第一篇：2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案：2.2等差數(shù)列名師導(dǎo)航學(xué)案及答案

2.2 等差數(shù)列

知識梳理

1.等差數(shù)列的定義

一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義的表達式為an+1-an=d(n∈N+).2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式為an=a1+(n-1)d.3.等差中項

若三個數(shù)a、A、b成等差數(shù)列,則A叫做a、b的等差中項,且A=4.等差數(shù)列前n項和公式 Sn=

a?b.2n(a1?an)n(n?1)d或na1+.225.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列{an}的公差為d,若d＞0,則數(shù)列為遞增數(shù)列,且當(dāng)a1＜0時,前n項和Sn有最小值;若d＜0,則數(shù)列為遞減數(shù)列,且當(dāng)a1＞0時,前n項和Sn有最大值.6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項為a1,公差為d.(1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq;推論:若m+n=2p,則am+an=2ap.2(2)等差數(shù)列中連續(xù)m項的和組成的新數(shù)列是等差數(shù)列,公差等于md,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?為等差數(shù)列,則有S3m=3(S2m-Sm).(3)從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列.如a1,a4,a7,a10,?(下標(biāo)成等差數(shù)列).知識導(dǎo)學(xué)

等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列,所以學(xué)習(xí)前先對上節(jié)有關(guān)數(shù)列的概念、性質(zhì)進行回顧,同時復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)的形式與圖象,并且思考一次函數(shù)與等差數(shù)列的區(qū)別.本節(jié)內(nèi)容的重點是等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,要能夠運用公式解決簡單問題,在實際解題中注意有關(guān)技巧的運用.在理解定義時,要重視兩點:一是“從第二項起”,二是“同一常數(shù)”,同時要對a,d的取值對單調(diào)性的影響加以分析,以加深對概念的理解和知識的鞏固.疑難突破

1.如何去判斷或證明一個數(shù)列為等差數(shù)列呢? 剖析:判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列,最基本也最常用的就是看這個數(shù)列是否符合等差數(shù)列的定義.一般有以下五種方法:(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列;(2)遞推法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列;(3)性質(zhì)法:利用性質(zhì)來判斷;(4)通項法:an=pn+q(p、q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;2(5)求和法:Sn=An+Bn(A、B為常數(shù),Sn為{an}的前n項和)?{an}是等差數(shù)列.其中(4)(5)兩種方法主要應(yīng)用于選擇、填空題中,在解答題中判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列,一般用(1)(2)(3)這三種方法,而方法(3)還經(jīng)常與(1)(2)混合運用.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列有兩種基本方法:(1)利用等差數(shù)列的定義,證明an+1-an(n≥1)為常數(shù);(2)利用等差中項的性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2).2.如何求等差數(shù)列前n項和的最值? 剖析:可從以下兩個方面思考:(1)利用前n項和公式,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題.n(n?1)dddd?n2?(a1?)n,當(dāng)d≠0時,此式可看作二次項系數(shù)為,一次項系2222dd2d數(shù)為a1-,常數(shù)項為0的二次函數(shù),其圖象為拋物線y=x+(a1-)x上的點集,坐標(biāo)為222Sn=na1+(n,Sn)(n∈N+),因此,由二次函數(shù)的性質(zhì)立即可以得出結(jié)論:當(dāng)d＞0時,Sn有最小值;當(dāng)d＜0時,Sn有最大值.(2)結(jié)合數(shù)列的特征,運用函數(shù)單調(diào)性的思路.當(dāng)d＞0時,則數(shù)列為遞增數(shù)列,且當(dāng)a1＜0時,一定會出現(xiàn)某一項,在此之前的項都是非正數(shù),而后面的項都是正數(shù),前n項和Sn有最小值;當(dāng)d＜0時,則數(shù)列為遞減數(shù)列,且當(dāng)a1＞0時,一定會出現(xiàn)某一項,在此之前的項都是非負數(shù),而后面的項都是負數(shù),前n項和Sn有最大值.顯然最值問題很容易判斷.第二種思路運算量小.

