn)的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。

12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________心。

2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且為_(kāi)_________.5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC 內(nèi)部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若__________心.7．已知，則|

|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點(diǎn)B關(guān)于

所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則值為_(kāi)_________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八

/ 8 的最小11．設(shè)G為△ABO的重心，過(guò)G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。

12．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。

（1）試問(wèn)點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 求tan.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p, q

為

與的夾角，滿足時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a, b, c.O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則

=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個(gè)向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有___________個(gè).5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點(diǎn)，則

取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點(diǎn)O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC

+sinB·7．對(duì)于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長(zhǎng)之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，CP交AB于D，求證：

講義八

/ 8

10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。

11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個(gè)單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；

（2）對(duì)于V的任意向量x，計(jì)算T[T(x)]-x；（3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)，為另一定比，試問(wèn)M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。

2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。

4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。

5．是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？

6．已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個(gè)不是銳角。

7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N，求證：（1）OB

DF，OC

DE，（2）OH

MN。

8．平面上兩個(gè)正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過(guò)平面上一點(diǎn)O作，求證△ABC為正三角形。

9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個(gè)不共線，求證：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8

第五篇：高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識(shí)點(diǎn)

【摘要】“高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識(shí)點(diǎn)”數(shù)學(xué)公式講解是這門學(xué)科的要點(diǎn)，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家?guī)?lái)幫助：

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ?向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a?b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍;當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒(méi)有除法，“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。