第一篇：〓高考物理 〓難點25 數(shù)形結(jié)合思想與圖象法解題

難點25 數(shù)形結(jié)合思想與圖象法解題 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用，圖象法解題便是一例.在高考命題中屢次滲透考查.●難點磁場

1.（★★★）(1999年全國高考)為了安全，在公路上行駛的汽車之間應(yīng)保持必要的距離.已知某高速公路的最高限速v＝120 km／ｈ.假設(shè)前方車輛突然停止，后車司機從發(fā)現(xiàn)這一情況，經(jīng)操縱剎車，到汽車開始減速所經(jīng)歷的時間(即反應(yīng)時間)t＝0/.50ｓ.剎車時汽車受到的阻力大小f為汽車重力的0.40倍.該高速公路上汽車間的距離ｓ至少應(yīng)為多少?（取重力加速２度g＝10 m/s.）

2.（★★★★）一列簡諧橫波，在t=0時刻的波形如圖25-1所示，自右向左傳播，已知在t1=0.7 s時，P點出現(xiàn)第二次波峰（0.7 s內(nèi)P點出現(xiàn)兩次波峰），Q點的坐標(biāo)是（-7，0），則以下判斷中正確的是

A.質(zhì)點A和質(zhì)點B在t=0時刻的位移是相等的

B.在t=0時刻，質(zhì)點C向上運動 C.在t2=0.9 s末，Q點第一次出現(xiàn)波峰 D.在t3=1.26 s末，Q點第一次出現(xiàn)波峰

圖25-1 ●案例探究 ［例1］（★★★★）一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊，設(shè)木塊對子彈的阻力恒定，則當(dāng)子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小

C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短 命題意圖：考查對物理過程的綜合分析能力及運用數(shù)學(xué)知識靈活處理物理問題的能力.B級要求.錯解分析：考生缺乏處理問題的靈活性，不能據(jù)子彈與木塊的作用過程作出v-t圖象，來作出分析、推理和判斷.容易據(jù)常規(guī)的思路依牛頓第二定律和運動學(xué)公式去列式求解，使計算復(fù)雜化，且易出現(xiàn)錯誤判斷.解題方法與技巧：子彈以初速v0穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向都受恒力作用，子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25-2中實線所示，圖中OA、圖25-2 v0B分別表示子彈穿過木塊過程中木塊、子彈的運動圖象，而圖中梯形OABv0的面積為子彈相對木塊的位移即木塊長l.當(dāng)子彈入射速度增大變?yōu)関0′時，子彈、木塊的運動圖象便如圖25-2中虛線所示，梯形OA′B′v0′的面積仍等于子彈相對木塊的位移即木塊長l，故梯形OABv0與梯形OA′B′v0′的面積相等，由圖可知，當(dāng)子彈入射速度增加時，木塊獲得的動能變小，子彈穿過木塊的時間變短，所以本題正確答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法測一節(jié)干電池的電動勢和內(nèi)電阻，伏安圖象如圖25-3所示，根據(jù)圖線回答：（1）干電池的電動勢和內(nèi)電阻各多大？

（2）圖線上a點對應(yīng)的外電路電阻是多大？電源此時內(nèi)部熱耗功率是多少？

（3）圖線上a、b兩點對應(yīng)的外電路電阻之比是多大？對應(yīng)的輸出功率之比是多大？

（4）在此實驗中，電源最大輸出功率是多大？

命題意圖：考查考生認(rèn)識、理解并運用物理圖象的能力.B級要求.圖25-3 錯解分析：考生對該圖象物理意義理解不深刻.無法據(jù)特殊點、斜率等找出E、r、R，無法結(jié)合直流電路的相關(guān)知識求解.解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應(yīng)識圖（從對應(yīng)值、斜率、截面、面積、橫縱坐標(biāo)代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1.5 V，斜率表內(nèi)阻，外阻為圖線上某點縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值；當(dāng)電源內(nèi)外電阻相等時，電源輸出功率最大.（1）開路時（I=0）的路端電壓即電源電動勢，因此E=1.5 V，內(nèi)電阻r==0.2 Ω

