第一篇：高中數(shù)學(xué) 2.2《等差數(shù)列》教案 新人教A數(shù)學(xué)必修5

2.2等 差 數(shù) 列(1)教學(xué)目標(biāo) 1．明確等差數(shù)列的定義．

2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

3．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

教學(xué)難點(diǎn)

等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用 教學(xué)方法 :啟發(fā)式數(shù)學(xué),歸納法.一.知識導(dǎo)入

1.觀察下列數(shù)列,寫出它的一個通項(xiàng)公式和遞推公式,并說出它們的特點(diǎn).1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.課本41頁的三個實(shí)際問題

【歸納】共同特點(diǎn):每一個數(shù)列，從第二項(xiàng)起與前一項(xiàng)的差相同。二．等差數(shù)列

1.定義: 一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。以上三個例子的公差d分別為2,-1,3.定義說明:1)同一個常數(shù)的含義.2)公差d的取值范圍.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: 設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列.由定義有:思路1: a2?a1?a3?a2???an?an?1?d

a2?a1?d

a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d?a1?3d……………

an?an?1?d?a1?(n?1)d,n?N*

思路2: a2?a1?d a3?a2?d

a4?a3?d

……………

an?1?an?2?d

an?an?1?d

兩端相加:

an?a1?(n?1)d n?N故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:

*

an?a1?(n?1)d n?N其中:

*

an為第n項(xiàng),a1為首項(xiàng),d為公差.(共有四個量,知三求一)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式驗(yàn)證三個引例.廣義通項(xiàng)公式: an?am?(n?m)d

3.等差數(shù)列的遞推公式: an?1?an?d,n?N*

三.例題分析

1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng).(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

2.在等差數(shù)列{an}中,已知a5?10,a12?31求首項(xiàng)a1與公差d

3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明

Sn?n?2n

2{an}是等差數(shù)列.m?1,m?3,m?9 4.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為(1)求m的值.(2)求該數(shù)列的第10項(xiàng).5.梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級的寬度。

解設(shè)?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12?a1?(12?1)d,即時10=33+11d

解之得：d?7

因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103, 答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小結(jié) 五.作業(yè)

1.已知下列等差數(shù)列,求通項(xiàng)公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差數(shù)列{an}中(1)a3?4,a7?16,求a1,d ,11a?,d?求a5(2)232(3)

an

a3?2,d?4,an?30求n

2S?2n?4n 3.數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和n(1)求通項(xiàng)公式an

(2)證明{an}是等差數(shù)列

【探究】設(shè){an}是首項(xiàng)為m公差為d的等差數(shù)列，從中選取數(shù)列的第*k?N（）構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，你能求出{bn}的通項(xiàng)公式嗎？

4k?1項(xiàng)，

第二篇：數(shù)學(xué)：2.2《等差數(shù)列》教案(新人教A版必修5)

§3.2 等差數(shù)列（2－１）

教學(xué)目標(biāo)

１．理解等差數(shù)列的概念．

２．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

３．并能用等差數(shù)列通項(xiàng)公式解決一些簡單的問題． 教學(xué)重點(diǎn)

等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 教學(xué)難點(diǎn)

等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義．

教學(xué)過程

一．新課引入

我們先看數(shù)列：（1）： 4，5，6，7，8，9，10，??（2）： 3，0，?3，?6，??

（3）： 1，2，3，4，??（4）： an?12?3(n?1)12，9，6，3，?? 2101010 特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是常數(shù) — “等差”．

二．新課

1．一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（常用字母d表示）．

注意：(1)從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)．(2)等差數(shù)列可用“AP”．．．．．．．．．．表示．(3)若d?0 則該數(shù)列為常數(shù)列．

2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 已知等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1，公差d，求an

等差數(shù)列的定義知：an?1?an?d

a2?a1?d a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d

a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d???? 由此歸納為an?a1?(n?1)d．強(qiáng)調(diào)：當(dāng)n?1時 a1?a1（成立）

注意: 1? 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)2? 如果通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP． 證明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A．它是以A?B為首項(xiàng)，A為公差的AP． 3? 公式中若 d?0 則數(shù)列遞增，d?0 則數(shù)列遞減． 4? 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)．

3.例題：

例1：⑴求等差數(shù)列8,5,2,?的第20項(xiàng)．

⑵-401是不是等差數(shù)列?5,?9,?13,?的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

例2：在等差數(shù)列?an?中，已知a5?10,a12?31求首項(xiàng)a1與d公差．

例3：梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級的寬度．

如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．

容易知道：在一個等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外），都是它前一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．

