第一篇：中山大學(xué) 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A-1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2 …PN，其中PI(I=1,2,…，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)A初等行變換

I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A。三是相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計(jì)算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

第二篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)——選擇題

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)一：選擇題

a11a12a132a112a122a131.如果a21a22a23= M，則2a212a222a23 =（）

a31a32a332a312a322a33A.8M

B.2 M

C.M

D.6 M

2.若A，B都是方陣，且|A|=2，|B|=-1，則|A-1B|=（）

A.-B.2 C.1/2

D.–1/2

?37?3.已知可逆方陣A?1???1?2?? 則A?（）

???27??27??3?7???37?A.??1?3?

B.?13?

C.??12?

D.?1?2?

????????4.如果n階方陣A的行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.A?O B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)?0 5.設(shè)A? B均為n階矩陣? A?O? 且AB? O ? 則下列結(jié)論必成立的是（）

A.BA? O B.B? O

C.(A?B)(A?B)?A2?B2

D.(A?B)2?A2?BA?B2 6.下列各向量組線性相關(guān)的是（）

A.?1?(1? 0? 0)? ?2?(0? 1? 0)? ?3?(0? 0? 1)B.?1?(1? 2? 3)? ?2?(4? 5? 6)? ?3?(2? 1? 0)C.?1?(1? 2? 3)? ?2?(2? 4? 5)

D.?1?(1? 2? 2)? ?2?(2? 1? 2)? ?3?(2? 2? 1)

7.設(shè)AX?b是一非齊次線性方程組? ?1? ?2是其任意2個(gè)解? 則下列結(jié)論錯(cuò)誤 的是（）

A.?1+?2是AX?O的一個(gè)解 B.1?1?1?2是AX?b的一個(gè)解

22C.?1??2是AX?O的一個(gè)解

D.2?1??2是AX?b的一個(gè)解

8.設(shè)A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則3A的特征值為（）

A.1/6? 1/3? 1/2

B.3? 6? 9

C.1? 2? D.1? 1/2? 1/3 9.設(shè)A是n階方陣? 且|A|?2? A*是A的伴隨矩陣? 則|A*|?（）

11A.B.2n C.n?

1D.2n?1 22?1y2???10.若?xz3?正定? 則x? y? z的關(guān)系為（）

?001???A.x+y?z

B.xy?z

C.z?xy D.z?x+y

參考答案:1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C

1.設(shè)?3?0，則?取值為（）

??21A.λ=0或λ=-1/3

B.λ=3

C.λ≠0且λ≠-3

D.λ≠0 2.若A是3階方陣，且|A|=2，A*是A的伴隨矩陣，則|AA*|=（）A.-8

B.2 C.8

D.1/2 3.在下列矩陣中? 可逆的是（）

?000??110???A.010 B.?220?

C.?001??001??????110??100??011?

D.?111? ?121??101?????4.設(shè)n階矩陣A滿足A2?2A+3E?O? 則A?1?（）A.E

B.?1?a5.設(shè)A??a??a?1(2E?A)

C.2A?3E

D.A 3a1aaaa1aa?a?, 若r(A)?1, 則a?（）a??1??A.1 B.3 C.2

D.4 ?x?x?x?0,??1236.若齊次線性方程組?x1??x2?x3?0,有非零解? 則常數(shù)??（）

??x1?x2?x3?0A.1 B.4 C.?2

D.?1 7.設(shè)A? B均為n階矩陣? 則下列結(jié)論正確的是（）

A.BA? AB B.(A?B)2?A2?BA? AB ?B2 C.(A?B)(A?B)?A2?B2

D.(A?B)2?A2?2 AB ?B2 8.已知?1?(1? 0? 0)? ?2?(?2? 0? 0)? ?3?(0? 0? 3)? 則下列向量中可以由?1? ?2?