也可由圖線斜率的絕對值即內(nèi)阻，有r=

U1.02.51.5?1.02.5EI短=

1.57.5 Ω

Ω=0.2 Ω

（2）a點對應(yīng)外電阻Ra=

aIa= Ω=0.4 Ω

此時電源內(nèi)部的熱耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面積差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）電阻之比：RaRb=

1.0/2.50.5/5.0=

輸出功率之比：PaPb=

1.0?2.50.5?5.0=

11（4）電源最大輸出功率出現(xiàn)在內(nèi)、外電阻相等時，此時路端電壓U=E/2，干路電流 I=I短/2，因而最大輸出功率P當(dāng)然直接用P也可以求出此值.●錦囊妙計

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用大致可分為兩種情況：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.圖象法解題便是一例.由于圖象在中學(xué)物理中有著廣泛應(yīng)用：（1）能形象地表述物理規(guī)律；（2）能直觀地描述物理過程；（3）鮮明地表示物理量之間的相互關(guān)系及變化趨勢.所以有關(guān)以圖象及其運用為背景的命題，成為歷屆高考考查的熱點，它要求考生能做到三會：（1）會識圖：認(rèn)識圖象，理解圖象的物理意義；（2）會做圖：依據(jù)物理現(xiàn)象、物理過程、物理規(guī)律作出圖象，且能對圖象變形或轉(zhuǎn)換；（3）會用圖：能用圖象分析實驗，用圖象描述復(fù)雜的物理過程，用圖象法來解決物理問題.出m

出m

=

1.52×

7.52 W=2.81 W =E/4r計算或由對稱性找乘積IU（對應(yīng)于圖線上的面積）的最大值，2通常我們遇到的圖象問題可以分為圖象的選擇、描繪、變換、分析和計算，以及運用圖象法求解物理問題幾大類：

（1）求解物理圖象的選擇（可稱之為“選圖題”）類問題可用“排除法”.即排除與題目要求相違背的圖象，留下正確圖象；也可用“對照法”，即按照題目要求畫出正確草圖，再與選項對照解決此類問題的關(guān)鍵就是把握圖象特點、分析相關(guān)物理量的函數(shù)關(guān)系或物理過程的變化規(guī)律.（2）求解物理圖象的描繪（可稱之為“作圖題”）問題的方法是，首先和解常規(guī)題一樣，仔細(xì)分析物理現(xiàn)象，弄清物理過程，求解有關(guān)物理量或分析其與相關(guān)物理量間的變化關(guān)系，然后正確無誤地作出圖象.在描繪圖象時，要注意物理量的單位，坐標(biāo)軸標(biāo)度的適當(dāng)選擇及函數(shù)圖象的特征等.（3）處理有關(guān)圖象的變換問題，首先要識圖，即讀懂已知圖象表示的物理規(guī)律或物理過程，然后再根據(jù)所求圖象與已知圖象的聯(lián)系，進(jìn)行圖象間的變換.（4）在定性分析物理圖象時，要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，要區(qū)分圖象中相關(guān)物理量的正負(fù)值物理意義，要注意分析各段不同函數(shù)形式的圖線所表征的物理過程.要弄清圖象物理意義，借助有關(guān)的物理概念、公式、定理和定律作出分析判斷，而對物理圖象定量計算時，要搞清圖象所揭示的物理規(guī)律或物理量間的函數(shù)關(guān)系，要善于挖掘圖象中的隱含條件.明確有關(guān)圖線所包圍的面積、圖象在某位置的斜率（或其絕對值）、圖線在縱軸和橫軸上的截距所表示的物理意義.根據(jù)圖象所描繪的物理過程，運用相應(yīng)的物理規(guī)律計算求解.（5）在利用圖象法求解物理問題（可稱之為“用圖題”）時，要根據(jù)題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系、運用圖象直觀、簡明的特點，分析解決物理問題.●殲滅難點訓(xùn)練 1.（★★★）一列橫波在t=0時刻的波形如圖25-4中實線所示，在t=1 ｓ時刻的波形如圖中虛線所示.由此可以判定此波的

A.波長一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ

C.振幅一定是2 cm D.傳播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如圖25-5所示，豎直放置的螺線管與導(dǎo)線abcd構(gòu)成回路，導(dǎo)線所圍區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，螺線管下方水平桌面上有一導(dǎo)體圓環(huán)，導(dǎo)線abcd所圍區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度按圖25-6中哪一種圖線隨時間變化時，導(dǎo)體圓環(huán)將受到向上的磁場力