例4：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an?pn?d,其中p,q是常數(shù)，且p?0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？

三．課堂練習(xí)

課本P117練習(xí)（1、2、3)

四．補(bǔ)充例題：

1．在等差數(shù)列?an?中，若a5?a a10?b 求a15 解：2a10?a5?a15 即2b?a?a15 ∴ a15?2b?a 2．若a3?a8?m 求 a5?a6

解：a5?a6=a3?a8?m

3.若 a5?6 a8?15 求a14

解：a8?a5?(8?5)d 即 15?6?3d ∴ d?3

從而 a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33

4.若 a1?a2???a5?30 a6?a7???a10?80 求a11?a12???a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ??

∴ 2a6?a1?a11 2a7?a2?a12 ??

從而(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)

∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)=2×80?30=130 5．已知兩個等差數(shù)列a1, a2, a3, a4, a5和b1, b2, b3, b4, b5, b6,其中a 1=b2,a5=b5,求是多少？提示：a5－a1=4d1, b5－b2=3d2, ∴4d1=3d2，b6?b4的值a3?a2b6?b42d28==．

3a3?a2d1

五．小結(jié)

本堂課的重難點(diǎn)為等差數(shù)列概念和通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求一些簡單的問 題．

六．作業(yè)

課本P5習(xí)題1.1(2)

3.2等差數(shù)列

主 講 人: 王 存 國

桐 柏 縣 第 一 高 級 中 學(xué)

2008年9月

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《2.2等差數(shù)列(二)》教案

2.2等差數(shù)列

（二）一、教學(xué)目標(biāo)

1、掌握＂判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列＂常用的方法；

2、進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

3、進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題．

三、教學(xué)過程

（一）、復(fù)習(xí)

1．等差數(shù)列的定義． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

an?a1?(n?1)d

(an?am?(n?m)d或 an=pn+q(p、q是常數(shù)))3．有幾種方法可以計(jì)算公差d: ① d=an－an?

1② d=

an?a1a?am

③ d=n

n?mn?14.{an}是首項(xiàng)a1=1, 公差d=3的等差數(shù)列, 若an =2005,則n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3與27之間插入7個數(shù), 使它們成為等差數(shù)列,則插入的7個數(shù)的第四個數(shù)是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新課

1．性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中,若m + n=p + q, 則am + an = ap + aq

特別地,若m+n=2p, 則am+an=2ap 例1.在等差數(shù)列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，從而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)?6?6?11?1, 7?7?12?2,?2a6?a1?a11, 2a7?a2?a12從而(a11?a12???a15)?(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)?a11?a12???a15?2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)?2?80?30?130.2．判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法：（1）定義法: 證明an-an-1=d(常數(shù))例2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n2-2n, 求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列,并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式.解: 當(dāng)n=1時,a1=S1=3﹣2=1;

當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1時a1滿足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首項(xiàng)a1=1,an﹣an﹣1=6(常數(shù))

∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列且公差為6.（2）中項(xiàng)法: 利用中項(xiàng)公式, 若2b=a+c,則a, b, c成等差數(shù)列.（3）通項(xiàng)公式法: 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù).例3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?pn?q,其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看an?an?1（n＞1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。

解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an?1（n＞1），求差得 an?an?1?(pn?q)?[p{n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q]?p

它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以{an}是等差數(shù)列。

課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？

這個數(shù)列的首項(xiàng)a1?p?q,公差d?p。由此我們可以知道對于通項(xiàng)公式是形如an?pn?q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.如果一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。[探究] 引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：

⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為an?3n?5的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點(diǎn)？ ⑵在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列an?pn?q與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。

分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，??時，對應(yīng)的an可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；

⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列an?pn?q的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點(diǎn)的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列an?pn?q中的p的幾何意義去探究。

三、課堂小結(jié)：

1.等差數(shù)列的性質(zhì)；

2.判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列常用的方法．

四、課外作業(yè)

1.閱讀教材第110～114頁；

2.教材第39頁練習(xí)第4、5題． 作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)十二

第四篇：高中數(shù)學(xué) 2.2等差數(shù)列教案(二)新人教A版必修5

2.2 等差數(shù)列

(第一課時)[講授新課] 1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；

⑵．對于數(shù)列{an},若an－an?1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。

思考：數(shù)列①、②、③、④的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？ 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】

等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：

?a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

……

由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d，便可求得其通項(xiàng)an。由上述關(guān)系還可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d 即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式

an?am?(n?m)d

∴ d?[范例講解] 例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??

