第一篇：高中數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)研究作業(yè)(江惠玲) (

高中數(shù)學(xué)“平面向量”教學(xué)研究作業(yè)（江惠玲）

請給出平面向量知識結(jié)構(gòu)示意圖

答：

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一。在高中教材中，平面向量章節(jié)內(nèi)容主要有幾個方面：⑴向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量；⑵向量加法運算及其幾何意義、向量減法運算及其幾何意義、向量數(shù)乘運算及其幾何意義；⑶平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標表示、平面向量的坐標運算、平面向量共線的坐標表示；⑷平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；⑸平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例。此外，教材安排了擴展內(nèi)容，主要是向量幾向量符號的由來，向量的運算（運算律）與圖形性質(zhì)。這些知識既有不同又緊密聯(lián)系，教學(xué)的時候要注意聯(lián)系與比較，并通過實際解題訓(xùn)練，來提高學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力。

我用FreeMind設(shè)計了一個向量知識結(jié)構(gòu)圖：

我認為上面制作的這個圖表基本上反映了高中數(shù)學(xué)中的平面向量的知識結(jié)構(gòu)。

揭東縣梅崗中學(xué) 江惠玲

第二篇：高中數(shù)學(xué)競賽講義(八)平面向量

高中數(shù)學(xué)競賽講義

（八）──平面向量

一、基礎(chǔ)知識

定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。

定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結(jié)合律。

定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。

定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數(shù)

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。

定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。

定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負值）。定理4平面向量的坐標運算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a(chǎn)·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4.a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則

講義八

/ 8

定義6 設(shè)F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應(yīng)的點為，則稱為平移公式。

定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向與例題

1．向量定義和運算法則的運用。

例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：

【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若

不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)

例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則

又因為BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以

PC，所以

講義八

/ 8

充分性。若因為，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則，則，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G為重心。

例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。

因為所以==又因為同理，②，③

由①，②，③可得

。得證。

2．證利用定理2證明共線。

例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·

①

【證明】 首先

=

其次設(shè)BO交外接圓于另一點E，則連結(jié)CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH

AB，所以AHCE為平行四邊形。

講義八

/ 8

所以所以所以所以與，共線，所以O(shè)，G，H共線。

所以O(shè)G：GH=1：2。

3．利用數(shù)量積證明垂直。

例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.a·b=0

a

b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。

【證明】 設(shè)，則，又，所以

a·(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因為AB=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以O(shè)E

CD。

4．向量的坐標運算。

例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。

講義八/ 8

【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點的坐標為（x, y），則y-1), 又因為，因為，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得

所以

設(shè)所以所以，則，即F=4+

。由和，共線得，所以AF=AE。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。

2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①③ ；④

與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設(shè)s, t為非零實數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且于D，若7．已知__________.8．已知

=b, a·b=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八

/ 8

=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點C分

所成的比為2，則9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。

12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足

則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。

2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且為__________.5．設(shè)O點在△ABC 內(nèi)部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點，若__________心.7．已知，則|

|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點B關(guān)于

所在直線對稱的點為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八

/ 8 的最小11．設(shè)G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。

12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數(shù)列。

（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 求tan.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在直角坐標系內(nèi)，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數(shù)p, q

為

與的夾角，滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內(nèi)任意一點，則

=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內(nèi)四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則

取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC

+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內(nèi)一點，且，CP交AB于D，求證：

講義八

/ 8

10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。

11．設(shè)坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；

（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；（3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。

2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。

4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點，G是AB的中點，又設(shè)H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。

5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？

6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個不是銳角。

7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N，求證：（1）OB

DF，OC

DE，（2）OH

MN。

8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。

9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8

第三篇：高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點

【摘要】“高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點”數(shù)學(xué)公式講解是這門學(xué)科的要點，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家?guī)韼椭?/p>

定比分點

定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a?b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量

實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當λ>0時，λa與a同方向;當λ<0時，λa與a反方向;當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運算律

a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

第四篇：長春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量單元測試題

長春寬城區(qū)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量單元測試題

數(shù)學(xué)（理）2018.7

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()

A． 銳角三角形

B． 直角三角形 C． 鈍角三角形

D． 不確定

2．在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則

=()

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()

A．

B．

C．

D． 0

=

2,那么動點M的軌跡必通過△ABC的（）4．在△ABC中,設(shè)A． 垂心

B． 內(nèi)心

C． 外心

D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()

-λ

與向量的夾角大于90°,則實數(shù)λ的取值范圍A． λ<

B． λ<2

C． λ>

D． λ>2

6．已知△ABD是邊長為2的等邊三角形,且,則||等于()

A．

B．

C．

D． 2

7．已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a上的投影為()

試卷第1頁，總5頁 A．

1B． 2

C．

D．

8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于（）A． {(1,1)}

B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}

D． ?