圖25-5 圖25-4

圖25-6

3.（★★★★★）如圖25-7所示電路中，S是閉合的，此時流過線圈L的電流為i1，流過燈泡A的電流為i2，且i1＞i2，在t1時刻將S斷開，那么流過燈泡的電流隨時間變化的圖象是圖25-8中的哪一個

圖25-7

圖25-8

4.（★★★★）如圖25-9所示，作入射光線AB的折射光線.圖25-9

5.（★★★★）如圖25-10，一水平飛行的子彈恰能穿過用輕質(zhì)銷釘銷住，并置于光滑水平面上的A、B兩木塊，且木塊B獲得的動能為Ek1.若拔去銷釘C，仍讓這顆子彈水平射入A、B兩木塊，木塊B獲得的動能為Ek2，則

A.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2

圖25-10 B.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 C.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 D.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s豎直上拋一個小球A，經(jīng)時間Δt后又以初速度vB= 20 m/s豎直上拋另一個小球B.為了使兩球在空中相遇（取g=10 m/s2），試分析Δt應(yīng)滿足什么條件.難點25 數(shù)形結(jié)合思想與圖象法解題

［難點磁場］ 1.1.6×102 m 2.BC ［殲滅難點訓(xùn)練］ 1.AC 2.CD 3.D 4.如圖25′-1

圖25′-1 圖25′-2

5.拔去銷釘前，子彈剛好穿過木塊，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25′-2所示，三角形OCv的面積即為AB木塊總長度.拔去銷釘后，木塊AB先一起向右加速，設(shè)經(jīng)過時間t′后子彈進(jìn)入木塊B，子彈進(jìn)入木塊B后，木塊B的加速度比拔去銷釘前的加速度大，故木塊B的運動圖象如圖中OA、AB所示.從圖中不難看出：拔去銷釘后，子彈與木塊B能達(dá)到共同速度vB2，相對A和B的總路程為四邊形OABv的面積，由于vB2＞vB1，四邊形OABv的面積小于三角形OCv的面積，故子彈不能穿過B木塊，且Ek1＜Ek2，應(yīng)選B.6.兩球在空中運動的時間分別為：

tA=2vAg2vBg=8(s）

tB==4(s）

圖25′-3 根據(jù)定性畫出的h-t圖象（如圖25′-3）可以看出：兩球在空中相遇，即h-t圖線交點的縱坐標(biāo)不為0的條件為 ： tA＞Δt＞tA-tB

8s＞Δt＞4 s

第二篇：09高考物理數(shù)形結(jié)合思想與圖象法解題

3eud教育網(wǎng) http://004km.cn 2.（★★★★）一列簡諧橫波，在t=0時刻的波形如圖25-1所示，自右向左傳播，已知在t1=0.7 s時，P點出現(xiàn)第二次波峰（0.7 s內(nèi)P點出現(xiàn)兩次波峰），Q點的坐標(biāo)是（-7，0），則以下判斷中正確的是

A.質(zhì)點A和質(zhì)點B在t=0時刻的位移是相等的 B.在t=0時刻，質(zhì)點C向上運動 C.在t2=0.9 s末，Q點第一次出現(xiàn)波峰 D.在t3=1.26 s出現(xiàn)波峰

●案例探究

［例1］（★★★★）一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊，設(shè)木塊對子彈的阻力恒定，則當(dāng)子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小 C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短

命題意圖：考查對物理過程的綜合分析能力及運用數(shù)學(xué)知識靈活處理物理問題的能力.B3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網(wǎng)！