3n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??得數(shù)列通項(xiàng)公式為：an??5?4(n?1)由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，am-an m-n即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng)

例2某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)為10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費(fèi)？

解：可以抽象為等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。4km處的車費(fèi)記為：a1?11.2公差d?1.2 當(dāng)出租車行至目的地即14km處時，n=11 求a11

所以：a11?11.2?(11?1)?1.2?23.2 3.探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：

⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為an?3n?5的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點(diǎn)？ ⑵在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列an?pn?q與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。

分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時，對應(yīng)的an可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；

⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列是y=px+q定義在正整數(shù)集上對an?pn?q的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，應(yīng)的點(diǎn)的集合。

如果一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。

例3 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an?pn?q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定?an?是不是等差數(shù)列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。

解：當(dāng)n≥2時,（取數(shù)列?an?中的任意相鄰兩項(xiàng)an?1與an（n≥2））求差得 an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p，它是一個與n無關(guān)的數(shù).∴{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1?p?q，公差為p。

注：若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，… Ⅲ.課堂練習(xí)

課本P39練習(xí)1、2、3、4 [補(bǔ)充練習(xí)] 1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：（n－1）×4,即an=4na1=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=3+－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.評述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.（2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15，∴100是這個數(shù)列的第15項(xiàng).（4）－20是不是等差數(shù)列0，－3說明理由.1，－7，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，2177

∴此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=－n+, 222774777令－n+=－20,解得n=

因?yàn)椋璶+=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這22227解：由題意可知：a1=0,d=－3個數(shù)列的項(xiàng).Ⅳ.課時小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：an－an?1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q(p、q是常數(shù))的理解與應(yīng)用.Ⅴ.課后作業(yè)

課本P40習(xí)題2.2[A組]的第1題

?

(第二課時)[講授新課] 問題：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？

由定義得A?a=b?a，即：A=反之，若A=a+b

2a+b，則A?a=b?a 2a+b?a，b成等差數(shù)列 由此可可得：A=2等差數(shù)列的常見性質(zhì)：若數(shù)列①

?an?為等差數(shù)列，且公差為d，則此數(shù)列具有以下性質(zhì)：

an?am??n?m?d；

d?an?a1an?am?n?1n?m； ②

*a?an?ap?aq③若m?n?p?q（m,n,p,q?N），則m；

④2an?an?m?an?m。

an?a1??n?1?d，右邊=a1??m?1?d??n?m?d?a1??n?1?d?左邊

d?an?a1a?amd?nn?1；由an?am??n?m?d可得n?m 證明： ①左邊=②由an?a1??n?1?d可得③左邊?a1??m?1?d?a1??n?1?d?2a1??m?n?2?d

右邊?a1??p?1?d?a1??q?1?d?2a1??p?q?2?d 又因?yàn)閙?n?p?q，所以左邊=右邊，故得證。④左邊?2?a1??n?1?d?

右邊?a1??n?m?1?d?a1??n?m?1?d?2a1??2n?2?d?2?a1??n?1?d?=左邊 等差數(shù)列的其它性質(zhì)： ①即?an?為有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，且等于首末兩項(xiàng)之和，a1?an?a2?an?1?a3?an?2???ai?1?an?i??。

a,a,a,??k,m?N?組成公差為md的等差②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)kk?mk?2m*數(shù)列。③若數(shù)列?an?和?bn?均為等差數(shù)列，則?an?bn??,kan?b?（k,b為非零常數(shù)）也為等差數(shù)列。

④m個等差數(shù)列，它們的各對應(yīng)項(xiàng)之和構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，且公差為原來m個等差數(shù)列的公差之和。

[范例講解] 例1 在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9.分析：要求一個數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差），本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手…… 解：∵ {an }是等差數(shù)列

∴ a1+a6=a4+a3 =9?a3=9－a4=9－7=2

∴ d?a4－a3=7－2=5

∴ a9=a4+(9－4)d=7+5×5=32

∴

a3 =2, a9=32 例2在等差數(shù)列{an}中，已知a2?a3?a10?a11?36，則a5?a8?________． 解法１：根據(jù)題意，有

(a1?d)?(a1?2d)?(a1?9d)?(a1?10d)?36，∴4a1?22d?36，則2a1?11d?18． 解法2：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得

a5?a8?a2?a11?a3?a10?36?2?18．

答案：18 【課堂練習(xí)】

1.練習(xí)（課本P39，題5）已知數(shù)列{（1）（2）（3）

an}是等差數(shù)列

呢？為什么？ 2a5?a3?a7是否成立？

2a5?a1?a92an?an?1?an?1(n?1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？

是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？ 2an?an?k?an?k(n?k?0)結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，am?an?ap?aq

a?an?ap?aq即

m+n=p+q ?m(m, n, p, q ∈N)

