第一篇：余弦定理的證明 向量法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小

∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗體字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開(kāi)，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。

第二篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算都沒(méi)有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運(yùn)算，則高中階段的向量即為n=2，3時(shí)的情況.設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進(jìn)而構(gòu)造n維向量來(lái)證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因?yàn)锽A+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量?jī)?nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過(guò)A做AG‖DC交EF于p點(diǎn)

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點(diǎn)

連接Cp,取AB中點(diǎn)F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問(wèn)結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得

第五篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^(guò)C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。