?3線性表示的是（）

A.(1? 2? 3)

B.(1? ?2? 0)

C.(0? 2? 3)

D.(3? 0? 5)9.n階方陣A可對(duì)角化的充分條件是（）

A.A有n個(gè)不同的特征值

B.A的不同特征值的個(gè)數(shù)小于n C.A有n個(gè)不同的特征向量

D.A有n個(gè)線性相關(guān)的特征向量

22210.設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f?y1，則二次型的正慣性指標(biāo)為（）?y2?3y3A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D 9.A 10.A

1.設(shè)A是4階方陣，且|A|=2，則|-2A|=（）

A.16

B.-C.-32

D.32 3462.行列式k57中元素k的余子式和代數(shù)余子式值分別為（）

128A.20，-20 B.20，20

C.-20，20

D.-20，-20 ?27?3.已知可逆方陣A??? 則A?1?（）??13???27? B.?27?

C.?3?7?

D.??37? A.???13???12??1?2??1?3???????4.如果n階方陣A的行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.A?O

B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)?0 5.設(shè)A? B均為n階矩陣? 則下列結(jié)論中正確的是（）

A.(A?B)(A?B)?A2?B2 B.(AB)k?AkBk C.|kAB|?k|A|?|B|

D.|(AB)k|?|A|k?|B|k 6.設(shè)矩陣A n?n的秩r(A)?n? 則非齊次線性方程組AX?b（）

A.無解 B.可能有解

C.有唯一解

D.有無窮多個(gè)解 7.設(shè)A為n階方陣? A的秩 r(A)?r?n? 那么在A的n個(gè)列向量中（）A.必有r個(gè)列向量線性無關(guān)

B.任意r個(gè)列向量線性無關(guān)

C.任意r個(gè)列向量都構(gòu)成最大線性無關(guān)組

D.任何一個(gè)列向量都可以由其它r個(gè)列向量線性表出 8.已知矩陣A4?4的四個(gè)特征值為4，2，3，1，則A=（）

A.2 B.3 C.4

D.24 9.n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是（）

A.A有n個(gè)不同的特征值

B.A為實(shí)對(duì)稱矩陣

C.A有n個(gè)不同的特征向量

D.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 10.n階對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是（）A.A的秩為n

B.|A|?0 C.A的特征值都不等于零 D.A的特征值都大于零

參考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D

3461.行列式257中元素y的余子式和代數(shù)余子式值分別為（）

yx8A.2，-2

B.–2，2

C.2，2

D.-2，-2 2.設(shè)A? B均為n(n?2)階方陣? 則下列成立是（）A.|A+B|?|A|+|B| B.AB?BA

C.|AB|?|BA|

D.(A+B)?1?B?1+A?1 3.設(shè)n階矩陣A滿足A2?2A? E ? 則(A-2E)?1?（）

A.A B.2 A

C.A+2E

D.A-2E ?1111?4.矩陣A??2222?的秩為（）

?3333???A.1 B.3 C.2

D.4 5.設(shè)n元齊次線性方程組AX?O的系數(shù)矩陣A的秩為r? 則方程組AX?0的基 礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)為（）

A.r

B.n-r

C.n

D.不確定 6.若線性方程組??x1?x2?2x3?1無解? 則? 等于（）x?x??x?223?1A.2 B.1 C.0

D.?1

7.n階實(shí)方陣A的n個(gè)行向量構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，則A是（）A.對(duì)稱矩陣

B.正交矩陣 C.反對(duì)稱矩陣

D.|A|=n

8.n階矩陣A是可逆矩陣的充要條件是（）

A.A的秩小于n B.A的特征值至少有一個(gè)等于零 C.A的特征值都等于零

D.A的特征值都不等于零

9.設(shè)?1? ?2是非齊次線性方程組Ax=b的任意2個(gè)解? 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.?1+?2是Ax=0的一個(gè)解 B.11η1?η2是Ax=b的一個(gè)解 22C.?1??2是Ax=0的一個(gè)解

D.2?1??2是Ax=b的一個(gè)解

2210.設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f?y12?y2，則二次型的秩為（）?3y3A.2 B.-1 C.1 D.3

參考答案: 1.D 2.C 3.A 4.A

5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D

ab01.設(shè)D??ba0?0，則a，b取值為（）

101A.a=0，b≠0

B.a=b=0

C.a≠0，b=0

D.a≠0，b≠0 2.若A、B為n階方陣? 且AB= O ? 則下列正確的是（）A.BA?O

B.|B|?0或|A|?0 C.B? O 或A? O

D.(A?B)2?A2?B2 3.設(shè)A是3階方陣，且|A|??2，則|A?1|等于（）A.?2 B.?

