第一篇：高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題.doc

高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=

n(n?1)(an2+bn+c).12b,c=bq(q＞0且q≠1)qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

222

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，241k+1k+1k1(a+c+a·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222＞［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論；

用心

愛心

專心

1成等比數(shù)列.2(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通錯解分析：(2)中，Sk=－SnS12項公式.解：∵an,Sn,Sn－12成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－12)(n≥2)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23 由a1=1，a2=－23,S3=13+a3代入(*)式得：a3=－215 ?1(n?1)同理可得：a4=－235,由此可推出：a?n=?2???(2n?3)(2n?1)(n?1)(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.②假設n=k(k≥2)時，a2k=－(2k?3)(2k?1)成立

故S2k2=－(2k?3)(2k?1)·(Sk－12)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=112k?1,Sk??2k?3(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－12),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12)?1(2k?1)2?a2k?1?2ak?12k?1?a2k?1?ak?12k?1?12ak?1?a?2

k?1?[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命題也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?2對一切n∈N成立.???(2n?3)(2n?1)(n?2)用心

愛心

專心

(*)

(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=●錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

1,∴S=limSn=0.n??2n?1設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30 A.n=1 B.26 B.n=2

C.36 C.n=3

D.6 D.n=4 2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）

二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納2234232343an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

a?32n

11113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+較Sn與

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比bn1logabn+1的大小，并證明你的結論.38.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，用心

愛心

專心 又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(3n2?11n?10)12k(k?1)(3k2+11k+10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設n=k時上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k?1)(k?2)(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.用心

愛心

專心 答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當n=1時，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當n=2時，11713 ???2?12?2122411113 ?????k?1k?22k24(2)假設當n=k時成立，即則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)d?310b?d?145?1?2?用心

愛心

專心(2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+而(1+11)+…+loga(1+)43n?211)…(1+)］ 43n?2111logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341)與33n?1的大小.3n?2取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+3k?233k?1

3k?13k?23?(3k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)?3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

用心

愛心

專心 兩式相除，得an1?,即an+2=q·an an?2q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k

?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－

－1

則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.1kq,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k

當n?2k時(k?N)??q ?2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－1(q+q2+…+qn)22(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知

4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5用心

愛心

專心

第二篇：高考數(shù)學難點突破難點—— 運用向量法解題

難點3 運用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節(jié)內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當CD的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數(shù)量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CD=1時，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計

1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉化和密切結合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？

(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？ ●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側棱長為2a.(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出A、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？

(2)若點P坐標為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM? 參考答案

難點磁場

解：(1)點M的坐標為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點訓練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第三篇：Kuaarm高考數(shù)學難點突破 難點31 數(shù)學歸納法解題

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。

－－泰戈爾

難點31 數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論；(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.2知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－

1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得SnS12技巧與方法：求通項可證明{通項公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.2②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k?3)(2k?1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1●錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30

B.26

C.36

D.6 2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

二、填空題

1311511173.(★★★★★)觀察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸

223423234納出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

an?3211113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試bn比較Sn與1logabn+1的大小，并證明你的結論.38.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(3n2?11n?10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k?1)(3k2+11k+10)12k(k?1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12設n=k時上式成立，即Sk=也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?

33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.×

11713 ???2?12?2122411113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當n?k?1時,????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)246.證明：(1)當n=2時，?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)10b1?d?145?d?3?2?(2)證明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n?211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n?2111而logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341(1+)與33n?1的大小.3n?2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+

?3k?233k?1

3k?1?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞

11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k

?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立

－(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk1則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－1k

q,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k

?q 當n?2k時(k?N)??2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)2

2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知 4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5

第四篇：難點31數(shù)學歸納法解題（定稿）

中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

難點31數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(an2+bn+c).1

2●案例探究

·a.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?

3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.SnS12技巧與方法：求通項可證明{

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11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2

22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3

212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?12?同理可得：a

=－,由此可推出：a=.具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()

A.30B.26C.36D.6

2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=

4二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納出_________.22342323

44.(★★★★)已知a1=

三、解答題 3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.an?

325.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.與13

S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12

(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

?f(k+1)能被36整除

∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.11713 ???2?12?21224

11113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k246.證明：(1)當n=2時，則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1

131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?2

13113???242(2k?1)(k?1)24

?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2)與?k?1(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1

111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立 43k?23k?1

由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 33

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2

an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)

第五篇：高考數(shù)學“數(shù)形結合”解題思想方法、知識點及題型整理

Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！

高考數(shù)學總復習第三講：數(shù)形結合

一、專題概述---什么是數(shù)形結合的思想

數(shù)形結合的思想，就是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數(shù)量關系；反之，數(shù)量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結合的實質就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質，解決幾何的問題．實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復數(shù)與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系．

觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系，是認識、掌握數(shù)形結合的重要進程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！

分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖．

數(shù)形結合的核心是“數(shù)”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關系上的性質與相應的圖形的特征之間的關聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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成，相互轉化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復數(shù)z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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多少？

分析 滿足的復數(shù)z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應用“數(shù)”與“形”的轉化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學數(shù)學中，數(shù)形結合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復數(shù)與幾何之間的相互轉化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應關系是實現(xiàn)轉化的先決條件，而強化這種轉化的訓練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設即

對應的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果．

例8 討論方程的實數(shù)解的個數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當a＜0時，解的個數(shù)是0；

當a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；

當a=4時，解的個數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過（外，過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故例10．設點P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設，即y=kx為過原點的直線系，問題轉化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

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故的最大值為，最小值為

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解．如圖

設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉化為復數(shù)的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決． 解，設R點對應的復數(shù)為： 則，P點對應的復數(shù)為

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故即由點在橢圓上可知有：

整理得：就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓．

三解題訓練

1．求下列方程實根（1）的個數(shù)：

（2）

（3）

2．無論m取任何實數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

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（1）（2）

7．復平面內點A、B分別對應復數(shù)2，2+i，向量，則點C對應的復數(shù)是_______．

繞點A逆時針方向旋轉至向量 8．若復數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復數(shù)z滿足

10．函數(shù)定點的坐標是()（A）（–（C）（–2的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點個數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點，則實數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

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（A）（B）

（C）（D）

四、練習答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點的個數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點為圓x2+y2=1上的動點

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