第二篇：2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案：3.2均值不等式名師導(dǎo)航學(xué)案及答案

3.2 均值不等式

知識梳理

1.幾個重要不等式

22（1）a+b≥2ab(a,b∈R);a?b≥ab(a,b＞0);2ba（3）+≥2(ab＞0);aba?b2（4）ab≤()(a,b∈R).2（2）2.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系求最大值、最小值

P2（1）若a,b＞0，且a+b=P（P為常數(shù)），則ab存在最大值為.若a,b＞0，且ab=S（S為

4常數(shù)），則a+b存在最小值為2S.（2）應(yīng)用均值不等式求最值應(yīng)滿足的條件是一正、二定、三相等.知識導(dǎo)學(xué)

本節(jié)的主要問題是均值不等式的應(yīng)用，要理解并且牢記公式及其變形.它的應(yīng)用范圍是非常廣泛的，如：求最值、證明不等式、解決實際問題、比較大小、求取值范圍等.其中應(yīng)用最重要的是積大和小定理：兩個正數(shù)當(dāng)和是定值時積有最大值，當(dāng)積是定值時和有最小值.應(yīng)用該定理要注意三個限制條件——一正、二定、三相等.當(dāng)?shù)忍柍闪⒌臈l件不成立時，要從函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性）入手思考.疑難突破

1.利用均值不等式求最值時應(yīng)滿足什么條件? 剖析：利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行,即“一正、二定、三相等”.“一正”,所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案.例如,很容易根據(jù)均值不等式得出y=x+1≥2的錯誤結(jié)論.x“二定”,含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)，例如要求a+b的最小值，ab必須是定值.求ab的最大值,a+b必須是定值.“三相等”,具備不等式中等號成立的條件，使函數(shù)取得最大值或者最小值.例如，y=x2?2 +11x?22，滿足“正”和“定值”的條件，但要取等號必須x2?2=x2?2，即x+2=1，這是不可能的，所以其最小值不是2.在利用均值不等式

2求最值時,必須同時考慮以上三個條件,如果其中一個不成立就可能得出錯誤的答案.2.利用均值不等式求函數(shù)最值時,湊定值有哪些技巧? 剖析：利用均值不等式求最值常常需要對函數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃?在變形過程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面幾點:(1)將所得出的恒為正的函數(shù)式平方，然后再使用均值不等式求解.有時候直接帶有根號的定值不容易看出來,可以先平方再找最值,得出結(jié)果開方即可.但是要注意平方前后的正負問題;(2)有些和（積）不為常數(shù)的函數(shù)求最值時，可通過引入?yún)?shù)，再使用均值不等式求解.主要是一些比較復(fù)雜的式子,使用一個參數(shù)作一個整體代換可以使整個式子更加簡潔,也更容易得出定值;(3)有些函數(shù)在求最值時，需要幾次使用均值不等式進行放縮才能達到目的.放縮時要保證幾個等號能同時成立;(4)有時候使用均值不等式的變形,要根據(jù)題目的特點，選用合適的公式.例如a?b2a2?b2a?b2ab≤()、≥()等.222

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：2.2等差數(shù)列(第2課時)（推薦）

必修5 2.2等差數(shù)列（學(xué)案）

（第2課時）

【知識要點】

1.等差中項的概念； 2.等差數(shù)列的性質(zhì);3.等差數(shù)列的判定方法； 4.等差數(shù)列的常用設(shè)法.【學(xué)習(xí)要求】

1.理解等差中項的概念；

2.探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并會運用等差中項和等差數(shù)列的性質(zhì)解題； 3.體會等差數(shù)列和一次函數(shù)的關(guān)系.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 36 頁～第39頁）

1.等差中項

（1）如果a、A、b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的.（2）如果an?1?an?an?2對任意正整數(shù)n都成立，則數(shù)列?an?是.22.等差數(shù)列的性質(zhì)

*（1）若?an?是等差數(shù)列且m?n?p?q，（m,n,p,q?N）則有_____________.(2)若?an?是等差數(shù)列且m?n?2k，（m,n,k?N）則有______________.**(3)思考：若?an?是等差數(shù)列且m?p?q，（m,p,q?N）則有am?ap?aq嗎？