但通常由am?an?ap?aq 推不出①m+n=p+q，②

am?an?am?n

【補(bǔ)充練習(xí)】 1.在等差數(shù)列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,則a4?a5?a6等于

（）

A.40

B.42C.4

3D.45

a12.等差數(shù)列?an?中，已知1?3,a2?a5?4,an?33,則n為（）

A.48

B.49

C.50

D.51 3.已知等差數(shù)列?an?中，a7?a9?16,a4?1，則a12的值為

（A．15

B．30

C．31

D．64 4.已知?an?是等差數(shù)列，（1）已知：a15?8,a60?20,求a75（2）已知： a15?33,a45?153,求a61。

答案：1.B 2.C 3.A 4.（1）a75=24（2）a61=185 Ⅳ.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

A?a?b2?a,A,b,1．

成等差數(shù)列

2．在等差數(shù)列中，m+n=p+q ?am?an?ap?aq(m, n, p, q ∈N)Ⅴ.課后作業(yè)

課本P41第4、5題）

第五篇：數(shù)學(xué)：2.2等差數(shù)列 教案一(新人教A版必修五)

等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

知識與能力：理解等差數(shù)列的定義；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力及滲透函數(shù)、方程思想

過程與方法：經(jīng)歷等差數(shù)列的產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本知識解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力，體驗(yàn)從特殊到一般認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識。

二、教學(xué)重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。

三、教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。

四、教學(xué)準(zhǔn)備：根據(jù)本節(jié)知識的特點(diǎn)，為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，增加教學(xué)容量，便于學(xué)生更好的理解和掌握所學(xué)的知識，我利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。

五、教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，課題導(dǎo)入

復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的數(shù)列的定義及數(shù)列的表示法。這些方法從不同的角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)，下面我們來看這樣的一些數(shù)列：（大屏幕顯示課本41頁的四個例子）⑴、0 5 10 15 20 ? ? ⑵、48 53 58 63 ⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷、10072 10144 10216 10288 10360 教師提出問題：以上四個數(shù)列有什么共同的特征？請同學(xué)們互相討論。（學(xué)生積極討論。得到結(jié)論，教師指名回答）

共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù)。

師：這些數(shù)列均具有相鄰兩項(xiàng)之差“相等”的特點(diǎn)，具有這種特點(diǎn)的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列。

（二）設(shè)置問題，形成概念

等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示。

師：等差數(shù)列的概念中的幾個關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

生（思考、討論）：第2項(xiàng)、每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)、同一個常數(shù)

教師在進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)。

師：如何用數(shù)學(xué)語言來描述等差數(shù)列的定義？

學(xué)生討論后得出結(jié)論：

數(shù)學(xué)語言：an?an?1?d(n?2）或

an?1?an?d(n≥1)

(學(xué)生通過討論，從而不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu))

師：同學(xué)們能否舉一些等差數(shù)列的例子？

（學(xué)生爭先恐后地發(fā)言，教師隨機(jī)指定兩名學(xué)生回答。）

理解等差數(shù)列的概念是本節(jié)課的重點(diǎn)，為了加深對概念的理解，讓學(xué)生討論課本45頁練習(xí)第4題，教師總結(jié)。

（三）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

師：如同我們在前一節(jié)看到的，能否確定一個數(shù)列的通項(xiàng)公式對研究這個數(shù)列具有重要的意義。數(shù)列⑴、⑵、⑶、⑷的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

（師生一起探討）

師：若一個無窮等差數(shù)列｛an｝，首項(xiàng)是a1，公差為d，怎樣得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納）

a2?a1?d 即：a2?a1?d

a3?a2?d 即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d 即：a4?a3?d?a1?3d

? ?