C.2

D.224.設(shè)矩陣A? B? C滿足AB?AC? 則B?C成立的一個(gè)充分條件是（）

A.A為方陣 B.A為非零矩陣

C.A為可逆方陣

D.A為對(duì)角陣 5.如果n階方陣A?O 且行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.0

C.r(A)= n

D.r(A)?0 ?7x1?8x2?9x3?0?6.若方程組??x2?2x3?0存在非零解? 則常數(shù)b?（）

?2x?bx?03?2A.2 B.4 C.-2

D.-4 7.設(shè)A為n階方陣? 且|A|?0? 則（）A.A中必有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例

B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合

C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合D.A中至少有一行(列)的元素全為零

8.設(shè)A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則3A的特征值為（）

A.1/6? 1/3? 1/B.3? 6? 9

C.1? 2?

3D.1? 1/2? 1/3 9.如果3階矩陣A的特征值為-1,1,2，則下列命題正確的是（）A.A不能對(duì)角化

B.A?0

C.A的特征向量線性相關(guān)

D.A可對(duì)角化

22210.設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f?y1，則二次型的正慣性指標(biāo)為（）?y2?3y3A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C

a111.如果a21a12a22a32a13a23a33a314a11=M，則4a214a31a11?a12a21?a22a31?a32a13a23=（）a33A.-4M

B.0

C.-2 M

D.M

2.設(shè)Aij是n階行列式D?|aij|中元素aij的代數(shù)余子式? 則下列各式中正確的是（）

A.?aijAij?0

i?1n B.?aijAij?0

C.?aijAij?D

j?1j?1nn

D.?ai1Ai2?D

i?1n?200??100?3.已知A??010?，B??221?，則|AB|=（）

?????333??301?????A.18 B.12 C.6

D.36 4.方陣A可逆的充要條件是（）

A.A?O

B.|A|?0

C.A*?O

D.|A|?1 5.若A、B為n階方陣? A為可逆矩陣? 且AB? O ? 則（）

A.B? O ? 但r(B)?n B.B? O ? 但r(A)?n, r(B)?n C.B? O

D.B? O ? 但r(A)?n, r(B)?n

6.設(shè)?1? ?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個(gè)解? 則下列向量中仍為方程組 解的是（）

3β1?2β2A.?1+?2 B.?1??2

C.1(β1?2β2)

D.257.n維向量組?1? ?2? ??? ? ?s線性無關(guān)? ?為一n維向量? 則（）

A.?1? ?2? ??? ? ?s? ?線性相關(guān)

B.?一定能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出

C.?一定不能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出 D.當(dāng)s?n時(shí)? ?一定能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出 8.設(shè)A為三階矩陣? A的特征值為?2? 1? 2? 則A?2E 的特征值為（）A.?2? 1? 2

B.-4?-1? 0

C.1? 2? 4

D.4? 1?-4 9.若向量α=（1，-2，1）與β=（2，3，t）正交，則t=（）

A.-2 B.0 C.2

D.4 ?1y2???10.若xz3正定? 則x? y? z的關(guān)系為（）??001????A.x+y?z

B.xy?z C.z?xy

D.z?x+y

參考答案: 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C

3461.行列式257中元素x的余子式和代數(shù)余子式值分別為（）

yx8A.–9，-9

B.–9，9

C.9，-9

D.9，9

122.341333143415=（）34A.2 B.4 C.0

D.1 3.設(shè)A為4階矩陣? |A|?3? 則其伴隨矩陣A*的行列式|A*|?（）A.3 B.81 C.27

D.9 4.設(shè)A? B均為n階可逆矩陣? 則下列各式中不正確的是（）A.(A+B)T?AT+BT

B.(A+B)?1?A?1+B?1 C.(AB)?1?B?1A?1

D.(AB)T?BTAT 5.設(shè)n階矩陣A滿足A2+A+E?O? 則(A+E)?1?（）

A.A

B.-(A+E)