末，Q點第一次

圖25-1 3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

級要求.錯解分析：考生缺乏處理問題的靈活性，不能據(jù)子彈與木塊的作用過程作出v-t圖象，來作出分析、推理和判斷.容易據(jù)常規(guī)的思路依牛頓第二定律和運動學(xué)公式去列式求解，使計算復(fù)雜化，且易出現(xiàn)錯誤判斷.解題方法與技巧：子彈以初速v0穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向都受恒力作用，子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動，子彈、木塊運動的圖25-2 v-t圖如圖25-2中實線所示，圖中OA、v0B分別表示子彈穿過木塊過程中木塊、子彈的運動圖象，而圖中梯形OABv0的面積為子彈相對木塊的位移即木塊長l.當(dāng)子彈入射速度增大變?yōu)関0′時，子彈、木塊的運動圖象便如圖25-2中虛線所示，梯形OA′B′v0′的面積仍等于子彈相對木塊的位移即木塊長l，故梯形OABv0與梯形OA′B′v0′的面積相等，由圖可知，當(dāng)子彈入射速度增加時，木塊獲得的動能變小，子彈穿過木塊的時間變短，所以本題正確答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法測一節(jié)干電池的電動勢和內(nèi)電阻，伏安圖象如圖25-3所示，根據(jù)圖線回答：

（1）干電池的電動勢和內(nèi)電阻各多大？

（2）圖線上a點對應(yīng)的外電路電阻是多大？電源此時內(nèi)部熱耗功率是多少？

（3）圖線上a、b兩點對應(yīng)的外電路電阻之比是多大？對應(yīng)的輸出功率之比是多大？

（4）在此實驗中，電源最大輸出功率是多大？

命題意圖：考查考生認(rèn)識、理解并運用物理圖象的能力.B級要求.錯解分析：考生對該圖象物理意義理解不深刻.無法據(jù)特殊點、斜率等找出E、r、R，無法結(jié)合直流電路的相關(guān)知識求解.解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應(yīng)識圖（從對應(yīng)值、斜率、截面、面積、橫縱坐標(biāo)代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1.5 V，斜率表內(nèi)阻，外阻為圖線上某點縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值；當(dāng)電源內(nèi)外電阻相等時，電源輸出功率最大.（1）開路時（I=0）的路端電壓即電源電動勢，因此E=1.5 V，內(nèi)電阻r=

圖25-3

E1.5= ΩI短7.5=0.2 Ω

3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

也可由圖線斜率的絕對值即內(nèi)阻，有r=

1.5?1.0 Ω=0.2 Ω 2.5（2）a點對應(yīng)外電阻Ra=

Ua1.0= Ω=0.4 Ω Ia2.5此時電源內(nèi)部的熱耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面積差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）電阻之比：Ra1.0/2.54== Rb0.5/5.01輸出功率之比：Pa1.0?2.51== Pb0.5?5.01（4）電源最大輸出功率出現(xiàn)在內(nèi)、外電阻相等時，此時路端電壓U=E/2，干路電流 I=I短/2，因而最大輸出功率P出m=

1.57.5× W=2.81 W 22當(dāng)然直接用P出m=E2/4r計算或由對稱性找乘積IU（對應(yīng)于圖線上的面積）的最大值，也可以求出此值.●錦囊妙計

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用大致可分為兩種情況：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.圖象法解題便是一例.由于圖象在中學(xué)物理中有著廣泛應(yīng)用：（1）能形象地表述物理規(guī)律；（2）能直觀地描述物理過程；（3）鮮明地表示物理量之間的相互關(guān)系及變化趨勢.所以有關(guān)以圖象及其運用為背景的命題，成為歷屆高考考查的熱點，它要求考生能做到三會：（1）會識圖：認(rèn)識圖象，理解圖象的物理意義；（2）會做圖：依據(jù)物理現(xiàn)象、物理過程、物理規(guī)律作出圖象，且能對圖象變形或轉(zhuǎn)換；（3）會用圖：能用圖象分析實驗，用圖象描述復(fù)雜的物理過程，用圖象法來解決物理問題.通常我們遇到的圖象問題可以分為圖象的選擇、描繪、變換、分析和計算，以及運用圖象法求解物理問題幾大類：

（1）求解物理圖象的選擇（可稱之為“選圖題”）類問題可用“排除法”.即排除與題目要求相違背的圖象，留下正確圖象；也可用“對照法”，即按照題目要求畫出正確草圖，再與選項對照解決此類問題的關(guān)鍵就是把握圖象特點、分析相關(guān)物理量的函數(shù)關(guān)系或物理過程的變化規(guī)律.（2）求解物理圖象的描繪（可稱之為“作圖題”）問題的方法是，首先和解常規(guī)題3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