9．已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=（）A．

4B．

3C． 2

D． 0

10．如圖所示,A,B,C是圓O上的三點,且三等分圓周,若

=x

+y,則

()

A． x=y=-1

B． x=y=1

C． x=y=

D． x=y=-11．如右圖:在平行六面體=.則下列向量中與

中，為AC與BD的交點，若

相等的向量是()

=，=，A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，（）的取值范圍是

試卷第2頁，總5頁

A．

B．

C． [﹣6，6]

D． [﹣4，4]

試卷第3頁，總5頁

第II卷（非選擇題）

二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。

13．在四邊形ABCD中,積為_____.=(1,1)，則四邊形ABCD的面14．已知菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°,=2,則的值為________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夾角為,則實數(shù)m的值為_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b與c共線,則實數(shù)λ的值為_____.三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17．如圖所示,在平面斜坐標系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的:若的斜坐標為(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分別為x軸、y軸同方向的單位向量),則點P

(1)若點P在斜坐標系xOy中的斜坐標為(2,-2),求點P到原點O的距離.(2)求以原點O為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．

19．如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點,AC與BM交于點N,BN=BM.(1)求證:M是CD的中點;

試卷第4頁，總5頁(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點B的一動點,求20．設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如圖,在△OAB中,已知P為線段AB上的一點,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|

|=2,且的夾角為60°時,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函數(shù)f（x）=2?，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相應(yīng)的x的值；（2）計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)．

試卷第5頁，總5頁

參考答案

1．B 【解析】 【分析】

由正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡得A為直角，即得選項.【詳解】

∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形． 【點睛】

判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．

②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用這個結(jié)論．

2．A 【解析】 【分析】

利用向量的線性運算法則化簡求解.【詳解】

如圖,=-=-)==)=.故答案為：A

【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.3．B 【解析】 【分析】

答案第1頁，總15頁

先設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個數(shù)，若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較數(shù)量積公式求a與b的夾角.【詳解】

設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3

(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積和模，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是先要討論S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】

假設(shè)BC的中點是O,先化簡已知得

2=2,即（）·

=0, 所以的個數(shù)得到，其二, 所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.【詳解】

假設(shè)BC的中點是O,則即(所以)·=0，=（）·（）=2

=2, ,所以動點M在線段BC的中垂線上,所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.答案第2頁，總15頁

故答案為：C 【點睛】

（1）本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算和向量的減法法則，考查向量垂直的表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是在于熟練掌握向量的運算法則.5．D 【解析】 【分析】

設(shè)正三角形的邊長為m,由題得得a·<0,再利用已知和數(shù)量積公式化簡即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【詳解】

由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此|

|2-λ

<0,若設(shè)正三角形ABC邊長為m,則有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案為：D 【點睛】

（1）本題主要考查平面向量的夾角公式和數(shù)量積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】

設(shè)AD的中點為E,證明四邊形ABCE是平行四邊形，再證明|【詳解】

設(shè)AD的中點為E,則ABCE是平行四邊形,連接BE,因為△ABD是邊長為2的等邊三角形,所以

|=|

|，求|

|即得解.的夾角大于90°，即；的夾角小于90°，即

.||=||=×2=，故答案為：B.【點睛】

答案第3頁，總15頁

(1)本題主要考查平面向量的平行四邊形法則和共線向量，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是取AD的中點E,因為7．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的投影公式求解.【詳解】

中有.a+b在a上的投影為故答案為：B 【點睛】

=2.(1)本題主要考查向量的投影和數(shù)量積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影為8．C 【解析】 【分析】

.先設(shè)解.【詳解】，再化簡集合M得到，再化簡集合N得到，解方程組即得設(shè)a=(x,y),對于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.①

對于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案為：C 【點睛】

.②

(1)本題主要考查向量的坐標運算和集合的交集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平

答案第4頁，總15頁

和分析推理能力.(2)本題解題的關(guān)鍵有兩點，其一是設(shè)，因為向量是運動變化的,其二是化簡集合M和N，分別得到9．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的數(shù)量積公式化簡求解.【詳解】

a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案為：B 【點睛】

和.(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積和模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以為鄰邊作平行四邊形OBDA,根據(jù)平行四邊形法則即得x,y的值.,這些公式要理解掌握并靈活運用.【詳解】 以

故答案為：A 【點睛】

本題主要考查平面向量平行四邊形法則和共線向量，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 為鄰邊作平行四邊形OBDA,已知