3.等差數(shù)列的設(shè)項技巧

（1）若三個數(shù)成等差數(shù)列，則這三個數(shù)一般可設(shè)為_________________，若四個數(shù)成等差數(shù)列，則這四個數(shù)一般可設(shè)為_____________________.【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知數(shù)列?an?的通項公式為an?pn?q,其中p,q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

2.已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列.（1）2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？（2）2an?an?1?an?1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

2an?an?k?an?k(n>k>0)是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？ 【典型例題】

例1 等差數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，a2?a4?16,a1?a5?28,試求an.變式1：等差數(shù)列?an?中，已知a2?a3?a10?a11?36,求a5?a8.例2 已知：111y?zz?xx?y，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.xyzxyz

變式2：若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是.例3 在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,求數(shù)列的通項公式.變式3：已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列.1.在等差數(shù)列?an?中，a5?10,a1?a2?a3?3,則（）.（A）a1??2,d?3(B)a1?2,d??3(C)a1??3,d?2(D)a1?3,d??2.2.若a?b，兩個等差數(shù)列a,x1,x2,b與a,y1,y2,y3,b的公差分別是d1,d2，則（）.（A）

d1? d23243(B)(C)(D)2334則m?32,若am?8，3.已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，且a3?a6?aa?01?31（）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.數(shù)列?an?中，a1?2,a2?1，211???n?2?，則an=.anan?1an?15.48，a,b,c，-12是等差數(shù)列中的連續(xù)五項，則a,b,c的值依次為______________.6．已知等差數(shù)列?an?中，a3和a15是方程x?6x?1?0的兩根，則

2=_________________.a7?a8?a9?a10?a 7．在等差數(shù)列?an?中,已知a2?a3?a4?a5?34,a2?a5?52,求公差d.8.三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求此三個數(shù).21.數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?n?n??an?n?1,2,??，?是常數(shù).??（1）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由.必修5 2.2 等差數(shù)列（教案）

（第2課時）

【教學(xué)目標(biāo)】

1．理解等差中項的概念.2.探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并會運用等差中項和等差數(shù)列的性質(zhì)解題.3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系.【重點】理解等差中項的概念，探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，會用等差中項和性質(zhì)解決一些簡單的問題.【難點】正確運用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 36 頁～第39頁）

1.等差中項

（1）如果a、A、b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項.（2）如果an?1?an?an?2對任意正整數(shù)n都成立，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列.2?N*）則有am?an?ap?aq.*2.等差數(shù)列的性質(zhì) ，,（1）若?an?是等差數(shù)列且m?n?p?q，（mnpq(2)若?an?是等差數(shù)列且m?n?2k，（m,n,k?N）則有am?an?2ak.*(3)思考：若?an?是等差數(shù)列且m?p?q，（m,p,q?N）則有am?ap?aq嗎？

分析：設(shè)等差數(shù)列?an?的首項為a1，公差為d，則am?a1?d，1??m?ap?aq?a1?a1??p?q?1?d?d?am?a1?d.所以當(dāng)首項和公差相等時成立，否則不成立.3.等差數(shù)列的設(shè)項技巧

（1）若三個數(shù)成等差數(shù)列，則這三個數(shù)一般可設(shè)為a?d,a,a?d，若四個數(shù)成等差數(shù)列，則這四個數(shù)一般可設(shè)為a?3d,a?d,a?d,a?3d.【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知數(shù)列?an?的通項公式為an?pn?q,其中p,q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

解：a1?p?q，an?1?an?p?n?1??q??pn?q??p.所以數(shù)列一定是等差數(shù)列.2.已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列.（1）2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？（2）2an?an?1?an?1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

2an?an?k?an?k(n>k>0)是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？

解：（1）因為a5?a3?a7?a5，所以2a5?a3?a7.同理有2a5?a1?a9也成立.（2）2an?an?1?an?1(n>1)，此結(jié)論說明，在等差數(shù)列中，從第二項起，每一項（有限數(shù)列末項除外）都是它前后兩項的等差中項；同樣有2an?an?k?an?k(n>k>0)成立，結(jié)論說明在等差數(shù)列中，任取數(shù)列中的某項都是與它前后等距離兩項的等差中項（保證前后兩項存在）.【典型例題】