一樣，仔細(xì)分析物理現(xiàn)象，弄清物理過程，求解有關(guān)物理量或分析其與相關(guān)物理量間的變化關(guān)系，然后正確無誤地作出圖象.在描繪圖象時，要注意物理量的單位，坐標(biāo)軸標(biāo)度的適當(dāng)選擇及函數(shù)圖象的特征等.（3）處理有關(guān)圖象的變換問題，首先要識圖，即讀懂已知圖象表示的物理規(guī)律或物理過程，然后再根據(jù)所求圖象與已知圖象的聯(lián)系，進(jìn)行圖象間的變換.（4）在定性分析物理圖象時，要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，要區(qū)分圖象中相關(guān)物理量的正負(fù)值物理意義，要注意分析各段不同函數(shù)形式的圖線所表征的物理過程.要弄清圖象物理意義，借助有關(guān)的物理概念、公式、定理和定律作出分析判斷，而對物理圖象定量計算時，要搞清圖象所揭示的物理規(guī)律或物理量間的函數(shù)關(guān)系，要善于挖掘圖象中的隱含條件.明確有關(guān)圖線所包圍的面積、圖象在某位置的斜率（或其絕對值）、圖線在縱軸和橫軸上的截距所表示的物理意義.根據(jù)圖象所描繪的物理過程，運用相應(yīng)的物理規(guī)律計算求解.（5）在利用圖象法求解物理問題（可稱之為“用圖題”）時，要根據(jù)題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系、運用圖象直觀、簡明的特點，分析解決物理問題.●殲滅難點訓(xùn)練

1.（★★★）一列橫波在t=0時刻的波形如圖25-4中實線所示，在t=1 ｓ時刻的波形如圖中虛線所示.由此可以判定此波的

A.波長一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ C.振幅一定是2 cm D.傳播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如圖25-5所示，豎直放置的螺線管與導(dǎo)線abcd構(gòu)成回路，導(dǎo)線所圍區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，螺線管下方水平桌面上有一導(dǎo)體圓環(huán)，導(dǎo)線abcd所圍區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度

圖25-5 按圖25-6中哪一種圖線隨時間變化時，導(dǎo)體圓環(huán)將受到向上的磁場力

圖25-4

圖25-6 3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

3.（★★★★★）如圖25-7所示電路中，S是閉合的，此時流過線圈L的電流為i1，流過燈泡A的電流為i2，且i1＞i2，在t1時刻將S斷開，那么流過燈泡的電流隨時間變化

圖25-7 的圖象是圖25-8中的哪一個

圖25-8

4.（★★★★）如圖25-9所示，作入射光線AB的折射光線.5.（★★★★）如圖25-10，一水平飛行的子彈恰能穿過用輕質(zhì)銷釘銷住，并置于光滑水平面上的A、B兩木塊，且木塊B獲得的動能

圖25-10 為Ek1.若拔去銷釘C，仍讓這顆子彈水平射入A、B兩木塊，木塊B獲得的動能為Ek2，則

A.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 B.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 C.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 D.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2

6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s豎直上拋一個小球A，經(jīng)時間Δt后又以初速度vB= 20 m/s豎直上拋另一個小球B.為了使兩球在空中相遇（取g=10 m/s2），試分析Δt應(yīng)滿足什么條件.圖25-9

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參考答案

［難點展臺］ 1.1.6×102 m 2.BC ［殲滅難點訓(xùn)練］ 1.AC 2.CD 3.D 3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 百萬教學(xué)資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

4.如圖25′-1

5.拔去銷釘前，子彈剛好穿過木塊，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25′-2所示，三角形OCv的面積即為AB木塊總長度.拔去銷釘后，木塊AB先一起向右加速，設(shè)經(jīng)過時間t′后子彈進(jìn)入木塊B，子彈進(jìn)入木塊B后，木塊B的加速度比拔去銷釘前的加速度大，故木塊B的運動圖象如圖中OA、AB所示.從圖中不難看出：拔去銷釘后，子彈與木塊B能達(dá)到共同速度vB2，相對A和B的總路程為四邊形OABv的面積，由于vB2＞vB1，四邊形OABv的面積小于三角形OCv的面積，故子彈不能穿過B木塊，且Ek1＜Ek2，應(yīng)選B.6.兩球在空中運動的時間分別為： tA=