=0,所以

=-,因此x=y=-1.答案第5頁，總15頁

由題意可得

化簡得到結(jié)果．

【詳解】

由題意可得

故答案為：A 【點睛】

本題主要考查向量的加法減法法則,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】

根據(jù)圓的方程，求出【詳解】

因為圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圓心的坐標（3，3）半徑為2，所以|ME|=∴=，|OM|=

3，=

=，∵的取值范圍是[﹣6，6]．，的模長關(guān)系與夾角，利用向量數(shù)量積求得取值范圍。

=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積的簡單應(yīng)用，根據(jù)向量的模長求得數(shù)量積的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題。13．

【解析】 【分析】

先推理得到四邊形ABCD為平行四邊形,且|

|=|

|=,再根據(jù)已知得到四邊形ABCD為菱形,再求出三角形BCD的面積，最后計算出四邊形ABCD的面積.【詳解】

答案第6頁，總15頁

由=(1,1),可知四邊形ABCD為平行四邊形,且||=||=,因為,所以可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分∠ABC,四邊形ABCD為菱形,其邊長為,且對角線BD長等于邊長的倍,即BD=,則CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面積為,所以四邊形ABCD的面積為2×故答案為：【點睛】.(1)本題主要考查共線向量和向量的線性運算，考查三角形的面積的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)表示與向量方向相同的單位向量.14．

【解析】 【分析】

先計算出【詳解】 =-a2，再計算出

=()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·()

答案第7頁，總15頁

=·()

=-

=-a2+a2+a2=-.故答案為：【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.15．

【解析】 【分析】

先利用坐標運算求出a·b=3+(3+m)2=[

m,再利用向量的數(shù)量積公式得a·b=,再解方程]2即得實數(shù)m的值.【詳解】 因為a·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos

]2, ，解得m=-.故答案為：-【點睛】

答案第8頁，總15頁

（1）本題主要考查向量的數(shù)量積計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】

先求出λa+b的坐標，再根據(jù)向量λa+b與c共線得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【詳解】

由題可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b與c共線,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案為：-1 【點睛】

（1）本題主要考查向量的坐標運算和向量共線的坐標表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】

(1)先根據(jù)點P的斜坐標得到設(shè)圓上動點M的斜坐標為(x,y),【詳解】

(1)因為點P的斜坐標為(2,-2), 所以所以|

=2e1-2e2，|=2,即點P到原點O

=2e1-2e2, 再平方求出|

|2=4，即點P到原點O的距離為2（.2）

與向量

共線，則

.，則

.=xe1+ye2,再平方化簡得所求圓的方程為x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距離為2.(2)設(shè)圓上動點M的斜坐標為(x,y), 則=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，則x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圓的方程為x2+y2+xy=1.【點睛】

答案第9頁，總15頁

（1）本題主要考查新定義和向量的數(shù)量積運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于新定義要先理解清楚它的內(nèi)涵外延，再利用它來解題.18．（1）見解析；（2）見解析 【解析】 【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設(shè)AB=2,則 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出

和的坐標，再計算得

=0即證

BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),再根據(jù)已知求出P【詳解】，再求=4=，即證明AP=AB.如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設(shè)AB=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10頁，總15頁

∴||=||,即AP=AB.【點睛】

（1）本題主要考查向量的坐標表示和坐標運算，考查向量垂直和平行的坐標表示，考查模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力（.2）向量則19．（1）見解析；（2）0 【解析】 【分析】

.，(1)設(shè)=m=n,再根據(jù)向量的線性運算化簡=,再求出=(1-n)+n,解方程組所以=m,即M是CD的中點.（2）先利用向量的數(shù)量積和向量的線性運算求得數(shù)求出函數(shù)的最小值.【詳解】(1)設(shè)=m=n，==-,再利用二次函由題意知)

=又+m)=+n，+n()

=(1-n)+n，∴

答案第11頁，總15頁

∴=m,即M是CD的中點.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中點, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--|

|2

|cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2

=又0<||-||≤|2=-,∴當||=, ,即H與M重合時,取得最小值,且最小值為0.【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數(shù)量積計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內(nèi)的不共線的向量量總可以表示成，其中

是基底.，則平面的任意一個向20．（1）；（2）【解析】 【分析】

(1)設(shè)a與b的夾角為θ,化簡|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【詳解】

=

.得θ=,即a與b的夾角為.（2）利用向量模的計算(1)設(shè)a與b的夾角為θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a與b的夾角為.(2)|2a+3b|==