例1 等差數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，a2?a4?16,a1?a5?28,試求an.【審題要津】以性質(zhì)m?n?p?q知a2?a4?a1?a5，運用方程思想求得a1和a5，則公差可求；也可都用a1和d表示，求解a1和d.解：?a1?a5?a2?a4?16，又a1?a5?28，且數(shù)列為遞增數(shù)列，?a1?2,a5?14.由a5?14?a1?4d?2?4d,?d?3.?an?2??n?1??3?3n?1.【方法總結(jié)】解題過程中運用性質(zhì)進行了過度，而能用性質(zhì)求解的題目只是一部分，使用基本量a1與d列方程的方法適用于任何與等差數(shù)列通項有關(guān)的題目，是通法.變式1：變式1：等差數(shù)列?an?中，已知a2?a3?a10?a11?36,求a5?a8.解：?a2?a11?a3?a10?a5?a8.又a2?a3?a10?a11?36,2?a5?a8??36,?a5?a8?18.例2 已知：111y?zz?xx?y，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.xyzxyz【審題要津】由于所求證的是三個數(shù)成等差數(shù)列，可用等差中項.證明：111211，成等差數(shù)列，??? xyzyxz?2zxzxy?zx?yyzxy?11?zx??????y?????=y????2??.yxzxzxzxxzz?xz?xz 5

而2?z?xzxy?zx?yz?x?11?.??z?x????2??.???2???yxzxzy?xz??y?zz?xx?y成等差數(shù)列.，xyz【方法總結(jié)】對于證三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，常用等差中項法，即證2b?a?c即可.變式2 若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是3.解：?m和2n的等差中項為4，?m?2n?8.又2m和n的等差中項為5，?2m?n?10，兩式相加，得m?n?6.?m與n的等差中項為

m?n6??3.22例3 在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,求數(shù)列的通項公式.【審題要津】要求通項公式，需要求出首項a1及公差d，由直接求解很困難，這樣促使我們轉(zhuǎn)換思路.如果考慮到等差數(shù)a2?a5?a89?,a3a5a??172列的性質(zhì)，注意到a2?a8?2a5?a3?a7問題就好解了.解：?a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,又?a2?a8?a3?a7?2a5, ?a3?a7?2a5?6,a3?a7??7,解得：a3??1,a7?7或a3?7,a7??1，?a3??1,d?2或a3?7,d??2.由an?a3??n?3?d，得an?2n?7或an??2n?13.【方法總結(jié)】等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)牢記，在解題中應(yīng)用非常廣泛.變式3 已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列.解：設(shè)成等差數(shù)列的這四個數(shù)依次為a?3d,a?d,a?d,a?3d.???a?3d???a?d???a?d???a?3d??26,由題設(shè)知?

???a?d??a?d??40.1313??a?,a?,????22解之得?或??這個數(shù)列為2，5，8，11或11，8，5，2.33?d?,?d??.???2?2

1.在等差數(shù)列?an?中，a5?10,a1?a2?a3?3,則（A）.（A）a1??2,d?3(B)a1?2,d??3(C)a1??3,d?2(D)a1?3,d??2.2.若a?b，兩個等差數(shù)列a,x1,x2,b與a,y1,y2,y3,b的公差分別是d1,d2，則（C）.（A）

d1? d23243(B)(C)(D)2334則m?32,若am?8，3.已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，且a3?a6?aa?01?31（A）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.數(shù)列?an?中，a1?2,a2?1，2211???n?2?，則an=.nanan?1an?15.48，a,b,c，-12是等差數(shù)列中的連續(xù)五項，則a,b,c的值依次為33,18,3.6．已知等差數(shù)列?an?中，a3和a15是方程x?6x?1?0的兩根，則