圖25′-1

圖25′-2 2vA=8(s）

g2vB=4(s）g圖25′-3 tB=根據(jù)定性畫出的h-t圖象（如圖25′-3）可以看出：兩球在空中相遇，即h-t圖線交點的縱坐標(biāo)不為0的條件為 ： tA＞Δt＞tA-tB

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第三篇：高考數(shù)學(xué)解題方法數(shù)形結(jié)合

高考數(shù)學(xué)解題方法（數(shù)形結(jié)合）

一、知識整合

1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合。

2．實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

如等式(x?2)2?(y?1)2?4

3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。

4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

二、例題分析

k的取值范圍。

例1.若關(guān)于x的方程x?2kx?3k?0的兩根都在?1和3之間，求

分析：令f(x)?x?2kx?3k，其圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程f(x)?0 22f(3)?0，的解，由y?f(x)的圖象可知，要使二根都在?13，之間，只需f(?1)?0，f(?b)?f(?k)?0同時成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0)2a

例2.解不等式x?2?x

解：法

一、常規(guī)解法：

?x?0?

原不等式等價于(I)?x?2?0?x?2?x2??x?0或(II)?

?x?2?0

解(I)，得0?x?2；解(II)，得?2?x?0

綜上可知，原不等式的解集為{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

法

二、數(shù)形結(jié)合解法：

令y1?x?2，y2?x，則不等式x?2?x的解，就是使y1?x?2的圖象

在y2?x的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo)，如下圖，不等式的解集為{x|xA?x?xB}

而xB可由x?2?x，解得，xB?2，xA??2，故不等式的解集為{x|?2?x?2}。

例3.已知0?a?1，則方程a|x|?|logax|的實根個數(shù)為（A.1個 B.2個

C.3個

D.1個或2個或3個)

分析：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象y?a|x|與y?|logax|的交點個數(shù)，畫 出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。

例4.如果實數(shù)x、y滿足(x?2)?y?3，則22y的最大值為(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x?2)?y?3有明顯的幾何意義，它表坐標(biāo)平面上的一個圓，圓心為(2，0)，半徑r?3，(如圖)，而yy?0?則表示圓上的點(x，y)與坐 xx?0標(biāo)原點(0，0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A

在以(2，0)為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖 可見，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最

大值為tg60°?3

x2y2??1，求y?3x的最大值與最小值

例5.已知x，y滿足1625x2y2??1下求最值問題，常采用

分析：對于二元函數(shù)y?3x在限定條件1625構(gòu)造直線的截距的方法來求之。

令y?3x?b，則y?3x?b，x2y2??1上求一點，使過該點的直線斜率為3，原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓162

5且在y軸上的截距最大或最小，x2y2??1相切時，有最大截距與最小

由圖形知，當(dāng)直線y?3x?b與橢圓1625截距。

?y?3x?b?

?x2?169x2?96bx?16b2?400?0 y2?16?25?1?

由??0，得b?±13，故y?3x的最大值為13，最小值為?13。???x?3cos???(0????)?，集合N?{(x，y)|y?x?b}

例6.若集合M??(x，y)????y?3sin???且M?N≠?，則b的取值范圍為。

分析：M?{(x，y)|x2?y2?9，0?y?1}，顯然，M表示以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

距為b，由圖形易知，欲使M?N≠?，即是使直線y?x?b與半圓有公共點，顯然b的最小逼近值為?3，最大值為32，即?3?b?32

x2y2??1上一點，它到其中一個焦點F1的距離為2，N為

例7.點M是橢圓2516MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①設(shè)橢圓另一焦點為F2，（如圖），則|MF1|?|MF2|?2a，而a?5

|MF1|?2，∴|MF2|?8

又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，∴ON是△MF1F2的中位線，∴|ON|?11|MF2|?×8?4 2

2②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點的坐標(biāo)，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復(fù)雜。

例8.已知復(fù)數(shù)z滿足|z?2?2i|?2，求z的模的最大值、最小值的范圍。

分析：由于|z?2?2i|?|z?(2?2i)|，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的

點到復(fù)數(shù)2+2i對應(yīng)的點之間的距離，因此滿足|z?(2?2i)|?2的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點 Z，在以(2，2)為圓心，半徑為2的圓上，(如下圖)，而|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的 點Z到原點O的距離，顯然，當(dāng)點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值，|z|min?2，|z|max?32，∴|z|的取值范圍為[2，32]

sinx?2的值域。

cosx?2sinx?2得ycosx?2y?sinx?2，解法一（代數(shù)法）：則y?cosx?