C.–A

D.-(A2+A)6.設(shè)n階方陣A? B ? 則下列不正確的是（）

A.r(AB)?r(A)

B.r(AB)?r(B)C.r(AB)?min{ r(A)，r(B)}

D.r(AB)>r(A)

7.已知方程組AX?b對(duì)應(yīng)的齊次方程組為AX?O，則下列命題正確的是（）

A.若AX?O只有零解? 則AX?b有無窮多個(gè)解

B.若AX?O有非零解? 則AX?b一定有無窮多個(gè)解

C.若AX?b有無窮解? 則AX?O一定有非零解

D.若AX?b有無窮解? 則AX?O一定只有零解 ?101?8.已知矩陣A??020?的一個(gè)特征值是0? 則x?（）

?10x???A.1 B.2 C.0

D.3 ?100?9.與A??02?1?相似的對(duì)角陣是（）

?0?12????1??1??1??1?A.Λ??1? B.Λ??2?

C.Λ???1? D.Λ??1?

????3?3?3?4?????????10.設(shè)A為3階方陣? A的特征值為1?

0?

3?則A是（）

A.正定 B.半正定 C.負(fù)定

D.半負(fù)定

參考答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

1.設(shè)A? B都是n階方陣? k是一個(gè)數(shù)? 則下列（）是正確的。

A.若|A|?0? 則A? O

B.|kA|?|k|?|A|

C.|A?B|?|A|?|B|

D.|AB|?|A|?|B|

142.設(shè)A?1523320?11?141? 則4A41+3A42+2A43+A44?（）26A.0 B.1 C.2

D.3 3.若n階方陣A的行列式為a? 則A的伴隨陣的行列式|A*|?（）

D.an?1 a4.設(shè)A? B? C 都是n階方陣? 且C可逆? 則下列命題中（）是錯(cuò)誤的。A.若AB?C? 則A與B都可逆

B.若AC?BC? 則A?B

C.若ABC?O? 則A? O或B? O

D.若AC?B? 則A與B有相同的秩 5.設(shè)n階矩陣A滿足A3-A2+A-E?O? 則A?1?（）

A.A2-A +E B.-(A+E)

C.A2-A

D.-(A2-A +E)A.a

B.an

C.?10?10?6.矩陣A??1?204?的秩為（）

?2?2?14???A.1 B.3 C.2

D.4 7.設(shè)AX?b是一非齊次線性方程組? ?1? ?2是其任意2個(gè)解? 則下列結(jié)論錯(cuò)誤 的是（）

11η1?η2是AX?b的一個(gè)解 22C.?1??2是AX?O的一個(gè)解

D.2?1??2是AX?b的一個(gè)解 8.設(shè)A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則A ?1的特征值為（）

A.2? 1? 3 B.1/2? 1/4? 1/6

C.1? 1/2? 1/3

D.2? 1? 6 9.n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是（）

A.A的不同特征值的個(gè)數(shù)小于n

B.A的線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)小于n C.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

D.上述命題都不對(duì) A.?1+?2是AX?O的一個(gè)解

B.2210.設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f?y1，則二次型的秩為（）

?y2A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A

第三篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

自考線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A-1= 1 A*，或A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是常考的內(nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。

關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A.三是相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計(jì)算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

第四篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

“線性代數(shù)”主要題型（以第三版的編號(hào)為準(zhǔn)）

(注意：本復(fù)習(xí)要點(diǎn)所涉及的題目與考試無關(guān))

一、具體內(nèi)容

第一章、行列式：

1.1、四階或者五階行列式的計(jì)算。比如第1.3節(jié)例

3、例4，第四節(jié)的例3等。

1.2、n階含字母或數(shù)字的行列式的計(jì)算。比如第1.3節(jié)例8，第四節(jié)的例4。

1.3、一些特殊的齊次線性方程組有非零解的判斷。比如第1.5節(jié)例3。

第二章、矩陣。

2.1、矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置運(yùn)算、行列式運(yùn)算、逆運(yùn)算以及它們的運(yùn)算性質(zhì)。