2=15.a7?a8?a9?a10?a 7．在等差數(shù)列?an?中,已知a2?a3?a4?a5?34,a2?a5?52,求公差d.解：由a2?a3?a4?a5?34，知a2?a5?17，又a2?a5?52.?a2?4,a5?13或a2?13,a5?4.所以d?3或d??3.8.三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求此三個數(shù).解：設(shè)三個數(shù)分別為a?d,a,a?d，由題意有????a?d??a??a?d??9，??a?a?d??6?a?d?.解得：a?3,d??1.所以這三個數(shù)為4，3，2.21.數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1n?n??an?n?1,2,??，?是常數(shù).??（1）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由.2解：（1）由于an?1?n?n??an?n?1,2,??,且a1?1，所以當(dāng)a2??1時，得

???1?2??，故??3.從而a3??22?2?3????1???3.（2）數(shù)列?an?不可能為等差數(shù)列.證明如下：

2由a1?1，an?1?n?n??an得 ??a2?2??,a3??6????2???,a4??12????6????2???.若存在?，使?an?為等差數(shù)列，則a3?a2?a2?a1，即?5????2????1??，解得?=3.于是a2?a1?1????2,a4?a3??11????6????2?????24.這與?an?為等差數(shù)列矛盾.所以，對任意?，?an?都不可能是等差數(shù)列.

第四篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法

§2.3 數(shù)學(xué)歸納法

2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出

A．當(dāng)n＝6時命題不成立

B．當(dāng)n＝6時命題成立

C．當(dāng)n＝4時命題不成立

D．當(dāng)n＝4時命題成立

2．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則()()

A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立

B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C．該命題何時成立與k取值無關(guān)

D．以上答案都不對

13．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()2

A．1B．2C．3D．0

()1114．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時f(n)是232n＋1

A．1

1B.3D．以上答案均不正確

11C．1＋＋2311115．已知f(n)＋ nn＋1n＋2n()

11A．f(n)中共有n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝ 23

111B．f(n)中共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋234

11C．f(n)中共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，f(2)23

111D．f(n)中共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋ 234

a6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項3an＋1

表達式為

2A.4n－3

2C.4n＋3

二、能力提升

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為

A．2k＋1

2k＋1C.k＋1()()2 6n－52D.2－1B．2(2k＋1)2k＋3D.k＋1

1118．已知f(n)(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋______________________.n＋1n＋23n－1

9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

11112(1－)(1)…(1－＝(n∈N*)． 345n＋2n＋

210．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

－－n?n＋1?12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1(n∈N*)． 2

11．已知數(shù)列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式．

三、探究與拓展

n?n＋1?212．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2an＋bn12

＋c)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論．

答案

1．B2．B 3．C 4．C5．D 6．B 7．B

11118.＋ 3k3k＋13k＋2k＋1

12229．證明(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－，等式成立． 331＋23

11112(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即(1)(1)…(1＝，345k＋2k＋2

那么當(dāng)n＝k＋1時，1111121(1－)(1－)(1－)…(1－＝(1－345k＋2k＋3k＋2k＋3

＝2?k＋2?2 ?k＋2??k＋3?k＋3

所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立．

10．證明(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝(－1)11×－1×21，結(jié)論成立． 2

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，結(jié)論成立．

－－k?k＋1?即12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＝(－1)k1 2

那么當(dāng)n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＋(－1)k(k＋1)2 －

－k?k＋1?＝(－1)k1(－1)k(k＋1)2 2

－k＋2k＋2＝(－1)k·(k＋ 2

?k＋1??k＋2?＝(－1)k.2

即當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也成立．

由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n等式都成立．

11．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，??5?n＝1?猜想an＝?.n－2*?5×2，?n≥2，n∈N??

(2)證明 ①當(dāng)n＝2時，a2＝5×222＝5，公式成立． －

②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時成立，即ak＝5×2k2，－

那么當(dāng)n＝k＋1時，由已知條件和假設(shè)有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k2.－

5?1－2k1?－＝55×2k1.1－2－

故當(dāng)n＝k＋1時公式也成立．

由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝5×2n2.－

所以數(shù)列{an}的通項公式為

??5?n＝1?an＝?.n－2*?5×2?n≥2，n∈N??