2例9.求函數(shù)y?x?ycosx??2y?2，y2?1sinx(??)??2y?2

sin

∴sin(x??)??2y?2y?12，而|sin(x??)|?1

?4?7?4?7?y? 3 ∴|?2y?2y2?1|?1，解不等式得

∴函數(shù)的值域為[?4?7?4?7，] 33y?y1sinx?2 的形式類似于斜率公式y(tǒng)?2cosx?2x2?x

1解法二（幾何法）：y?

y?sinx?2表示過兩點P0(2，?2)，P(cosx，sinx)的直線斜率

cosx?2

由于點P在單位圓x2?y2?1上，如圖,顯然，kP0A?y?kP0B

設(shè)過P0的圓的切線方程為y?2?k(x?2)

則有|2k?2|k2?1?1，解得k??4±73即kP0A??4?7?4?7，kP0B?

33∴?4?7?4?7?4?7?4?7，] ?y?

∴函數(shù)值域為[3333例10.求函數(shù)u?2t?4?6?t的最值。

分析：由于等號右端根號內(nèi)t同為t的一次式，故作簡單換元2t?4?m，無法 轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。

解：設(shè)x?2t?4，y?6?t，則u?x?y

且x2?2y2?16(0?x?4，0?y?22)

所給函數(shù)化為以u為參數(shù)的直線方程y??x?u，它與橢圓x2?2y2?16在 第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）

umin?22

相切于第一象限時，u取最大值

?y??x?u22

?2?3x?4ux?2u?16?0 2?x?2y?16

解???，得u?±26，取u?26

∴umax?26

三、總結(jié)提煉

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。

四、強化訓(xùn)練

見優(yōu)化設(shè)計?！灸M試題】

一、選擇題：

1.方程lgx?sinx的實根的個數(shù)為（）

A.1個 B.2個

C.3個

D.4個

2.函數(shù)y?a|x|與y?x?a的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(1，??)

B.(?1，1)

D.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1]?[1，??)

3.設(shè)命題甲：0?x?3，命題乙：|x?1|?4，則甲是乙成立的（）

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

4.適合|z?1|?1且argz?

A.0個

?4的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（）

C.2個

D.4個 B.1個

5.若不等式x?a?x(a?0)的解集為{x|m?x?n}，且|m?n|?2a，則a的值為（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知復(fù)數(shù)z1?3?i，|z2|?2，則|z1?z2|的最大值為（）

A.10?

2B.5

C.2?10

2D.2?22

7.若x?(1，2)時，不等式(x?1)?logax恒成立，則a的取值范圍為（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定義在R上的函數(shù)y?f(x)在(??，2)上為增函數(shù)，且函數(shù)y?f(x?2)的圖象的對稱軸為x?0，則（）

A.f(?1)?f(3)

C.f(?1)?f(?3)

二、填空題：

9.若復(fù)數(shù)z滿足|z|?2，則|z?1?i|的最大值為___________。

210.若f(x)?x?bx?c對任意實數(shù)t，都有f(2?t)?f(2?t)，則f(1)、f(?3)、B.f(0)?f(3)D.f(2)?f(3)

f(4)由小到大依次為___________。

11.若關(guān)于x的方程x2?4|x|?5?m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為___________。

12.函數(shù)y?x2?2x?2?x2?6x?13的最小值為___________。

13.若直線y?x?m與曲線y?1?x2有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是___________。

三、解答題：

14.若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。

15.若不等式4x?x2?(a?1)x的解集為A，且A?{x|0?x?2}，求a的取值范圍。

16.設(shè)a?0且a≠1，試求下述方程有解時k的取值范圍。

log((x?a)ax?ak)?loga222【試題答案】

一、選擇題

1.C

提示：畫出y?sinx，y?lgx在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。

2.D

提示：畫出y?a|x|與y?x?a的圖象

情形1：??a?0?a?1 a?1?