2.2、矩陣方程的求解。比如第2.3節(jié)的例6，第2.5節(jié)的例7等等。

2.3、矩陣秩的計(jì)算。比如第2.6節(jié)例6等等

2.4、矩陣運(yùn)算的簡單證明題目。比如第2.2節(jié)的例

12、例13，第2.3節(jié)例8等等。

第三章、線性方程組

3.1、向量的線性運(yùn)算。比如第3.2節(jié)的例1等等。

3.2、抽象的或n維向量線性相關(guān)性的證明。比如第3.3節(jié)的例

2、例

3、例4等等。

3.3、極大線性無關(guān)組的求解或證明。比如第3.4節(jié)的例

2、例3等等。

3.4、向量空間的基的計(jì)算或證明。比如第3.5節(jié)的例9等等。

3.5、線性方程的解的數(shù)量與結(jié)構(gòu)的討論。比如第3.1節(jié)的例4，第3.6節(jié)的例1等等。

第四章、矩陣的特征值

4.1、矩陣特征值、特征向量的計(jì)算。

4.2、矩陣特征值的性質(zhì)及簡單應(yīng)用。比如第4.2節(jié)例6等等。

4.3、矩陣相似對(duì)角化的判斷。比如第4.3節(jié)的例4等等。

4.4、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。比如第4.4節(jié)的例

1、例2等等。

第五章、二次型

5.1、用正交相似變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。比如第5.2節(jié)的例5等等。

5.2、正定矩陣的判別。比如第5.3的例4等等。

二、專業(yè)要求

1、非經(jīng)管類專業(yè)的同學(xué)，最好掌握上述所有的內(nèi)容。

2、經(jīng)管類專業(yè)的同學(xué)的要求，相對(duì)要低一些：若是計(jì)算題目，計(jì)算量減少；若是證明題，證明難度降低；一般只有一道題目里面的參數(shù)需要討論。比如“1.1”里面最多要求計(jì)算四階行列式，“3.2”里面只要求n維向量線性相關(guān)性的證明，“5.2”不要等等。請相應(yīng)的上課老師注意把握。

第五篇：2012線性代數(shù)Ⅱ復(fù)習(xí)要點(diǎn)

《線性代數(shù)Ⅱ》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

教材：工程數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》第五版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編

1、掌握行列式的相關(guān)性質(zhì)與計(jì)算

2、掌握行列式的按行按列展開法則

3、掌握矩陣的各種運(yùn)算及性質(zhì)，掌握分塊對(duì)角陣的行列式、逆矩陣的計(jì)算

4、掌握矩陣可逆的判定方法

5、掌握方陣A與A及伴隨矩陣A之間的關(guān)系，以及三者行列式之間的關(guān)系

6、掌握矩陣的初等變換及初等矩陣，掌握初等矩陣的性質(zhì)

7、掌握矩陣秩的定義及相關(guān)性質(zhì)

8、掌握矩陣方程的解法

9、掌握向量組線性相關(guān)無關(guān)的性質(zhì)

10、掌握向量組的秩的定義及相關(guān)性質(zhì)，會(huì)求向量組的秩及最大無關(guān)組

11、掌握線性方程組是否有解的判別，會(huì)解線性方程組，例如解系數(shù)含參變量的線性方程組

12、掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)，會(huì)利用方程組解的結(jié)構(gòu)寫方程組的通解

13、掌握方陣的特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，會(huì)求方陣的特征值、特征向量

參考例題和習(xí)題：

第21頁例13，第25頁例16，第26頁6題（2，3），第27頁8題（2），第28頁9題，第41頁例9，第44頁例10，第50頁例16，第54頁4題，第54頁5題，第55頁14題，第56頁15題，第56頁24題，第56頁26題，第65頁例3，第75頁例13，第78頁6題，第79頁12題，第80頁16題，第80頁18題，第90頁例7，第107頁5，第109頁27題，第110頁32題，第118頁例5，第119頁例7，第120頁例8，第134頁6題，第135頁7題，?1?