12．解 假設(shè)存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，則當(dāng)n＝1,2,3時上式顯然也成立，此時可得

??1?1×2＋2×3＝24a＋2b＋c?，??1×2＋2×3＋3×4＝9a＋3b＋c，2222211×22＝?a＋b＋c?，6

解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10，n?n＋1?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝×(3n2＋11n＋10)12

對一切正整數(shù)均成立．

(1)當(dāng)n＝1時，命題顯然成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，命題成立．

k?k＋1?2即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k＋11k＋10)，12

則當(dāng)n＝k＋1時，有

1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2

＝

＝

＝

＝k?k＋1?2k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12k?k＋1?k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 12?k＋1??k＋2?2k＋5k＋12k＋24)12?k＋1??k＋2?k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12

即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．

由(1)(2)可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立．

第五篇：數(shù)學(xué)：2.2《等差數(shù)列》教案(新人教A版必修5)

§3.2 等差數(shù)列（2－１）

教學(xué)目標(biāo)

１．理解等差數(shù)列的概念．

２．掌握等差數(shù)列的通項公式．

３．并能用等差數(shù)列通項公式解決一些簡單的問題． 教學(xué)重點

等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項公式． 教學(xué)難點

等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義．

教學(xué)過程

一．新課引入

我們先看數(shù)列：（1）： 4，5，6，7，8，9，10，??（2）： 3，0，?3，?6，??

（3）： 1，2，3，4，??（4）： an?12?3(n?1)12，9，6，3，?? 2101010 特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數(shù) — “等差”．

二．新課

1．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（常用字母d表示）．

注意：(1)從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)．(2)等差數(shù)列可用“AP”．．．．．．．．．．表示．(3)若d?0 則該數(shù)列為常數(shù)列．

2．等差數(shù)列的通項公式． 已知等差數(shù)列?an?的首項a1，公差d，求an

等差數(shù)列的定義知：an?1?an?d

a2?a1?d a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d

a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d???? 由此歸納為an?a1?(n?1)d．強調(diào)：當(dāng)n?1時 a1?a1（成立）

注意: 1? 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)2? 如果通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP． 證明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A．它是以A?B為首項，A為公差的AP． 3? 公式中若 d?0 則數(shù)列遞增，d?0 則數(shù)列遞減． 4? 圖象： 一條直線上的一群孤立點．

3.例題：

例1：⑴求等差數(shù)列8,5,2,?的第20項．

⑵-401是不是等差數(shù)列?5,?9,?13,?的項？如果是，是第幾項？

例2：在等差數(shù)列?an?中，已知a5?10,a12?31求首項a1與d公差．

例3：梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度．

如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．

容易知道：在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外），都是它前一項的等差中項．

例4：已知數(shù)列的通項公式為an?pn?d,其中p,q是常數(shù)，且p?0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項與公差是什么？

三．課堂練習(xí)

課本P117練習(xí)（1、2、3)

四．補充例題：

1．在等差數(shù)列?an?中，若a5?a a10?b 求a15 解：2a10?a5?a15 即2b?a?a15 ∴ a15?2b?a 2．若a3?a8?m 求 a5?a6

解：a5?a6=a3?a8?m

3.若 a5?6 a8?15 求a14

解：a8?a5?(8?5)d 即 15?6?3d ∴ d?3

從而 a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33

4.若 a1?a2???a5?30 a6?a7???a10?80 求a11?a12???a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ??

∴ 2a6?a1?a11 2a7?a2?a12 ??

從而(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)

∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)=2×80?30=130 5．已知兩個等差數(shù)列a1, a2, a3, a4, a5和b1, b2, b3, b4, b5, b6,其中a 1=b2,a5=b5,求是多少？提示：a5－a1=4d1, b5－b2=3d2, ∴4d1=3d2，b6?b4的值a3?a2b6?b42d28==．

3a3?a2d1

五．小結(jié)

本堂課的重難點為等差數(shù)列概念和通項公式，并能運用等差數(shù)列的通項公式求一些簡單的問 題．

六．作業(yè)

課本P5習(xí)題1.1(2)

3.2等差數(shù)列

主 講 人: 王 存 國

桐 柏 縣 第 一 高 級 中 學(xué)

2008年9月