至此，讓學(xué)生自己猜想通項(xiàng)公式是什么，使學(xué)生體會歸納、猜想在得出新結(jié)論中的作用。

生：an?a1?(n?1)d

師：此處由歸納得出的公式只是一個猜想，嚴(yán)格的證明需要用數(shù)學(xué)歸納法的知識，在這里，我們暫且先承認(rèn)它，我們能否再探索一下其他的推導(dǎo)方法？

（然后學(xué)生在教師的引導(dǎo)下一起探索另外的推導(dǎo)方法）疊加法：｛an｝是等差數(shù)列，所以：

an?an?1?d

an?1?an?2?dan?2?an?3?d

? ?

a2?a1?d

兩邊分別相加得：an?a1?(n?1)d

所以：an?a1?(n?1)d 迭代法：｛an｝是等差數(shù)列，則：

an?an?1?d?an?2?2d?an?3?3d = ? ?=a1?(n?1)d

所以：an?a1?(n?1)d

由以上關(guān)系還可得：am?a1?(m?1)d

即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d?am?(m?1)d?(n?1)d

=am?(n?m)d

即得等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式：an?am?(n?m)d

（四）通項(xiàng)公式的應(yīng)用：

觀察通項(xiàng)公式并提出問題：

師：要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式只需要求誰？

生：a1和d

師：通項(xiàng)公式中有幾個未知量？ 生：a1、d、an、n

師：要求其中的一個，需要知道其余的幾個？ 生：3個。

舉幾個簡單的例子讓學(xué)生求解（屏幕顯示）：

等差數(shù)列｛an｝中，⑴已知：a1?

2d?

3求an ⑵已知：a1?3 an?

d?2 求n

⑶已知：a1?8

a6?27

求d ⑷已知：d?

1a7?8

求a1 3（題目比較簡單，照顧到全體學(xué)生，使學(xué)生深刻掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而打好基礎(chǔ)。）例題講解：（屏幕顯示，學(xué)生講解）

例一：

1、求等差數(shù)列8、5、2? ?的第20項(xiàng)

解：由a1?8

d?5?8??n?20得：

a20?8?(20?1)?(?3)??49

2、?401是不是等差數(shù)列?

5、?

9、?13? ?的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：由a1??

5d??9?(?5)??4得an??5?4(n?1)??4n?1

由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得：

?401?4n?1成立

解得：n?100即?401是這個數(shù)列的第100項(xiàng)。

例二：某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)為10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費(fèi)？

師：此題是一個實(shí)際應(yīng)用問題，可抽象為那種數(shù)學(xué)模型？

生：可以抽象為等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。

師：模型中提供的已知量有哪些？

生：4km處的車費(fèi)記為：a1?11.2公差d?1.2

師：要求量是誰？

生：當(dāng)出租車行至目的地即14km處時，n=11 求a11

所以：a11?11.2?(11?1)?1.2?23.2 例三：數(shù)列an?3n?5是等差數(shù)列嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義求解，就是看an?an?1(n?2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。）

生：an?an?1?3n??3(n?1)?5??所以：｛an｝是等差數(shù)列

引申：已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an?pn?q，其中p、q為常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，首項(xiàng)和公差分別是多少？

（指定學(xué)生求解）

解：取數(shù)列｛an｝中任意兩項(xiàng)an和an?1(n?2)

an?an?1?(pn?q)??p(n?1)?q??pn?q?(pn?p?q)?p

它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以｛an｝是等差數(shù)列？

并且：a1?p?q

d?p

師：上節(jié)課我們已學(xué)習(xí)過數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么由此題啟示，等差數(shù)列是哪一類函數(shù)？

生：等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)ｎ的一次函數(shù)。師：一定是一次函數(shù)嗎？ 生（茫然，討論）：還可以是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)ｄ＝０的時候。師：那么等差數(shù)列的圖像有什么特征？

生：是均勻分布在一條直線上的一群孤立的點(diǎn)。

師：通過例三，我們能否總結(jié)一下，到目前為至我們有哪些方法來判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列？

（學(xué)生討論、回答，教師補(bǔ)充）

一是利用定義：an?an?1?d(n?2）或

an?1?an?d(n≥1)二是利用通項(xiàng)公式：an?pn?q(p?R)是關(guān)于ｎ的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)。課堂檢測反饋：

１、求等差數(shù)列

10、８、６? 的第２０項(xiàng)。

２、－20是不是等差數(shù)列０、3.5、－7? 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由。３、等差數(shù)列｛an｝中，已知：a5?10

a12?

31求a1和d ４、等差數(shù)列｛an｝中，已知：a5?6

a8?

求a14

５、等差數(shù)列｛an｝中，已知：a1?a6?9

a4?7 求a3、a9

（五）課時小結(jié)：

（學(xué)生自己歸納、補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力，教師總結(jié)）

１、等差數(shù)列的定義：an?an?1?d(n?2）或

an?1?an?d(n≥1)２、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d

（六）課后作業(yè)：

課本45頁習(xí)題2．2（A組）

3、4