情形2：?

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條?a?0?a??1

?a??1件argz??，另外，點O對應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足argz??，故滿足44條件的z有兩個。

5.B

提示：畫出y?x?ay?x的圖象，依題意，m??a，n?a，a?a?a?a?0或2。

6.C

提示：由|z2|?2可知，z2對應(yīng)的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，而|z1?z2|?|z2?(?z1)|?|z2?(?3?i)|

表示復(fù)數(shù)z2與?3?i對應(yīng)的點的距離，結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：

|PO|?r?(?3?0)2?(1?0)2?2?10?2

7.C

提示：令y1?(x?1)2，y2?logax，若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x?(1，2)時，從而

要使y1?y2，只需使loga2?(2?1)2，即a?2，綜上可知

當(dāng)1?a?2時，不等式(x?1)2?logax對x?(1，2)恒成立。

若0?a?1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x?(1，2)時，不等式(x?1)2?logax恒不成立。

可見應(yīng)選C

8.A

提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，由f(x)在（??，2）上為增函數(shù)，可知，f(x)在(2，??)上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。

二、填空題：

9.2?2

提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點在圓O上運動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與－1+i對應(yīng)的兩點的距離。

由圖形，易知，該距離的最大值為2?2。

10.f(1)?f(4)?f(?3)

提示：由f(2?t)?f(2?t)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又f(x)?x2?bx?c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f(1)、f(?3)、f(4)的大小。

11.m?(1，5)

提示：設(shè)y1?x2?4|x|?5y2?m，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x2?4|x|?5?m有四個不相等實根，只需使1?m?5

12.最小值為13

2提示：對x?2x?2?(x?1)??1?(x?1)2?(1?0)2，聯(lián)想到兩點的距離公

(x?3)2?(1?3)2表示點（x，2式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，x?6x?13?1）到點（3，3）的距離，于是y?x2?2x?2?x2?6x?13表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得ymin?13。

13.m?(?2，?1]

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而y?1?x2則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距?m?[1，2)，即m?(?2，?1]。

三、解答題：

??x2?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0

14.解：原方程等價于? ??0?x?30?x?3???x2?4x?3?m???x2?3x?m?3?x?

令y1??x2?4x?3，y2?m，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，其中注意0?x?3，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或?3?m?0時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]?{1}。

注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。

15.解：令y1?4x?x2，y2?(a?1)x，其中y1?4x?x2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，y2?(a?1)x表示過原點的直線系，不等式4x?x2?(a?1)x的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。

由于不等式解集A?{x|0?x?2}

因此，只需要a?1?1，∴a?2

∴a的取值范圍為（2，+?）。

16.解：將原方程化為：loga(x?ak)?loga

∴x?ak?x2?a2，x2?a2，且x?ak?0，x2?a2?0

令y1?x?ak，它表示傾角為45°的直線系，y1?0

令y2?（a，0）的等軸雙曲線在x2?a2，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）x軸上方的部分，y2?0

∵原方程有解，∴兩個函數(shù)的圖象有交點，由下圖，知

?ak?a或?a??ak?0

∴k??1或0?k?1

∴k的取值范圍為(??，?1)?(0，1)

第四篇：高考復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合

定義：數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。

應(yīng)用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。Ⅰ、再現(xiàn)題組：

1.設(shè)命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為－5

B.增函數(shù)且最大值為－5 C.減函數(shù)且最小值為－5

D.減函數(shù)且最大值為－5

y?35.設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復(fù)數(shù)z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。2z1例2.設(shè)|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數(shù)是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實數(shù)m的取值范圍是_________。6.設(shè)z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設(shè)A＝{x|<1x<3}，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內(nèi)不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數(shù)的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。

第五篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚

責(zé)編：辛文升 熱點分析 高考動向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析

類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

.選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時。

（2）當(dāng)a≤1時，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時，都

，時，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

(2)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當(dāng)直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設(shè)切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類問題時要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個實根。

或時，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應(yīng)方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設(shè)頂點，則函數(shù)的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動，使P點落在x軸上的點，此點即是函數(shù)的一個零點（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點B位于x軸上，頂點P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點C位于x軸上，頂點P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。