答案第12頁，總15頁

=.【點睛】

（1）本題主要考查向量的模和數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2),則

.21．（1）【解析】 【分析】 ；（2）

(1)利用向量的線性運算化簡得,即x=,y=.（2）先求出再計算【詳解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3

+3,即4

+3，∴.∴x=,y=.·()

=

=×22-×42+×4×2×=-9.【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數(shù)量積計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內(nèi)的不共線的向量

答案第13頁，總15頁，則平面的任意一個向

量總可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2個零點.【解析】 【分析】

（1）根據(jù)向量的坐標運算，求出f（x）的表達式，再根據(jù)定義域求出最值及相應(yīng)的自變量。（2）根據(jù)三角函數(shù)表達式，求出三角函數(shù)的變化周期及函數(shù)值，代入求解。（3）跟雷討論在t取不同范圍時，交點的個數(shù)問題。【詳解】

（1）f（x）=2?=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=

sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)等價于y=sin（x﹣）與y=﹣同一直角坐標系內(nèi)作出這兩個數(shù)的圖象．

兩圖象交點個數(shù)．在答案第14頁，總15頁

當4k＜t＜+4k，k∈Z時，由圖象可知，y=sin（x﹣）與y=﹣零點

兩圖象無交點，g（x）無當+4k≤t＜2+4k或1個零點 +4k＜t≤4+4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象1個交點，g（x）當2+4k≤t≤【點睛】 +4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象2個交點，g（x）2個零點.本題考查了向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意分類討論時t的不同取值情況，屬于難題。

答案第15頁，總15頁

第五篇：平面向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

平面向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

平面向量是高中數(shù)學(xué)引入的一個新概念.利用平面向量的定義、定理、性質(zhì)及有關(guān)公式,可以簡化解題過程,便于學(xué)生的理解和掌握.向量運算主要作用可以提高學(xué)生針對數(shù)學(xué)運算的理解層次，本身這個運算學(xué)生總最初接觸運算都是數(shù)與數(shù)之間的運算，而加入向量運算之后，向量運算涉及到數(shù)學(xué)元素更高，比如說實數(shù)、字母、甚至向量，甚至還可以把幾何圖形加入運算當中，這本身對數(shù)學(xué)層次更大的一個提高。而且向量運算對數(shù)學(xué)的思想也體現(xiàn)的比較多，就是在解析幾何當中，或者是在平面幾何當中，向量應(yīng)用確實很方便，一個運算既有代數(shù)意義又有幾何意義，但是到了立體幾何的話，我覺得向量運算僅僅就變成算術(shù)了，算術(shù)對立體幾何本意還是沒有有一點想像，就是它到底人學(xué)生重點掌握什么，掌握運算還是掌握思維和想像。

一、向量在代數(shù)中的應(yīng)用

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來表示復(fù)數(shù)。這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實上已沒有太多的實質(zhì)性內(nèi)容。因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對應(yīng)也可用來證明代數(shù)中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數(shù)模型，可以較靈活地給出證題方法。

二、向量在三角中的應(yīng)用

當我們利用單位圓來研究三角函數(shù)的幾何意義時，表示三角函數(shù)就是平面向量。利用向量的有關(guān)知識可以導(dǎo)出部分誘導(dǎo)公式。由于用向量解決問題時常常是從三角形入手的，這使它在三角里解決有關(guān)三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在根據(jù)向量三角形得出的關(guān)系式的兩邊平方就可利用向量的運算性質(zhì)得出要證的結(jié)論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。

三、向量在平面解析幾何中的應(yīng)用

由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關(guān)直線的部分保持著一種天然的聯(lián)系。平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離公式，也就是平面內(nèi)相應(yīng)的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點坐標，可根據(jù)相應(yīng)的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量（a , b）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向量在 a = 0時的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸變換達到同樣的效果。

四、向量在幾何中的應(yīng)用

在解決幾何中的有關(guān)度量、角度、平行、垂直等到問題時用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決 立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內(nèi)容光煥發(fā)中，解決平行、相交、包含以及計算夾角、距離等問題用傳統(tǒng)的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數(shù)量積和向量積以后，一切都歸結(jié)為數(shù)字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統(tǒng)的方法要容易得多

總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此在職中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強向量這一章的教學(xué)，為更好地學(xué)習(xí)其它知識做好必要的準備工作就顯得尤為重要。但傳統(tǒng)教學(xué)思想對向量抵觸較大，許多教者認為向量法削弱了學(xué)生的空間想象能力，且學(xué)生初學(xué)向量時接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學(xué)的方法，發(fā)揮向量的作用，使向量真正地面為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。